Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững chắc hơn về các dạng toán và được[r]
Trang 13 Nhiệm vụ nghiên cứu
4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
5 Phương pháp nghiên cứu
PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm nâng cao chất
lượng dạy học
1.Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm
2.Biện pháp 2: Đưa ra các giải pháp mới
3.Biện pháp 3: Hướng dẫn theo từng phương pháp phân tích đa thức
11222233
7
777
303030364042
Trang 2PHẦN I: MỞ ĐẦU
1/ Lý do chọn đề tài:
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệthông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triểntrong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạotrước những thời cơ, thách thức mới Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thìgiáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc
“đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà
nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số40/2000/QH10 của Quốc hội”
Những năm gần đây, cùng với việc thay bộ sách giáo khoa mới và việc
sử dụng phương pháp tích cực nhằm phát huy trí lực học sinh một cách chủđộng, sáng tạo, thực hiện cuộc vận động “Hai không” với bốn nội dung…,
do đó đòi hỏi mỗi thầy cô giáo cần phải ngày càng tự hoàn thiện mình đểphù hợp với nhu cầu đổi mới
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, conđường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhàtrường phổ thông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến
bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thìmôn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bàitập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề,tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán phântích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp cácchương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫuthức nhiều phân thức và việc giải phương trình, … Tuy nhiên, vì lý do sưphạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đềcập đến bốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân
tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp vàkhông quá ba nhân tử
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thứcthành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Đểthực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những
kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giảitoán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xâydựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cáchgiải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn
Xuất phát từ những lý do trên, cùng với những đòi hỏi của xã hội, chấtlượng dạy và học ngày càng phải được nâng cao, và bằng những kinh
Trang 3nghiệm dạy và học toán, tôi xin mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng đóng góp một phần
nhỏ bé công sức của mình về việc dạy học theo phương pháp mới, giúp họcsinh không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử,giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung và cácbài toán về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng
2/ Mục đích nghiên cứu:
Góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở bậc Trung học cơ sở.
Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương phápphân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vậndụng tốt dạng toán này
Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tửPhát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinhThấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giảitoán từ đó giáo dục ý thức tự học và tìm tòi sáng tạo trong quá trình học tậpcủa học sinh
Rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linhhoạt, tự mình tìm ra kiến thức mới, không những tìm ra phương pháp làmtoán ở dạng cơ bản, các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một
số phương pháp khó hơn
Rèn luyện cho học sinh với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môntoán và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thứcthành nhân tử , nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi
Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được trithức vào thực tiễn cuộc sống
3/ Nhiệm vụ nghiên cứu:
Tìm hiểu nội dung dạy học về các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử
Tìm hiểu mạch kiến thức về phần đại số mà các em đã được học từ lớp
4/ Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Khi viết đề tài này tôi đã nghiên cứu tại trường THCS Đan Hà Huyện Hạ Hòa- Tỉnh Phú Thọ
-Phạm vi là học sinh khối 8 của toàn trường
Trang 45/ Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu là phương phápthực nghiệm sư phạm
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Trong bối cảnh đổi mới Giáo dục nói chung, Giáo dục THCS nóiriêng thì đổi mới phương pháp dạy học là yêu cầu bắt buộc mang tính tấtyếu khách quan
Nghị quyết TW 2 (Khóa VIII) khẳng định: “ Phải đổi mới phươngpháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyệnthành nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phươngpháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điềukiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”
Luật giáo dục điều 28 khoản 2 đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổthông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinhphù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp
tự học rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đếntình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”
