phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNGKHOA TOÁN Phạm Thị Thanh Hà PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG MỞ RỘNG TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN ĐỀ TÀI N

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

KHOA TOÁN

Phạm Thị Thanh Hà

PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG

MỞ RỘNG TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA

ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Đỗ Duy Thành

Hải Phòng - 2016

MỤC LỤC

1.1 Sự hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert thực 9

1.2 Hàm lồi và dưới vi phân hàm lồi 10

1.2.1 Tập lồi 10

1.2.2 Hàm lồi 11

1.2.3 Dưới vi phân hàm lồi 13

1.3 Phép chiếu và các tính chất 15

1.4 Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất động 15

1.5 Bài toán cân bằng 16

1.5.1 Phát biểu bài toán 16

1.5.2 Ví dụ thực tế 17

1.5.3 Điều kiện tồn tại nghiệm 19

2 Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 20 2.1 Xây dựng dãy lặp 20

2.2 Kết quả hội tụ 22

2.3 Kết quả tính toán 27

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

argmin{f (x) : x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C

∂f (x) dưới vi phân của f tại x

P rC(x) hình chiếu của x lên tập C

NC(x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x

xn → x dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

xn * x dãy {xn} hội tụ yếu tới x

V I(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân

EP (C, f ) bài toán cân bằng

Sol(C, f ) tập nghiệm của bài toán EP (C, f )

F ix(S) tập các điểm bất động của ánh xạ S

MỞ ĐẦU

Bài toán cân bằng do W Oettli và E Blum [7] đưa ra năm 1994 Bài toánnày là sự khái quát hóa nhiều bài toán quen thuộc như bài toán tối ưu, bài toánbất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán điểm cân bằng Nash,bài toán điểm yên ngựa, Tuy nhiên, Ky Fan [12] là người công bố kết quả đầutiên về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng Từ đó đến nay đã có nhiều dạng

mở rộng đơn trị lẫn đa trị của kết quả này

Một vấn đề được quan tâm trong 20 năm trở lại đây là xây dựng thuật toánxấp xỉ nghiệm của bài toán cân bằng Những công trình khai phá của W.Oettli[7], A.Moudafi [19], I.V Konnov [17], P.L Combettes và S.A Hirstoaga [11],

đã tạo ra sự phát triển mạnh mẽ cả về số lượng và chất lượng của các nghiên cứu

về thuật toán xấp xỉ điểm cân bằng, trong đó phải kể đến các kết quả nghiên cứucủa một số tác giả người Việt Nam như L.D Muu [21], P.K Anh ([1, 2]), P.N.Anh ([3, 5]),

Một vấn đề cũng được quan tâm khá nhiều hiện nay là bài toán tìm điểmchung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập các điểm bất động của cácánh xạ không giãn Hầu hết các thuật toán để giải bài toán này đều dựa trêntính về ánh xạ nghiệm được đề xuất bởi P.L Combettes và S.A Hirstoaga

(i) Tr đơn trị;

(ii) F ix(Tr) = Sol(C, f )

Vì vậy, tại mỗi bước lặp thứ k, thuật toán giải thường xây dựng dãy lặp {xk}như sau:

Do đó, bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tậpđiểm bất động của ánh xạ không giãn được chuyển về việc giải một dãy các bàitoán cân bằng phụ Thực tế cho thấy, nếu các bài toán phụ này chỉ giải đượcnghiệm dạng xấp xỉ, thì chưa chắc dãy lặp đã hội tụ về nghiệm tối ưu cần tìm.Đây là một vấn đề rất được quan tâm giải quyết và vẫn còn là một câu hỏi mởcho việc nghiên cứu để tìm ra các thuật toán hữu hiệu cho bài toán này Một vàiphương pháp tiếp cận nổi bật giải bài toán này trên một không gian Hilbert thực

H trong thời gian gần đây được biết đến như:

Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) được đề xuấtbởi nhóm tác giả S Takahashi và W Takahashi [24] Dãy {xk} được định nghĩabởi:

giao của hai tập lồi đóng chứa tập nghiệm của bài toán và cũng thu được sự hội

tụ mạnh của thuật toán Cụ thể, tác giả xây dựng dãy lặp như sau: Cho {xk} và{uk} là các dãy sinh bởi x1 = x ∈ H và

