NHIEU CACH CAU 5 BAC NINH

[r]

Trang 1

Giải câu 05

Đề thi vào lớp 10 môn toán bắc ninh

2012-2013

=====================================

Câu 05 :

Cho các số x ; y thoả mãn x 0 ; y ≥ 0 và x+ y = 1

.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + y 2

I- tìm giá trị nhỏ nhất

Cách 01 :

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Ta có x + y = 1 nên y = - x + 1 thay vào A = x 2 + y 2 ta có :

x 2 + ( -x + 1) 2 - A = 0 hay 2x 2 - 2x + ( 1- A) = 0 (*)

do đó để biểu thức A tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm hay

Δ' ≥ 0 ⇔1 −2 (1− A ) ≥0 ⇔ 2 A −1 ≥ 0 ⇔ A ≥1

2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu

thức A là 1

2 khi phơng trình (*) có nghiệm kép hay x =

1

2 mà x + y

= 1 thì y = 1

2 Vậy Min A = 1/2 khi x = y = 1/2 ( t/m)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Cách 02 :

Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có 1 = x + y hay

1= (x + y) 2 2(x2

+y2

)⇔ x2

+y2≥1

2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là

1/2 khi x = y mà x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Cách 03 :

Không mất tính tổng quát ta đặt

¿

x=1− m y=m

¿ {

¿

với 0 ≤ m≤1

Mà A= x 2 + y 2 Do đó A = ( 1- m) 2 + m 2 hay A= 2m 2 - 2m +1

hay 2A = (4m 2 - 4m + 1) + 1 hay 2A = (2m- 1) 2 + 1 hay

A= (2 m− 1)

2

1

2≥

1

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi m= 1/2 hay x = y = 1/2.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Cách 04 :

Ta có A = x 2 + y 2 = ( x+ y) 2 - 2xy = 1 -2xy ( vì x + y =1 )

Trang 2

mµ xy (x + y )

2

4 ⇔ xy ≤ 1

4⇒− 2 xy ≥ − 1

2 ⇔1 −2 xy ≥ 1

2⇒ A ≥ 1

2

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A lµ 1/2 khi x = y = 1/2

b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A.

C¸ch 05 :

a)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A

XÐt bµi to¸n phô sau : Víi a , b bÊt k× vµ c ; d > 0 ta lu«n cã :

a2

c +

b2

d ≥

(a+b )2

c +d (*) , dÊu = x¶y ra khi “ ”

a

c=

b d

ThËt vËy : cã (√x2+√y2)[ (√a x)2+(√b y)2]≥ (a+b )2⇔ a2

x +

b2

y ≥

(a+b )2

x + y (§PCM)

.¸p dông

Cho a = x vµ b = y ,tõ (*) cã : A= x 2 + y 2 = x2

1+

y2

1 ≥

(x + y )2

2 mµ x+ y =1

Nªn A 1

2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A lµ 1/2 khi x = y = 1/2.

b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A

C¸ch 06 :

Ta cã A = x 2 + y 2 hay xy = 1 − A

2 (*) mµ x + y =1 (**)

VËy tõ (*) ;(**) cã hÖ ph¬ng tr×nh

¿

x + y=1

xy=1 − A 2

¿ {

¿

,hÖ nµy cã nghiÖm

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ⇔1 −2 (1 − A) ≥ 0 ⇔ A ≥1

2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

A lµ 1/2 khi x+ y =1 vµ x 2 + y 2 = 1

2 hay x = y = 1/2

C¸ch 07 :

Ta cã A = x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + 1 - 1 mµ x + y =1 nªn A = x 2 + y 2 - x - y -1 Hay A = (x2− x+1

4)+(y2− y+1

4)+ 1

2≥

1

2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu

thøc A lµ 1/2 khi x = y = 1/2

c¸ch 08 :

Ta cã A= x 2 + y 2 = x2+y2

1 =

x2+y2

x + y =

x2

x + y+

y2

x + y ≥

( x + y )2 2( x + y )=

x + y

2

Trang 3

Mà x + y =1 nên A 1

2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2

khi x = y = 1/2

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Cách 09 :

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Ta có x + y = 1 là một đờng thẳng , còn x 2 + y 2 = A là một đờng tròn

có tâm là gốc toạ độ O bán kín √A mà x 0 ; y ≥ 0 ⇒ thuộc góc phần t thứ nhất của đờng tròn trên Do đó để tồn tại cực trị thì khoảng cách từ O đến đờng thẳng x + y =1 phải nhỏ hơn hay bằng bán kín đờng tròn hay A 1

2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

là 1/2 khi x =y = 1/2.

Cách 10 :

Ta có x + y =1 ⇔ x+ y −1

2=

1

2 Vậy để chứng minh A

1 2

với A = x 2 + y 2 thì ta chỉ cần chứng minh x2

+y2≥ x + y −1

2

Thật vậy :

Ta có x2+y2≥ x + y −1

2 0

Hay (x −1

2)2+(y −1

2)2≥ 0 ( luôn đúng ) Vậy A 1

2 Vậy giá trị nhỏ

nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y =1/2

Cách 11 :

¿

x=2− m y=m−1

⇒1 ≤m ≤2

¿ {

¿

.Do đó A = x 2 + y 2 hay (2-m) 2 + (m-1) 2 - A =0 hay 2m 2 - 6m +5 = A Hay A= (2 m− 3)

2

1

2≥

1

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.

Cách 12 :

Trang 4

¿

x=3 −m y=m−2

⇒2 ≤m ≤3

¿ {

¿

.Do đó A = x 2 + y 2 hay (3-m) 2 + (m-2) 2 - A =0 hay 2m 2 - 10m +13 = A Hay A= (2 m− 5)

2

1

2≥

1

2

Cách 13 :

Ta có x + y =1 hay (x+1) + (y +1) = 3 mà A = x 2 + y 2 hay

A = (x 2 + 2x + 1) + ( y 2 + 2y +1) - 4 hay A = (x+1) 2 + ( y+1) 2 - 4

,do đó ta đặt

¿

a=x +1 b= y +1

⇒

¿a≥ 1

b ≥ 1

¿ {

¿

Khi ta có bài toán mới sau :

Cho hai số a , b thoả mãn a ≥ 1;b ≥ 1 và a + b =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 2 + b 2 - 4

Thật vậy : Ta có A = a 2 + b 2 - 4 = (a+b) 2 - 2ab - 4 = 5 - 2ab ( vì a+b=3) Mặt khác theo côsi có : ab ≤ (a+ b)

2

9

4 do đó A

1

2 Vậy giá trị nhỏ

nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.

Cách 14 :

¿

x=a − m

y =m− b

⇒b ≤ m≤ a

¿ {

¿

( với a > b vì a - b =1 hay a = b+ 1 hay a > b )

.Do đó A = x 2 + y 2 hay (a-m) 2 + (m-b) 2 - A =0 hay

2m 2 - 2m (a+b) +(a 2 + b 2 ) = A hay

Hay 2 A=[2 m− (a+b )]2+2(a2+b2)−(a+b)2⇔ A=[2 m− (a+b )]

2

1

2≥

1 2

(Vì a - b= 1)

cách 15 :

Trang 5

Ta có x + y =1 hay y = 1 - x mà y 0⇔0 ≤ x≤ 1

Do đó x 2 + y 2 - A = 0 hay 2 x 2 - 2x +( 1 - A ) = 0

Khi đó ta có bài toán mới sau :

Tìm A để phơng trình 2 x 2 - 2x +( 1 - A ) = 0 (*) có nghiệm

0 ≤ x1≤ x2≤ 1

Với x 1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình (*)

Thật vậy để phơng trình (*) có nghiệm

0 ≤ x1≤ x2≤ 1 ⇔

¿

x2≥ x1≥0

x1≤ x2≤1

⇔

¿x1≥ 0

x2≥0

¿x1≤ 1

x2≤1

¿

no

¿⇔

¿S ≥ 0

P≥ 0

¿S ≤ 2

P ≤1

¿

no

¿⇔

¿Δ' ≥ 0

S ≥ 0

P≥ 0

¿Δ' ≥ 0

S ≤2

P ≤1

¿

no

¿⇔1

2≤ A ≤ 1

¿

¿ { {

{ {

¿ {

{

¿ {

{

¿

¿ ¿¿{

¿

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2.

Trang 6

Vậy theo trên ta có giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1

khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0

II- tìm giá trị lớn nhất

Cách 01 :

Vậy theo trên ta có giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1

Cách 02 :

Ta có A = x 2 + y 2 hay xy = 1 − A

2 (*) vì x + y =1 mà x

0 ; y ≥ 0 ↔ xy ≥0

Do đó theo (*) có A 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0

Cách 03 :

¿

x=sin2α ≥ 0 y=cos2α ≥ 0

¿ {

¿

Do đó A = sin4α +cos4α=1− 2 (sin α cos α )2≤1

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1

…

Trên đây chỉ là một số phơng pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất , ngoài ra còn rất nhiều phơng pháp khác Mong các bạn đóng góp ý kiến để tìm ra đợc những phơng pháp tối u hơn !

Nguyễn Văn Tuyên – Tr ờng THCS Đức Long – Quế võ – Bắc Ninh

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	9,79 KB