Trong qúa trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS đây là một trongnhững nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khácnhau và họ cũng đã thu được những kết quả nhất định Song việc thực hiệnđược kết quả như thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố Trong việc dạy vàhọc bộ môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độclập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ vớicác phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một sốphương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúpcác em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sángtạo khi gặp các dạng Toán khó Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên vàhọc sinh trong đổi mới cách dạy và học
Bản thân tôi không có tham vọng đi sâu và nghiên cứu tất cả cácphương pháp hay các dạng bài quá khó không phù hợp đối với học sinhTHCS.Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh
có kỹ năng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bàitoán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được Để làmđược điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức
cơ bản về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Thực trạng: Qua thực tế giảng dạy giảng dạy bộ môn toán 8 kết hợp
với dự giờ các giáo viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểmtra, các kì thi chất lượng bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹnăng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức
Trang 5không cùng mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình,quy đồng mẫu thức các phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổiđồng nhất biểu thức hữu tỉ vì để giải được các dạng toán đó thì cần phải có
kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôinhận thấy: Khi gặp các dạng bài tập như, rút gọn phân thức, cộng trừ phânthức không cùng mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích các em gặprất nhiều lúng túng
Ví dụ 1: (Trong tiết 25: Luyện Tập (Toán 8 tập 1)) Khi giáo viên đưabài tập Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức: x2− xy − x + y
x2+xy − x − y
Nhiều học sinh thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, có rất ít họcsinh giơ tay phát biểu, chỉ có một vài học sinh khá, giỏi
GV đặt câu hỏi gợi ý: Để rút gọn phân thức trên ta làm như thế nào?
HS: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
Sau khi gợi ý, nhiều học sinh đã đưa ra lời giải tuy nhiên bên cạnh đóvẫn còn tồn tại nhiều lời giải như sau:
Ví dụ 2: (Trong tiết 46 Đại số 8 )giáo viên đưa bài tập Giải cácphương trình sau bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử
a x(2x - 7) – 4x + 14 = 0
b x2 – 5x + 6 = 0
hay bài tập sau Tìm ĐKXĐ của phương trình: 1
x2−4 x+3 Học sinh gặprất nhiều lúng túng và chưa tìm ra cách giải
Vì để giải được các bài toán trên học sinh cần có kỹ năng phân tích
đa thức thành nhân tử một cách thành thạo
Nhưng ngay đối với việc giải các bài toán về phân tích đa thức thànhnhân tử thông thường thì đa số các em cũng đã gặp rất nhiều khó khăn Docác em có thể quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cáchhợp lý Các em mới chỉ biết vân dụng từng phương pháp riêng lẻ vào giảicác bài toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp các phương phápvào giải các bài toán khó với yêu cầu cao hơn
Ví dụ: (trong tiết 11: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phươngpháp nhóm hạng tử) giáo viên đưa bài tập:
- Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Đa số học sinh thựchiện đư ợc, nhưng khi đưa bài tập sau: phân tích đa thức x2 – y2 + 4x – 4thành nhân tử, nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:
Trang 6x2 – y2 + 4x – 4 = (x2 – y2)+ (4x – 4) = (x – y)(x + y) + 4(x - 1) đây làlời giải sai, hay bài toán sau: phân tích đa thức x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – ythành nhân tử nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:
x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x )+ (3x2y + 3xy2) + (y3 – y)
= x(x2 - 1) + 3xy(x + y) + y(y2 - 1) (đa thức không phân tích được- đây
là lời giải sai)
Khi đứng trước bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử các emchưa có khả năng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên giải như thếnào, áp dụng phương pháp nào để giải cho phù hợp và trong quá trình phântích các em còn gặp nhiều sai sót trong lời giải cũng như cách trình bày
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1)2 – (x + 3)2
Nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau
(2x - 1)2 – (x + 3)2
= 4x2 – 4x – 1 – x2 – 6x – 9
= 3x2 – 10x – 10 (đây là lời giải sai)
Học sinh đã biết áp dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức nhưngchưa đúng phương pháp: lời giải đúng
(2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)]
= (2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3) = (x - 4)(3x + 2)
Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Một số học sinhđưa ra lới giải sau
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên )
= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả sai)
Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử Một số họcsinh đưa ra lới giải sau
(Lời giải sai): 15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y
= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)
Trong chương trình sgk Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhómcác hạng tử nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài tập họcsinh sẽ gặp khó khăn trong quả trình giải Ví dụ bài 52,57 sgk tr 24,25(Toán 8 tập 1)
Bài 52a phân tích đa thức x2 – 3x + 2 thành nhân tử
Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học đểphân tích SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 +
6, từ đó đa thức dễ dàng được phân tích tiếp Vậy với các đa thức khác, códạng tương tự ta làm như thế nào?
Vấn đề đặt ra ở đây là cách tách như trên là ngẫu nhiên hay cóphương pháp hoặc dựa trên quy luật nào, vấn đề này trong chương trìnhsách giáo khoa chưa đề cập đến và chưa đưa ra phương pháp giải tổng quát,nhưng thực tế trong quá trình giải toán, học sinh lại gặp rất nhiều bài tậpdạng này (như đã đề cập ở ví dụ trên)
Trang 7Qua khảo sát thực trạng của học sinh trường THCS Đàn Hà về bộmôn Toán tôi đã tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau một số tiết dạy về
“các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
Câu 1: Em có thích học bộ môn Toán không? Chỉ có một số học sinhtrả lời là có, vì học Toán rất bổ ích và thú vị Bên cạch đó còn rất nhiều họcsinh trả lời không thích học Toán vì học Toán khó
Câu 2: Em có thích chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tửkhông” ?
Với câu hỏi này đa số học sinh trả lời là có Vì chuyên đề này rất thú vị cóthể áp dụng vào nhiều bài toán thực tiễn
Từ những thực trạng tôi vừa nêu trên theo tôi chủ yếu do các nguyênnhân sau
* Nguyên nhân khách quan:
Trường THCS Đan Hà là một trường đóng trên địa bàn là một xãmiền núi, đời sống nhân dân vẫn còn khó khăn vì thế các gia đình chưa có
sự đầu tư và quan tâm đến việc học tập của con cái, phong trào học tập chưasôi nổi
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tậpcủa con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập ởnhà
* Nguyên nhân chủ quan :
Môn Toán là môn học khó, khô khan để học tốt bộ môn toán đòi hỏi họcsinh phải có tư duy nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, thiếu kĩ năng quan sát nhậnxét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ởcác lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8,
do chay lười trong học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗlực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nênkhi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích
Trang 8hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau,phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất
Giáo viên chưa hình thành cho học sinh hệ thống các phương pháp
Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm
nâng cao chất lượng dạy học
1 Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm
Tìm hiểu sự ham mê học toán của học sinh khối 8
Kiểm tra kiến thức và kỹ năng làm bài tập về phân tích đa thức thànhnhân tử
2 Biện pháp 2: Đưa ra các giải pháp mới
Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản
Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhântử
* Đối với học sinh yếu, nhận thức chậm : Củng cố kiến thức cơ bản+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
* Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán
Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán
Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)
*Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu 6 phương
pháp)
+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
+ Phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)
+ Phương pháp tìm nghiện của đa thức
+ Phương pháp hệ số bất định
+ Phương pháp xét giá trị riêng
Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vàotrình độ nhận thức của học sinh Tôi không có tham vọng đi sâu nghiên cứutất cả các phương pháp, mà chỉ tập chung vào các phương pháp cơ bản (Phương pháp Đặt nhân tử chung, Phương pháp Dùng hằng đẳng thức,Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử, Phối hợp nhiều phương pháp) và thêmhai phương pháp nâng cao (Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều
Trang 9hạng tử, Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử) Các phương phápcòn lại chỉ mang tính chất giới thiệu.
