Cac bai tap hinh hoc khong gian on DH

Bài tập về hình học không gianBài tập ôn tập chơng I  Vấn đề 1: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Ph ơng pháp : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của ha

Bài tập về hình học không gian

Bài tập ôn tập chơng I

 Vấn đề 1: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Ph ơng pháp : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung

của hai mặt phẳng Đờng thẳng đi qua hai điểm chung đó, là giao tuyến của hai mặt phẳng

 á p dụng :

 Bài 1 : Cho một điểm S ở ngoài mặt phẳng ( α ) và 4 điểm A, B, C, D nằm

trong (α ); AB và CD không song song Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

(SAB) và (SCD)

HD: AB ∩ CD = {I} ; ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = SI

 Bài 2 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD không nằm trong cùng một mặt phẳng,

M là một điểm trên AB, và N là một điểm trên CD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB)

 Bài 3 : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AC và BC, K là

một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt phẳng (ACD) và (ABD)

HD: JK ∩ CD = {H} ⇒ (IJK) ∩ (ACD) = IH

IH ∩ AD = {E} ⇒ (IJK) ∩ (ABD) = KE

 Bài 4 : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC.

a Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD)

b M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN)

HD: a (IBC) ∩ (JDA) = IJ

b BI ∩ MD = {P}; CI ∩ DN ={Q}; ⇒ (DMN) ∩ (IBC) = PQ

 Bài 5 : Cho tứ diện ABCD và D, E, F là trung điểm của AB, BC, SA.

a Tìm giao tuyến d1 của 2 mặt phẳng (SDC) và (SAE)

b Tìm giao tuyến d2 của 2 mặt phẳng (SDC) và (BFC)

c d1 và d2 có cắt nhau không ?

HD: a, (SDC) ∩ (SAE) = SG = d 1

b, BF ∩ SD = {K} ⇒ (SDC) ∩ (BFC) = CK = d 2

c, d 1 ∩ d 2 ={ I}

 Bài 6 : Chứng minh rằng có vô số đờng thẳng cắt cả 3 đờng thẳng cho trớc

đôi một chéo nhau

 Bài 7 : Cho 2 đờng thẳng d1 và d2 không nằm trong một mặt phẳng Lấy điểm

A trên d1 và điểm B trên d2 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (A,d2) và (B,

d1)

HD: (A, d 2 ) ∩ (B, d 1 ) = AB

 Bài 8 : Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng Gọi I, J

lần lợt là trung điểm của AD và BC

a Chứng minh IB và JA là 2 đờng thẳng chéo nhau

b Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD)

c Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB và N là điểm nằm trên đoạn AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN)

HD: Dùng phơng pháp phản chứng.

Giả sử IB và JA không chéo nhau, thì IB và JA nằm trong cùng 1 mp,

D C B A ABIJ

C BJ C

ABIJ D

AI D

, , , )

(

) (

⇒







∈

⇒

∈

∈

⇒

∈

nằm trong 1 mp trái với giả thiết Vậy IB và JA chéo nhau.

Câu b,c tơng tự bài tập 3.

 Bài 9 : Gọi α là mặt phẳng xác định bởi 2 đờng thẳng a, b cắt nhau tại O, và

c là một đờng thẳng cắt mp(α ) tại I khác O.

a Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O,c) và ( α ).

b Gọi M là một điểm trên c và không trùng với I Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (M,a) và (M,b) Chứng minh rằng giao tuyến này luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c

HD: a, (O,c) ∩ (α ) = OI

b, (M, a) ∩ (M, b) = OM, OM ⊂ (O, c).

 Bài 10 : Cho 2 đờng thẳng a, b chéo nhau và một điểm M không thuộc 2

đ-ờng thẳng đó Hãy dựng một đđ-ờng thẳng đi qua M và cắt cả 2 đđ-ờng thẳng a, b

Vấn đề 2: Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3

đờng thẳng đồng quy tại một điểm.

Ph ơng pháp :

+ Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta chứng minh 3 điểm đó là các

điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt Lúc đó chúng nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng

+ Muốn chứng minh 3 đờng thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của 2

đờng thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đờng thẳng thứ ba

á p dụng :

 Bài 1 : Cho tam giác ABC và tam giác DEF không nằm trong cùng một mặt

phẳng, AB cắt DE tại M; BC cắt EF tại N; AC cắt DF tại L Chứng minh: M,

N, L thẳng hàng

HD: Cần chứng minh

M, N, L nằm trên giao tuyến của 2 mp (ABC) và (DEF).

 Bài 2 : Cho tứ diện ABCD; E,F,G là 3 điểm lần lợt trên AB, AC, AD Gọi M,

N , L là giao điểm lần lợt của BC và EF; CD và FG; BD và EG Chứng minh:

M, N, L thẳng hàng

HD: Cần chứng minh

M, N, L nằm trên giao tuyến của 2 mp (BCD) và (EFG).

 Bài 3 : Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G lần lợt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC,

BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H Chứng minh CD, IG, HF đồng qui

 Bài 4 : Cho 2 mặt phẳng ( α ) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d Ta lấy 2

điểm A, B thuộc mp( α ), nhng không thuộc d và một điểm O không thuộc ( α

) và (β) Các đờng thẳng OA, OB lần lợt cắt (β) tại A’, B’ Giả sử đờng thẳng AB cắt d tại C

a Chứng minh 3 điểm O, A, B không thẳng hàng

b Chứng minh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng, và từ đó suy ra 3 đờng thẳng

AB, A’B’ và d đồng qui

 Bài 5 : Chứng minh rằng nếu 3 đờng thẳng không cùng nằm trên một mặt

phẳng và vắt nhau từng đôi một thi chúng đồng qui

 Bài 6 : Cho tam giác ABC nằm ngoài mặt phẳng ( α ); cho biết 3 cạnh của tam

giác kéo dài cắt ( α ) tại I, J, K Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

 Bài 7 : Cho tứ diện ABCD Gọi A’ và B’ là trọng tâm của hai tam giác BCD

và ACD, I là trung điểm của CD

a Chứng minh rằng 2 đờng thẳng AA’ và BB’ giao nhau tại G.

Suy ra 4 đờng thẳng nối từ mỗi đỉnh của tứ diện đến trọng tâm của mặt đối

đồng qui

b Chứng minh rằng A’B’ song song với AB và tính

GA

GA'

 Bài 8 : Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng Gọi I là

điểm nằm trên đờng thẳng BD nhng không thuộc đoạn BD Trong mặt phẳng (ABD), ta vẽ một đờng thẳng qua I cắt 2 đoạn thẳng CB và CD lần lợt tại M

và N

a Chứng minh 4 điểm K, L, M, N cùng thuộc mặt phẳng

b Gọi O1 là giao điểm của 2 đờng thẳng BN và DM, O2 là giao điểm của hai

đờng thẳng BL và DK và J là giao điểm của 2 đờng thẳng LM và KN Trong

5 điểm A, C, J, O1, O2 có ba bộ ba điểm nào thẳng hàng không ?

c Giả sử 2 đờng KM và LN cắt nhau tại H Chứng minh rằng điểm H thuộc

đờng thẳng AC

HD: a, K, L, M, N ∈(IMK)

b, (ABN) ∩ (ADM) = AJO 1

(BCL) ∩ (CDK) = CJO 2

c, (ABC) ∩ (ADC) = ACH

 Bài 9 : Cho hình chóp S.ABCD Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần

lợt tại A’, B’, C’, D’ Gọi I là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng A’C’, B’D’ và SI đồng qui

HD: A C ’ ’ ∩ B D = {K}’ ’

K ∈ A C ’ ’ ⊂ (SAC), K ∈B D ’ ’ ⊂(SBD)

mà (SAC) ∩ (SBD) = SI ⇒K ∈SI

⇒A C , B D và SI đồng qui’ ’ ’ ’

Vấn đề 3: Cách tìm giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng

Ph ơng pháp : Cho đờng thẳng d và mp( α ) Giả sử d cắt ( α ) Muốn tìm giao

điểm của d và ( α ), ta chọn mặt phẳng phụ β chứa d, cắt ( α ) theo giao tuyến

(d) dễ nhìn thấy Trong mp phụ (β) , d cắt (∆) tại I Đí là giao điểm của d

và mp(α ).

á p dụng :

 Bài 1 : Cho tứ diện OABC Trên các cạnh OA, OB, OC, ta lần lợt lấy các

điểm A’, B’, C’ Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC

a Tìm giao điểm của đờng thẳng B’C’ với mp(OAM)

b Đờng thẳng OM với mp(A’B’C’)

HD: a, có AM ∩ BC = {K}, B C’ ’∩ OK = {H}

⇒H là giao điểm của B C với (OAM)’ ’

b, OM ∩ A H = {E} ’ ⇒ E là giao điểm của OM với (A B C ).’ ’ ’

 Bài 2 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AC và BC, K

là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD Tìm giao

điểm của CD và AD với mp(MNK)

IM ∩ AD = {J}

⇒AD ∩ (MNK) = {J}

 Bài 3 : Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng Gọi M

và N lần lợt là trung điểm của AC và BC Trên đoạn thẳng BD, ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD

Tìm giao điểm của:

a Đờng thẳng CD với mp(MNP)

b Đờng thẳng AD với mp(MNP)

 Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD, dáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm

của SC

a Tìm giao điểm I của AM với (SBD) Chứng minh: IA = 2IM

b Tìm giao điểm F của SD với (ABM) Chứng minh F là trung điểm của SD

c Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB Tìm giao điểm của MN với (SBD)

Vấn đề 4: Cách tìm tập hợp giao điểm của hai đờng thẳng di

động

Ph ơng pháp :

+ Gọi 2 đờng thẳng di động d và d’, d ∩ d’ = {M} Muốn tìm tập hợp M ta làm nh sau:

Tìm hai mặt phẳng cố định lần lợt chứa d và d’, M di động trên giao tuyến cố

định của hai mặt phẳng đó

+ Giới hạn (nếu có).

+ Phần đảo

 á p dụng:

 Bài 1 : Cho một mặt phẳng (P) và 2 đờng thẳng d1 và d2 đồng qui tại O Hai

điểm A và B cố định ở ngoài mặt phẳng (P) Mặt phẳng (Q) lu động qua AB cắt d1 tại M và d2 tại M Tìm quỹ tích giao điểm I của Am và BN

 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là tứ giác, AB và CD không song song, M là một điểm di động trên cạnh SB Mặt phẳng (ADM) cắt SC tại N Tìm tập hợp giao điểm của Am và DN

 Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD Một mặt phẳng (P)lu động qua AB cắt SC và

SD lần lợt tại E và F Tìm tập hợp giao điểm M của AE và BF

 Bài 4 : Cho 2 đờng thẳng d1 và d2 cắt nhau tại O và một đờng thẳng ∆ không cùng nằm trong một mặt phẳng với d1 và d2 M là một điểm trên ∆ Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (M,d1) và (M,d2) Tìm quỹ tích của giao tuyến khi M

lu động trên ∆

 Vấn đề 5: Cách xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng

Phơng pháp : Cho hình chóp S.A1,A2, A3, ,A… n và mp(α ) Nếu (α) cắt một mặt nào đó của hình chóp (mặt bên hay mặt đáy) thì (α) sẽ cắt mặt này theo một đoạn thẳng gọi là đoạn giao tuyến của (α ) với mặt đó

Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau, tạo thành một đa giác phẳng gọi là thiết diện Nh vậy, muốn tìm thiết diện của hình chóp với (α), ta tìm các đoạn giao tuyến (nếu có) Đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến là thiết diện cần tìm

Vận dụng :

 Bài 1 : Cho tứ diện ABCD Gọi H, K lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC Trên đờng thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD Tìm thiết diện của tứ giác ABCD với mp(HKM)

 Bài 2 : Cho tứ diện ABCD Gọi H và K lần lợt là trung điểm các cạnh AC và

BC trong tam giác BCD, ta lấy điểm M sao cho 2 đờng thẳng KM và CD cắt nhau Tìm thiết diện của tứ diện ABCDE với mp(HKM)

 Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SCD, ta lấy một điểm M.

a Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBM) và (SAC)

b Tìm giao điểm của đờng thẳng BM với mp(SAC)

Tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABM)

 Bài 4 : Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H và

K lần lợt là trung điểm của các cạnh CB và CD là một điểm bất kỳ trên cạnh

SA Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MHK)

 Bài 5 : Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a Kéo dài BC một đoạn CE = a,

kéo dài BD một đoạn EF = a Gọi M là trung điểm của AB

a Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF)

b Tính diện tích thiết diện