20 bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 1 VỀ HAI MƯƠI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT Tôn Thất Hiệp, GV THPT Phan Đăng Lưu, Ph

Trang 1

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp facebook.com/mathvncom 1

VỀ HAI MƯƠI BÀI TOÁN GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

Tôn Thất Hiệp, GV THPT Phan Đăng Lưu, Phú Vang, Thừa Thiên Huế

Đi cùng với lời giải của hai mươi bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài viết này, chúng tôi đề xuất thêm một số bài toán mới, đồng thời mỗi bài đề xuất đều có đáp số và lời giải chi tiết ở đằng sau bài viết Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một số kỹ thuật phân tích bình phương; kỹ thuật biến đổi biểu thức hai biến, ba biến; tư tưởng hàm số trong một số lời giải bài toán bất đẳng thức

toán của Bộ GD & ĐT năm 2015)

Trang 2

154

Trang 3

Bài toán 2: www.mathvn.com

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx=2xyz Hãy tìm GTNN của biểu thức

Trang 4

Theo giả thiết xy yz zx 2xyz 1 1 1 2

Trang 5

Nhận xét 1: (về BĐT (5))

Khi áp dụng BĐT (5) ta có thể điều chỉnh sao cho số mũ ở tử của vế lớn của BĐT (5) tăng dần cho đến khi ta được BĐT vừa đủ mạnh, trong việc tìm GTNN của một bài toán cụ thể nào đó Lưu ý:

a) Về biểu thức và phương pháp S.O.S (phương pháp phân tích bình phương)

1 Hàm phân thức đối xứng chuẩn, hàm phân thức nửa đối xứng ba biến:

a) Hàm phân thức đối xứng F(a, b, c) đối với ba biến a, b, c được gọi là hàm phân thức đối xứng chuẩn, nếu F(x,x,x) = 0 với mọi x

b) Hàm phân thức đối xứng S(a, b, c) đối với ba biến a, b, c được gọi là hàm phân thức nửa đối xứng nếu S(a, b, c) = S(a, c, b) với mọi a, b, c Hàm phân thức đối xứng S(a, b, c) đối với ba biến

a, b, c được gọi là hàm phân thức nửa đối xứng chuẩn, nếu S(x,x,x) = 0 với mọi x

2 Biểu thức dạng S.O.S

Ta công nhận các định lý và hệ quả dưới đây www.mathvn.com

Định lý : (dạng biểu diễn S.O.S đối với lớp hàm đa thức)

Cho F(a, b, c) là hàm đa đối xứng chuẩn theo ba biến F(a, b, c) đối với ba biến a, b, c, khi đó ta

hai đa thức nửa đối xứng ba biến và nếu có hàm đa thức đối xứng G(a, b, c) ba biến sao cho mọi

số thực

dương x thì số F x x x( , , )−G x x x( , , )=0 Khi đó tồn tại hàm số đối xứng nửa ba biến S(a, b, c) sao cho đồng nhất thức sau là đúng:

M(a,b,c) M(b,c,a) M(c,a,b)

+ + - G(a,b,c) = (b - c) S(a,b,c)+ (c - a) S(b, c, a)+ (a - b) S(c; a; b)

b) Một số đẳng thức thường được sử dụng trong phân tích bình bình phương

Trang 6

c) Biểu thức P trong bài toán 1 là biểu đối xứng theo ba biến a, b, c, nên ta liên tưởng đến

phương pháp phân tích bình phương, nếu các phương pháp khác hầu như không sử dụng được trong việc tìm giá trị GTLN hoặc GTNN của P

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )

3

=

Trang 7

Không mất tinh tổng quát ta giả sử (x≥1 và y≥1) hoặc (x≤1 và y≤1) Ta có

c

−

≤ + , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0

1) Ta tìm điều kiện của c để ( )3

2

3 3 3

3 3 32

c

c c

−+ ≤ , điều này tương đương với

Trang 8

Như vậy R≤3 3, với 3 2 27

Tóm lại, R≤3 3, đẳng thức xảy ra khi c= 3,b= =a 0

Từ đó suy ra 3 3− ≤ ≤R 3 3 với a, b, c là các số thực thỏa a2 + b2 + c2 = 3

Vậy minR= −3 3, đạt được khi c= − 3,b= =a 0 và maxR=3 3, đạt được khi

Trang 9

Cho ba số thực không âm a, b, c sao cho c = min{a; b; c} và( 2 2)( 2 2)

0

a +c b +c ≠ Hãy tìm GTNN của biểu thức S 21 2 2 1 2 a b c

Trang 10

Trang 11

* Khi n ≥ m > 0 (thỏa (8)) thì ta có thể giải bài toán bằng ba cách: sử dụng BĐT Cauchy,

phương pháp phân tích bình phương, phương pháp hàm số

Suy ra K ≥ 3−2, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 3

Vậy minK = 3−2 www.mathvn.com

Bài toán 8: (Vô địch IRAN năm 1996)

Cho a, b, c > 0 Tìm GTNN của biểu thức ( ) ( ) (2 ) (2 )2

Trang 12

Bài toán 9: (Câu V, đề thi đại học khối A môn toán, năm 2012)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 13

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử x ≥ y ≥ z, khi đó ta có (x – y)2 + (y – z)2 ≤ (x – z)2, đẳng

thức xảy ra khi x = y hoặc z = y Vì x + y + z = 0 nên

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x + y + z ≤ 4 và m là số dương cho trước lớn

hơn 2,72 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = m x- y + m y- z + m z- x − x + y + z3 3 3−3xyz

Đáp số: minP = 3, đạt được khi và chỉ khi x = y = z = 0

yz

−

=+

Đặt y=tanα , z=tanβ ,với 0;

M ≤ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Trang 14

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Bài toán 10.1:

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn xyz= + +x z y và z > 0 Hãy tìm GTLN của biểu thức

z= Bài toán 10.2:

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn xy zx+ + =yz 1, x ≠ 0 và z > 0 Hãy tìm GTLN của biểu thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai điểm A(a; a + 1) và B(2b + 2; b), ta có N = OA + OB +

AB với A và B lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: y = x + 1 và d2: 1 1

2

y= x− Bài toán trở thành tìm GTNN của N khi A và B lần lượt chạy trên hai đường thẳng d1 và d2

www.mathvn.com

Để ý rằng điểm O nằm trong góc nhọn được tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2

Gọi O1, O2 lần lượt là điểm đối xứng của O qua hai đường thẳng d1 và d2 Ta có

N = OA + OB + AB = O1A + O2B + AB ≥ O1O2, suy ra N = O1O2 là nhỏ nhất, khi và chỉ khi

N ≥ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 13

22

7

b= − Vậy minN = 10

Bài toán 12:

Trang 15

Cho ba số thực dương a, b, c Hãy tìm GTLN của biểu thức

33

Trang 16

3

7 173

t t

Suy ra đồ thị hàm số g(t) nằm trên các tiếp tuyến của của đồ thị này

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(t) tại điểm có hoành độ 0 1

Trang 17

Xét hàm số ( )

( )

2 2

, suy ra đồ thị hàm số h(t) là lõm trên ℝ Suy ra đồ thị ham số h(t) nằm trên các tiếp tuyến của

của đồ thị này Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số h(t) tại điểm có hoành độ 0 1

2 2

12

t = là nghiệm kép Tìm được 13

2 2

− +

≥ − ++ −

(bạn đọc tự kiểm chứng) Suy ra ( )

( )

2 2

Trang 18

và ( )2

(21)4

t t

10 10 10 101

x x

y y

Trang 19

Qua hai bài toán 12 và bài toán 13 ta nhận thấy: khi đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên

đoạn [ α β; ] thì bao giờ cũng tồn tại ít nhất một đồ thị (C/) của hàm số y = g(x) liên tục trên đoạn

[ α β; ] nằm dưới (hoặc nằm trên) đồ thị (C) Từ đó suy ra: f(x) ≥ g(x) (hoặc

f(x) ≤ g(x)),∀ ∈x [ α β; ])

Xảy ra ba trường hợp:

a) Nếu đồ thị (C) nằm trên đồ thị (C/) hoặc nằm dưới đồ thị (C/) và chúng không có điểm

chung nào thì f(x) > g(x) hoặc f(x) < g(x)

b) Nếu đồ thị (C) nằm trên đồ thị (C/) hoặc nằm dưới đồ thị (C/) và chúng có ít nhất điểm

chung có hoành độ x0∈( α β; ) thì f(x) ≥ g(x) hoặc f(x) ≤ g(x)

c) Nếu đồ thị (C) nằm trên đồ thị (C/) hoặc nằm dưới đồ thị (C/) và chúng có hai điểm chung có hoành độ x1=α và x2 =β thì f(x) ≥ g(x) hoặc f(x) ≤ g(x)

Với bài toán “Tìm GTNN (hoặc GTLN) của biểu thức P = f(a 1 ) + f(a 2 )+…+ f(a n ) với

,i = 1; n ( α i , β , h là 2n + 1 số thực không đổi) ”, ta nên xét đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên i

tục trên đoạn [ α β; ] và một đồ thị (C/) của hàm số y = g(x) liên tục trên đoạn [ α β; ] trong hai

trường hợp b) hoặc c)

Khi không có điều kiện nào của các số a1, a2,…, an thì ta nên xét tính lồi, lõm của đồ thị (C) và

nghĩ đến phương pháp tiếp tuyến (xem cách 1 của bài toán 13)

Khi có điều kiện của các số a1, a2,…, an thì ta nên xét tính lồi lõm của đồ thị (C) và nghĩ đến

phương pháp dây cung của đồ thị lồi, đồ thị lõm (xem bài toán 6)

Tổng quát: Khi điều kiện của các số a1, a2,…, an đưa đến điều kiện của biểu thức g(a1) + g(a2) +…+ g(an) ≥ h (hoặc g(a1) + g(a2) +…+ g(an) ≤ h) với a i∈[ α βi; i],i=1;n (α βi, i, h

là 2n + 1 số thực không đổi), ta nên tìm p, q sao cho f(x i ) ≥ pg(x i ) + q (hoặc f(x i ) ≤ pg(x i ) + q)

với mọi x i∈ [α i ; β ,i = 1;n i] (xem bài toán 14 , bài toán 15, cách 2 của bài toán 6 và cách 2 bài

toán 13)

Bài toán 16:

Trang 20

Cho x, y, z > 0, thỏa mãn: x + y + z = 1 Tìm GTNN của biểu thức

Trang 21

21

34

f f

Trang 22

tương tự ta cũng có:

53

− ≥ − + ++ , ∀x y z, , >0 Từ đó ta

* Cho c = 2 thì a = 0, b = –1, lúc này ta có f(t) = – (t – 1)2( t + 1), suy ra

− ≤ − ++ ,∀x y, >0, đẳng thức xảy ra

khi và chỉ khi x = y; chứng minh tương tự ta cũng có:

25

23

tài nghiên cứu: “ Một số phương pháp biến đổi biểu thức đẳng cấp đối với hai biến, ba biến để

chứng minh bất đẳng thức” của chúng tôi

Sau đây là một số trích dẫn trong đề tài đó

Ta chứng minh bao giờ cũng tồn tại đẳng thức có dạng (28)

Xét đa thức theo biến t:

0( ) ( 1)

n

l l l

Trang 23

+ Các bước chứng minh hằng đẳng thức dạng (28) đã cho ta một phương pháp biến đổi biểu

thức vế trái của của nó (là biểu thức đẳng cấp đối với hai biến a và b)

+ Ta có thể đồng nhất hệ số hai đa thức là hai vế của đẳng thức (28) để tìm các hệ số q i , p l theo

Ta chứng minh bao giờ cũng tồn tại đẳng thức có dạng (29)

0( )

k

n i

i i

(1) 0(1) 0

k n

i i k n

i i

f f

Hệ hai phương trình có hai ẩn ,β γ giải được và luôn có nghiệm Lúc này

( )

f t =

2 2

0

( 1)

n j j j

+ Các bước chứng minh hằng đẳng thức dạng (29) đã cho ta một phương pháp biến đổi biểu

thức vế trái của của nó (là biểu thức đẳng cấp đối với hai biến a và b)

+ Ta có thể đồng nhất hệ số hai đa thức là hai vế của đẳng thức (29) để tìm β γ, , theo các αi

cho trước

Bài toán 20: (Câu V, đề thi đại học môn toán, khối A năm 2011) www.mathvn.com

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z Tìm GTNN của biểu thức

++

=

b a b

b a

a b

2

<

++

−

−+

−

=

′

a b a

a b b b a

b a

1

1411

4),4()

b b

f P

b

( ) (2 )2

214

123)

;4(

++

−

=

′

b b

[ ]1;420

Nhận xét 9:

Từ cách giải bài toán 20, chúng tôi đề xuất bài toán sau

Trang 24

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam Bài toán 20.1:

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] Tìm GTNN và GTLN của biểu thức

Không mất tính tổng quát ta giả sử c = min{a; b; c}, thì 21 2 21 2 1 2 1 2

Trang 25

S≥ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c=0,a= =b 8

Vậy minS =25, đạt được khi và chỉ khi a = b = 8, c = 0 hoặc các hoán vị của nó

Lời giải bài toán 5.3:

Không mất tính tổng quát ta giả sử c = min{a;b;c}, thì 31 3 31 3 1 3 1 3

Trang 26

Trang 27

c= a= =b hoặc các hoán vị của nó

Lời giải bài toán 9.1:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử x ≥ y ≥ z, khi đó ta có (x – y)2 + (y – z)2 ≤ (x – z)2, đẳng

thức xảy ra khi x = y hoặc z = y Ta có

M ≤ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Trang 28

yz y

z

π β

β β

x

a= , = ,a,b∈[ ]1;4 Ta có

1

13

++

=

b a b

b a

a b

2

<

++

−

−+

−

=

′

a b a

a b b b a

b a

f a , ∀a,b∈[ ]1;4 , suy ra

1

1411

4),4()

b b

f P

b

f ,b∈[ ]1;4 Ta lại có

( ) (2 )2

214

123)

;4(

++

−

=

′

b b

[ ]1;420

Trang 29

ii) Nếu y = max{x; y; z} Đặt

z

y b x

y

a= , = , a,b∈[ ]1;4 Ta có

b a

a b

b a

b a g P

+

++

=

12

3

1),(

( ) ( )

( ) (2 )2

21

1)

,

(

a b b

b a a

b

a

g b

++

1,(min)

,()

y

a= , = thì ∈  ∈4;1

1,4

;4

1

b

a , a ≥ b ≥ b2 Ta có

b a

a b

b a

++

=

12

3

1)

,

( ) (2 )2

21

1)

,(

a b b

b a a b a

g b

++

1

;4

1175

6

b a

a g

P ∀ ∈4;1

1

b Do đó ( ) ( )

5

64

1,14

1,1

,1

4

;4

110

117minP= , đạt được khi và chỉ khi

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	438,71 KB