Phương pháp đạo hàm tăng cường lần đầu tiên được G.M Korpelevich [18]

đề xuất để giải bài toán tìm điểm yên ngựa sau đó được phát triển cho bài toánbất đẳng thức biến phân Phương pháp này sử dụng hai phép chiếu trong mỗibước lặp như sau:

x0 ∈ C, yk = P rC(xk − λkF (xk)) và xk+1= P rC(xk − λkF (yk)) (2)Tiếp cận này cho phép giải bài toán bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, F )không cần giả thiết đơn điệu mạnh của hàm F mà chỉ cần giả đơn điệu và liêntục Lipschitz Gần đây, phương pháp đạo hàm tăng cường được mở rộng bởi T.D.Quoc, L.D Muu và N.V Hien [21] để giải bài toán cân bằng EP (C, f ) trong Rn.Trong trường hợp này, sơ đồ lặp (2) được viết dưới dạng: Cho x0 ∈ C, tìm yk và

thuật toán Xuất phát từ một điểm tùy ý x0 ∈ C, dãy lặp được định nghĩa nhưsau:

Trên cơ sở tận dụng, kế thừa tối đa những kết quả nghiên cứu đã có trongnước và trên thế giới về các phương pháp tìm điểm chung của tập nghiệm bàitoán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, chúng tôi đã mởrộng, cải tiến để đưa ra các thuật toán mới sử dụng tính đơn điệu suy rộng củasong hàm f đó là tính giả đơn điệu đồng thời khắc phục một số hạn chế khi tìmnghiệm xấp xỉ thông qua việc giải bài toán cân bằng phụ của các phương pháptrước đó

Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương, các kết quả chính nằm

ở Chương 2

Chương 1 là chương có tính chất bổ trợ, cung cấp những vấn đề cơ bản nhất

về bài toán cân bằng và ánh xạ không giãn Cụ thể, chương này đã nhắc lại một

số khái niệm cần thiết về giải tích hàm và giải tích lồi như: Sự hội tụ mạnh vàyếu trong một không gian Hilbert thực, hàm lồi và tập lồi, dưới vi phân của hàmlồi, phép chiếu lên tập lồi đóng Bên cạnh đó, định nghĩa về ánh xạ không giãncùng với các định lý điểm bất động nổi tiếng cũng được trình bày khá chi tiết.Sau đó, chúng tôi đã giới thiệu về bài toán cân bằng, trình bày các điều kiện tồntại nghiệm và tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán

Chương 2 đưa ra một kỹ thuật lặp mới để tìm điểm chung của tập nghiệmbài toán cân bằng với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschitztrên một không gian Hilbert thực H và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn

S Thuật toán này cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường của P.N Anh [4]

với phương pháp chính quy thay phiên của S Sun [22] để làm giảm nhẹ các điềukiện của hàm f từ đơn điệu hoặc đơn điệu mạnh xuống giả đơn điệu, đồng thờiloại bỏ được quá trình giải các bài toán cân bằng phụ, một công việc khá phứctạp và thường chỉ cho nghiệm dưới dạng xấp xỉ Thay vào đó, tại mỗi bước lặpthứ k, chúng tôi chỉ cần giải hai bài toán lồi mạnh, là những bài toán có thể thuđược lời giải chính xác và chứng minh được sự hội tụ mạnh của dãy lặp.

Định nghĩa 1.1 Dãy {xk} trong không gian Hilbert H gọi là hội tụ mạnh đến

(iii) Nếu không gian Hilbert H là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ mạnh và sự hội

tụ yếu là tương đương;

(iv) Nếu dãy xk bị chặn trong không gian Hilbert H thì ta trích ra được một dãycon hội tụ yếu;

Định lý 1.1 ([20], Điều kiện Opial) Với bất kì dãy {xk} ⊂ H mà xk * x, thìbất đẳng thức

lim inf

k→∞ kxk − xk < lim inf

k→∞ kxk − ykluôn đúng với mọi y ∈ H và y 6= x

Định nghĩa 1.3 Cho C là một tập con của không gian Hilbert H Một ánh xạ

T : C → H, được gọi là nửa đóng (demiclosed) tại điểm p, nếu dãy xk ⊂ C, saocho xk * x và {T (xk)} → p, thì T (x) = p;

1.2 Hàm lồi và dưới vi phân hàm lồi

Định nghĩa 1.6 Cho không gian Hilbert thực H, C ⊆ H là một tập lồi và

x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x0(hay còn gọi là nón lồi đóng), kí hiệu

là NC(x0) và được xác định bởi công thức

được gọi là tập trên đồ thị (effective domain) và miền xác định (epigraph) của

f (x) Hàm f được gọi là chính thường (proper) trên C nếu

domf 6= ∅, f (x) > −∞, ∀x ∈ C

Mệnh đề 1.2 Cho không gian Hilbert H và C ⊆ H Khi đó, hàm f : C →

R ∪ {+∞} được gọi là lồi trên C nếu và chỉ nếu với ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1], ta có

hu, Qxui ≥ 0, ∀u ∈ H

Ví dụ 1.1 Hàm f (x) = x2 là lồi trên toàn bộ R Thật vậy, với ∀x, y ∈ R, µ ∈[0, 1], λ + µ = 1, ta có

(x − y)2 ≥ 0

Chú ý Hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại không đúng.

Ví dụ 1.2 Trong không gian Rn, xét hàm f (x) = kxk Dễ thấy f(x) là hàm lồi.Nếu trên Rn\{0} thì f (x) không lồi chặt

Thật vậy, lấy x ∈ Rn\{0} và λ ∈ (0, 1), ta có

kλx + (1 − λ)0k = λkxk + (1 − λ)k0k

Vậy f (x) = kxk không lồi chặt

Định nghĩa 1.9 Cho không gian Hilbert H, C ⊆ H Hàm f được gọi là lồi mạnhtrên C, nếu với ∀x, y ∈ C; λ ∈ (0, 1), ∃β > 0 sao cho

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)βkx − yk2

Khi đó, β được gọi là hằng số lồi mạnh của f

Ví dụ 1.3 Cho không gian Hilbert thực H Với x ∈ H xét hàm f (x) = kxk2

Định nghĩa 1.10 Cho không gian Hilbert H, C ⊆ H và hàm chính thường

f : C → R ∪ {+∞} Một vectơ p ∈ C được gọi là dưới gradient của f tại x0 ∈ Cnếu

hp, x − x0i + f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ C

Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của f tại x0,

kí hiệu

∂f (x0) := {p ∈ C : hp, x − x0i + f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ C}

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0) 6= ∅

Ví dụ 1.4 Cho C là một tập lồi khác rỗng của không gian Hilbert H Xét hàmchỉ trên C:

∂δC(x0) = NC(x0), ∀x0 ∈ C

Thật vậy, nếu x0 ∈ C thì ∂δC(x0) = 0 và

∂δC(x0) = {p ∈ H : ∂δC(x) ≥ hp, x − x0i, ∀x ∈ C}

Hay

∂δC(x0) = {p ∈ H : 0 ≥ hp, x − x0i, ∀x ∈ C} = NC(x0)

Định lý 1.4 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert

H và f : C → R là một khả dưới vi phân trên C Điều kiện cần và đủ để điểm

x∗ ∈ C là cực tiểu của f trên C là

0 ∈ ∂f (x∗) + NC(x∗)

Trong đó ∂f (x∗) là kí hiệu dưới vi phân của hàm f tại x∗, NC(x∗) là kí hiệu củanón pháp tuyến ngoài của C tại x∗

Định nghĩa 1.11 Cho hàm số f xác định trên một tập mở C ⊂ R

i) Hàm f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ C nếu với ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho

kf (x) − f (x0)k <  với mọi x ∈ C thỏa mãn kx − x0k < δ Nói cách khác,hàm f liên tục tại x0 ∈ C nếu với mọi dãy {xk} ⊂ C hội tụ đến x0, ta có

f (xk) → f (x0)

ii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng nửa liên tục trên) tại điểm

x0 ∈ C nếu ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho

f (x) ≥ f (x0) −  (f (x) ≤ f (x0) + )với ∀x ∈ C thỏa mãn kx − x0k < δ Nói cách khác, hàm f là nửa liên tụcdưới, (nửa liên tục trên) tại điểm x0 ∈ C nếu với mọi dãy {xk} ⊂ C hội tụđến x0 ∈ C và dãy {f (xk

1.3 Phép chiếu và các tính chất

Định nghĩa 1.12 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H Phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao của mộtđiểm x ∈ H lên C, kí hiệu P rC(x) được xác định bởi

P rC(x) = argmin{kx − yk : y ∈ C}

Dùng định nghĩa 1.12, ta chứng minh được các tính chất sau:

Tính chất 1.1 (i) Với mỗi x ∈ H, P rC(x) tồn tại và duy nhất;

(ii) hx − P rC(x), y − P rC(x)i ≤ 0, ∀x ∈ H, y ∈ C;

(iii) kP rC(x) − P rC(y)k2 ≤ hP rC(x) − P rC(y), x − yi, ∀x, y ∈ H;

(iv) kP rC(x) − P rC(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H;

(v) kP rC(x) − P rC(y)k2 ≤ kx − yk2− kP rC(x) − x + y − P rC(y)k2, ∀x, y ∈ H;(vi) kP rC(x) − yk2 ≤ kx − yk2− kP rC(x) − xk2, ∀x, y ∈ H

1.4 Ánh xạ không giãn và các định lý điểm bất

động

Định nghĩa 1.13 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Ánh xạ

S : C → C được gọi là ánh xạ không giãn, nếu:

kS(x) − S(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ C

Định nghĩa 1.14 Cho S : C → C là một ánh xạ không giãn Một điểm x ∈ Cđược gọi là điểm bất động của ánh xạ S nếu S(x) = x Kí hiệu F ix(S) là tập cácđiểm bất động của S

Định lý 1.5 ([9], [14], Browder-Gohde) Cho X là một không gian Banach lồiđều, C là một tập con lồi, đóng, bị chặn của X Khi đó, mọi ánh xạ không giãn

S : C → C có điểm bất động trong C và tập hợp các điểm bất động của S là lồi,đóng và khác rỗng.

Hệ quả 1.1 Cho C là một tập con lồi, đóng, bị chặn của H Khi đó mọi ánh

xạ không giãn S : C → C có điểm bất động trong C

Định lý 1.6 ([16], Kirk) Cho X là một không gian Banach và C là một tập conlồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong X Khi đó, mọi ánh xạ không giãn

S : C → C có điểm bất động trong C

1.5 Bài toán cân bằng

Định nghĩa 1.15 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của một khônggian Hilbert thực H và một song hàm f : C × C → R sao cho f (x, x) = 0 vớimọi x ∈ C Bài toán cân bằng, viết tắt là EP (C, f ) được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C

Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán EP (C, f ) là Sol(C, f )

Định nghĩa 1.16 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gianHilbert thực H Một song hàm

f : C × C → R,được gọi là:

(a) đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên C với hệ số β > 0, nếu

f (x, y) + f (y, x) ≤ −βkx − yk2, ∀x, y ∈ C;

(b) đơn điệu chặt (strictly monotone) trên C, nếu

f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x 6= y;

(c) đơn điệu (monotone) trên C, nếu

Ví dụ 1.5 (Bài toán cân bằng Nash)

i) Cho I = 1, 2, p, là tập chỉ số hữu hạn (tập p - người chơi)

ii) Ki là một tập lồi khác rỗng của Rni (tập các chiến lược của người chơi thứi)

iii) Cho trước hàm fi : K1 × K2 × × Kp → R (ta gọi là hàm tổn thất củangười chơi thứ i khi vi phạm chiến lược của người chơi với mọi i ∈ I).Cho x = (x1, x2, , xp), y = y1, y2, , yp) ∈ K1 × K2 × × Kp Ta định nghĩavecto x[yi] ∈ K1× K2 × × Kp như sau:

Đặt K = K1 × K2 × × Kp Khi đó, bài toán cân bằng Nash được phát biểunhư sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho fi(x∗) ≤ fi(x∗[yi]), ∀i ∈ I, ∀y ∈ K

Điểm thỏa mãn bài toán trên được gọi là điểm cân bằng Nash Về ý nghĩa kinh

tế, điểm cân bằng Nash nói lên rằng bất kì đối thủ nào chọn phương án ra khỏiđiểm cân bằng trong khi các đối thủ còn lại vẫn giữ phương án điểm cân bằngthì đối thủ ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị thua thiệt

Lấy x∗[yi] = x∗, ∀j 6= i0, ta có

fi0(x∗) = fi0(x∗[yi]), ∀j 6= i0.Kết hợp 2 điều kiện trên, ta suy ra

p

X

i=1

(fi(x∗[yi]) − f (x∗) < 0, ∀y ∈ K

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán cân bằng Nash

Mệnh đề 1.3 ([17]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của một khônggian Hilbert thực H và f : C × C → R ∪ {+∞} là một song hàm sao cho với mỗi

y ∈ C, f (., y) là hàm liên tục trên C và với mỗi x ∈ C, f (x, ) là hàm tựa lồi trên

C Giả sử rằng ít nhất một trong các giả thiết sau được thỏa mãn:

EP (C, f ) có duy nhất nghiệm

(iv) rk ∈ (0, ∞), lim inf

và khó khăn khi chạy thuật toán trên máy tính Để tránh được điều đó, chúngtôi đã kết hợp giữa phương pháp đạo hàm tăng cường được giới thiệu bởi P.N.Anh [4] với phương pháp chính quy hóa tương đối của S Sun [22], đưa ra một kỹthuật lặp mới để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng giả đơn điệu

EP (C, f ) và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong một không gianHilbert thực Khi đó, tại mỗi bước lặp thứ k chúng tôi chỉ cần giải hai bài toánlồi mạnh với phương pháp giải tương đối đơn giản và thu được nghiệm chính xác.Cho trước x1, t ∈ H Dãy {xk} được xác định như sau

(A1) f liên tục kiểu Lipschitz trên C;

(A2) f giả đơn điệu và liên tục trên C;

(A3) Với mỗi x ∈ C, f (x, ) khả dưới vi phân và lồi trên C;

(A4) F ix(S) ∩ Sol(C, f ) 6= ∅

Bổ đề 2.1 ([27]) Cho {ak} là một dãy số thực không âm sao cho

ak+1 ≤ (1 − αk)ak + βk, k ≤ 0,trong đó {αk}, {βk} thỏa mãn:

Bổ đề 2.3 ([4]) Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của một không gianHilbert thực H Cho f : C × C → R là một song hàm giả đơn điệu, liên tục kiểuLipschitz với hằng số c1, c2 > 0 Với mỗi x ∈ C, cho f (x, ) lồi, khả dưới vi phântrên C Giả sử dãy {xk}, {yk}, {tk} sinh bởi (2.2) và x∗ ∈ Sol(C, f ) thì

Với mỗi x∗ ∈ F ix(S) ∩ Sol(C, f ), từ xk+1= g(xk) + (1 − βk)S(αkt + (1 − αk)tk)

≤ 2βkδ2kxk − x∗k2+ 2βkkg(x∗) − x∗k2+ (1 − βk)αkk(u − x∗)k2+ (1 − βk)(1 − αk)ktk − x∗k2

≤ 2βkδ2kxk − x∗k2+ 2βkkg(x∗) − x∗k2+ (1 − βk)αkk(u − x∗)k2+ (1 − βk)(1 − αk) kxk − x∗k2− (1 − 2λkc1)kxk− ykk2

− (1 − 2λkc2)kyk − tkk2

≤ 2βkδ2+ (1 − αk)(1 − βk)
kxk − x∗k2+ 2βkkg(x∗) − x∗k2+ (1 − βk)αkku − x∗k2