[r]
Trang 1Giải bằng nhiều cách Câu II phần 2
đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHKH Tự nhiên
=====================================
Đề bài : Câu II phần 2
Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ( √x+1) ( √y +1)≥ 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P= x
2
y +
y2 x
====================================
Cách 01 :
Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpsky ta có :
( √y2
+ √x2 )[ (√x y)2+(√y x)2]≥(x+ y)2⇔ p ≥(x + y) (*)
Mặt khác theo Bất đẳng thức Côsi ta có :
¿
x+1 ≥ 2√x
y +1 ≥ 2√y
⇔
¿x +3 ≥ 2( √x +1)
y+3≥ 2( √y+1)
⇒ x+ y+6 ≥2[ ( √x +1) + ( √y +1)≥ 4√ ( √x +1) ( √y+1) ] (**)
¿ {
¿
mà ( √x+1) ( √y +1)≥ 4
nên từ (**) ⇒ x + y +6 ≥ 8 ⇔ x+ y ≥ 2 (***)
Vậy từ (*) và (***) ⇒ p ≥2 do đó giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi x=y=1(t/m)
Bình luận : Ta có thể giải bằng các cách đặt
khác nhau , nh đặt a = x2 > 0 và b = y2 > 0 , , …
Chẳng hạn nh sau :
====================================
Cách 02 :
Không mất tính tổng quát ta có thể đặt
¿
a=√x >0 b=√y>0
⇔
¿x=a2 y=b2
¿ {
¿
Trang 2
Khi đó ta có bài toán( I) mới sau : cho a > 0 ; b >
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a b42 +b4
a2 , thật vậy ta
có :
Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpsky ta có :
P=( b2
+a2 )[ (a b2)2+(b a2)2]≥(a2
+b2 )2⇔ p ≥(a 2
+b2 ) = (a+1)2+ (b+1)2−2(a+b+1)
Lại đặt
¿
X=a+1>1
Y =b+1>1
⇒ X +Y =a+b+2
¿ {
¿
;
khi đó ta lại có bài toán(II) mới sau :
Cho X > 1 ; Y > 1 thoả mãn X.Y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = X2 + Y2 2( X+Y -1) , ta có lời giải sau :–
Ta có P = X2 + Y2 – 2( X+Y -1) =
( X −2)2+(Y −2)2+2 ( X +Y −3) (*)
Mà theo côsi có : X +Y ≥ 2√XY ≥ 4 ⇔ X +Y − 3≥ 1 ⇔2 ( X +Y −3) ≥ 2
( vì XY 4 ) và (X – 2 )2 0 và (Y – 2 )2 0
X= Y = 2 hay a = b = 1 hay x = y = 1
Bình luận :
====================================
Cách 03 :
Xét bài toán (II) trên ta có :
Cho X > 1 ; Y > 1 thoả mãn X.Y 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = X2 + Y2 – 2( X+Y -1)
Trang 3Đặt
¿
X =2− α>1
Y =2+α>1
⇒ −1<α <1
¿ {
¿
; khi đó ta có bài toán (III) mới
sau:Cho −1<α <1 và 4 − α2≥ 4 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P = 2 +2 α2 thật vậy ta có :
≥ 0 ⇔ α2
≤0 mà thực rat a có : α2≥ 0 nên ta suy ra α=0 (*)Mặt khác ta có p = 2+2 α2≥2 Do đó giá trị nhỏ nhất của P = 2 khi α=0 (t/m (*)) hay
X = Y =2 hay a = b = 1 hay x =y = 1
Bình luận :
====================================
Cách 04 :
Xét bài toán (III) ta có : Cho −1<α <1 và 4 − α2≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 +2 α 2 Thật vậy ta có :Đặt −1<α=m−1<1 ⇔0<m<2 Khi đó ta
có bài toán (IV) mới sau : Cho 0<m<2 và
m− 1¿2≥ 4
m−1¿2≤ 0 m−1¿2≥0 ⇔¿
m− 1¿2≥ 4 ⇔ −¿
4 −¿
mà lại
có m− 1¿2≥ 0
¿
nên có m – 1 =0 hay m = 1 ( t/m : 0<m<2)
Mặt khác có P = 2m2 – 4m + 4 ⇔2 m2
− 4 m+4 − p=0
(*) Do đó bài toán thoả mãn đầu bài khi phơng trình (*) có nghiệm
⇔ Δ , ≥ 0 ⇔ 4 −2 (4 − P)≥ 0 ⇔− 4 +2 P ≥ 0 ⇔− 2+P ≥ 0 ⇔ P ≥2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi phơng trình (*)
hay X = Y =2 hay a = b = 1 hay x = y =1
Bình luận :
Cách 05 :
Trang 4Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpsky ta có :
( √y2+ √x2)[ (√x y)2+(√y x)2]≥(x+ y)2⇔ p ≥(x + y) (*)
lại Theo bất đẳng thức côsi ta có :
4 ≤( √x+1)( √y +1)≤(√x +1+√y +1
2 )2 (**) Mặt khác theo bất đẳng thức bunhiacôpsky ta có
( 1.√x+1.√y)≤√ 2 (x + y)⇔( √x+1+√y +1)≤ 2+√ 2 (x+ y)⇔(√x +1+√y+ 1)
2 ≤(2+ √ 2 (x + y)
⇔(√x +1+√y+1
2 )2≤(2+√2 (x + y )2 )2 (***)
Từ (**) và (***) ta có :
(2+√2 ( x + y )2 )2≥ 4 ⇔2+√2 (x + y ) ≥ 4 ⇔ x+ y ≥ 2 (****) ,
Do đó từ (*) và (****) ta có giá trị nhỏ nhất của
P là 2 khi x = y = 1
Trên đây là một số cách tham khảo , ngoài ra còn rất nhiều cách giải khác , mong các bạn tìm thêm !
Nguyễn văn Tuyên