Tai lieu on chuyen va HSG toan 9

[r]

PHAN I: ĐAI SOTính giá trị của biểu thức

Phần 2 : Biểu thức đợc tính qua biểu thức khác

Bài tập 1 : Cho các số a,b thoả mãn các hệ thức a2+b2 = 1 và a3+b3 = 1 Tính

Bài tập 6: Cho a,b,c,x,y,z là các số dơng thoả mãn x+y+z = a; x2+y2+z2 = b;

a2 =b +4010 Tính giá trị của biểu thức

2 +

1 −√3

2

1 −√1 −√3

2

¿ {

¿

H·y tÝnh P=a2005+b2005+c2005

Phơng trình cơ bản –cách giải

Phần1: Phơng trình bậc hai một ẩn a.x2+b.x+c=0 (a 0 )

1, Công thức nghiệm (SGK-Trang … tập 2 NXB GD 2005)

2, một số dạng điển hình

Dạng thứ nhất : Liên quan tới Δ =b2-4ac…

Bài tập 1: Tìm tất cả các số aZ để PT 2x2-(4a+5.5)x +4a2+7=0

Bài tập2: Cho a,b là các số thoả mãn a2003+b2003=2a1001b1001 CMR

Phơng trình x2+2x+ab=0 có hai nghiệm hữu tỷ

Dạng thứ hai : Liên quan tới hệ thức vi –ét

1, CMR phơng trình có hai nghiệm trái dấu

2, Gọi x1 là nghiệm âm của PT TínhGT của biểu thức P=x1+

√x18 +10 x1+13

Bài tập 3: Cho PT x2-2x-1 =0 có hai nghiệm x1,,x2 (x2<0)

Tính GT của các biẻu thức sau A=x1 +2x2 +3x1 +8x2—8

Bài tập 6: Cho PT bậc hai ẩn x : x2+2(m-2)x-m2-4m+5= 0

1, Xác định m để PT có2 nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

2,Xác định các GT của m để PT có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn điều kiện

x1¿

2 + ¿

Bài tập 6: Xác định m để PT 2x2+2mx+m2-2=0 có hai nghiệm

Gọi x1,x2 là hai nghiệm của PT Tìm GTLN của A=2x1x2+x1+x2+4

Bài tập 7: Gọi x1,x2 là nghiệm của PT x 2-(2m-3)x+1-m = 0 Tìm m để biểu thức A=x1 +x2 +3x1x2(x1+x2) đạt GTLN

Bài tập 11 : Cho a,b là hai nghiệm của PT x2-x-1=0 CMR

P= a+b+a3+b3 ; Q=a2+b2+a4+b4 và R=a2001+b2001+a2003+b2003 là những số chia

hết cho 5

Một số bài luyện tập Bài tập 11: Tìm trên đờng thẳng y=x+1 các điểm có toạ độ hoả mãn

