Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược một cách giải, nếu học sinh giải bằng cách giải khác và đúng, giám khảo vẫn cho điểm tối đa của ph[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2010 – 2011
Thời gian : 150 phút (Không kể giao đề)
Câu 1 Giải phương trình
5 x 6 x x 11 2 x 2 3 x
Câu 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x y;
thỏa mãn
xy 42 x2y2
Câu 3 Cho tứ giác lồi ABCD Trung trực của đoạn AB cắt đường thẳng AD tại X và trung trực của cạnh CD cắt đường thẳng BC tại Y. Nếu tứ giác ABCD nội tiếp, chứng minh rằng XY AC . Ngược lại, nếu XY AC thì tứ giác ABCD có nội tiếp không? Hãy chứng minh
Câu 4 Chứng minh rằng với mọi a b c , , 0 ta đều có
3
3 3 3
2
b c
a b c abc a
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5 Trong bảng hình vuông gồm 10 10 ô vuông (10 hàng, 10 cột), người ta viết vào các ô vuông các số tự nhiên từ 1 đến 100 theo cách như sau: ở hàng thứ nhất, từ trái sang phải, viết các số từ 1 đến 10; ở hàng thứ hai, từ trái sang phải, viết các số từ 11 đến 20; cứ như vậy cho đến hết hàng thứ 10 Sau đó cắt bảng hình vuông thành những hình chữ nhật nhỏ kích thức 1 2 hoặc 2 1 Tính tích số của hai số trong mỗi hình chữ nhật nhỏ rồi cộng 50 tích lại Cần phải cắt hình vuông như thế nào để tổng tìm được nhỏ nhất ? Hãy tính giá trị nhỏ nhất đó
HẾT
Trang 2SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2010 – 2011
Chú ý Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược
một cách giải, nếu học sinh giải bằng cách giải khác và đúng, giám khảo vẫn cho điểm tối đa
của phần đó Hướng dẫn chám này có 3 trang.
Câu 1 (2 điểm).
Phương trình đã cho tương đương với
0.5
Với 2 x 3 3 x 5 0 ta được
2
2
1
3
2 0
x
x x
0.5
Với 2 2 x 3 x1 0 ta được
2
4
25
x
0.5
Ghi chú Có thể đạt được đẳng thức (1) bằng cách coi đẳng thức trên là phương trình bậc hai
để thu được
2x 5 3 3 x và
2
2
x
x
.
Câu 2 (1.5 điểm).
Phương trình đã cho tương đương với
xy 32 7 x y 2 x y xy 3 x y xy 37
0.25
Trang 3Từ đó do x y, là các số nguyên không âm và 7 1 7
nên chỉ có các trường hợp sau xảy ra 1) x y xy 2,x y xy 10 Suy ra x y 4,xy6. Trường hợp này không có nghiệm 0.25 2) x y xy 4,x y xy 4 suy ra x y 4,xy0 Tìm được x y ; 4;0 , 0; 4 0.25
3) x y xy 4,x y xy 4 suy ra x y 4,xy0. Trường hợp này không có nghiemj
4) x y xy 10,x y xy 2 Suy ra x y 4,xy6 Trường hợp này không có nghiệm
Câu 3 (2.5 điểm).
Gọi E F, theo thứ tự là trung điểm AB CD, .
Nếu AD BC|| (tức tứ giác ABCD là hình thang cân) thì AEX CFY g c g( ) suy ra AX CY
Mà AX CY|| nên tứ giác ACYX là hình bình hành Suy ra XY AC|| (Trường hợp này giám khảo tự
vẽ hình)
0.5
Nếu AD BC, cắt nhau tại P (hình vẽ), thì do tứ giác ABCD nội tiếp nên PABPCD g g( ) 0.25
Từ đó, do XE là trung trực của AB X, PA và YF là trung trực của CD Y, PC nên
XAE YCF
Suy ra
XA AE AB PA
Từ đó, theo tính chất tỷ lệ thức
XA PA XA PX
YC PC YC PY
Điều ngược lại nói chung không đúng Ta sẽ chứng minh điều này bằng cách chỉ ra một phản ví dụ 0.25 Xét trường hợp ADBC P
và đường tròn tâm X, bán kính XA cắt đường thẳng PB tại hai điểm phân biệt B B, ' Khi đó cả hai tứ giác ABCD AB CD, ' đều có XY AC|| nhưng chỉ có tứ giác
ABCD nội tiếp, còn tứ giác AB CD' thì không (hình vẽ).
0.5
Trang 4E
B' B
X
F
A O
C
D Y
Câu 4 (2 điểm).
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a3b3c3 3abc," " a b c 0.25
b c
a
b c
a
và đặt
3
2
b c
P a b c abc a
Đặt b a 2 ,x c a 2y, biến đổi được P12a x 2 xy y 26x y x y 2
0.5
Do a 0 và
2 2
0
x y xyx
b c
P x y x y a b c
Suy ra điều phải chứng minh
0.5
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc a b c hoặc a0,b c 0 5
Câu 5 (2 điểm).
Cắt hình vuông thành các hình chữ nhật cỡ 1 2 hoặc 2 1 thì được tất cả 50 hình.Giả sử trong hình
thứ k có 2 số a b k, k thì hoặc a k b k 1
Trang 5Ta có
2 2
k k
k k
k k
a b
a b
a b
2
2 2
k k k k k k
Trong đó 50 2 2 1 2 2
1
k
a b
và mỗi số a k b k2
hoặc bằng 1 hoặc bằng 100
0.5
Do đó, để tổng thu được là nhỏ nhất, thì a k b k2 100, k 1, 2, ,500 0.25
Vì vậy, cần cắt hình vuông thành các hình chữ nhật với kích thước 2 1 Và khi đó giá trị nhỏ nhất