skkn rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng véc tơ để giải các bài toán hình học không gian

Thực tế trong sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11 cấp THPT chỉ với thời lượng 3 tiết cho một bài dành riêng cho véc tơ trong không gian và chỉ dùng véc tơ trong không gian đểgiới thi

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.

Thực tế trong sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11 cấp THPT chỉ với thời lượng 3 tiết

cho một bài dành riêng cho véc tơ trong không gian và chỉ dùng véc tơ trong không gian đểgiới thiệu quan hệ vuông góc mà không xét véc tơ trong không gian thành một chủ đề riêng,thời lượng ít, việc tiếp cận các kiến thức còn hạn chế Bài tập hình học không gian sử dụngphương pháp véc tơ để giải còn xa lạ đối với đa số học sinh Tuy nhiên trong các kì thi như:thi học kì, thi học sinh giỏi các tỉnh, thành phố, thi olimpic, thi tốt nghiệp, thi đại học, caođẳng,… luôn có nhiều bài hình học không gian nếu giải theo phương pháp thuần túy thì hếtsức khó khăn, nhưng khi sử dụng véc tơ để giải thì rất nhẹ nhàng Do vậy cần cho học sinhtiếp cận với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau, đồng thời rèn luyện cho học sinhphân tích bài toán theo nhiều hướng để tìm ra lời giải tối ưu nhất Giáo viên cần trang bị chocác em các kiến thức cơ bản phù hợp; tiếp cận với được nhiều kiến thức để có vốn hiểu biếtlàm tiền đề việc học tốt phân môn hình học tọa độ trong không gian, một công cụ hữu ích đểgiải nhiều bài toán hình học

Xuất phát từ thực tế đó tôi mạnh dạn “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng véc tơ đểgiải các bài toán hình học không gian” làm đề tài nghiên cứu và áp dụng dạy trên một số lớptại trường THPT Ba Đình

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

A CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Cơ sở lí thuyết:

1 Véc tơ trong không gian:

Định nghĩa véc tơ và các phép toán về véc tơ trong không gian cũng giống như trong mặtphẳng Ngoài ra cần biết:

- Quy tắc hình hộp để cộng véc tơ trong không gian

- Khái niệm và định nghĩa đồng phẳng của ba véc tơ, cụ thể:

+ Ba véc tơ a b c  , , đồng phẳng khi và chỉ khi có ba số m, n, p không đồng thời bằng khôngsao cho ma nb pc  0

+ Cho a b , không cùng phương Khi đó a b c  , , đồng phẳng khi và chỉ khi có các số m, n sao

+ Nếu a b c  , , không đồng phẳng thì với mỗi véc tơ d

đều có thể viết dưới dạng

Qui trình giải toán

Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở, đưa các giả thiết và kết luận của bài toán hình học đã cho

sang ngôn ngữ “véc tơ”

Nói chung việc chọn hệ véc tơ cơ sở phải thoả mãn hai yêu cầu:

+ Hệ véc tơ cơ sở phải là ba véc tơ không đồng phẳng, biết độ dài các véc tơ và góc giữachúng

+ Hệ véc tơ cơ sở nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngônngữ véc tơ một cách đơn giản nhất

Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ thức

véc tơ theo hệ véc tơ cơ sở

Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng.

B THỰC TRẠNG

Hình học không gian là một mảng kiến thức có thể nói khó đối với học sinh trung học phổ

thông Hơn nữa một thực tế là có rất nhiều học sinh chưa thấy hết được ứng dụng của véc tơđối với các bài toán hình học không gian

Do hình học không gian là bộ môn mà học sinh mới bắt đầu làm quen từ lớp 9, việc tiếp thukiến thức còn bị động, rời rạc, không có hệ thống, nên khả năng tư duy bộ môn còn nhiềuhạn chế Chưa liên hệ từ thực tiễn đến lí thuyết, từ lí thuyết đến bài tập, việc vận dụng còn xa

lạ đối với các em học sinh, các em mới chỉ làm được các bài tập đơn giản chưa có đường lối

rõ ràng Để có thể phát huy được sự tìm tòi, tính sáng tạo, năng lực tư duy của học sinh.Ngay sau khi học bài học đầu tiên của chương III hình học nâng cao lớp 11: “Véc tơ trongkhông gian Sự đồng phẳng của các véc tơ” giáo viên cần cho học sinh làm các bài tập sửdụng các kiến thức về véc tơ trong không gian Từ đó học sinh cần thấy được véc tơ và cácphép toán về véc tơ có vai trò nhất định trong việc giải một số bài toán hình học không gian.Kết hợp với trình bày khoa học của sách giáo khoa và thông qua những bài tập củng cố khéoléo của giáo viên, học sinh hiểu được phương pháp véc tơ là gì? Cách giải các bài toán hìnhhọc không gian bằng phương pháp đó như thế nào và cần những nội dung kiến thức gì? Tại

sao phải nắm vững mối liên hệ giữa các véc tơ trong không gian với các khái niệm cơ bản,đối tượng của hình học không gian.

Chính vì lẽ đó để làm tốt các bài toán bằng phương pháp véc tơ và học tập tốt bộ mônkhông chỉ trong phạm vi của một tiết học, một bài hay một chương mà là công việc thườngxuyên và liên tục gần như xuyên suốt chương trình hình học lớp 11, 12 THPT

Để giải quyết dạng bài toán này ngoài việc nắm vững lí thuyết về véc tơ, các em còn phảinhạy bén trong việc phát hiện ra các bài toán có thể giải được bằng phương pháp véc tơ, loạibài toán này có nhiều dạng Đối với học sinh lớp 11, 12 loại bài tập này có thể chia làm 6dạng: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 4 điểm đồng phẳng, quan hệ song song, quan hệvuông góc; tính góc; tính khoảng cách

C GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Để thực hiện đề tài “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng véc tơ để giải toán hình họckhông gian” tôi cho học sinh nắm vững kiến thức về véc tơ, qui trình giải toán bằng phươngpháp véc tơ, đồng thời phân thành 6 dạng toán với các cách giải tương ứng và được rèn luyện

kỹ năng thông qua các ví dụ cụ thể (là các bài toán trong sách giáo khoa, sách bài tập, các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi của các tỉnh, thành phố,…) Cụ thể:

I-MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN:

Bài toán 1: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Cách giải: Để chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng, ta chứng minh hai véc tơ

N là trung điểm của CD  AN 12AC AD  12b c 

(Bài 5a) trang 114 – Sách bài tập hình học nâng cao lớp 11)

Vậy đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’

Bài toán 2: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc một mặt phẳng.

P

A

Q

C D

B M B’

A’

C’

D’

Cách giải: Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc một mặt phẳng, ta có thể chứng minh

với k 2 +l 2 +m 2 >0; ta cũng có thể chọn điểm O nào đó và chứng minh

OD kOA lOB mOC     

rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứgiác B'MDN là hình vuông

(Đề tuyển sinh đại học - Khối B - năm 2003)

Kiểm tra các điều kiện suy ra AA'a 2

Nhận xét: Để chứng minh B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng ta đã chứng minh

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Chứng minh rằng các trung điểm của 6 cạnh BC, CD, DD' , ,

D'A', A'B'và B'B cùng nằm trên một mặt phẳng

(Bài 37 trang 68 - Sách hình học nâng cao lớp 11)

Bài giải:

M

B

D A

C N

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của 6 cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B' và B'B

Bài toán 3: Quan hệ song song

1) Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Cách giải: Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau, ta cần

chứng minh hai véc tơ AB và CD cùng phương Khi AB , CD cùng phương và có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì AB và CD song song.

2) Chứng minh đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng.

Cách giải: Để chứng minh đường thẳng AB song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P), ta lấy trong (P) hai véc tơ a và b không cùng phương, sau đó chứng minh  AB a b, ,



đồng phẳng Khi các véc tơ  AB a b, ,

C N

R

Q P

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A'B'C' Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và

A'B'C', I là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B Chứng minh rằng các đường thẳng

Vậy GI và CG' là hai đường thẳng song song

Ví dụ 2:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và DD'; G và G' lầnlượt là trọng tâm của các tứ diện A'D'MN và BCC'D' Chứng minh rằng đường thẳng GG' vàmặt phẳng (ABB'A') song song với nhau

( Bài tập 4 trang 91- Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11)

AC' lần lượt tại M, N.

M chia BA' theo tỉ số k  MB k MA '

Từ đó ta có:

10

21

11

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Lấy các điểm A1, B1, C1 lần lượt thuộc các cạnh bên

AA', BB', CC' sao cho 1 1 1

AA  BB CC  Trên các đoạn thẳng CA1 và A'B1 lần lượt lấy

các điểm I, J sao cho IJ//B'C1 Tính tỉ số

1

IJ.'

Bài toán 4: Tính góc giữa hai đường thẳng

Cách giải: Góc giữa hai đường thẳng d và d’ là  , ta có cos cos , u v  với u v , lần lượt

là các vtcp của d, d’.

Như vậy để tính góc giữa hai đường thẳng ta cần tính được tích vô hướng u v  và độ dài các

véc tơ u v, , từ đó có cos cos , u v  .

Ví dụ 1:

Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các canh bằng a Các điểm M là trung điểm của BC Tính

cosin của góc giữa đường thẳng AB với đường thẳng DM

(Bài 2 trang 59 - Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11)

N

Cách giải: Để chứng minh hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau ta có thể chứng minh u v   0 (với uvà v lần lượt là véc tơ chỉ phương của d và d’) hoặc góc giữa chúng bằng 90 0

Ví dụ 1:

Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau Gọi H là hình chiếu của D trên mặt phẳng(ABC) và I là trung điểm của DH Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi mộtvuông góc

(Bài 28a, trang 117 –Sách bài tập hình học nâng cao lớp 11)

Do DABC là tứ diện đều, nên H

là trọng tâm của tam giác ABC,

suy ra DH 13a b c   ID 16a b c  

156

     

Vậy tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc

Nhận xét:

1) Kết quả của bài toán là một tính chất đẹp của tứ diện đều.

2) Để giải bài toán ngoài cách giải trên ta còn có thể tính góc giữa các cặp đường thẳng, tuy nhiên sẽ cồng kềnh hơn.

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặtđáy và SA=a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD; I là giao điểm của SC và mặtphẳng (AMN) Chứng minh SC vuông góc với AI

.

H

d, d’sao cho AB đồng thời vuông góc với d và d’; muốn tính AB ta biểu thị véc tơ AB qua hệ

B

C

ac



Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và

AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên DN lấy điểm Q sao cho PQ song song với CM.Tính độ dài đoạn thẳng PQ và thể tích của khối AMNP

(Câu 6 - Đề thi chọn HSG tỉnh Nghệ An - lớp 12 năm học 2009 - 2010)

M N

P

.

.

21

k l

M N

P

.

.

H

1 0

32

Suy ra  

2 2

2) Với cách tính độ dài đoạn thẳng PQ bằng phương pháp véc tơ như trên, ta nhận thấy phương pháp véc tơ có thể tránh cho chúng ta phải kẻ thêm những đường phụ phức tạp, đó cũng chính là điểm yếu của học sinh khi làm các bài tập hình học không gian.

3) Ngoài cách giải bằng phương pháp véc tơ như trên, ta giải bằng phương pháp tổng hợp nhờ kẻ thêm các đường phụ.

khi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

MN đạt giá trị lớn nhất bằng a khi MB, ND hoặc MA, NC

Ví dụ 4:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đốixứng của D qua trung điểm của SA; gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC Tínhkhoảng cách giữa MN và AC

(Đề tuyển sinh Đại học khối B năm 2007)

Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của MN và AC

(P trên MN, Q trên AC), ta có:

12

2 2

Cho lăng trụ đều ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AA' và BB' Tính khoảng cách giữa B'M và CN

áp dụng tính chất của tứ diện vuông hoặc tính độ dài đường vuông góc chung.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang GócABCBAD 900, BA=BC=a, AD=2a.Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

(Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2007).

Cho khối chóp S ABC có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a, ASB SAC 90 ,0 BSC 1200 Gọi

M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a Chứng minh tam giác AMNvuông Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) theo a

(Đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Hải Dương năm học 2013 - 2014).

A S

a

b

c

.S

N M

Vậy AM AN, tức là tam giác AMN vuông tại A.

* Gọi H là điểm thuộc mp(SAB) thì

       Nếu H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (SAB) thì:

Khi đó: ACAB AD b c    

,,

22

63

1) Câu a) ngoài cách giải trên ta còn giải theo phương pháp trượt (bằng nửa khoảng cách

Bài 2:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB  2 a 3và SBC   300 Tính thể tích khốichóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

(Đề thi Đại học khối D năm 2011).

(Đề thi Olimpic Bỉm Sơn năm 2011)

Bài 6: Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Oz lấy điểm A cố định khác O, biết OA=a.

Gọi P là mặt phẳng thay đổi chứa điểm A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho

1 1 2

1) Chứng minh rằng mặt phẳng (P) luôn chứa một đường thẳng cố đinh

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện O.ABC.

(Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Nghệ An năm 2008 - 2009).

D KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM.

1 Kết quả nghiên cứu.

Để kiểm tra hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất lượng tươngđương là học sinh lớp 11B và lớp 11K Trong đó lớp 11B chưa được hướng dẫn sử dụngphương pháp véc tơ để giải toán hình học không gian Với hình thức kiểm tra là làm bài tựluận thời gian 45 phút với đề bài như sau:

Câu 2: (3 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, với AD=CD =a,

AB=3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 450 Tínhtheo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

Câu 3: (3 điểm)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Lấy các điểm A1, B1, C1 lần lượt thuộc các cạnh

bên AA’, BB’, CC’ sao cho 1 1 1

'

3

AA BB CC  Trên các đoạn thẳng CA1 và A’B1 lần lượt

lấy các điểm I, J sao cho IJ//B’C1 Tính tỉ số

1

IJ'

Kết quả thu được như sau:

Lớp Sỹ số

Điểm < 5 Điểm 5<8 Điểm 8

2 Bài học kinh nghiệm.

Qua đề tài này, tôi thu được một số bài học như sau:

- Phải cho học sinh tiếp cận với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau

- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán theo nhiều hướng khác nhau để tìm ra lời giải tối

ưu nhất

- Rèn luyện cho học sinh trình bày lời giải ngắn gọn, chặt chẽ, hợp logic

- Phải phát huy tối đa tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh

- Phải tạo điều kiện tối đa để học sinh chủ động giải quyết các bài toán dựa trên cơ sở lýthuyết tương ứng

PHẦN III KẾT LUẬN

Sử dụng phương pháp véc tơ để giải một lớp các bài toán hình học không gian giúp cho họcsinh phát triển tính tích cực, trí thông minh sáng tạo, kỹ năng vận dụng linh hoạt các kiếnthức đã học vào trong giải toán, giúp các em thấy được sự gần gũi và tự tin với mảng kiếnthức khó này

Sau khi thực hiện đề tài này trên các tiết dạy chính khóa cũng như các buổi ôn tập cho họcsinh lớp 11, 12, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của trường THPT Ba Đình, ôn thi tốtnghiệp và đại học tại các lớp 12B, 12D, 12K đã cho kết quả tốt Học sinh có thể sử dụng linhhoạt các phương pháp khác nhau để giải quyết các bài toán hình học không gian; đồng thờiqua đó giúp học sinh phát triển óc tư duy, sáng tạo, độc lập và tiềm năng vận dụng tri thứcvào những tình huống mới

Vì nhiều lí do khác nhau, nên trong bài viết này, tôi cũng chỉ mới nêu ra cách giải quyết mộtlớp bài toán hình học không gian nhờ sử dụng công cụ véc tơ, mà ít đề cập, so sánh với cáccách giải khác Rất mong được sự đóng góp, cùng trao đổi của các bạn đồng nghiệp để tôi cóthể khai thác tốt nhất các bài toán thuộc thể loại này

Tôi xin chân thành cám ơn!