y2-3y √x+2 x=0

Bài tập 12: Giả sử PT x2+a.x+b+1=0 có hai nghiệm x1,x2 CMR a2+b2 là

hợp số

Tập Bài 13 : Cho hai PT x2-(2m-3)x+6=0 và 2x2+x+m-5=0 Xác định m để

hai PT có đúng một nghiệm chung

Bài 14: Tìm mđể hai PT x2+x-2+m=0 và x2+(m-2)x+8=0 có nghiệm chung

Dạng 6: a.X +bY =c trong đó XY=k không đổi

Phơng pháp giải : đặt x=t0 đa về PT bậc hai ẩn t

√A(x )=m với x2+A(x)2=k không đổi

Phơng pháp giải : đặt A(x) =y đa về hệ x2+y2=k và 1

Dạng1: Dạng cơ bản

1, √A=B ⇔ A=B2 và B0

2, √A=√B ⇔ A=B ≥ 0

3, √A +√B=√C ⇔ A+B+2√AB=C và A0 với B 0

Ví dụ : giải các phơng trình sau đây

1, √2 x2− 5 x +7=3 x+ 7

2, √3 x2−2 x − 4=√3 x −1

3, √2 x +5+√7 −3 x=√2 x +1

Dạng 2: Biến đổi về dạng A2=B2 hoặc làm xuất hiện thừa số chung để đa về

Ví dụ : giải các phơng trình sau

Dạng 6: Chứng minh phơng trình có nghiệm duy nhất

Phơng pháp giải : Dùng biện pháp nhân liên hợp

Ví dụ : Giải các phơng trình sau

phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối

phơng pháp giải phơng pháp 1: Lập bảng khử dấu giá trị tuệt đối

Ví dụ : Giải các phơng trình sau

1, 2x-1+2x-5=4

2, x2-x+2x-4=3

phơng pháp 2: Biến đổi tơng đơng

1, A=B  B0 và A=B hoặc B0 và A=-B

2, A=BA=B hoặc A=-B

Ví dụ : Giải các phơng trình sau

VÝ dô : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau

C©u3: NÕu a,b,c tho¶ m·n ab+ac+bc=1 vµ 1

√a4

+a+ 1− a2 , biÕt a lµ nghiÖm d¬ngcña ph¬ng tr×nh 4x2+ √2 x −√2 =0

C©u2: Gäi x1,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : x 2-x-1=0

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A=x1 +x2 +13x2

¿ {

¿Mét sè chó ý khi gi¶i hÖ nµy H·y tham kh¶o qua vÝ dô sau

6, Dựa vào định nghĩa nghiệm của hệ ta có thể thêm vào hệ ở phần đầu

Một số bài toán tham khảo Bài toán 1: Giải và biện luận hệ

¿

mx+2 y=2 m x+ y =3

có nghiệm thoả mãn x>0, y>0

Bài toán 3: Cho hệ

1, Tìm các số nguyên m để hệ có nghiêm x,y nguyên

2, tìm m sao cho hệ có nghiệm thoả mãn x2+y2=0.25

Bài toán4: Giải hệ

Phần thứ hai : Phơng trình đối xứng kiểu 1

Phơng pháp giải : đặt s=x+y và xy=p (đk : s2-4p 0 )

tìm s,p sau đó tìm x,y dựa vào Vi-ét đảo

Ví dụ 1: Giải hệ

¿

x+ y=1 −2 xy

x2 +y2 =1

¿ {

¿

Phơng pháp giải: Lấy hiệu các phơng trình của hệ luôn dẫn tới một trờng

hợp có x=y sau đó giải tiếp

Ví dụ 1: Giải các hệ sau

1,

¿

x= y2− y y=x2− x

b, lấy hiệu các phơng trình để chứng minh x=y=z

Ví dụ : Giải các hệ sau

Ví dụ : Giải các hệ sau

1,

¿

6 x2−3 xy+x =1− y

x2 +y2 =1

y +1

x=

7 3

¿ {

¿

x2 +y2 +yz − xz −2 xy=− 1

¿ { {

¿

√x2 +y2−√x2− y2

1, Giải hệ khi a=-2

2, Tìm các giá trị của a để hệ có đúng hai nghiệm

(Thi HSG Tỉnh VP năm học 2003-2004)

12, Giải hệ PT

x (x − y)=2 y2x+ y¿2=y4

Dấu đẳng thức xảy ra khi a1=a2=…=an

2, Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp –ski

Cho hai dãy số thực a1,a2,…an và b1,b2, …bn Khi đó ta luôn có BĐT đúng

(a1 +a2 +…+an )(b1 +b2 +…+bn ) a1b1+a2b2+ +an b n¿2

¿Dấu của đẳng thức xảy ra khi a1

Cho hai dãy số a1,a2,…an và b1,b2,…bn trong đó các bi (i=1,2,…n) dơng

Khi đó ta luôn có BĐT đúng sau

Đẳng thức xảy ra khi các a1=a2=…=an

4, Bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối

Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b

b, Nếu a+b 0 thì ta có BĐT đúng sau :

Dấu = khi a=b

d, Nếu a+b 0 thì BĐT sau đây đúng a3+b3 (a+b)ab

Dấu = khi a=b

Phơng pháp thứ nhất :Sử dụng BĐT cau chy

Ví dụ : Chứng minh các BĐT sau

1, Cho a>1 Chứng minh rằng a

Ví dụ1: Chứng minh rằng 3(a2+b2+c2) a+b +c¿2

¿ { {

¿Chứng minh a>0,b>0,c>0

Ví dụ3: Cho a,b,c thoả mãn

¿

ab+ac +bc>0 1

Phơng pháp thứ t : Phơng pháp đánh giá đại diện

Ví dụ 1: Cho a,b,c dơng Chứng minh rằng 1< a

a+b+

b b+c+

với n là số tự nhiên lớn hơn 1

Phơng pháp thứ 5: Sử dụng biến đổi tơng đơng

Ví dụ1: Cho a,b dơng CMR 2√ab

Phơng pháp thứ sáu: Sử dụng phơng pháp quy nạp

Ví dụ2: Cho x R thoả mãn x+1/x là một số nguyên CM xn+1/xn

cũng là số nguyên với mọi n nguyên

Phơng pháp thứ 7: Sử dụng bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Biết rằng |a+b+c|≤1,|c|≤ 1,|a4+

Phơng pháp thứ 8: Sử dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai

Ví dụ 1: Cho a,b,c dơng thoả mãn các điều kiện a>0, bc=2a2, a+b+c=abc

Bài tập3: Cho a,b,c ( 0,1 )

Bài tập4: Cho a,b,c là các số dơng Hãy chứng minh các

2 bc +

c3 +a3

c a+b ≥

3 2

Bài tập6: Các bài toán liên quan tới các cạnh của tam giác

x+ y (Dâu = khi x=y với đk x,y>0)

Chứng minh các bất đẳng thức sau

Một số bài toán khai thác từ BĐT quen thuộc

xyz (x+ y − z) (y +z− x)(z +x − y) (x,y,z là 3 cạnh của tam giác) (1)

1, đặt x=b+c;y=c+a ;z=a+b thì BĐT trên trở thành (b+c)(c+a)(a+b) 8 abc (2)2,Nếu x,y,z là các số dơng không là các cạnh của tam giác vẫn CM đợc

Để ý BĐT (2) nếu đặt S=a+b+c thì ta có (S-a)(S-b)(S-c) 8 abc

Với 3 số dơng a+b; a+c;b+c ta lại có(S+a)(S+b)(S+c)= [(a+b )+(a+ c)][(a+ b)+(b+ c)][(a+ c )+ (b+c )]≥ 64 abc

Nhân 2 BĐT cùng chiều đợc (S2-a2)(S2-b2)(S2-c2) 83a2b2c2 Hay (S a22−1)(S b22−1)(S c22−1)≥ 83 (3)

Sử dụng BĐT (3) ta giải đợc 2 bài thi quốc tế sau

Bài1: Cho a,b,c dơng thoả mãn abc=1.C/m

(a+1

b −1)(b+1

c − 1)(c+1

a −1)≤ 1 (IMO năm 2000)HD: Do abc=1 nên tồn tại 3 số x,y,z dơng sao cho a= x

y ;b=

y

z ; c=

z x

b

√b2 +8 ca; z=

c

√c2 + 8 ab ta có x,y,z >0 và

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x+y+z 1 Theo đặt có

(x12− 1)(y12− 1)(z12−1)>(S x22−1)(S y22−1)(S z22−1)≥ 83

mâu thuẫnVây S=x+y+z 1 (đpcm)

áp dụng : Cho a,b,c dơng và 1

Một số bài toán về cực trị

1, Tìm GTNN của biểu thức S= a6

b3 +c3 + b6

c3 +a3 + c6

a3 +b3 trong đó a,b,c dơngthoả mãn a+b+c=1

b8

(b2 +c2)2+

c8

(c2 +a2)2 trong đó a,b,c dơng t/mab+ac+bc=1

6,Tìm GTNN của T= a3

b31+a với a,b dơng t/m ab=1

√a trong đó a,b,c dơng t/m a+b+c 3

8,Gọi x là số lớn nhất trong ba số x,y,z Tìm GTNN của biểu thức

9, Tìm GTNN của L=ab+2ac+bc trong đó a,b,c t/m a2+b2+c2 8

10, Cho a,b,c dơng thoả mãn 2abc+ab+bc+ca 1 Tìm GTLN của

19, Tìm GTNN của biểu thức T=x4+y4 trong đó x,y là các số thoả mãn

22, Chứng minh bất đẳng thức sau

29, Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số dơng thì

30, Cho các số dơng a,b,c thoả mãn a+b+c=3.Chứng minh

a 1+b2+

b 1+c2+

c 1+a2≥

3 2

một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức cau chy Bài toán 1: Cho a,b,c không âm thoả mãn a+b+c=3 Tìm

1, Min(a3+b3+c3)

2,Min(a3+64b3+c3)

3, Mac ( 3

√ab+√3ac+√3bc ) 4,Mac( √ab+2√ac+√bc ¿

Ap dụng bất đẳng thức cau chy các bạn chú ý cách làm sau

a3+64b3+c3=(a3+m3+m3)+(64b3+n3+n3)+(c3+m3+m3)-4m3-2n3

Theo bất đẳng thức cau chy cho ba số dơng có dấu =xảy ra khi

¿

a=c=m b=n/ 4 a+b +c=3

Một số chú ý khi chứng minh bất đẳng thức có điều

kiện

1, Thay đk vào biểu thức cần chng minh rồi biến đổi

2, Dùng biện pháp đổi biến

Ví dụ 1: Cho x,y thoả mãn 3x+y=4.Chứng minh bất đẳng thức

2x2+xy+5 9

Ví dụ2: Chứng minh rằng a+b=4 thì a4+b4 32

HD: đặt a=2+m và b=2-m rồi thay vào biểu thức cần chứng minh

Ví dụ 3: Cho x+y+z=3 Chứng minh x2+y2+z2+xy+xz+yz 6

HD: đặt x=1+a; y=1+b; z=1-a-b

Ví dụ 4: Cho a+b+c+d=1.Chứng minh (a+ c) (b+ d )+ 2ac +2 bd ≤1

2

HD: đặt a=1/4+x+z; b=1/4 –x+z; c=1/4 +y-z; d=1/4 –y-z

Ví dụ 5: Cho a+b=c+d.Chứng minh c2+d2+cd 3 ab

HD: đặt c=a+x; d= b-x

Ví dụ6: Cho x<2; x+y>5 Chứng minh 5x2+2y2+8y 62

HD: đặt x=2-t ; y+x=5+k (t,k >0)

Một số bài luyện tập Bài 1: Cho x,y dơng thoả mãn x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức

S= 1

x2+y2+

3

4 xy

Bài 2: Cho x+y+z=3 Tìm GTNN của biểuthức T=xy+xz+yz

Bài 3: Cho x+y=3 và x 1 Chứng minh rằng

1, x3+y3 9

2, 2x4+y4 18

Bài 4: Cho a+b+c+d=2.Chứng minh rằng a2+b2+c2+d2 1

Bài 5: Cho a+b 2 Chứng minh rằng a4+b4

a3+b3

Bài tập 6: Cho a+b>8 và b>3.Chứng minh rằng 27a2+10b3>945

Một số ứng dụng của bất đẳng thức cơ bản

Đã biết BĐT quen thuộc sau đây: a 2 k+b 2 k

2 ≥(a+b2 )2 k với a,b là các số thực

và k là số tự nhiên khác không Dấu = khi a=b

(Chứng minh bằng quy nạp)Dới đây là các ví dụ áp dụng:

dơng thoả mãn x2+y2+z2 3

6, Tìm GTLN và GTNN của T= √x − x3

+√x+x3; x ∈[0 ;1]

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức

b1+b2+ .+bn Trong đó bi>0 (i=1,2, ,n)

2, Nếu đặt bi=ai.ci >0 (i=1,2,…,n) thì bất đẳng thức trên trở thành

b2

c +a+

c2a+b ≥

Trong đó a,b,c dơng thoả mãn a+b+c =1

Dựa vào BĐT Bu nhi-a-cốp ski để tìm

một BĐT tổng quát

Xuất phát từ BĐT sau.Với a,b,c dơng ta có

a2b+c+

b2a+c+

c2a+b ≥

2, Nhìn BĐT (a) dới dạng

a2b+c+

b2

c +a+

c2a+b ≥

a 2− 1+b 2 −1+c 2 −1

2 ta nghĩ tới BĐT sau

p1+p2+ + p m (ai,pj không âm,không đồng thời =0; m>2,n>1) (e)

Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức (e) cho các BĐT khác.

Sử dụng BĐT Bu-nhia tự giải các bài tập sau

Bài1: Tìm GTNN của biểu thức a

Trong đó a,b,c dơng thoả mãn a+b+c =1

Bài 2: Chứng minh rằng với các số dơng a,b,c thì

c a+b − c ≥ 3

2, a b+c − a+

b c+a −b+

c a+b − c ≥

Bài5: Tìm GTNN của biểu thức

x +ztrongdo√x y +√yz+√xz=1 và x,y,z >0.

Bài 7: Tìm GTNN của S=x4+y4+z4.Biết xy+yz+xz=4

Bài 8: Tìm GTLN của f(x)=3-2x+ √5− x2+4 x

Bài9: Tìm GTNN của biểu thức

F(x,y)= (x+y)2+(x+1)2+(y+3)2

Bài 10, Tìm GTLN của biểu thức f(x)= x

2+√1 − x −2 x2

Bµi 11, T×m GTNN cña f(x)= 3 x

2 −√3+2 x − x2

Mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ cña biÓu thøc

Ph¬ng ph¸p thø nhÊt: Sö dông B§T

VÝ dô1: Cho x,y lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ x+y 4

T×m GTLN cña biÓu thøc S=x2y(4-x-y)

VÝ dô2: Cho x 3 ; y ≥ 2 ; z ≥ 1 T×m GTLN cña biÓu thøc

121 2

Ví dụ 10: Cho

¿

a , b , c , d >0 a+b +c +d ≤2

Phơng pháp thứ hai: Sử dụng việc đánh giá tham biến

Ví dụ1: Tìm GTNN của S =xyz+2(1+x+y+z+xy+xz+y.z)

Ví dụ1: Tìm Min và Ma.x của T=x2+y2

Với x,y thoả mãn (x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0

Ví dụ2: Cho x,y,z không âm thoả mãn x+y+z=1 Tìm GTLN của

A=-z2+z(y+1)+xy

(Thi HSG Tỉnh VP năm 04-05)

Ví dụ3: Tìm GTNN của f(x)= x2−2 x+2005

Ví dụ4: Cho x,y thoả mãn x+3y=1.Tìm GTNN của S=3x2+y2

Ví dụ 5: Cho x,y >0 thoả mãn x+y=1.Tìm Min của

S= 1

x3+y3+

1 xy

Ví dụ6: Cho x,y thoả mãn 8x2+y2+1/4x2=4.Tìm Min của xy?

Ví dụ7: Tìm GTLN của S=2-5x2-y2-4xy+2x

Ví dụ8: Tìm các cặp số (x;y) sao cho yMin thoả mãn

VÝ dô2: T×m GTNN vµ GTLN cña biÓu thøc y= 4 x +1

1, NÕu a=0 th× g(x)=bx+c cïng dÊu c khi b=0 vµ g(x)=0 khi c=0

2, NÕu a>0 th× g(x) 0 ; ∀ x ∈ Rkhi Δ≤ 0 vµ g(x)=0 khi Δ=0

3, NÕu a<0 th× g(x) 0 ; ∀ x ∈ Rkhi Δ≤ 0 vµg(x)=0 khi Δ=0

Ap dông: T×m Min vµ M¸c cña c¸c biÓu thøc sau

Mét sè chó ý khi gi¶i c¸c bµi to¸n

cã biÓu thøc bËc hai cña hai biÕn sè

Bµi1:T×m GTLN cña F=-5x2-2xy-2y2+14x+10y-1

¿ {

Bài 2: Tìm GTNN của biểu thức D=x2+xy+y2-3x-3y+2008

HD: Viết D= 1

4(2 x + y −3)

2 + 3

4( x − 1)

2 +2005 ≥ 2005⇒ Dmin=2005⇔ x= y=1

Bài3: Hãy tìm các GT của x,y để có đảng thức

5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0 HD: Viết biểu thức trở thành (4x+5y+1)2+9(x-1)2=0

Bài4: Giải hệ

¿

x2−6 y2− xy − 2 x +11 y=3

x2 +y2 =5

¿ {

¿ HD: Biến đổi PT thứ nhất đợc (2x—6y+2)(2x+4y-6)=0

Bài5: Tìm cặp số (x,y) thoả mãn x2+5y2+2y-4xy-3=0

HD: Viết thành (x-2y)2+(y+1)2=4 => (y+1)2 4⇔−3 ≤ y≤ 1⇒ ymin=−3

Thay vào có x=6

Bài6: cho x,y liên hệ với nhau bởi biểu thức

x2+2xy+7(x+y)+2y2+10=0Tìm Min& Mác của S=x+y+1?

HD: Viết biểu thức thành (2x+2y+7)2+4y2=9

2, Cho x,y,z thoả mãn x+y+z=6 Tìm GTLN của biểu thức M=xy+2yz+3zx

3, Chứng tỏ không có số thực (x,y) nào thoả mãn

x2+3y2+20=2x(y+1)+10y

4, Tìm Min & Mác của S=x+y trong đó x,y thoả mãn

3x2+y2+2xy+4=7x+3y

5, Tìm nghiệm nguyên của PT x2+xy+y2=2x+y

6, Chứng tỏ hệ sau có nghiệm duy nhất

Ví dụ1: Tìm Min &mác của xy ? biết x,y là nghiệm của PT

x4+y4-3=xy(1-2xy) HD: Viết xy+3=(x2+y2)2 4 (xy )2⇒ −3

4 ≤ xy ≤ 1

Ví dụ2: Các số dơng x,y,z thoả mãn xyz x+ y+ z+2

Tìm Min của S=x+y+z ?HD: Viết (x+y+z)3

(3√3xyz)3=27 xyz ≥ 27 ( x+ y +z +2)⇔ S ≥ 6

Ví dụ3: Cho các số thực x,y,z thoả mãn

x2+2y2+2x2z2+y2z2+3x2y2z2=9 Tìm Min & Mác của A=xyz ?

HD: viết (x2+y2z2)+2(y2+x2z2)+3x2y2z2=9.Theo cau chy có

2 |A| + 4 |A| +3 A2≤ 9 ⇔|A|≤1

Ví dụ4: Cho x,y,z là các số thực thoả mãn x4+y4+x2-3=2y2(1-x2)

Tìm Min & Mác của S=x2+y2+ 1

xyz? (ĐS: GTLN xyz=1/8)

Bài2: Cho các số dơng x,y,z thoả mãn (x+y+z)3+x2+y2+z2+4=29xyz

Tìm GTNN của xyz ? (ĐS : GTNN xyz =8)

Bài3: Tìm GTNN & GTLN của biểu thức S=x2+y2.Biết x,y là nghiệm của PT

5x2+8xy+5y2=36 (ĐS: Min S=4; Mac S=36)

Bài4: Cho x,y là các số thực thoả mãn

(x2+y2)3+4x2+y2+6x+1=0.Tìm GTLN của S=x2+y2 (ĐS: Smac=1)

Bài5: Tìm các số nguyên không âm x,y,z,t thoả mãn biểu thức x2+y2+2z2+t2

đạt GTNN Biết x2-y2+t2=21 và x2+3y2+4z2=101

(ĐS: GTNN=61)

Dùng phơng pháp nội suy Niu- tơn để xác định đa thức

Phơng pháp: Tìm f(x) bậc n cho biết GT của đa thức tại n+1 điểm

Ci(i=1,2,…,n) Đặt f(x)=b0+b1(x-c1)+b2(x-c1)(x-c2)+…+bn(x-c1)…(x-cn)

Sau đó thay lần lợt các ci vào để tính bi

Ví dụ1: Tìm một đa thức bậc hai biết P(0)=19;P(1)=5; P(2)=1995

HD: Đặt P(x)=c+b(x-0)+a(x-0)(x-1).Với x=0 thì c=19,với x=1 thì b=-14

Với x=2 thì a=1002 Nh vậy P(x)=1002x2-1016x+19

Ví dụ2: Tìm một đa thức bậc 3 biết P(0)=10;P(1)=12;P(2)=4;P(3)=1

HD: Đặt P(x)=d+cx+bx(x-1)+a.x(x-1)(x-2)Cho x=0 thì d=10; cho x=1 thì c=2;cho x=2 thì b=-5;cho x=3 thì a=2,5

Ví dụ3: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết khi chia P(x) cho (x-1);(x-2);(x-3)

đều có số d là 6 và P(-1)=-18HD: Theo Bơ-zu thì P(1)=P(2)=P(3)=6

… P(n)-P(n-1)=n(n+1)(2n+1)Cộng theo vế các đẳng thức trên có P(n)-P(0)=1.2.3+2.3.5+…+n(n+1)(2n+1)

Ví dụ2 :Tính tổng S=1+3+5+…+(2n-1)HD: đặt f(x)-f(x-1)=g(x)=2x-1

Ví dụ 6: Tính tổng sau:

A= (x −a )( x −b )

(c −a )( c −b )+

( x − b) (x −c ) (a − b) (a −c )+

( x −c ) ( x − a) (b −c ) (b −a )

B= ( x − a) ( x − b) ( x − c )

(d − a) (d − b) (d −c )+

( x − b) ( x − c )( x −d ) (a −b )(a − c )( a− d )+

( x −d ) ( x − a) ( x − b) ( c − d )(c −a )( c −b )

ĐS: A=B=1

Ví dụ7: Tìm đa thức bậc ba biết P(0)=2;P(1)=9;P(2)=19; P(3)=95.

Phơng pháp đa thức phụ dùng để tính biểu thức có

liên quan tới đa thức và xác định đa thức