Tai lieu on chuyen va HSG toan THCS

[r]

PHAN I: ĐAI SOTính giá trị của biểu thức

Phần 2 : Biểu thức đợc tính qua biểu thức khác

Bài tập 1 : Cho các số a,b thoả mãn các hệ thức a2+b2 = 1 và a3+b3 = 1 Tính

Bài tập 4: Biết x,y thoả mãn (x+ √1+ y2¿ (y+√1+x2)=1 Tính F= x+y

Bài tập 5: Cho x,y,z là các số dơng thoả mãn x+y+z+ √xyz=4

Tính S = √x(4 − y)(4 − z )+√y (4 − x)(4 − z)+√z (4 − x )(4 − y) - √xyz

Bài tập 6: Cho a,b,c,x,y,z là các số dơng thoả mãn x+y+z = a; x2+y2+z2 = b;

a2 =b +4010 Tính giá trị của biểu thức

2 +

Bài 4: Cho x= 1

3(3

Dạng thứ nhất : Liên quan tới Δ =b2-4ac…

Bài tập 1: Tìm tất cả các số aZ để PT 2x2-(4a+5.5)x +4a2+7=0

Bài tập2: Cho a,b là các số thoả mãn a2003+b2003=2a1001b1001 CMR

Phơng trình x2+2x+ab=0 có hai nghiệm hữu tỷ

Dạng thứ hai : Liên quan tới hệ thức vi –ét

¿ {

Chú ý: có thể tính x1 hoặc x2 qua S ,P (tổng ,tích hai nghiệm) nh sau

1, CMR phơng trình có hai nghiệm trái dấu

2, Gọi x1 là nghiệm âm của PT TínhGT của biểu thức P=x1+ √x18 +10 x1+13

Bài tập 3: Cho PT x2-2x-1 =0 có hai nghiệm x1,,x2 (x2<0)

Tính GT của các biẻu thức sau A=x1 +2x2 +3x1 +8x2—8

Bài tập 6: Cho PT bậc hai ẩn x : x2+2(m-2)x-m2-4m+5= 0

1, Xác định m để PT có2 nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

2,Xác định các GT của m để PT có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn điều kiện

1

x1¿

2 + ¿

Bài tập 6: Xác định m để PT 2x2+2mx+m2-2=0 có hai nghiệm

Gọi x1,x2 là hai nghiệm của PT Tìm GTLN của A=2x1x2+x1+x2+4

Bài tập 7: Gọi x1,x2 là nghiệm của PT x 2-(2m-3)x+1-m = 0 Tìm m để biểu thức

Bài tập 11 : Cho a,b là hai nghiệm của PT x2-x-1=0 CMR

P= a+b+a3+b3 ; Q=a2+b2+a4+b4 và R=a2001+b2001+a2003+b2003 là những số chia hết cho 5

Một số bài luyện tập Bài tập 11: Tìm trên đờng thẳng y=x+1 các điểm có toạ độ hoả mãn

y2-3y √x+2 x=0

Bài tập 12: Giả sử PT x2+a.x+b+1=0 có hai nghiệm x1,x2 CMR a2+b2 là hợp số

Tập Bài 13 : Cho hai PT x2-(2m-3)x+6=0 và 2x2+x+m-5=0 Xác định m để hai PT có

đúng một nghiệm chung

Bài 14: Tìm mđể hai PT x2+x-2+m=0 và x2+(m-2)x+8=0 có nghiệm chung

Dạng 6: a.X +bY =c trong đó XY=k không đổi

Phơng pháp giải : đặt x=t0 đa về PT bậc hai ẩn t

√A(x )=m với x2+A(x)2=k không đổi

Phơng pháp giải : đặt A(x) =y đa về hệ x2+y2=k và 1

VÝ dô : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y

D¹ng 6: Chøng minh ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt

Ph¬ng ph¸p gi¶i : Dïng biÖn ph¸p nh©n liªn hîp

VÝ dô : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau

a, giải phơng trình với m=15

b, Tìm m để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt

15, Giải phơng trình √2 x −3+√5 −2 x=3 x2−12 x+4

Ví dụ : Giải các phơng trình sau

1, 2x-1+2x-5=4

2, x2-x+2x-4=3

phơng pháp 2: Biến đổi tơng đơng

1, A=B  B0 và A=B hoặc B0 và A=-B

2, A=BA=B hoặc A=-B

Ví dụ : Giải các phơng trình sau

√2+√2+√3+

2−√3

√2−√2−√3 là

(A) 7/5 ; (B) √2

2 ; (C) √2 ; (D) 29/20

Câu 2: Biết rằng a,b,c thoả mãn a2+b4+c6=1 và a3+b5+c7=1, khi đó giá trị của biểu thức

