Bài toán tìm quỹ tích

Cho tam giác ABC vuông ở A... Cho đoạn thẳng AB... Cho hình chữ nhật ABCD.

CUNG CHỨA GÓC

• Cho đoạn thẳng AB, quỹ tích ( tập hợp ) các điểm M sao cho góc ·AMB

có số đo bằng α

không đổi (0o < <α 180o)

là hai cung tròn có số đo 360 2

o − α

đối xứng với nhau qua AB (được gọi là cung chứa góc α

dựng trên đoạn AB)

• Cách giải bài toán quỹ tích:

Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thỏa mãn quỹ tính chất T là một hình nào đó,

ta phải chứng minh hai thành phần:

- Phần thuận: mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H

- Phần đảo: mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T

Từ đó rút ra kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H

Ví dụ 21: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm M chuyển động trên nửa

đường tròn đó Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM Tìm quỹ tích các điểm N Giải:

• Phần thuận: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ tia

Ax⊥ AB

, trên tia Ax lấy điểm 1

B

sao cho 1

AB = AB

Tam giác 1

ANB

và tam giác BMA có:

1

AB =AB

;

1

(vì cùng phụ với góc

·MAB

)

AN = BM (gt)

Do đó 1

ANB BMA

(c-g-c) suy ra

1

Mà

·AMB=90o

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)), nên

·

1 90o

Vậy điểm

N thuộc đường tròn đường kính 1

AB

Giới hạn: Vì điểm M chuyển động trên nửa đường tròn (O) nên:

- Khi M trùng B thì N trùng với A

- Khi M trùng với A thì tia AM trùng với tia Ax, khi đó BM = BA, vì thế điểm N trùng với 1

B

Vậy điểm N chạy trên nửa đường tròn (O’) có đường kính 1

AB

• Phần đảo: Trên nửa đường tròn (O’) đường kính 1

AB

lấy điển N’ tùy ý Tia AN’ cắt nửa đường tròn (O) đường kính AB ở M’, Ta có:

·

1

' 90o

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’))

· ' 90o

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’))

1

(cùng phụ với góc · 'ABN

),

1

AB =AB

AM B N A

(cạnh huyền - góc nhọn), suy ra BM’ = AN’

Kết luận: Quỹ tích các điểm N là nửa đường tròn (O’) đường kính 1

AB

Ví dụ 22: Cho góc nhọn

·xOy =α

, hai điểm P và Q nằm trong góc đó Hãy tìm trên cạnh Ox điểm M sao cho phân giác của góc PMQ vuông góc với Oy

Giải:

• Phân tích: Giả sử đã dựng được điểm M thỏa mãn các yêu cầu của đề bài, trong

đó tia phân giác MH của góc

·PMQ

vuông góc với Ox, ta có

1

=

2OMH =2 90o −α =180o −2α

Điểm M phải thỏa mãn hai điều kiện:

- M thuộc tia Ox

- M thuộc cung chứa góc

180o −2α

dựng trên đoạn 1

PQ

Vậy M là giao điểm của tia

Ox với cũng chứa góc nói

trên

• Cách dựng:

- Dựng 1

P

đối xứng với P qua Ox

- Dựng cung chứa góc

180o −2α

trên nửa mặt phẳng bờ 1

PQ

không chứa điểm O, cắt tia Ox ở M

• Chứng minh:

Theo cách dựng điểm M thuộc tia Ox Ta có:

· ·

1

Kẻ phân giác góc ·PMQ

cắt Oy ở H, ta có

Do đó

Trong tam giác OMH có

Suy ra

, hay

MH ⊥Oy

• Biện luận: Cung chứa góc 180 2

o − α

vẽ trên đoạn thẳng cố định 1

PQ

bao giờ cững dựng được và chỉ cắt tia Ox tại một điểm M duy nhất Bài toán luôn luôn dựng được và chỉ có một nghiệm hình

BÀI TẬP

155 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn Trên

tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MB Tìm quỹ tích các điểm N khi điểm

M chuyển động trên nửa đường tròn (O)

Giải:

* Phần thuận:

Tam giác BMN vuông cân ở M, ta có

Điểm N thuộc cung chứa góc 45

o

dựng trên đoạn AB

Giới hạn:

Vẽ tia Ax⊥ AB

, Ã cắt cung chứa góc 45

o

tại 1

N

Khi M trùng B thì N trùng với B

Khi M trùng A thì N trùng với 1

N

Vậy N chạy trên cung

¼

1

N B

thuộc cung chứa góc 45

o

dựng trên AB

* Phần đảo:

Lấy điểm N’ trên cung

¼

1

N B

Nối N’ với A cắt nửa đường tròn (O) ở M’

Bạn đọc hãy chứng minh BM’ = M’N’

Kết luận: Quỹ tích các điểm N là cung

¼

1

N B

thuộc cung chứa góc 45

o

vẽ trên AB

156 Cho tam giác ABC vuông ở A Về phía ngoài của tam giác vẽ hai nửa đường

tròn đường kính AB và AC Một cát tuyến thay đổi qua A cắt hai nửa đường tròn nói trên lần lượt ở D và E Tìm quỹ tích các trung điểm I của đoạn DE

Giải:

* Phần thuận:

Tứ giác BCED là hình thang vuông

Gọi M là trung điểm của BC, ta có

·AIM =90o

Vậy điểm I thuộc đường tròn đường

kính AM

Giới hạn: Gọi giao điểm của đường tròn đường kính AM với AB là 1

O

với AC là 2

O

, dễ thấy 1

O

là trung điểm của AB, 2

O

là trung điểm của AC

Điểm I chạy trên cung

¼

O AO

của đường tròn đường kính AM

* Phần đảo:

Lấy điểm I’ bất kỳ trên cung

¼

O AO

của đường tròn đường kính AB Qua I’ kẻ cát tuyến vuông góc với MI’ cắt các nửa đường tròn đường kính AB, AC ở D’ và E’ Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I’ là trung điểm của D’ E’

Kết luận: Quỹ tích các điểm I là cung

¼

O AO

thuộc đường tròn đường kính AM

157 A là điểm trên đường tròn (O; R), tiếp tuyến Ax Gọi P là một điểm trên Ax Qua

P kẻ tiếp tuyến PB với đường tròn, PO cắt AB ở I Tìm tập hợp các điểm I khi P chuyển động trên Ax

Giải:

* Phần thuận:

PA và PB là hai tiếp tuyến của

đường tròn (O) cắt nhau ở P nên

OP⊥ AB

ở I

Như vậy I nhìn OA cố định dưới

một góc 90

o

, do đó I chạy trên đường tròn đường kính OA

Giới hạn: Vì P chỉ chạy trên tia Ax nên dây cung AB chỉ nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OA Do đó I chuyển động trên nửa đường tròn đường kính OA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm P

*Phần đảo:

Lấy điểm I’ thuộc nửa đường tròn nói trong phần giới hạn đường thẳng OI’ cắt tia Ax ở P’, AI’ cắt đường tròn (O) ở B’ Bạn đọc hãy chứng minh P’B’ là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Kết luận: tập hợp các điểm I là nửa đường tròn đường kính OA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm P bờ là đường thẳng OA ( trừ hai điểm O và A)

158 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là một điểm chuyển động trên nửa

đường tròn đó Kẻ CD⊥ AB

Trên đoạn OC lấy điểm E sao cho OE = CD Tìm tập hợp các điểm E

Giải:

*Phần thuận:

Kẻ OF ⊥AB

thì F cố định và OF // CD nên

(hai góc so le trong)

(c-g-c), suy ra

OEF=CDO=90o

Điểm E nhìn OF cố định dưới góc 90

o

nên E thuộc đường tròn đường kính OF

*Phần đảo:

Trên đường tròn đường kính OF, lấy điểm E’, tia OE’ cắt nửa đường tròn (O) ở C’, kẻ ' '

C D ⊥ AB

Bạn đọc hãy chứng minh OE’ = C’D’

Kết luận: Tập hợp các điểm E là đường tròn đường kính OF

159 Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By

vuông góc với AB Một cát tuyến thay đổi cắt hai tia Ax, By lần lượt ở M và N tạo thành hình thang AMNB có diện tích không đổi Gọi E là trung điểm của AB, I là hình chiếu của điểm E trên MN Tìm tập hợp các điểm I

*Phần thuận:

Gọi E là trung điểm của AB Qua E

kẻ đường vuông góc với AB cắt MN

ở F, ta có EF là đường trung bình của

hình thang AMNB nên

EF

2

=

không đổi, do đó EF cố định Điểm I nhìn EF cố định dưới

góc 90

o

nên I nằm trên đường tròn

đường kính EF

Giới hạn: Gọi giao điểm của AF, BF

với By, Ax theo thứ tự là 1 1

,

N M

với đường tròn đường kính EF lần lượt là

1

I

và 2

I

Khi M trùng với A thì N trùng với 1

N

, I trùng với 1

I

Khi N trùng với B thì M trùng với

1

M

, I trùng với 2

I

Vậy I chạy trên cung

¼

I FI

của đường tròn đường kính EF

* Phần đảo:

Trên cung

¼

I FI

của đường tròn đường kính EF, lấy điểm I’ Đường thẳng FI’ cắt tia

Ax ở M’, cắt tia By ở N’ Bạn đọc hãy chứng minh diện tích hình thang ABN’M’ không đổi

Kết luận: Tập hợp các điểm I là cung

¼

I FI

của đường tròn đường kính EF

160 Dựng hình vuông ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc

cạnh CD

Giải:

Phân tích:

Giả sử hình vuông ABCD thỏa mãn các yêu

cầu đề bài đã dựng được Ta thấy:

nên C nằm trên đường tròn đường kính MN cố định Gọi giao điểm của

tia CA với đường tròn trên là E, ta có

nên

, suy ra E là điểm chính giữa của nửa đường tròn

đường kính MN( Khác phía với điểm C qua

MN)

Vậy C là giao điểm của tia AE với đường tròn đường kính MN với cung chứa góc

45o

dựng trên đoạn AN) Từ đó xác định được các đỉnh B và D

161 Cho hình chữ nhật ABCD Tìm điểm E trên đường thẳng AB sao cho E nhìn

AD và BC dưới những góc bằng nhau

Giải:

Giả sử đã xác định được các điểm E trên

AB thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ta có

mà

(so le trong), suy ra

do đó ∆CDE cân ở C, ta có CE = CD

Vậy C là giao điểm của đường tròn (C; CD) và đường thẳng AB