Bài giảng toán rời rạc chương 1 cơ sở LOGIC

Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã,… Nội dung môn học gồm 5 chương: 1 Cơ sở logic 2 Phép đếm 3 Quan hệ 4 Đại số Boole 5 Đồ thị

TOÁN RỜI RẠC

Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học

Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần Sinh viên tải về, in ra và mangtheo khi học Điểm tổng kết môn học được đánh giá xuyên suốt quá trình học

1 Võ Văn Tuấn Dũng (2014) Giáo trình Toán rời rạc NXB Thống kê.

Thao khảo thêm:

1 Kenneth H Rosen, Discrete mathematics and its applications, Seventh Edition, 2011

2 Đỗ Đức Giáo (2009) Toán rời rạc ứng dụng trong tin học.NXB Giáo dục

3 Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành (2006) Toán rời rạc NXB Đại học Quốc Gia HàNội

4 Nguyễn Hòa- Nguyễn Nhựt Đông (2014) Toán rời rạc NXB Thanh Niên

Thang điểm đánh giá

Chuyên cần 20% Giữa kỳ 20%

Thi cuối kỳ 60%

Lưu ý Trong quá trình học, một số bạn sẽ được gọi lên bảng làm bài Tùy theo bài làm

Nguyen Cong Nhut Toán Rời Rạc Ngày 10 tháng 9 năm 2021 3 / 117

CƠ SỞ LOGICNỘI DUNG

1.1 Định nghĩa và chân trị của mệnh đề

Ví dụ 1.

Phát biểu nào sau đây là mệnh đề?

1 Mặt trời quay quanh trái đất

2 1+1 = 3

3 Hôm nay trời đẹp quá! (không là mệnh đề)

4 Học bài đi! (không là mệnh đề)

5 3 là số chẵn phải không? (không là mệnh đề)

1.1 Định nghĩa và chân trị của mệnh đề

Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể đồng thời vừa đúng vừa sai Khi mệnh

đề P đúng ta nói P cóchân trị đúng, ngược lại ta nói P cóchân trị sai

Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt là 1(hay Đ,T) và 0(hay S,F)

Mệnh đề gồm 2 loại:

1 Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy):thường là một mệnh đề khẳng định đơn

2 Mệnh đề phức hợp: là mệnh đề được xây dựng từ các mệnh đề sơ cấp nhờ liên kết bằngcác liên từ (và, hay, khi và chỉ khi, nếu thì, ) hoặc trạng từ “không”

Ví dụ 3

Phân loại các mệnh đề sau:

1 2 không là số nguyên tố

2 2 là số nguyên tố (sơ cấp)

3 Nếu 3>4 thì trời mưa

4 An đang xem phim hay An đang học bài

5 Hôm nay trời đẹp và 1 +1 =3

1.3 Các phép toán trên mệnh đề

1.3.2 Phép Hội

Ví dụ 5

Xác định chân trị của các mệnh đề sau:

1 3 > 4 và Trần Hưng Đạo là một vị tướng

2 2 là số nguyên tố và 2 là số chẵn

3 An đang hát và uống nước

1.3.3 Phép Tuyển (Không loại)

Phép Tuyển của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu bởiP ∨ Q(đọc là “P hay Q”), là mệnh đềđược định bởi: P ∨ Qsai khi và chỉ khi P và Qđồng thời sai

3 Mặt trời mọc ở hướng Đông hay 1 + 3 =5.

4 3 > 4 hay Paris là thủ đô của nước Anh

1.3.4 Phép kéo theo

Mệnh đề Pkéo theo Q của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu bởi P ⇒Q (đọc là “P kéo theo Q”hay “Nếu P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”) Mệnh đề Pkéo theo Q là mệnh đề được định bởi: P ⇒Q saikhi và chỉ khi P đúng màQ sai

1.3 Các phép toán trên mệnh đề

1.3.4 Phép kéo theo

Ví dụ 7

Xác định chân trị của các mệnh đề sau:

1 Nếu 1 = 2 thì Lenin là người Việt Nam

2 Nếu trái đất quay quanh mặt trời thì 1 + 3 = 5

3 π > 4 kéo theo 5 > 6

4 π < 4 thì trời mưa

5 Nếu 2 + 1 = 0 thì tôi là chủ tịch nước

1.3.5 Phép tương đương

Mệnh đề P kéo theo Q và ngược lại của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu bởi P ⇔Q (đọc là “Pnếu và chỉ nếu Q” hay “P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần và đủ của Q” hay “P tươngđương với Q”) là mệnh đề xác định bởi: P ⇔Q đúngkhi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị

2 6 chia hết cho 3 khi và chi khi 6 chia hết cho 2.

3 London là thành phố nước Anh nếu và chỉ nếu thành phố HCM là thủ đô của VN

4 π>4 là điều kiện cần và đủ của 5>6

Định nghĩa

Mệnh đề phức hợp là một biểu thức được cấu tạo từ:

Các biến mệnh đềp, q, r, , tức là các biến lấy giá trị là các mệnh đề nào đó;

Các phép toán¬,∧,∨,⇒,⇔ và dấu đóng mở ngoặc ()

Ví dụ 9

1 E(p,q) = p∧q

2 F(p,q,r) = (p →q)∧q∧r

1.4 Mệnh đề phức hợp

Định nghĩa

Bảng chân trị của Mệnh đề phức hợp E(p,q,r) là bảng ghi tất cả các trường hợp chân trị

có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề E theo chân trị của các biến mệnh đềp, q, r

1.4 Mệnh đề phức hợp

Nhận xét Nếu cón biến, bảng này sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề.

Độ ưu tiên các phép toán mệnh đề trong dạng mệnh đề

Thứ tự ưu tiên lần lượt như sau:

1.4 Mệnh đề phức hợp

Dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn lấy giá trị 1

Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay mâu thuẫn) nếu nó luôn lấy giá trị0

1.5 Tương đương logic

5 Luật phân phối

p∨ (q∧r) ⇔ (p∨q) ∧ (p∨r)

p∧ (q∨r) ⇔ (p∧q) ∨ (p∧r)

Luật về phép kéo theo

p→q ⇔ ¬p∨q ⇔ ¬q → ¬p

Ví dụ: Nếu trời mưa thì đường trơn ⇔nếu đường không trơn thì trời không mưa

Nhận xét.¬(p→q) ⇔p∧ ¬q

p ∧ ¬ p ⇔ 0

p ∨ ¬ p ⇔ 1 [9.] Luật thống trị

p ∧ 0 ⇔ 0

p ∨ 1 ⇔ 1 [10.] Luật hấp thụ

p ∨ ( p ∧ q ) ⇔ p

p ∧ ( p ∨ q ) ⇔ p [11.] Luật về phép kéo theo

p → q ⇔ ¬ p ∨ q ⇔ ¬ q → ¬ p

⇔ (p∨r) ∧ (¬q∨r)(luật về phép kéo theo)

⇔ (p∧ ¬q) ∨r (luật phân phối)

⇔ ¬(¬p∨q) ∨r (luật phủ định)

¬(p →q) ∨r (luật về phép kéo theo)

⇔ (p →q) →r (luật về phép kéo theo)

2 HÀM MỆNH ĐỀ

NỘI DUNG

1 Định nghĩa và chân trị của Hàm mệnh đề

2 Vị từ - Lượng từ

Định nghĩa (Hàm mệnh đề)

Hàm mệnh đềlà một khẳng địnhP(x, y, ), trong đó x, y, là các biến thuộc tập hợp

A, B, cho trước sao cho:

Bản thân P(x, y, )không phải là mệnh đề

Nếu thayx, y, thành giá trị cụ thể thì P(x, y, )là mệnh đề

Ví dụ 16

1 r(x, y, z) =“x2+y2 >z′′

2 q(x, y) =“x2+y =1′′

3 p(n) =“n+1là số nguyên tố”

Khi xét một vị từp(x)với x ∈A Ta có các trường hợp sau:

TH 1.Khi thay x bởi một phần tử a tùy ý thuộc A, ta có p(a)đúng

TH 2.Với một số giá trị a thuộc A, ta cóp(a) đúng

TH 3.Khi thay x bởi một phần tử a tùy ý thuộc A, ta có p(a)sai

Ví dụ 17

Vớix ∈R, các vị từ sau thuộc trường hợp nào

1 q(x) =“x2−2x+1=0′′

2 r(x) =“x2+3=0′′

2.2 Vị từ - Lượng từ

Định nghĩa

Cho p(x)là một vị từ theo một biến xác định trên A Ta định nghĩa các mệnh đề lượng

từ hóa củap(x) như sau:

Mệnh đề “Với mọix thuộc A sao cho p(x)”, kí hiệu bởi “∀x ∈A, p(x)”, là mệnh

đề đúng khi và chỉ khi p(a)luôn đúng với mọi giá trị a∈A

Mệnh đề “Tồn tại mộtx thuộc A sao cho p(x)” kí hiệu bởi : “∃x ∈A, p(x)”, làmệnh đề đúng khi và chỉ khi có ít nhất một giá trịx =a0 nào đó sao cho mệnh đề

p(a0)đúng

Lưu ý Từ "tồn tại"có thể được thay thế bởi “có” hay “có ít nhất"

Phủ định của Vị từp(x, y, )có được bằng cách thay∀ thành ∃, thay ∃thành ∀ và vị từ

3 Suy luận Toán học

NỘI DUNG

1 Suy luận và quy tắc suy diễn

2 Các quy tắc suy diễn thường dùng

3 Một số phương pháp chứng minh Toán học

Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đã có Mệnh đề đã có được gọi là giảthiết hay tiền đề, mệnh đề mới được gọi là kết luận.

Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số khẳng định đúng p, q, r, (tiền đề), ta

áp dụng các qui tắc suy luận để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết luận.Nói cách khác, dùng các qui tắc suy luận để chứng minh: (p∧q∧r ∧ có hệ quả logic làh

3.1 Suy luận và quy tắc suy diễn

Ta thường mô hình hóa phép suy luận đó dưới dạng:

pqr

· · ·

∴hViết dưới dạng hằng đúng: (p∧q∧r∧ ) →h

Sơ đồ

p→qp

∴qThể hiện bằng hằng đúng [(p→q) ∧p] →q

Ví dụ 21

Trời mưa thì đường ướt

Mà chiều nay trời mưa

Suy ra: Chiều nay đường ướt

3.2 Các quy tắc suy diễn thường dùng

3.2.2 Quy tắc phủ định ( Modus Tollens)

Sơ đồ

p→q

¬q

∴ ¬pThể hiện bằng hằng đúng [(p→q) ∧ ¬q] → ¬p

Ví dụ 22

Nếu An đi học đầy đủ thì sẽ đậu môn Toán Rời Rạc

An không đậu Toán Rời Rạc

Suy ra: An không đi học đầy đủ

Sơ đồ

p→q

q →r

∴p→rThể hiện bằng hằng đúng [(p→q) ∧ (q →r)] → (p →r)

Ví dụ 23

Nếu trời mưa thì đường ướt

Nếu đường ướt thì đường trơn

Suy ra: Nếu trời mưa thì đường trơn

3.2 Các quy tắc suy diễn thường dùng

3.3.4 Quy tắc mâu thuẫn

Ta có tương đương logic

đề Khi đó ta sẽ chứng minh suy luận sau:

p→r

¬p →q

q →s

¬r∧ ¬s

3.2 Các quy tắc suy diễn thường dùng

3.2.5 Quy tắc tam đoạn luận rời

Sơ đồ

p∨q

¬p

∴qThể hiện bằng hằng đúng [(p∨q) ∧ ¬p] →q

Ví dụ 25

Tối nay An sẽ đi uống cafe với bạn hoặc ở nhà học bài

Tối nay An không học bài ở nhà

Suy ra: Tối nay, An đi uống cafe với bạn

Quy tắc Sơ đồ Hằng đúng

pNối liền q (p∧q) → (p∧q)

∴p∧qĐơn giản p∧q

∴p (p∧q) →p

∴p∨q p→ (p∨q)

r: “đêm diễn sẽ bị hủy bỏ”

t: “trả lại tiền vé cho người xem”

s: “ông bầu rất buồn”

Ta có sơ đồ suy luận sau:

(¬p∨q) → (r∧s)

r →t

¬t

∴p

Chứng minh suy luận sau:

∴q →rKhẳng định

t →q

q →r

∴t→rTam đoạn luận

Cuối cùng ta cót →r ⇔ ¬r → ¬t (Luật phép kéo theo)

Bài tập Chứng minh suy luận sau:

t→u

r → (s∨t)(¬p∨q) →r

Để chứng minh A suy ra B, chúng ta giả sử A đúng, sau đó áp dụng các quy tắc suy luận, cácluật logic, các tiên đề, để chỉ ra B đúng.

3.3 Một số phương pháp chứng minh Toán học

3.3.2 Chứng minh gián tiếp

Ta có

A→B ⇔ ¬B → ¬A

Do đó để chứng minh A đúng suy ra B đúng, ta có thể giả sử B sai và chứng minh A sai

Ví dụ 29

Cho n là một số nguyên, nếu 5n là số lẻ thì n là số lẻ

Giải Ta sẽ dùng phương pháp chứng minh gián tiếp

Nghĩa là, cho n là số chẵn cần chứng minh 5n là số chẵn

Vì n là số chẵn nên n = 2k (với k ∈Z)

Do đó 5n = 5.2k = 10k là một số chẵn

Ta có

A→B ⇔ ¬A∨B

Suy ra

¬(A→B) ⇔A∧ ¬B

Như vậy để chứng minh từ A đúng suy ra B đúng, ta có thể giả sử B sai Sau đó dùng các tiền

đề, các luật logic, các quy tắc suy luận, chứng tỏ điều này mâu thuẫn

3.3 Một số phương pháp chứng minh Toán học

Để CM p đúng ta CM nếu p sai thì suy ra điều vô lý hay mâu thuẫn.

Ví dụ 31

CM căn bậc hai của 2 là số vô tỷ

Giả sử căn 2 là số hữu tỷ, tức là√

2=m/n (dạng tối giản) với m,n là các số nguyên vàUCLN(m,n)=1

(m/n)2 =2 Haym2 =2n2 Nên m chẵn

Khi đó m=2k Suy ra n2=2k2 Nên n cũng chẵn

Như vậy UCLN(m,n)>1 (mâu thuẫn)

3.3 Một số phương pháp chứng minh Toán học

3.3.4 Chứng minh theo trường hợp

Ta có

(A∨B) →C ⇔ (A→C) ∧ (B →C)

Do đó, để chứng minh (A∨B) →C ta chỉ cần chứng minhA→C và B →C là được

Ví dụ 32

Chứng minh rằng n3+2n luôn chia hết cho 3 với mọi số nguyên n

Giải Chia hai trường hợp

Trường hợp 1 n chia hết cho 3, hiển nhiên n3+2n chia hết cho 3

Trường hợp 2 n không chia hết cho 3, khi ấy ta có thể viết n=3k±1vớik ∈Znào đó

Ta cón2+2= (3k±1 2+2=9k2±6k+3=3 3k2±2k+1

Suy ra n(n2+2 cũng chia hết cho 3

Như vậy n3+2n chia hết cho 3 với mọi số nguyên n

Để chứng minh suy luận đúng, chúng ta sẽ sử dụng các luật logic và quy tắc suy luận.

Để chỉ một suy luận sai (hay còn gọi là ngụy biện) ta sẽ đưa giá các giá trị làm cho cáctiền đề đúng nhưng kết luận thì sai

Ví dụ 33

Kiểm tra suy luận sau đúng hay sai

¬p →q(q∧r) →s

t→rp

∴ ¬s → ¬tGiải Cho s = 0,t = 1,p = 1,q = 0,r = 1, ta thấy các tiền đề đều đúng, nhưng kết

3.3 Một số phương pháp chứng minh Toán học

Ứng dụng luật về phép kéo theo kết hợp luật De Morgan

Cho n là số tự nhiên “Nếu n2 chia hết cho 4 thì n cũng chia hết cho 4”

Để CM phát biểu trên sai ta tìm 1 số n nào đó không thoả (chẳng hạn n = 6)

4.1 Khái niệm

Định nghĩa

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của Toán học, dùng để chỉ một nhóm các đối tượngnào đó mà chúng ta quan tâm Khi phần tử x thuộc tập hợp A ta ký hiệu x ∈A, ngượclại ta ký hiệu x /∈A

Ví dụ 36

1 Tập hợp sinh viên của một trường đại học

2 Tập hợp các số nguyên

3 Tập hợp các trái táo trên một cây

Để minh họa tập hợp thì chúng ta dùng sơ đồ Ven

Cách xác định tập hợp

Có 2 cách:

1 Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợpA= {1, 2, 3, 4,a, b}

2 Đưa ra tính chất đặc trưng B = {n ∈N|n chia hết cho 3}

4.1 Khái niệm

Ví dụ 37

Cho A= {1, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} vàC = {x ∈Z|0<x <9} Khi đó

A⊂B và B =C

1 Tính lũy đẳngA∪A=A

2 Tính giao hoánA∪B =B∪A

3 Tính kết hợp(A∪B) ∪C =A∪ (B∪C)

4 Hợp với tập rỗngA∪ϕ=A

4.2 Các phép toán trên tập hợp

c) Hiệu

Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử thuộc tập A mà khôngthuộc tập B ký hiệu A\B, nghĩa làA\B = {x|x ∈A∧x /∈B}

1 A\ (B∩C) = (A\B) ∪ (A\C);

2 A\ (B∪C) = (A\B) ∩ (A\C)

Định nghĩa

Tích Descartes của tập hợp A với tập hợp B là một tập hợp chứa tất cả các bộ códạng(x, y)vớix là một phần tử của A vày là một phần tử của B, ký hiệuA×B,nghĩa làA×B = {(x, y)|x ∈A∧y ∈B}

Ví dụ 44

Cho A ={1, 2, 3}và B ={x, y} Khi đó

A×B = {(1, x),(1, y),(2, x),(2, y),(3, x),(3, y)}.

Câu hỏi Nếu |A| =n và |B| =m thì |A×B| =? Đáp án n×m

Khái niệm tích Descartes cũng được mở rộng cho hữu hạn tập hợp, nghĩa là

A ×A2× · · · ×A x x · · · x x ∈A ∀i k}

5.1 Định nghĩa

Định nghĩa

Một ánh xạf từ tập X vào tập Y là một phép liên kết từ X vào Y sao cho mỗi phần

tửx của X được liên kết với một phần tử duy nhất y của Y, ký hiệu:y =f(x)

f : X →Y

x 7→y =f(x)

Khi đó X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích

Định nghĩa

Cho f : X →Y và g : Y →Z, lúc đó g◦f : X →Z là ánh xạ hợp của g và f,được xác định bởi

g ◦f(x) =g(f(x))

Định nghĩa

Chof : X →Y,

1 Cho A⊂X , ảnh của A bởi f là tập f(A) = {f(x)|x ∈A} ⊂Y ;

2 Cho B ⊂Y , ảnh ngược của B bởi f là tập f −1(B) = {x ∈X|f(x) ∈B} ⊂X

3 Ta ký hiệu Im(f) =f(X), gọi là ảnh của f.

Định nghĩa

Cho ánh xạ f : X →Y Ta nói f đơn ánh nếu ′′∀x1,x2 ∈X , x1 ̸=x2 →f(x1) ̸=

f(x2)′′nghĩa là hai phần tử khác nhau bất kỳ trong X thì có ảnh khác nhau trong Y

5.4 Các loại ánh xạ

Định nghĩa

Cho ánh xạ f : X → Y Ta nói f toàn ánh nếu ′′∀y ∈ Y ,∃x ∈ X sao cho

y =f(x)′′nghĩa là mọi phần tử thuộc Y đều là ảnh của ít nhất một phần tử thuộcX

Ví dụ 51

1 Chof : R→Rđược xác định f(x) =x 3+1 là toàn ánh.

2 Chog : R→Rđược xác định g(x) =x 2+1 không là toàn ánh.

Mệnh đề

Cho ánh xạ f : X →Y Khi đó,

i) f là toàn ánh⇔với mọi y ∈Y , phương trình y =f(x) có nghiệm

Ví dụ 52.

Cho f : R→R xác định bởif(x) =x2−3x+5 Hỏi f có toàn ánh không?

Giải Với y =0 ta có phương trìnhy =f(x)vô nghiệm Suy ra f không toàn ánh.Định nghĩa

Ta nóif : X →Y là một song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh nghĩa là

∀y ∈Y ,∃!x ∈X : f(x) =y

5.4 Các loại ánh xạ

Ví dụ 53

1 f : R→R được xác địnhf(x) =x3+1 là song ánh

2 g : R→Rđược xác định g(x) =x2+1 không là song ánh

3 Cho f : R→Rxác định bởi f(x) =x+3 Hỏi f có song ánh không?

Giải

Với mọi y ∈R, ta có

y =f(x) ⇔y =x+3⇔x =y −3

Như vậy, với mọi y ∈R, tồn tại x =y−3∈Rđểy =f(x) Do đó f là toàn ánh Hơn nữa

f là đơn ánh Vậy, f là song ánh

Tính chất.

Cho ánh xạ f : X →Y và g : Y →Z Khi đó

(i) f , g đơn ánh ⇒g◦f đơn ánh ⇒f đơn ánh;

(ii) f , g toàn ánh ⇒g◦f toàn ánh⇒g toàn ánh;

(iii) f , g song ánh ⇒g◦f song ánh ⇒f đơn ánh,g toàn ánh

5.5 Ánh xạ ngược

Định nghĩa

Chof : X →Y là một song ánh

Khi đó, với mọi y ∈ Y, tồn tại duy nhất một phần tử x ∈X thỏa f(x) = y Do

đó tương ứngy 7→x là một ánh xạ từY vàoX Ta gọi đây là ánh xạ ngược củaf

và ký hiệuf− 1 Như vậy:

f− 1

:Y →X

y 7→x vớif(x) =y

f− 1 :[0; 4] → [0; 2]

y 7→√y

5.5 Ánh xạ ngược

Định lí

Cho ánh xạf : X →Y Khi đó, nếu ∀y ∈Y, phương trìnhf(x) =y (theo ẩnx) códuy nhất một nghiệm thìf là song ánh Hơn nữa, nếu nghiệm đó làx0thìf− 1(y) =x0

Hơn nữa f− 1(y) = y + 3

5 hayf− 1(x) = x + 3

5

ii) Nếu f toàn ánh thì |A| ≥ |B|;

iii) Nếu f song ánh thì|A| = |B|.

6 Nguyên lý quy nạp

NỘI DUNG

1 Nguyên lý quy nạp

2 Các ví dụ

Với những bài toán chứng minh tính đúng đắn của một biểu thức mệnh đề có chứa tham

số n, như P(n) Quy nạp toán học là một kỹ thuật chứng minh P(n)đúng với mọi số

n ≥N0

Quy nạp yếu

Gồm 3 bước:

- Bước cơ sở: Chỉ raP(N0) đúng

- Bước quy nạp: Chứng minh nếu P(k)đúng thì P(k+1 đúng

Trong đó P(k)được gọi là giả thiết quy nạp

- Bước 3 (Kết luận) P(n) đúng với mọi số tự nhiên n

Ví dụ 58.

Chứng minh 1+2+3+ · · · +n= n ( n + 1

2 với mọi số nguyên dương n

7 Đệ quy và ứng dụng

Ta có thể sử dụng đệ quy để định nghĩa các dãy số, hàm số và tập hợp Chẳng hạn, để địnhnghĩa một hàm xác định trên tập hợp các số nguyên không âm, chúng ta cho:

1) Giá trị của hàm tại n = 0

2) Công thức tính giá trị của nó tại số nguyên n từ các giá trị của nó tại các số nguyên nhỏhơn

Định nghĩa như trên được gọi là định nghĩa đệ quy