T=2(a2004+b2005+c2006) là(A) 1; (B) 2 ; (C) 3; (D) 4

Câu3: Nếu a,b,c thoả mãn ab+ac+bc=1 và 1

√a4+a+1− a2 , biết a là nghiệm dơng

của phơng trình 4x2+ √2 x −√2 =0

Câu2: Gọi x1,x2 là các nghiệm của phơng trình : x 2-x-1=0

Tính giá trị của biểu thức A=x1 +x2 +13x2

¿ {

¿Một số chú ý khi giải hệ này Hãy tham khảo qua ví dụ sau

2, Nếu quy đông mẫu số dẫn đến giải hệ

6, Dựa vào định nghĩa nghiệm của hệ ta có thể thêm vào hệ ở phần đầu

Bài toán 3: Cho hệ

1, Tìm các số nguyên m để hệ có nghiêm x,y nguyên

2, tìm m sao cho hệ có nghiệm thoả mãn x2+y2=0.25

Bài toán4: Giải hệ

Phần thứ hai : Phơng trình đối xứng kiểu 1

Phơng pháp giải : đặt s=x+y và xy=p (đk : s2-4p 0 )

tìm s,p sau đó tìm x,y dựa vào Vi-ét đảo

Ví dụ 1: Giải hệ

¿

x+ y=1 −2 xy

x2 +y2 =1

Ví dụ 3: Giải hệ

¿

x+ y +z=16

x2 +y2 +z2 =18

√x+√y +√z=14

¿ { {

¿

Phần thứ ba : Hệ đối xứng kiểu 2

Phơng pháp giải: Lấy hiệu các phơng trình của hệ luôn dẫn tới một trờng hợp có x=y

sau đó giải tiếp

Ví dụ 1: Giải các hệ sau

1,

¿

x= y2− y y=x2− x

Ví dụ : Giải các phơng trình sau

b, lấy hiệu các phơng trình để chứng minh x=y=z

Ví dụ : Giải các hệ sau

Ví dụ : Giải các hệ sau

1,

¿

6 x2−3 xy+x =1− y

x2 +y2 =1

y +1

x=

7 3

x2 +y2 +xy − 3 x − 4 y +4=0

¿ {

¿

1, Giải hệ khi a=-2

2, Tìm các giá trị của a để hệ có đúng hai nghiệm

(Thi HSG Tỉnh VP năm học 2003-2004)

¿(Thi HSG Tỉnh VP năm học 05-06)

Dấu đẳng thức xảy ra khi a1=a2=…=an

2, Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp –ski

Cho hai dãy số thực a1,a2,…an và b1,b2, …bn Khi đó ta luôn có BĐT đúng

(a1 +a2 +…+an )(b1 +b2 +…+bn ) a1b1+a2b2+ +an b n¿2

¿Dấu của đẳng thức xảy ra khi a1

Cho hai dãy số a1,a2,…an và b1,b2,…bn trong đó các bi (i=1,2,…n) dơng

Khi đó ta luôn có BĐT đúng sau

Đẳng thức xảy ra khi các a1=a2=…=an

4, Bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b

b, Nếu a+b 0 thì ta có BĐT đúng sau :

