Hệ quả của định lý Steine Đường thẳng đẳng giác với một trung tuyến gọi là đường đối trung của tam giác.. Và đường đối trung chia trong cạnh đối diện thành những phần tỉ lệ với bình phươ[r]
Trang 1CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG VÀ VẬN DỤNG
1 Định lý Stewart
*Cho tam giác ABC bất kỳ, D là điểm trên cạnh BC Ta luôn có :
BC.AD 2 = BD.AC 2 + DC.AB 2 – BC.BD.DC Bài tập áp dụng:
Đề: cho tam giác ABC Các đường AD, BE, CK ( D,E,K tương ứng thuộc các
cạnh BC CA, AB) gọi
là các đường n - tuyến của Δ ABC nếu như: BDBC=CE
AK
1
n
( n là số dương cho trước) Đặt AD=d a , BE = d b, CK= d c ( và gọi d a , d b , d c là độ dài của các đường n- tuyến) Chứng minh rằng:
d a + d b + d c 2 = n
2
− n+1
n2 (a
2
+b2+c2) Chú ý:
1) Với bài toán tổng quát trên, ta thay n là một số nguyên dương cụ thể thì ta sẽ có các định lý quen thuộc đã học.Chẳng hạn, khi n = 2 thì các đường 2-tuyến trở thành các đường trung tuyến của tam giác
2) Ngoài ra, n-tuyến có nhiều tính chất lý thú như: các tam giác KDE, A’B’C’ và ABC có cùng trọng tâm.( ta có thể chứng minh bằng hình học vector )
2 Công thức Euler
Cho tam giác ABC Gọi O và I tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác Đặt l = IO Chứng minh rằng:
l 2 = R 2 – 2Rr
Công thức Euler cho khoảng cách giữa tâm đường tròn ngoại
tiếp và bàng tiếp
Ký hiệu O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I a là tâm đ ường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC Đặt d a = OI a Chứng minh công thức Euler :
d a = R 2 + 2Rr
3 Định lý Euler
Cho tam giác nội tiếp trong đường tròn tâm O M là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng chứa tam giác chứa tam giác Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lượt là hình chiếu của M lân các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng :
S A1B1C1 = 14(1 − d
2
R2) ở đây MO = d 4.Bài toán về điểm Broca
1) Cho tam giác ABC và một điểm M trong tam giác ABC sao cho
M ^ A B=M ^B C=M ^ C A=ϕ Chứng minh rằng :
cotg ϕ = cotgA + cotgB + cotgC (Điểm M xác định như trên gọi là điểm Broca, còn ϕ là góc Broca)
2) Chứng minh rằng:
1
sin2ϕ=
1 sin2A +
1 sin2B+
1 sin2C
3) Chứng minh :
sin ϕ = 2 S
√b2c2+c2a2+a2b2
Trang 24) Chứng minh :
sin ϕ=sin( A − ϕ)sin(B −ϕ)sin(C −ϕ)
5) Gọi R a , R b , R c tương ứng là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAB,MAC,MCB Chứng minh rằng
R a R b R c = R 3
6) Chứng minh :
MA.MB.MC = 8R 3 sin 3 ϕ
5 Định lý Cacnô
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.
Gọi k a , k b , k c lần lượt là các khoảng cách từ O xuống BC , AC , AB Thì :
k a + k b + k c = R + r
Chú ý :
Định lý Cacnô còn được viết dưới dạng sau đây :
Trong mọi tam giác ABC thì :
AH + BH +CH = 2(R + r) với H là trực tâm của tam giác
( Do theo định lý về đường thẳng Euler, thì ta có H,G,O thẳng hàng, với G là trọng tâm
Bài tập ứng dụng
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi k a , k b , k c lần lượt là các
khoảng cách từ O xuống BC , AC , AB Chứng minh hệ thức:
4(k a a+
b
k b+
c
k c)=abc
k a k b k c
6 Định lý Ptoleme
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O Khi đó ta có:
AC.BD = AB.CD + AD.BC
7 Định lý Peletier
Cho tam giác A 2 B 2 C 2 Lấy ba điểm A,B,C tương ứng nằm trong các cạnh B 2 C 2 , C 2 A 2
và A 2 B 2 Lấy lại ba điểm A 1 ,B 1 ,C 1 tương ứng nằm trong các cạnh BC,CA,AB của
Δ ABC sao cho A 1 B 1 // A 2 B 2 ; B 1 C 1 //B 2 C 2 và C 1 A 1 //C 2 A 2 Suy ra:
S 2 ABC = S A1B1C1 S A2B2C2
Hệ quả của định lý Peletier
1) Tam giác ABC nhọn Vẽ ba chiều cao AA’, BB’, CC’ Khi đó A’B’C’ gọi là tam giác trực tâm Tam giác A 1 B 1 C 1 trong đó A 1 B 1 , A 1 C 1 , B 1 C 1 tương ứng là các tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C, B, A.
2) Tam giác A 1 B 1 C 1 gọi là tam giác tiếp xúc Và diện tích tam giác ABC là trung bình nhân của diện tích tam giác trực tâm và tam giác tiếp xúc.
Bài tập ứng dụng
Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với 3 cạnh AB, BC,
CA tương ứng tại C 1 , A 1 , B 1 Qua A, B, C theo thứ tự lần lượt kẻ các đường thẳng song song với B 1 C 1 , C 1 A 1 , A 1 B 1 Chúng cắt nhau và tạo thành Δ A 2 B 2 C 2
Đặt AB = c, BC = a, CA = b, gọi R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp
và nội tiếp Δ ABC Gọi S 2 , R 2 tương ứng là diện tích và bán kính đường trón ngoại tíêp Δ A 2 B 2 C 2 Chứng minh rằng: a) S 2 = abc2 r ; b) R 2 = 2R
8 Định lý Steine
Trang 3Hai tam giác ABC và giả sử AD và AE là các đường đẳng giác Ta có hệ thức sau :
BD BE
CD CE=
AB2
AC2
Hệ quả của định lý Steine
Đường thẳng đẳng giác với một trung tuyến gọi là đường đối trung của tam giác.
Và đường đối trung chia trong cạnh đối diện thành những phần tỉ lệ với bình phương các cạnh kề.