[r]
Trang 1Giải nhiều cách câu 05 đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ĐHSP
Hà Nội Câu 05 : Cho x,y là nhưng số thưc dương và x+y=(x-y) √xy
Tìm GTNN của P = x+y
============================================ Chú ý : Vì x, y > 0 mà x y x y xy
=> x > y
Cá ch 01
x+y=(x-y) √xy ⇔ (x+y)2= (x-y)2xy ⇔ (x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2
⇔ (x+y)2=
xy ¿2
¿
4 ¿
¿
=> xy-1>0
⇔ (x+y)2=
xy ¿2
¿
4 ¿
¿
= 4(xy-1)+ 4
xy −1 +8 16
⇔ (x+y)2 16 ⇔ (x+y) 4 (vì x+y>0)
=> GTNN (x+y) = 4 ⇔ 4(xy-1)= 4
xy −1 ⇔ xy=2 mà x+y =4
=> x=2+ √2 ; y=2- √2
Cá ch 02
x+y=(x-y) √xy ⇔ (x+y)2= (x-y)2xy ⇔ (x+y)2=xy(x+y)2-4(xy)2
⇔ (x+y)2=
xy ¿2
¿
4 ¿
¿
sư dụng phương pháp miền giá trị vơi phương
trình 4(xy)2 -xy(x+y)2 +(x+y)2 =0 ẩn (xy) ta đươc (x+y)2
x+ y¿2−16
¿
¿
0
⇔ (x+y)2 16 (vì x,y là các số thưc dương)
⇔ (x+y)2 16 ⇔ (x+y) 4 (vì x+y>0)
=> GTNN (x+y) = 4 ⇔ xy=2 mà x+y =4 => x=2+ √2 ;
y=2-√2
Cách 03
Trang 2Đặt
¿
a=x − y>0
b=x + y >0
⇔
2
y= b − a
2
¿ {
¿
;( với b > a )
Khi đó ta có bài toán mới sau : cho a > 0 ; b > 0 ; b > a thoả mãn :
a
2√b2−a2=b (*) , Tìm giá trị nhỏ nhất của P = b (**)
Do đó từ (*) và (**) ta có :
a√p2− a2=p ⇔ 4 p2
− a2(p2− a2)=0⇔a4
−a2 p2+4 p2=0 ;(***)
Thế thì rõ ràng để thoả mãn yêu cầu đầu bài thì phơng trình (***) bậc hai ẩn a2 phải có nghiệm
⇔ Δ ≥0 ⇔ p4
−16 p2≥ 0 ⇔ p2
−16 ≥ 0 ⇔ p2
≥16 ⇔ p ≥ 4 ( vì P = b > 0 ) Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 4 khi phơng trình (***) có nghiệm kép
a2=p2
2 ⇔ p=a√2⇒a= 4
√2;b=4(t /m(∗))⇒
x − y= 4
√2
x+ y=4
⇔
¿x=2+√2
y =2−√2
¿ {
Cách 04
Đặt
¿
x=2+α
y=2 − α
;(0<α<2) ⇒ x+ y=4
¿ {
¿
; khi đó ta có bài toán mới là :
Cho 0 < α<2 thoả mãn 2 α√4 − α2 =4 thì giá trị nhỏ nhất của P = x+ y là 4 vì x + y =4 , hơn nữa ta cần chứng minh : p≥ 4 ⇔ p − 4 ≥ 0 ⇔4 ≥ 4
Trang 3(luôn đúng vì p = 4 ) Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi
2 α√4 − α2=4⇔√4 − α2= 2
α ⇔ α=±√2⇒α=√2 ;(t /m) ⇔ x=2+√2
y=2 −√2
¿ { Trên đây là một số cách tham khảo , ngoài ra còn nhiều cách khác nữa các hãy tìm thêm !