a3 +b3

a2 +b2

Dấu = khi a=b

d, Nếu a+b 0 thì BĐT sau đây đúng a3+b3 (a+b)ab

Dấu = khi a=b

Ví dụ : Chứng minh các BĐT sau

1, Cho a>1 Chứng minh rằng a

Phơng pháp thứ hai: Sử dụng bất đẳng Bu-nhia-cốp –ski

Ví dụ1: Chứng minh rằng 3(a2+b2+c2) a+b +c¿2

¿ { {

¿Chứng minh a>0,b>0,c>0

Ví dụ3: Cho a,b,c thoả mãn

¿

ab+ac +bc>0 1

Phơng pháp thứ t : Phơng pháp đánh giá đại diện

Ví dụ 1: Cho a,b,c dơng Chứng minh rằng 1< a

a+b+

b b+c+

với n là số tự nhiên lớn hơn 1

Phơng pháp thứ 5: Sử dụng biến đổi tơng đơng

Ví dụ1: Cho a,b dơng CMR 2√ab

√a+√b ≤

4

√ab

Ví dụ 2: Cho ab 0 Chơng minh rằng 1

1+a2+

1

1+b2≥

2 1+ab

Phơng pháp thứ sáu: Sử dụng phơng pháp quy nạp

24 với mọi số tự nhiên n>1

Ví dụ2: Cho x R thoả mãn x+1/x là một số nguyên CM xn+1/xn cũng là số

nguyên với mọi n nguyên

Phơng pháp thứ 7: Sử dụng bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Biết rằng |a+b+c|≤1,|c|≤ 1,|a4+

Phơng pháp thứ 8: Sử dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai

Ví dụ 1: Cho a,b,c dơng thoả mãn các điều kiện a>0, bc=2a2, a+b+c=abc

Bài tập3: Cho a,b,c ( 0,1 )

Bài tập4: Cho a,b,c là các số dơng Hãy chứng minh các

2 bc +

c3 +a3

c a+b ≥

3 2

Bài tập6: Các bài toán liên quan tới các cạnh của tam giác

x+ y (Dâu = khi x=y với đk x,y>0)

Chứng minh các bất đẳng thức sau

Một số bài toán khai thác từ BĐT quen thuộc

xyz ( x+ y − z ) ( y + z − x )( z + x − y ) (x,y,z là 3 cạnh của tam giác) (1)

1, đặt x=b+c;y=c+a ;z=a+b thì BĐT trên trở thành (b+c)(c+a)(a+b) 8 abc (2)2,Nếu x,y,z là các số dơng không là các cạnh của tam giác vẫn CM đợc

(1) đúng nh sau

Với x,y,z dơng thì có thể xảy ra các khả năng

Để ý BĐT (2) nếu đặt S=a+b+c thì ta có (S-a)(S-b)(S-c) 8 abc

Với 3 số dơng a+b; a+c;b+c ta lại có(S+a)(S+b)(S+c)= [(a+b )+(a+ c)][(a+ b)+(b+ c)][(a+ c )+ (b+c )]≥ 64 abc

Nhân 2 BĐT cùng chiều đợc (S2-a2)(S2-b2)(S2-c2) 8 3a2b2c2 Hay (S a22−1)(S b22−1)(S c22−1)≥ 83 (3)

Sử dụng BĐT (3) ta giải đợc 2 bài thi quốc tế sau

Bài1: Cho a,b,c dơng thoả mãn abc=1.C/m

(a+1

b −1)(b+1

c − 1)(c+1

a −1)≤ 1 (IMO năm 2000)HD: Do abc=1 nên tồn tại 3 số x,y,z dơng sao cho a= x

y ;b=

y

z ; c=

z x

Một số bài toán về cực trị

1, Tìm GTNN của biểu thức S= a6

b3 +c3 + b6

c3 +a3 + c6

a3 +b3 trong đó a,b,c dơng thoả mãna+b+c=1

(b2 +c2)2+

c8

(c2 +a2)2 trong đó a,b,c dơng t/m ab+ac+bc=1

6,Tìm GTNN của T= a3

b31+a với a,b dơng t/m ab=1

√a trong đó a,b,c dơng t/m a+b+c 3

8,Gọi x là số lớn nhất trong ba số x,y,z Tìm GTNN của biểu thức

9, Tìm GTNN của L=ab+2ac+bc trong đó a,b,c t/m a2+b2+c2 8

10, Cho a,b,c dơng thoả mãn 2abc+ab+bc+ca 1 Tìm GTLN của

18, Cho x,y dơng thoả mãn x+y=1.Tìm GTNN của A= 1

x3+y3+

1 xy

19, Tìm GTNN của biểu thức T=x4+y4 trong đó x,y là các số thoả mãn

22, Chứng minh bất đẳng thức sau

30, Cho các số dơng a,b,c thoả mãn a+b+c=3.Chứng minh

Ap dụng bất đẳng thức cau chy các bạn chú ý cách làm sau

a3+64b3+c3=(a3+m3+m3)+(64b3+n3+n3)+(c3+m3+m3)-4m3-2n3Theo bất đẳng thức cau chy cho ba số dơng có dấu =xảy ra khi

