De thi thu dai hoc 2012

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời.. khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4..[r]

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - năm 2013( Đề số 2 )

Môn: Toán

( Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I (2.0 điểm): Cho hàm số yx3 3x 1, có đồ thị là (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Đường thẳng (d) qua A(-2, -3) có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,

M, N sao cho diện tích tam giác OMN bằng 1

Câu II (2.0 điểm ) :

1 Giải phương trình: 2

3 4 2sin 2

2 3 2(cotg 1) sin 2

cos

x

x x

x



2 Giải phương trình x3 4x2 5x 6 37x29x 4

Câu III (1.0 điểm ) Tính tích phân:I=

2

3 0

7sin 5cos (sin cos )

dx









Câu IV (1.0 điểm ) Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đề bằng 1, O là trọng tâm của tam giác

ABC I là trung điểm của SO Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.

Câu V (1.0 điểm ) Cho x, y, z là ba số dương thỏa xyz = 1 Chứng minh rằng

PHầN RIÊNG (Thí sinh được chọn một trong hai phần, không bắt buộc chọn phần nào cả)

A Theo chương trình chuẩn.

Câu VIa (2.0 điểm):

1) Lập phương trình các cạnh tam giác ABC nếu biết B(2, -1), đường cao và đường phân giác qua hai đỉnh A và C lần lượt là 3x – 4y + 27 = 0 và x + 2y – 5 = 0

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: (P): 2x  2y + z  2 = 0; (d):

 Viết phương trình mặt cầu có tâm

thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và cắt mặt phẳng (P) theo giao

tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3

Câu VIIa (1.0 điểm): (1 điểm):Tìm số phức z thoả mãn : z 2 i 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị

B.Theo chương trình nâng cao.

Câu VIb (2.0 điểm):

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho đường thẳng d:x-y+1=0 và đường tròn (C):x2+y2+2x-4y=0 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó kẻ được 2 đường thẳng tiếp xúc với (C ) tại A,B sao cho AMB 600

2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

:

và điểm M(0, -2, 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4.

Câu VIIb (1.0 điểm): Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức 2z + 3 – i, biết rằng

2

3z i z z  9

ĐÁP ÁN Câu I

1) Tự giải

2) đường thẳng (d): y = m(x + 2) – 3

+ Pthđgđ giữa (C) và (d): (x2)(x2 2x 1 m) 0  (x2) ( ) 0 (1)g x 

+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi g(x) có 2 nghiệm phân biệt khác -2

9 ( 2) 0

m m

g

 



+ AB (x2  x m x1 , ( 2  x1 ))

, x1, x2 là nghiệm phương trình g(x) + AB (x2  x1 )2m x2( 2  x1 )2  (m2 1)(x2  x1 )2  (m2 1)4m

( , )

1

m

m





+

1 1

2

2

OAB

m

m









Kết hợp (1) và (2) ta có

1

2

m m









 thỏa yêu cầu bài toán

Câu II

1) Đk: x k 2





Phương trình đã cho tương đương với:

2

2

4

sin 2 2(sin cos )

sin cos

x





3 1

tg

x







   

KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : x 6 k2

 

; kZ

2 (1,0 điểm) Giải phương trình x3 4x2 5x 6 37x29x 4

Giải Đặt y37x29x 4, ta có hệ :

   

3 3







Xét hàm số : f t   t3 t, là hàm đơn điệu tăng Từ phương trình

      3 2

5

2

x

x







 



Câu III

;

; đặt x=2 t





chứng minh được I1=I2

Tính I1+I2=  

1 tan( ) 2 1

4

x







I1=I2=

1

2  I= 7I 1 -5I 2=1

Câu IV)Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đề bằng 1, O là trọng tâm của tam giác ABC I là trung điểm của SO Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.

Lời giải

1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O là gốc tọa độ AOx, SOz, BC//Oy



3 ;0;0

3

A 

3; 1;0

B   

3 1; ;0

6 2

C  

6 0;0 3

S 

6 0;0;

6

I 

Ta có: BC  (0;1;0);

3 1; ; 6

IC   



;

 

 Phương trình mặt phẳng (IBC) là:

Hay:

6

6

z

mà ta lại có:

.

Phương trình đường thẳng SA:

3

x t y  z t

.

+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

3

6

6

y

x z







 











x

Thay (1), (2), (3) và (4):

 M nằm trên đoạn SA và

1 4

SM

SA 

SBCM SABC

V V

.

Câu V) Cho x, y, z là ba số dương thỏa xyz = 1 Chứng minh rằng

Giải:

3

Câu VIa

1) Lập phương trình các cạnh tam giác ABC nếu biết B(2, -1), đường cao và đường phân giác qua hai đỉnh A và C lần lượt là 3x – 4y + 27 = 0 và x + 2y – 5 = 0

Giải

+ Gọi AH là đường cao qua A và CL là phân giác góc C

+ Phương trình đường thẳng BC: 4x + 3y – 5 = 0

+ Tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình

( 1,3)

C







+ Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua CL  B'(4,3) B'AC

+ phương trình AC: y = 3

+ A AH AC   A( 5,3) Phương trình AB: 4x + 7y – 1 = 0.

2) Gọi I là tâm mặt cầu Vì I( )d  I t( , 1  t,3 3 ) t

+

8 2

4 3

t t

t





+ Với t=8 ta có tâm I1(-8, 7, 26); Với t = -4 ta có tâm I2(4, -5, -10)

+ Gọi r = 3 là bán kính đường tròn giao tuyến, R là bán kính mặt cầu, ta có: R2 r2IH2 13

+ Pt mặt cầu (x8)2(y 7)2(z 26)2 13 à (v x 4)2(y5)2(z10)2 13

Câu VII a

Gọi số phức z=a+bi

Theo bài ra ta có:

   2  2





v

Vậy số phức cần tìm là: z=2 2+( 1 2)i; z= z=2 2+( 1 2)i

Câu VI b

1)

+ Đường tròn (C) có tâm I(-1, 2), bán kính R 5

+ Vì AMB 600 AMI 30 0 Xét tam giác MAI có:   2 5

sin

AI MI

AMI

+ Vì M thuộc (d) nên M(t, 1+t)

+ MI = 2 5

  



2

t

2) Giả sử n( , , )a b c



là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0

Đường thẳng  đi qua điểm A(1, 3, 0) và có véc tơ chỉ phương u (1,1,4)



/ /( )

5

P

d A P





 

Thế b = -a – 4c vào (2) ta có:

2

a c

a c







 



Với 4

a

c  , chọn a = 4, c = 1 b 8 Phương trình mp(P): 4x – 8y + z – 16 = 0 Với 2

a

c  , chọn a = 2, c = -1 b 2 Phương trình mp(P): 2x + 2y - z + 4 = 0 Câu VII b