3 Biện pháp 3: Hướng dẫn theo từng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
3.1 Định nghĩa :Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi
Đa thức đó thành một tích của những đa thức
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của cáchạng tử
- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trongtất cả các hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạngtử
- Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 15; 9; 3
và ƯCLN(15, 9, 3) = 3 Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3
- Lũy thừa bằng chữ của các hạng tử trong ví dụ 1 là: x2y2 ; x3y ; x2y3.Lũy thừa bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ lớn nhấtcủa x là 2 và của y là 1 Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là :
x 2 y
Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1 là: 3 x 2 y
Trang 10Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử
Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xácđịnh nhân tử chung Giái viên có thể đưa gợi ý:
? Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
? Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
(Học sinh có thể trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) hoặc không xác địnhđược )
- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại đểxuất hiện nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y) Vậy ví dụ 2 được giảinhư sau:
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y))
= 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 1.4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử
Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y )
= 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)
Chú ý: Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các
hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A))
+ Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp.
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử
Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y
= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã
bỏ sót số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x2y thì hạng
tử thứ 3 trong ngoặc còn lại là số 0)
Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1
= 3x2y ( 5y - 3x + 1)
Ví dụ 2 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến :
Trang 119x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 là sai
- Ta có: ( x – y )2 = (y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x– y)2
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
+ Chú ý: Bình phương của hai đa thức đối nhau thì bằng nhau: A 2 = (-A) 2
(Tổng quát: lũy thừa bậc chẵn của hai Đa thức đối nhau thì bằng nhau)
Trang 12Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh cách nhận dạng
và vận dụng một cách hợp lý các hằng đẳng thức trong quá trình phân tích
đa thức thành nhân tử Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà:
- Nếu gặp Đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng bìnhphương (A2 và B2) và hạng tử còn lại có thể phân tích được dưới dạng(2.A.B) hoặc (– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa về dạng hằng đẳng thức(1) hoặc (2) (Ví dụ 1; 2)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức)
mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưađược về dạng hiệu hai bình phương (A2 – B2) thì áp dụng hằng đẳng thứcthứ (3) (Ví dụ 3)
- Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc cóthể phân tích đưa về dạng) lập phương (A3 và B3 hoặc A3 và -B3 ) hai hạng
tử còn lại có thể phân tích đưa về dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B +3.A.B2 ) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5) (Ví dụ 4; 5)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử(hoặc hai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích,đưa được về dạng lập phương (A3 và B3) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6)hoặc (7) (Ví dụ 6; 7)
+ Chú ý: Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng
đẳng thức
Trang 13Ví dụ : Phân tích đa thức - x4y2 + 8x2y - 16 thành nhân tử:
Giải: - x4y2 - 8x2y - 16 = - (x4y2 - 8x2y + 16)
= - [(x2y)2 - 2.x2y.4 + 42] = - (x2y - 4)2
= (x + y + z)(x2 + y2 + x2 – xy – xz -zy)Tính nhanh:
Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22)
b xy - 5y + 2x – 10
c 2xy + z +2x +yz
Giải: a Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)
Trang 14x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y )
= x(x + 1) - y(x + 1) = (x + 1)(x - y)
b xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10)
= y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2)
c Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz)
Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức không thể phân tích được)
Cách 2: nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz)
Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)
Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a x2 – 2x – 4y2 – 4y
b x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
Giải: a Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) và (- 4y2 - 4y) ta có
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x) – (4y2 + 4y)
Trang 15= x(x - 2)–4y(y + 1)(Đa thức không phân tích tiếp được)
= x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)
(Đa thức không thể phân tích tiếp )
ta nhóm hạng tử 1 với 2 và 3 với 4 thì đa thức không thể phân tích được, đathức chỉ có thể phân tích được khi ta nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2
và thứ 3 với thứ 4 Tương tự như thế đối với các ví dụ còn lại
Như vậy đa thức chỉ có thể phân tích được tiếp sau khi nhóm mộtcách hợp lý các hạng tử, Việc nhóm một cách hợp lý các hạng tử trong đathức thường không phụ thuộc vào quy tắc xác định nào, mà chỉ dựa vàokinh nghiệm trong quá trình giải toán và dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bàitoán
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa
Chú ý: Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các
Trang 16= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là:
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu của hạng tử ở ngoặc thứ hai sau khi nhóm)
Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên
Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)
* Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình
phân tích thành nhân tử phải được tiếp tục nếu không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai hoặc có thể bị nhầm dấu trong quá trình nhóm, phải thực hiện lại (Ví dụ 1c Cách1 ; Ví dụ 2b cách 1; Ví dụ 3a cách 1)
3 phương pháp đã nêu ở trên, trong chương trình SGK toán 8 còn giới thiệuthêm một phương pháp nữa, đó là: Phân tích đa thức thành nhân tử bằngcách phối hợp nhiều phương pháp
3.2.1.4 Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
a Phương pháp:
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng
tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức Vì vậy học sinh cần nhận xét
Trang 17bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giảithích hợp.
Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức nếu có
- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc làhằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu cáchạng tử
b Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1 : 5xy2 - 20xy + 20x = 5x( y2 - 4y + 4) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 5: 5x3y - 10x2y - 5xy3 - 10axy2 - 5a2xy +5xy
=5xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) (Đặt nhân tử chung)
Trang 18= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 –
z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Khai thác ví dụ :
Quan sát ví dụ 1; 2 ta thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung
Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tửchung ta thấy các hạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức) sau
đó nhóm các hạng tử thích hợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức
Ví dụ 3 ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, chỉ có hạng tử thứ nhất
và hạng tử thứ hai có nhân tử chung, 3 hạng tử còn lại có dạng hằng đẳngthức, vì vậy chúng ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp đó tiếnhành phân tích từng nhóm (bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hằngđẳng thức) xuất hiện nhân tử chung, đa thức được phân tích tiếp Các ví dụcòn lại làm tương tự
Như vậy để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụngphối hợp nhiều phương pháp nhưng không nhất thiết phải theo một trình tựnhất định nào Các phương pháp được sử một cách phù hợp trong từngtrường hợp, từng bài toán cụ thể
Lưu ý : Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức
đó một cách triệt để.
Ví dụ: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử
Học sinh có thể đưa ra các lời giải sau:
1) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)
2) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9) = (x – 9)(x3 + x) (phân tích chưa triệt để)
Cả hai lời giải trên đên chưa hoàn chỉnh
Trang 191) (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
2) n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
+ Khai thác ví dụ 6: Từ ví dụ 6 ta có thể mở rộng cho các bài tập sau:
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên
2) Cho x + y + z = 0 Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập tr7)
Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu
bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp.
Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay bốn
phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các phương
pháp trên để giải Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp này, để học sinhvận dụng rộng rãi trong thực hành giải toán
3.2.2 Các phương pháp khác (nâng cao)
3.2.2.1 Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với
đa thức bậc hai ax2 + bx + c)
a Phương pháp:
- Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức
xuất hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức
b Ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử
Quan sát Đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũngkhông có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể
Trang 20nhóm các hạng tử Như vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung
ta cần phải có cách biến đổi khác Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức cónhiều hạng tử hơn bằng cách tách một trong các hạng tử của đa thức thành
Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử
Gợi ý ba cách phân tích (chú ý có nhiều cách phân tích)
= (x – 2)(3x – 2)
Nhận xét: Từ ví dụ trên (2), ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử
nhằm:
Trang 21- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương (Ví dụ 2 cách 1)
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm
xuất hiện nhân tử chung x – 2 (ví dụ 3 cách 2)
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung (ví dụ 2 cách 3)
Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.
Khai thác cách giải tách hạng tử bậc nhất:
Nhận xét: Trong các cách giải trên, ở cả hai ví dụ ta thấy cách 2 là
đơn giản và dễ làm nhất Ở đây ta đã tách hạng tử bậc nhất - 8x (ví dụ 2)thành 2 hạng tử - 6x và - 2x Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở
Phân tích: - Trong đa thức 3x 2 – 8x + 4 có a = 3, b = – 8, c = 4
Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b
Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x
Khi đó ta có lời giải: – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2
= (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1)
Chú ý: