DE THI HSG TOAN 9

Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB.. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỊ XÃ PHÚ THỌ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán

Thời gian thi: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi có 01 trang

ĐỀ BÀI

Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức

Với x 0; x 4; x 9   ; a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị của A khi x  6 2 5 c) Với giá trị nào của x thì

1

A đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?

Bài 2 ( 3điểm): Cho tam giác ABC có góc A = 200, AB = AC = b; BC = a

Chứng minh hệ thức a3 +b3 = 3ab2

Bài 3 (4 điểm):

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì số 2

111 1 222 2

n n

B       

là một số chính phương

b) Chứng minh rằng nếu a và a2 8 đều là các số nguyên tố thì a2  2

cũng là số nguyên tố

Bài 4 (6 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By là các

tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến với

nửa đường tròn, cắt tia Ax, By lần lượt ở C và D

a) Chứng minh OC OD và CD AC BD  b) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để CD có độ dài nhỏ nhất

Bài 5 (3 điểm): Cho các số a b c, , thỏa mãn a b c  1. Hãy tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức: C ab 2bc3ca;

Hết

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán

Năm học: 2012-2013

Bài 1 (4 điểm):Cho biểu thức

Với x 0; x 4; x 9   (*)

a) Rút gọn biểu thức A;

b) Tìm giá trị của A khi x  6 2 5;

c) Với giá trị nào của x thì

1

A đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó?

a) Với điều kiện  * ta có:

:

0,50

   

:

1

x



0,50    

:

1

x

x



:

x



b) Dễ thấy : x  6 2 5  5 1  2

thoả mãn điều kiện Khi đó:

 5 12 5 1

x    

0,50

Do vậy, giá trị của biểu thức A là:

 



0,25

3 5 5

4





0,25

c) Viết lại,

1

A=

3 1

1

x



 Để

1

A có GTNN thì

3 1

x  có GTLN, hay x 1

có GTNN

0,25

Ta có: x  1 1, dấu "=" xảy ra khi x = 0

Giá trị nhỏ nhất của

1

A là

3

0 1

 , xảy ra khi x = 0

0,75

Bài 2 ( 3điểm):Cho tam giác ABC có A = 200 , AB = AC = b; BC = a

Chứng minh hệ thức a3 +b3 = 3ab2

N A

M

Vẽ tia BX sao cho Abx = 600 cắt AC tại N; vẽ AM vuông góc với Bx

tại M => tam giác ABM là nửa tam giác đều => BM = b/2

Ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCN từ đó tính CN = a2/b =>

AN =

2

a

b

b



; AM2 =

2

3 4

b

; MN = b/2 - a

AM2 = AN2 - MN2

Thay tính ra kết quả a3 +b3 = 3ab2

1,00

2,00

Bài 3 (4 điểm):

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì số 2

111 1 222 2

n n

B       

là một số chính phương

b) Chứng minh rằng nếu a và a2 8 đều là các số nguyên tố thì a2  2

cũng là số nguyên tố

a) Ta có :

2

111 1

111 1 222 2 111 1000 0 111 1 2

111 1 (999 9 1) 111 1 (9 111 1 1)

X

n

n

     

              

1,00

Đặt a   111 1n

, ta được: B a a (9 1) a9a2 a a9a2 (3 )a 2 0,75

Vì a là số tự nhiên nên B là một số chính phương 0,25 b) Xét phép chia số tự nhiên a cho 3, xảy ra 3 khả năng:

3 ; 3 1 à 3 2 ( )

+ Nếu a3k1(k N )thì a2  8 BS3 1 8   BS3 9 3   , mà a  2 8 3 nên

2

8

a  không là số nguyên tố;

0,75

+ Nếu a3k2(k N ) thì a2  8 BS3 4 8   BS3 12 3   , mà a  2 8 3 nên

2

8

Suy ra: a3k Nếu a là số nguyên tố thì a = 3, khi đó: a2 8 17,a2 2 11

đều là các số nguyên tố

0,50

Bài 4 (6 điểm):Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, bán kính R Gọi Ax,

By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax, By lần lượt ở C và D

a) Chứng minh OC OD và CDAC BD ;

b) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để CD nhỏ nhất

a) Vì Ax AB By; ABnên Ax, By là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) 1,00

Vì CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau nên CA = CM; O 1 O 2 (1);

Vì DB và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DB = DM; O 3 O 4 (2);

1,00

Từ (1) và (2), suy ra:

1

2

O O  O O O O 

Hay OC OD;

CD = CM + MD = CA + DB

1,00

b) Vì tam giác COD vuông tại O, OM CDnên CM.MD = OM2 = R2 1,00 Theo bất đẳng thức cô-si ta có:

2

CD CM MD CM MD  R  R

1,00

Dấu đẳng thức xảy ra khi CM = MD  AC = BD Tứ giác ACDB là

hình chữ nhật  CD // AB, mà OM CD  OM  AB tại O, hay OM là

trung trực của AB  MA = MB hay M là điểm chính giữa của nửa đường

tròn (O)

1,00

Bài 5 (3 điểm):Cho các số a, ,b c thỏa mãn ab c  1 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C ab 2bc3ca

Viết lại: C ab 2bc ca 2ca a b c (  ) 2 ( c a b ) 1,00

Vì ab c  1 nên C a (1 a) 2 (1 c  c) 0.75

2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 3

0.75 Dấu đẳng thức xảy ra khi

1 2

, b 0 Vậy: giá trị lớn nhất của C là

3

4, xảy ra khi

1 2

, b 0

0,50

Các cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa