Bài giảng toán cao cấp a2 (giải tích) chương 1 phép tính vi phân hàm một biến

GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2Mục tiêu của môn học: Học phần Toán cao cấp A2 trang bị cho sinh viên một hệ thống kiến thức vềgiới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân hàm số của một và nh

GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2

Mục tiêu của môn học:

Học phần Toán cao cấp A2 trang bị cho sinh viên một hệ thống kiến thức vềgiới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân hàm số của một và nhiều biến số thực(2, 3 biến); nguyên hàm, tích phân xác định và tích phân suy rộng loại 1, loại

2 của hàm số một biến số; chuỗi số, chuỗi luỹ thừa Ứng dụng vào các lĩnhvực khoa học – công nghệ, đồng thời môn học là công cụ cho các môn Toánchuyên ngành trong kỹ thuật – công nghệ

GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2

Nội dung tóm tắt môn học:

Môn học này sẽ triển khai với nội dung liên quan đến ứng dụng toán: Họcphần Toán cao cấp A2 giới thiệu một số dạng bài toán như phép tính vi phânhàm một biến và hàm nhiều biến, phép tính tích phân hàm một biến, lý

thuyết về chuỗi số Tập trung vào phương pháp giải một số bài toán liênquan

GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2

Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học:

Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần Sinh viên tải về,

in ra và mang theo khi học online Điểm tổng kết môn học được đánh giáxuyên suốt quá trình học

Làm các bài kiểm tra cuối mỗi chương: 20%

Kiểm tra giữa kỳ: 20%

Thi cuối kỳ: 60%

GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2

GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2

Giáo trình chính, bắt buộc:

1 Lê Thị Nhẫn, Bùi Hùng Vương, 2016, Bài giảng Toán cao cấp 2, Đại Học Nguyễn Tất Thành, Lưu hành nội bộ.

Tài liệu/ giáo trình tham khảo khác:

2 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2007, Toán học cao cấp (tập 2), NXBGD.

3 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2007, Bài tập Toán cao cấp (tập 2), NXBGD.

4 Lê Sĩ Đồng, 2006, Toán cao cấp –Giải tích hàm một biến, NXBGD.

5 Gilbert Strang, 2017, Calculus - 3e, Wellesley- Cambridge.

CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

1.1 Hàm số sơ cấp

Định nghĩa

Cho X,Y khác rỗng Ánh xạ f : X → Y với x 7→ y = f(x) là một hàm

số Khi đó:

Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X

Miền giá trị (MGT) của f là: G = {y = f(x)|x ∈ X}

Hàm số f(x) được gọi là hàm chẵn nếu: f(−x) = f(x), ∀x ∈Df.Hàm số f(x) được gọi là hàm lẻ nếu: f(−x) = −f(x), ∀x ∈Df

1.1 Hàm số sơ cấp

Nhận xét:

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung

Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ

1.2.1 Định nghĩa và các giới hạn cơ bản

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trong một khoảng chứa x0 (có thể trừđiểm x0) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là L khi dần về x0 nếu vớimọi e > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x thỏa 0 < |x −x0| < δ thì

|f(x) −L| < e Kí hiệu f(x) → L khi x → x0 hoặc

lim

x → x 0f(x) =LCác giới hạn cơ bản (xem giáo trình [1] trang 2-5)

1.2.3 Các dạng vô định (xem giáo trình [1] trang 7-11)

Dạng 00; Dạng ∞

∞; Dạng ∞−∞; Dạng 0.∞

Dạng 00 và ∞0

Đưa về dạng0.∞ bằng cách dùng công thức y = elny (y > 0) Khi đó, nếu

lim(lny) = a thì limy = ea.

2 Đưa về dạng 0.∞ bằng cách dùng công thức y = elny (y > 0) Khi đó, nếu

lim(lny) = a thì limy =ea

Các phương pháp khử dạng 00

Phương pháp 1

Đối với đa thức: Phân tích đa thức thành nhân tử

Biểu thức chứa căn: Nhân lượng liên hợp

Hàm lượng giác: Sử dụng các công thức giới hạn cơ bản

= 12

Xem bài giảng tại kênh Youtube

https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc

1.3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ - VÔ CÙNG LỚN

1.3.1 Đại lượng vô cùng bé

Định nghĩa: Hàm sốf(x)được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) khix → x0

x2 = lim

x → 0

2sin2x2

4(x

2)

2 = 12

x → 0

1−cosx +x +tan2x

3x +x4

1.3.2 Đại lượng vô cùng lớn

Định nghĩa: Hàm sốf(x)được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) khix → x0

Nếu k = 0, ta nói f(x) là VCL cấp thấp hơn g(x)

Nếu k = ∞, ta nói f(x) là VCL cấp cao hơn g(x)

x 3 = ∞

Xem bài giảng tại kênh Youtube

https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc

1.4.1 Định nghĩa hàm số liên tục

Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu lim

x → x 0f(x) = f(x0), (f(x) xđ tại x0).Hàm số liên tục trên X nếu f(x) liên tục tại mọi điểm x0 ∈X

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu

Hàm số f(x) xác định trên (a,b), được gọi là liên tục trên (a,b) nếu hàm

số liên tục tại mọi điểm x0 ∈ (a,b) Nếu y = f(x) xác định trên, [a,b]

thì được gọi là liên tục trên [a,b], nếu liên tục trên (a,b), liên tục phải tại

a và liên tục trái tại b

1.4.2 Định lý

Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại x0 là hàm số liên tụctại x0

Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó

Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạnđó

1.4.4 Phân loại điểm gián đoạn

Nếu hàm f(x) không liên tục tại x0 thì x0 được gọi là điểm gián đọan của

f(x) Nếu tồn tại các giới hạn:

Xem bài giảng tại kênh Youtube

https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc

CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

1.5.1 Đạo hàm

Các định nghĩa: Cho x0 ∈ (a;b) và hàm số y = f(x) xác định trên (a;b)

1 Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của tỷ số f ( x )− f ( x 0 )

x − x 0 khi x dần đến x0, thì giớihạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0

1.5.1 Đạo hàm

3 Nếu f(x) có đạo hàm tại mọi x ∈ (a,b) thì f(x) được gọi là có đạo hàmtrong khoảng (a,b) Khi đó hàm số f0 : (a,b) → R được gọi là đạo hàmcủa hàm f

1.5.2 Đạo hàm của hàm chứa tham số

Giả sử hàm số y = f(x) phụ thuộc biến x thông qua biến trung gian t, với

1.5.3 Hàm ẩn

1 Nếu hàm số y = f(x) thỏa mãn phương trìnhF(x,y) = 0 với

∀x ∈ (a,b) thì ta nói f(x) là hàm ẩn cho bởi phương trình F(x,y) = 0

1.5.4 Đạo hàm của biểu thức lũy thừa [ f ] g, g = g(x), f = f (x)

1 B1: lny = ln[f]g = g lnf

2 B2: y0

y = g0lnf +gf

0 f

Xem bài giảng tại kênh Youtube

3 Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a,b) và khả vi tại x0 ∈ (a,b) Giả

sử δx là số gia của x tại x0 Khi đó tích f0(x0)δx được gọi là vi phân củahàm số y =f(x) tại x0 ứng với số gia δx, kí hiệu dy(x0) hay df(x0).Như vậy dy (x0) = df (x0) =f0(x0)∆x

4 Cho hàm số y = f(x) xác định và khả vi trên (a,b) Khi đó tích f0(x)δx

được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) trên (a,b), kí hiệu dy hay df

hay df(x) Vậy dy = df = df(x) = f0(x)∆x

1.6.2 Các quy tắc tính vi phân

Vi phân của hàm hợp

Cho z = g(y) khả vi tại y và y = f(x) khả vi tại x Khi đó

dz = g0(y)dy = g0(y)f0(x)dx = g0(f(x))f0(x)dx

1.6.4 Ứng dụng của phép tính vi phân: Công thức Taylor

Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp

Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp

Ví dụ 24.

Viết khai triển Maclaurin của hàm y =esin x đến số hạngx3

y0 =cosx.esin x; y00 = esin x cos2x−sinx

y000 = esin x cos3x −3sinxcosx −cosx

Do đó y = esin x = 1+x + x 2

2 +0 x3

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1