¿

a=c=m b=n/ 4 a+b +c=3

Tìm Mac(4ab+6ac+8bc)

Bài toán4: Cho các số x,y,z,t không âm thoả mãn x+y+z+t=4

Tìm Min(x3+8y3+8z3+t3)(Các bài toán trên các bạn hãy tự giải chi tiết)

Một số chú ý khi chứng minh bất đẳng thức có điều kiện

1, Thay đk vào biểu thức cần chng minh rồi biến đổi

2, Dùng biện pháp đổi biến

Ví dụ 1: Cho x,y thoả mãn 3x+y=4.Chứng minh bất đẳng thức

2x2+xy+5 9

Ví dụ2: Chứng minh rằng a+b=4 thì a4+b4 32

HD: đặt a=2+m và b=2-m rồi thay vào biểu thức cần chứng minh

Ví dụ 3: Cho x+y+z=3 Chứng minh x2+y2+z2+xy+xz+yz 6

HD: đặt x=1+a; y=1+b; z=1-a-b

Ví dụ 4: Cho a+b+c+d=1.Chứng minh (a+ c) (b+ d )+ 2ac +2 bd ≤1

2

HD: đặt a=1/4+x+z; b=1/4 –x+z; c=1/4 +y-z; d=1/4 –y-z

Ví dụ 5: Cho a+b=c+d.Chứng minh c2+d2+cd 3 ab

HD: đặt c=a+x; d= b-x

Ví dụ6: Cho x<2; x+y>5 Chứng minh 5x2+2y2+8y 62

HD: đặt x=2-t ; y+x=5+k (t,k >0)

Một số bài luyện tập Bài 1: Cho x,y dơng thoả mãn x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức

S= 1

x2 +y2 + 3

4 xy

Bài 2: Cho x+y+z=3 Tìm GTNN của biểuthức T=xy+xz+yz

Bài 3: Cho x+y=3 và x 1 Chứng minh rằng

1, x3+y3 9

2, 2x4+y4 18

Bài 4: Cho a+b+c+d=2.Chứng minh rằng a2+b2+c2+d2 1

Bài 5: Cho a+b 2 Chứng minh rằng a4+b4

a3+b3

Bài tập 6: Cho a+b>8 và b>3.Chứng minh rằng 27a2+10b3>945

Một số ứng dụng của bất đẳng thức cơ bản

Đã biết BĐT quen thuộc sau đây: a 2 k+b 2 k

2 ≥(a+b2 )2 k với a,b là các số thực

và k là số tự nhiên khác không Dấu = khi a=b

(Chứng minh bằng quy nạp)Dới đây là các ví dụ áp dụng:

1,Giải PT: (x+1)6+(x+ √5 ¿6=18 −8√5

2, Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thoả mãn 19

√x2 +y2− x +19√y2− x2

dơng thoả mãn x2+y2+z2 3

6, Tìm GTLN và GTNN của T= √x − x3+√x+x3; x ∈[0 ;1]

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức

b1+b2+ .+b n Trong đó bi>0 (i=1,2, ,n)

2, Nếu đặt bi=ai.ci >0 (i=1,2,…,n) thì bất đẳng thức trên trở thành

b2

c +a+

c2a+b ≥

Trong đó a,b,c dơng thoả mãn a+b+c =1

Dựa vào BĐT Bu nhi-a-cốp ski để tìm

p1+p2+ + pm (ai,pj không âm,không đồng thời =0; m>2,n>1) (e)

Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức (e) cho các BĐT khác.

Sử dụng BĐT Bu-nhia tự giải các bài tập sau

Bài1: Tìm GTNN của biểu thức a

Trong đó a,b,c dơng thoả mãn a+b+c =1

Bài 2: Chứng minh rằng với các số dơng a,b,c thì

Bài3: Biết a,b,c là ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng

1, a

b+c − a+

b c+a −b+

c a+b − c ≥ 3

2, a b+c − a+

b c+a −b+

c a+b − c ≥

Bài5: Tìm GTNN của biểu thức

x+ y+ ztrong đó x,y,z,t không âm và xy+xt+y.z+zt=1

Bài6: tìm GTNN của biểu thức

x +z trongdo√x y +√yz+√xz=1 và x,y,z >0.

Bài 7: Tìm GTNN của S=x4+y4+z4.Biết xy+yz+xz=4

Bài 8: Tìm GTLN của f(x)=3-2x+ √5− x2+4 x

Bài9: Tìm GTNN của biểu thức

F(x,y)= (x+y)2+(x+1)2+(y+3)2

Bài 10, Tìm GTLN của biểu thức f(x)= x

Ví dụ1: Cho x,y là các số không âm và x+y 4

Tìm GTLN của biểu thức S=x2y(4-x-y)

Ví dụ2: Cho x 3 ; y ≥ 2 ; z ≥ 1 Tìm GTLN của biểu thức

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 10: Cho

¿

a , b , c , d >0 a+b +c +d ≤2

Phơng pháp thứ hai: Sử dụng việc đánh giá tham biến

Ví dụ1: Tìm GTNN của S =xyz+2(1+x+y+z+xy+xz+y.z)

Ví dụ1: Tìm Min và Ma.x của T=x2+y2

Với x,y thoả mãn (x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0

Ví dụ2: Cho x,y,z không âm thoả mãn x+y+z=1 Tìm GTLN của

A=-z2+z(y+1)+xy

(Thi HSG Tỉnh VP năm 04-05)

Ví dụ3: Tìm GTNN của f(x)= x2−2 x+2005

Ví dụ4: Cho x,y thoả mãn x+3y=1.Tìm GTNN của S=3x2+y2

Ví dụ 5: Cho x,y >0 thoả mãn x+y=1.Tìm Min của

S= 1

x3 +y3 + 1 xy

Ví dụ6: Cho x,y thoả mãn 8x2+y2+1/4x2=4.Tìm Min của xy?

Ví dụ7: Tìm GTLN của S=2-5x2-y2-4xy+2x

Ví dụ8: Tìm các cặp số (x;y) sao cho yMin thoả mãn

HD: Đa về PT bậc hai ẩn x dựa vào đk có nghiệm để tìm

Ví dụ2: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức y= 4 x +1

1, Nếu a=0 thì g(x)=bx+c cùng dấu c khi b=0 và g(x)=0 khi c=0

2, Nếu a>0 thì g(x) 0 ; ∀ x ∈ Rkhi Δ≤ 0 và g(x)=0 khi Δ=0

3, Nếu a<0 thì g(x) 0 ; ∀ x ∈ Rkhi Δ≤ 0 vàg(x)=0 khi Δ=0

Ap dụng: Tìm Min và Mác của các biểu thức sau

Bài6: Tìm GTLN và GTNN của y= 3 y2− 4 xy

x2 +y2 với x2+y2 0

Bài7: Tìm GTLN và GTNN của A=2 √x+3

2√1 − x+

7 2

Một số chú ý khi giải các bài toán

có biểu thức bậc hai của hai biến số

Bài1:Tìm GTLN của F=-5x2-2xy-2y2+14x+10y-1

x =1 y=2

Bài4: Giải hệ

¿

x2−6 y2− xy − 2 x +11 y=3

x2 +y2 =5

¿ {

¿ HD: Biến đổi PT thứ nhất đợc (2x—6y+2)(2x+4y-6)=0

Bài5: Tìm cặp số (x,y) thoả mãn x2+5y2+2y-4xy-3=0

HD: Viết thành (x-2y)2+(y+1)2=4 => (y+1)2 4⇔−3 ≤ y ≤ 1⇒ ymin=−3

Thay vào có x=6

Bài6: cho x,y liên hệ với nhau bởi biểu thức

x2+2xy+7(x+y)+2y2+10=0Tìm Min& Mác của S=x+y+1?

