vị trí tương đối của hai đường tròn

Cho tam giác ABC vuông ở A... Cho tứ giác ABCD.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

• Gọi O, O’ là tâm của hai đường tròn Đường thẳng OO’ gọi là đường nối tâm, đoạn thẳng OO’ gọi là đoạn nối tâm Đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn (O) và (O’)

• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

• Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây chung và đi qua trung điểm của dây chung

• Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) có R r > Vị trí tương đối giữa hai đường tròn ứng với hệ thức giữa R, r và OO’ được cho theo bảng sau:

Vị trí tương đối của hai đường

tròn (O; R) và (O’; r)

Số điểm chung Hệ thức giữa OO’ với R và r

Hai đường tròn cắt nhau 2 điểm chung R – r < OO’ < R + r

Hai đường tròn tiếp xúc nhau

- Tiếp xúc ngoài

- Tiếp xúc trong

1 điểm chung OO’ = R + r

OO’ = R – r Hai đường tròn không giao

nhau

- Ở ngoài nhau

- Ở trong nhau

0 điểm chung OO’ > R + r

OO’ < R - r

• Trên hình 18, các đường tròn d d là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn 1, 2 (O) và (O’), các đường thẳng m m1, 2 là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (O’)

Ví dụ 12: Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Tiếp tuyến chung ngoài của

hai đường tròn có tiếp điểm với đường tròn (O) ở M với đường tròn (O’) ở N, tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A cắt MN tại I

d 2

d 1

m 2

m 1

O

O'

a) Chứng minh tam giác MAN và OIO’ là các tam giác vuông

b) Xác minh vị trí tương đối của đường thẳng MN với đường tròn đường kinh (OO’)

Giải:

a) IM và IA là hai tiếp

tuyến của đường tròn

(O), ta có IA = IM

IN và IA là hai tiếp

tuyến của đường tròn

(O’), ta có: IA = IN

Suy ra IM = IA = IN, do

đó tam giác MAN là tam

giác vuông ở A Theo

tính chất hai tiếp tuyến

của một đường tròn cắt

nhau , ta lại có: IO và IO’ lần lượt là tia phân giác của hai góc kề bù MIA và

NIA, do đó IA⊥IO' Vậy tam giác OIO’ vuông ở I

b) Gọi I’ là trung điểm của OO’ ta có 'II =I'O=I'O' nên I’I là bán kính đường tròn

đường kính OO’ OM ⊥MN và O N' ⊥MN nên OM // O’N, suy ra tứ giác

OMNO’ là hình thang, I’I là đường trung bình của hình thang OMNO’ nên

I’I//OM, suy ra 'I I ⊥MN

Đường thẳng MN vuông góc với bán kính I’I tại I nên đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (I’)

Ví dụ 13: Hai đường tròn (O1;6,5cm) và (O2;7,5cm) giao nhau tại A và B Tính độ dài đoạn nối tâm O O1 2 biết AB = 12cm

Giải:

Ta có O O1 2 ⊥ AB tại H nên HA = HB = 6cm

Tam giác AO H2 vuông ở H, ta có:

Suy ra O H2 =4,5cm

I'

I M

O

A O'

N

Tam giác AO H vuông ở H, ta có: 1

Suy ra O H1 =2,5cm

- Nếu O1,O2 thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB thì

( )

1 2 1 2 2,5 4,5 7

- Nếu O O thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB thì: 1, 2

( )

1 2 2 1 4,5 2,5 2

Trả lời: Độ dài đoạn nối tâm O O1 2 là 7cm hoặc 2cm

Bài tập

93 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính OA

Qua A vẽ dây cung AC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) ở M Chứng minh:

a) Đường tròn (O’) và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau;

b) O’M song song với OC;

c) M là trung điểm của AC và OM song song với BC

Giải:

a) OO’ = OA – O’A Đường tròn

tâm O và đường tròn tâm O’

tiếp xúc trong tại A

O 1

B

O 1

O 2 H

B A

1

1 1

M

C

A

b) AOC cân ở O, ta có A1=C1 AO M' cân ở O’, ta có A1 =M1 Do đó O’M //

OC

c) O’M // OC mà O’A = O’O nên M là trung điểm AC

OM là đường trung bình của tam giác ABC nên OM // BC

94 Cho tam giác ABC vuông ở A Vẽ đường tròn (O đi qua A tiếp xúc với BC tại B 1) Vẽ đường tròn (O đi qua A và tiếp xúc với BC tại C Gọi M là trung điểm của BC 2) Chứng minh:

a) Đường tròn (O và 1) ( )O2 tiếp xúc với nhau;

b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( )O1 và ( )O2

Giải:

a) AO C1 cân ở O , ta có 1 A1= B1

2

AO C

 cân ở O , ta có 2 A2 =C1

Mà B1=90o −B2 ,C1=90o −C2,

do đó A1+A2 =B1+C1

180o B C

180o 90o 90o

Suy ra

Nên ba điểm O A O thẳng hàng 1, , 2

1 2 1 2

O O =O A+ AO

Vậy hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 tiếp xúc ngoài ở A

b) O AM1 = O BM c1 ( c.c)

suy ra O AM1 =O BM2 =90o hay O O1 2 ⊥ AM tại A

2 1 2

1

2 1

M

O2

O1

A

B

C

Vậy AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( )O1 và ( )O2

95 Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại A và B Biết OAO =' 90o , R = 6cm và R’=4,5cm

a) Tính OO’, AB

b) Gọi P là trung điểm của OO’, qua A kẻ cát tuyến vuông góc với AP cắt đường tròn (O) ở C, cắt đường tròn (O’) ở D So sánh AC, AD và AB

Giải:

a) Tam giác OAO’ vuông tại A:

36 20,25 56,25+ =

Suy ra OO’ = 7,5cm

OO’ cắt AB ở H, ta có:

'

OO ⊥AB tại H và 1

2

Trong tam giác vuông OAO’ ta

lại có:

AO AO = AH OO

3,6 ' 7,5

AO AO

OO

Do đó AB = 2 AH = 7,2cm

b) Kẻ OM ⊥AC, O N' ⊥AD

2

MA=MC = AC và NA ND 1

AD

Dễ thấy A là trung điểm của MN nên MA = NA Suy ra AC = AD

MOA=OAP (hai góc so le trong )

P

D N

M

B H

A

C

 cân ở P, ta có OAP= AOP, do đó MOA= AOP

 =  (cạnh huyền – góc nhọn ), ta có MA = AH suy ra AC = AB

Vậy AC = AD = AB

96 Cho hai đường tròn (O1;17cm và ) (O2;10cm) AB là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn có tiếp điểm với đường tròn ( )O1 ở A, với đường tròn ( )O2 ở B Đường thẳng AB cắt đường nối tâm O O1 2 ở C Tính độ dài các đoạn CO CO1, 2 biết O O1 2 = 21cm Giải:

Đặt O C1 =x O C, 2 = , ta có y x− =y O O1 2 =21cm

Do O B2 / /O A vì cùng 1

vuông góc với AB nên:

1 1

2 2

CO O A

CO = O B

10

x

y = Suy ra

17 10 7

10 10

y

Hay 21 7

10

30 7

Từ đó, tìm được x = 51cm

97 Cho tứ giác ABCD Biết rằng đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ADC tiếp xúc

nhau Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp hai tam giác ABD và CBD cũng tiếp xúc nhau

Giải:

Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn( )O1 nội tiếp tam giác ABC và tiếp điểm của đường tròn ( )O2 nội tiếp ACD với cạnh AC, ta có:

2

B

O1

A

C

O2

Và

2

Vì đường tròn ( )O1 tiếp xúc với đường tròn ( )O2 nên

E  , tức AE = AF, từ đó ta có: F

AB + AC - BC = AD + AC – CD

Suy ra AB – AD = BC – CD (1)

Gọi I và K lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp

tam giác ABD và tam giác BCD với cạnh BD, ta có:

2

2

Từ (1), (2) và (3), ta có BI + BK , tức I  Vậy hai đường tròn nội tiếp tam giác ABD K

và tam giác BCD tiếp xúc với nhau

98.Cho hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 tiếp xúc ngoài tại A Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( )O1 ở B, tiếp xúc với đường tròn ( )O2 ở C Biết AB = 6cm, AC = 8cm a) Tính độ dài đoạn BC

b) Tính bán kính của các đường ( )O1 và ( )O2

Giải:

a) Qua A kẻ tiếp tuyến chung với

hai đường tròn (O và 1) ( )O2

cắt BC ở M, ta có:

MA = MB = MC

Do đó tam giác ABC vuông ở A

Khi đó:

BC =AB + AC = + =

C

D

A

B

O1

O2

E

M

O1

K E

A

O2

Suy ra BC = 10cm

b) Hai tam giác cân O AC và MBA có 2 O AC2 =MAB (vì cùng phụ với góc nhọn

MAC ) do đó O AC2 MAB (g-g), ta có: AC O A2

6

AC MA

AB

Tương tự O AB1 MAC (g-g), ta có 1 3.3

4

Cách khác: kẻ O K1 ⊥ AB O F, 2 ⊥ AC Ta có:

KA = KB = 3cm, FA = FC = 4cm

2

2

CO =CF , do đó

( )

2

6

BC CF

AB

1 1

BO =O K , do đó

( )

1 1

3

BC O K

CA

99 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở A Đường nối tâm OO’ cắt đường

tròn (O) ở B, cắt đường tròn (O’) ở C DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D( )O E, ( )O' )

Gọi M là giao điểm cùa hai đường thẳng BD và CE Chứng minnh:

a) Góc EMD =90o

b) MA là tiếp tuyến chung của hai đưởng tròn (O) và (O’);

c) MB.MD = ME MC

Giải:

a) Góc AOD là góc ngoài

ở đỉnh O của tam giác

cân BOD, ta có

2

AOD= BOD hay

1 2

2

Do OD // O’E vì cùng

vuông góc với DE nên

' 180o

b) Tứ giác ADME là hình chữ nhật vì có D=M = =E 90o Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật , ta có: IA = ID

IAO IDO

 =  (c.g.c) suy ra IAO=IDO=90o hay IA⊥BC tại A Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)

c) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Suy ra MD.MB = ME.MC

100 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở A Gọi OM và O’M’ là các bán

kính của hai đường tròn OM // O’M’

a) Chứng mịnh rằng đường thẳng MM’ luôn luôn đi qua một điểm cố định S khi các bán kính OM và OM’ thay đổi

b) Tính SO và SO’ biết bán kính hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt bằng 5cm và 3cm c) Tam giác AMM’là tam giác gì ? vì sao ?

Giải:

a) Gọi S là giao điểm của MM’ với OO’, ta có:

I

M

E

O' A

O D

' '

SO =O = R không đổi

Vậy điểm S cố định

b) Từ câu a, ta có:

' '

O S

OM =O M

(1) Qua O’ kẻ đường

thẳng song song với

MM’ cắt OM ở I

Ta có:

'

'

OS = MO hay

'

OM = OI

(2) Từ (1) và (2) suy ra: ' '

' '

Tứ giác MIO’M’ là hình bình hành nên IM = O’M’ = 3cm,

Suy ra IO = OM – IM = 5- 3 = 2(cm)

Khi đó từ (3) ta được OS = 20cm và O’S = 12 cm

c) Ta có 180

2

o

AOM

2

o

AO M

, do đó

o

o

AOM AO M MAO M AO

Từ đó suy ra MAM =' 90o vậy tam giác AMM’là tam giác vuông ở A

101 Cho hai đường tròn ( )O1 và (O tiếp xúc ngoài ở K AD là một tiếp tuyến chung 2) ngoài của hai đường tròn (A( )O1 ,D( )O2 ) Vẽ đường kính AB của đường tròn ( )O1 Chứng minh AB2 =BK BD

Giải:

I

S M'

A

M

Tam giác AKB có trung tuyến 1 1

2

KO = AB nên AKB =90o

Qua K kẻ tiếp tuyến chung của

hai đường tròn cắt AB ở I, ta có:

1

2

IK = AD nên AKD =90o

Suy ra BKA+AKD=180o, do

đó ba điểm B, K, D thẳng hàng

Tam giác ABD vuông ở A, có

AK ⊥BD mêm AB2 =BK BD

102 Cho hai đường tròn

1

(O;5cm) và (O2;2cm) nằm

ngoài nhau Một tiếp tuyến chung ngoài AB của hai đường tròn (A( )O1 ,B( )O2 ) và một tiếp tuyến chung trong C của hai đường tròn (C( )O1 ,D( )O2 ) Tính độ dài đoạn nối tâm O O1 2, biết AB = 1,5CD

Giải:

Kẻ O I2 ⊥O A1 và O E2 ⊥O C1 , ta có: O I2 = AB O E, 2 =CD

2 2

IA=O B= cm , suy ra

1 3

IO = cm

2 2

CE =O D= cm, suy ra

1 7

O E = cm

Đặt CD = x thì O E2 = x

còn lại IO2 = AB=1,5x

Áp dụng định lý Pi – ta –

go với các tam giác vuông

1 2

O IO và O EO , ta có: 1 2

( )2

1 2 1 2 3 1,5

D I

B

K O2

O1

A

I

E

B D

C A

Suy ra 2 ( )2 2 2

3 + 1,5x =7 +x

Giả phương trình này được x =2 32, do đó 2

1 2 49 32 81