DETHI THU TOAN LAN 2 THPT PHONG CHAU

Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm về nội dung của đề... Tính thể tích khối chóp S ABCD.[r]

TRƯỜNG THPT PHONG CHÂU

TỔ: TOÁN LÝ LẦN 2

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12

MÔN: TOÁN A NĂM HỌC: 2011 - 2012

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 điểm)

C©u I (2,0 điểm) Cho hàm số: y x 3 3x2mx 1 (1) (m là tham số thực).

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0

2.Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu cắt đường tròn (C): (x1)2(y3)2  theo một dây cung có độ dài bằng 4.8

Câu II (2,0 ®iÓm)

1 Giải phương trình

2 2

sin

x x



2 Giải bất phương trình 17x53 x 5 4x12 ( x R )

C©u III (1,0 ®iÓm) Tính tích phân  

1

5

dx I





C©u IV (1,0 ®iÓm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật với AB=a và BC=2a, mặt

2 6

a

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính

côsin góc giữa hai đường thẳng SA và BD.

C©u V (1,0 ®iÓm) Tìm cặp số thực (x; y) thỏa mãn hệ

2







PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình chuẩn.

C©u VI.a (2, ®iÓm)

1.Trong mặt phẳng Oxy hãy lập phương trình chính tắc của elip (E) biết điểm M(-2; 3) thuộc (E) và

bình phương độ dài trục lớn bằng 16 lần tiêu cự của (E)

2.Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với C 3;2;3 

AH:

,

BM:

Viết phương trình trung tuyến CN của tam giác ABC

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn đẳng thức z4 6z316z2 21z12 0

B Theo chương trình nâng cao.

C©u VI.b (2,0 ®iÓm)

1 Trong mặt phẳng Oxy hãy lập phương trình chính tắc của elip (E) biết điểm M(2; -3) thuộc (E) và

khoảng cách từ điểm O đến đường chuẩn của (E) bằng 8

2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x 4y 2z 3 0    Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A(3; -1; 1) và song song với mặt phẳng (P):

CâuVII.b(1,0điểm) Chứng minh rằng  0  2 1  2 2  2 3 2  2011 2 20122 1006

-HÕt -Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm về nội dung của đề.

NĂM HỌC: 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 180 phút

I

1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x 3 3x2 1

1,0

* Tập xác định: R

* Sự biến thiên:

             

0,25

+ Bảng biến thiên:

x 2





 Bảng biến thiên:

x − ∞ 0 2 +∞

y + 0 - 0 +

y 1 +∞

− ∞ -3

0,25 + Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0 và 2;. + Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 + Hàm số đạt cực đại tại x 0, y CÐ y(0) 1 đạt cực tiểu tại x 2, y CT y(2)3

0,25

* Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1), cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Ta có y6x 6; y  0 x 1

y ' ' đổi dấu khi x qua x = 1

Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng

0,25

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x

I

2 Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu 1,0

2

Ta có y 3x2  6x m

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y  có hai nghiệm phân biệt.0

Chia đa thức y cho y, ta được:



Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm x ; y , x ; y1 1  2 2

Vì y (x ) 0; y (x ) 0 1   2  nên phương trình đường thẳng   qua hai điểm cực đại, cực tiểu

là:

(C) có tâm I(1;-3) và bán kính R = 2 2 Giả sử   cắt (C) theo dây cung MN và h là

khoảng cách từ I đến  



0,25

LạicóMN2=4(R2–h2)

2

66 6 93 7

66 6 93 7

m

m















0,25

1

Giải phương trình

2 2

sin

x x







(*) Phương trình đã cho tương đương với: 2cos (tan2x 2xtan ) sinx  xcosx

0,25

2

0,25





+ Với

x   x  x k  x  k 

0,25

Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:

5

2

Điều kiện:

53 17

x 

Bất phương trình trở thành:

4

x

x



0,25

+ Nếu

53

3 thì

x + 3< 0 Khi đó (1)

2

4

21 9

4

4 1

x x

x

x



 





 





 



 Vậy

53

3

0,25

+ Nếu x > -3

0,25

4

7 3

11 11

4 4

3

x x

x

x

 



 

 



  



Vậy

11 4

x  

Đáp số:

3 và

III

1

5

0

I

dx



5

2

Khi x = 0 thì t=0

Khi x = 1 thì t =

4

c t



0,25

Khi đó ta được :

3

3

5

5

1

I

5

dt

t

c t c t



0,25

3

5

t



0,25

5 2 4

1 sin

2

t



0,25

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a và BC2a, mặt

phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một

góc bằng nhau Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng

2 6

a

Tính thể tích khối chóp S ABCD và tính côsin góc giữa hai đường thẳng SA và BD.

1,0

CBHB, suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC và () ABCD là SBH )

Hạ HECD E CD(  ), suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SCD và () ABCD là SEH )

0,25

Do đó SBH SEH  HB HE 2a

Ta được BD AE//  BD SAE//( )  d(SA BD, ) d( ,( B SAE)) d( ,( H SAE)) (do A là

trung điểm HB )

2

6

a

H SAE

0,25

Nhận xét rằng HA HE HS đôi một vuông góc, suy ra:, ,

2

Thể tích:

3

a

0,25

//

Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác SAE, với AE SA  SH2HA2 a 5 và

2 2 2

SE SH  a, ta có:

SA AE

0,25

2







1,0

Điều kiện

5 2

2 2

x y



 





 



Xét f(x) =

5

2

x   x x  x   

Ta cú

'( )

x

f x



9 4

4

x













Ta cú:

0,25

Vậy

5

2

f x    x  

1

 Vậy h(t) nghịch biến với t>e và đồng biến với 0< t < e

Suy ra

+ Với

3 thỡ

x x

x y y

y





Từ đú đi đến hệ cú nghiệm duy nhất là (2; 3)

Lưu ý: Vỡ miền giỏ trị của hai biến x và y+1 là khụng giống”hệt” nhau nờn cỏc lập

luận để chỉ ra x = y +1 đều là ngộ nhận, do đú khụng cho điểm.

0,5

VIa

1 Trong mặt phẳng Oxy hóy lập phương trỡnh chính tắc của elip (E) biết điểm M(-2; 3) thuộc

(E) và bỡnh phương độ dài trục lớn bằng 16 lần tiờu cự của (E)

1,0

- Gọi phơng trình (E): x

2

a2+ y2

b2=1(a> b>0) Độ dài trục lớn AA’=2a; Tiờu cự

Giả thiết

2





 



Ta có (2)⇔ a2

=8 c ⇒b2

=a2− c2=8 c − c2=c (8 − c)

0,25

Thay vào (1) ta đợc 4

8 c+

9

c (8 − c)=1

⇔2 c2

− 17 c +26=0 ⇔

¿

¿

¿

0,25

* Nếu c=2 thì a2

=16 , b2=12⇒( E): x2

16+

y2

12=1

0,25

* NÕu

c=

2

2

Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với C 3;2;3

đường cao

:

:

phương trình trung tuyến CN của tam giác ABC

1.,0

AH có vecto chỉ phương u

 (1;1;-2) và đi qua điểm P(2;3;3)

BM có vecto chỉ phương m

(1;-2;1) và đi qua điểm Q(1;4;3)

0,25

Gọi (D) là mặt phẳng qua C và vuông góc AH thì (D): (x-3) + (y-2) – 2(z-3) = 0

Hay x +y -2z +1 = 0 Vậy tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

0,25

Gọi (E) là mặt phẳng qua C và vuông góc BM, ta có (E): 1.(x-3)-2(y-2)+1.(z-3)=0 hay

x-2y+z-2=0 Gọi I là giao điểm của (E) và BM tọa độ I là nghiệm của hệ

làm trung điểm, suy ra J(1; 2; 5)

0,25

Vậy AB:

1 2 5

x







 



  

Vậy trung tuyến CN:

x y z

0,25

VII.a

0,25 2

2

z

z





0,25

2

2

0,25

3 3



 







 









 







 





0,25

VIb

1 Trong mặt phẳng Oxy hóy lập phương trỡnh chính tắc của elip (E) biết điểm M(2; -3) thuộc

(E) và khoảng cỏch từ O đến đường chuẩn của (E) bằng 8

1,0

- Gọi phơng trình (E): x2

a2+

y2

Giả thiết

⇔

4

a2+

9

b2=1(1)

a2

c =8(2)

¿{

Ta có (2)⇔ a2

=8 c ⇒b2

=a2− c2=8 c − c2=c (8 − c)

0,25

Thay vào (1) ta đợc 4

8 c+

9

c (8 − c)=1

⇔2 c2

− 17 c +26=0 ⇔

¿

¿

* Nếu c=2 thì a2

=16 , b2=12⇒( E): x2

16+

y2

12=1

* Nếu

c=13

2 thì

39

4

0,25

Mp(P) cú vtpt nP= (1;1;-2) (S) cú tõm I(1;-2;-1)

0,25

IA

= (2;1;2) Gọi vtcp của đường thẳng  là u

 tiếp xỳc với (S) tại A  u

  IA



0,25

Vỡ  // (P)  u

 nP

Phương trỡnh tham số của đường thẳng  :

x 3 4t

z 1 t

 





 



  

VIIb

+) Ta có  22012 2012  2

2012 0

k



suy ra hệ số của số hạng chứa x2012 là C20121006

0,25

2012 2012

0,25

suy ra hệ số của số hạng chứa x2012 là

2012o 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012

 0  2 1  2 2  2 3 2  2011 2 20122

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh

0,25

Hết

-Lâm Thao: Lượt về … 24 – 04-2012