HD: Viết biểu thức thành (2x+2y+7)2+4y2=9

2, Cho x,y,z thoả mãn x+y+z=6 Tìm GTLN của biểu thức M=xy+2yz+3zx

3, Chứng tỏ không có số thực (x,y) nào thoả mãn

x2+3y2+20=2x(y+1)+10y

4, Tìm Min & Mác của S=x+y trong đó x,y thoả mãn

3x2+y2+2xy+4=7x+3y

5, Tìm nghiệm nguyên của PT x2+xy+y2=2x+y

6, Chứng tỏ hệ sau có nghiệm duy nhất

Ví dụ1: Tìm Min &mác của xy ? biết x,y là nghiệm của PT

x4+y4-3=xy(1-2xy) HD: Viết xy+3=(x2+y2)2 4 (xy )2⇒ −3

4 ≤ xy ≤ 1

Ví dụ2: Các số dơng x,y,z thoả mãn xyz x+ y+ z+2

Tìm Min của S=x+y+z ?HD: Viết (x+y+z)3

(3√3xyz)3=27 xyz ≥ 27 ( x+ y + z +2)⇔ S ≥ 6

Ví dụ3: Cho các số thực x,y,z thoả mãn

x2+2y2+2x2z2+y2z2+3x2y2z2=9 Tìm Min & Mác của A=xyz ?HD: viết (x2+y2z2)+2(y2+x2z2)+3x2y2z2=9.Theo cau chy có

2 |A| + 4 |A| +3 A2≤ 9 ⇔|A|≤1

Ví dụ4: Cho x,y,z là các số thực thoả mãn x4+y4+x2-3=2y2(1-x2)

Tìm Min & Mác của S=x2+y2+ 1

GTLN xyz=1/8)

Bài2: Cho các số dơng x,y,z thoả mãn (x+y+z)3+x2+y2+z2+4=29xyz

Tìm GTNN của xyz ? (ĐS : GTNN xyz =8)

Bài3: Tìm GTNN & GTLN của biểu thức S=x2+y2.Biết x,y là nghiệm của PT

5x2+8xy+5y2=36 (ĐS: Min S=4; Mac S=36)

Bài4: Cho x,y là các số thực thoả mãn

Sau đó thay lần lợt các ci vào để tính bi

Ví dụ1: Tìm một đa thức bậc hai biết P(0)=19;P(1)=5; P(2)=1995

HD: Đặt P(x)=c+b(x-0)+a(x-0)(x-1).Với x=0 thì c=19,với x=1 thì b=-14

Với x=2 thì a=1002 Nh vậy P(x)=1002x2-1016x+19

Ví dụ2: Tìm một đa thức bậc 3 biết P(0)=10;P(1)=12;P(2)=4;P(3)=1

HD: Đặt P(x)=d+cx+bx(x-1)+a.x(x-1)(x-2)Cho x=0 thì d=10; cho x=1 thì c=2;cho x=2 thì b=-5;cho x=3 thì a=2,5

Ví dụ3: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết khi chia P(x) cho (x-1);(x-2);(x-3)

đều có số d là 6 và P(-1)=-18HD: Theo Bơ-zu thì P(1)=P(2)=P(3)=6

… P(n)-P(n-1)=n(n+1)(2n+1)Cộng theo vế các đẳng thức trên có P(n)-P(0)=1.2.3+2.3.5+…+n(n+1)(2n+1)

HD :đặt f(x)-f(x-1)=g(x) thì bài này ta chọn g(x)=x.Vây f(x) là đa thức bậc hai viết

f(x)=a.x2+bx+c Lu ý f(0)=c dẫn tới a=1/2=b còn c tuỳ ýVây f(x)=1/2x2+1/2x+c thay x=1,2,3,…,n suy ra đợc S=f(n)-f(0)=n(n+1)/2

Ví dụ2 :Tính tổng S=1+3+5+…+(2n-1)HD: đặt f(x)-f(x-1)=g(x)=2x-1

Ví dụ 6: Tính tổng sau:

A= (x −a )( x −b )

(c −a )( c −b )+

( x − b) (x −c ) (a − b) (a −c )+

( x −c ) ( x − a) (b −c ) (b −a )

B= ( x − a) ( x − b) ( x − c )

(d − a) (d − b) (d −c )+

( x − b) ( x − c )( x −d ) (a −b )(a − c )( a− d )+

( x −d ) ( x − a) ( x − b) ( c − d )(c −a )( c −b )

ĐS: A=B=1

Ví dụ7: Tìm đa thức bậc ba biết P(0)=2;P(1)=9;P(2)=19; P(3)=95.

Phơng pháp đa thức phụ dùng để tính biểu thức có liên quan tới đa thức và xác định đa thức

Ví dụ: Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn