DE THI HSG TOAN 9 MY CHANH 1112

Cho hình vuông ABCD có AB cố định .M là một điểm di động trên đường chéo AC .Kẽ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC .Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích của tam giá[r]

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH Năm học: 2011-2012

Đề đề nghị Môn : TOÁN 9

Thời gian làm bài :150 phút

(Không kể thời gian phát đề )

Bài 1 (3,0 điểm)

Chứng minh biểu thức 10n +18n -1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên

Bài 2 (4,0 điểm)

Giải phương trình :

8 x 3 5 x 3 5

Bài 3.(6,0 điểm)

a/(3,0 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn

6

.Tìm giá trị của biểu thức P x 2010y2011z2012

b/(3,0 điểm) Cho:

Chứng minh T nhỏ hơn 2010

BÀI 4 (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 ,diện tích tam giác COD bằng 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD

Bài 5 (4,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có AB cố định M là một điểm di động trên đường chéo AC Kẽ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích của tam giác DEF nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ HƯỚNG DẪN CHẤM

TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN

Môn: TOÁN

Năm học: 2011-2012

ĐIỂM

Bài 1

(3,0 điểm)

Với n=0 ta có 100 +18.0-1 =0 chia hết cho 27 Với n 1 ta có

10 1 18

10 1 10 10 10 1 18

9 10 1 (10 1) (10 1) (1 1) 3

n

n

n

n

 

Vì 10k 1 3 à 3 3v n ,do đó: 10n  1 18 27n

0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ

Bài 2

(4,0 điểm) 8 x 3 5 x 3 5

Điều kiện: 3 x 28

Đặt x 3y y 0 Phương trình đã cho có dạng: 8y 5 y 5 Bình phương hai vế và biến đổi ,ta được:

8 y 5  y   6 y2  3y 4 0 

1

1 0

4

4 0

y y

y





 



Với y=1,ta có: x 3 1  x4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=4

0,5 đ

1,0 đ 1,0 đ 1,0 đ

0,5 đ

Bài 3

(6,0 diểm)

a/(3,0 điểm)

Áp dụng bất đẳng thức

2 2

1 2

a a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=1 hoặc a= -1 ,ta được :

6

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2=y2=z2 =1

Ta có kết quả sau:

 P=1 ,khi (x;y;z)  1; 1;1 , 1; 1; 1 , 1; 1; 1 , 1; 1; 1              

0,5 đ 1,0 đ

0,75 đ 0,75 đ

4

O

A

B

C D

 P= 3, khi (x;y;z)  1;1;1 , 1;1; 1 , 1;1;1 , 1;1; 1         

b/(3,0 điểm) xét số hạng tổng quát :

2 2

2

1

1 1

n

A

n n

Suy ra:

1

n

n n A

 

Cho n lấy các giá trị từ 2 đến 2010 ta được :

2 2011

T

Suy ra T

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

1,0 đ 0,5 đ

Bài 4

(3,0 điểm)

Ta có :

AOB AOD BOC COD

Mà S AOB 4,S COD 9 , ên n S AOD.S BOC S AOB.S COD 4.9 36

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương ,ta có

Vậy: S ABCDS AOD S BOCS AOB S COD 25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi SAOD=SBOC hay tứ giác ABCD là hình thang

Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD là 25

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

M F E

B A

Bài 5

(4,0 điểm)

hình vẽ

Đặt AE =x,CF=y suy ra MF=CF=BE=y , suy ra x+y=a

2

2 2

ax

a

Ta có SDEF nhỏ nhất khi và chỉ khi xy nhỏ nhất

xy    khi x y

Lúc đó điểm M là trung điểm của AC

EF

D

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ 1,0 đ

1,0 đ

0,5 đ

*Ghi chú : Mọi cách giải khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa