ch de phan tich da thuc thanh nhan tu

Với cơng vị là một giáo viên toán, tôi nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ hơn nữa để tìm ra phơng pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách

Phần I : Đặt vấn đề

I - Lí do chọn đề tài:

Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống Toán học giữ vai trò quan trọng trong mọi bậc học, làm thế nào để học đợc toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết đợc một cách đễ dàng

Với cơng vị là một giáo viên toán, tôi nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ hơn nữa để tìm ra phơng pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả

Trong chơng trình đại số THCS, việc phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung kiến thức cơ bản Phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng toán khác nhau trong chơng trình nh:

- Quy đồng, rút gọn phân thức

- Giải phơng trình, bất phơng trình

- Chứng minh bất đẳng thức

- Tìm cực trị…

Nhiều khi việc phân tích đa thức thành nhân tử gặp nhiều khó khăn đối với học sinh, nhất là trong các trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, do đó nếu phân tích đa thức thành nhân tử dùng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thông thờng thì không thể giải quyết đợc Vì vậy việc giáo việc cung cấp cho học sinh các phơng pháp phân tích cơ bản, hệ thống bài tập áp dụng từng phơng pháp sẽ giúp cho học sinh định hớng tốt trong việc phân tích đa thức thành nhân tử

Từ đó học sinh tự tin và phân tích đa thức thành nhân tử thành kỹ năng thành thạo trong việc việc phân tích đa thức thành nhân tử trong lớp 8,9 và nhiều vấn đề liên quan sau này

II - Đối tợng nghiên cứu :

- Học sinh khá, giỏi lớp 8

- Học sinh tham gia bồi dơng thi học sinh giỏi huyện III - Phạm vi nghiên cứu:

Vành đa thức một ẩn với phân tích đa thức thành nhân tử số nguyên

Phần II : Nội dung

I - Những cơ sở lí luận và thực tiễn:

Khi giảng dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử , phần bài tập trong SGK

và SBTĐS lớp 8 là tơng đối đơn giản đối với đối tợng học sinh khá, giỏi Nhng thực tế khi khai thác các dạng bài tập khác ta mới thấy sự phong phú đa dạng Để giải đợc các thể loại này đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh các phơng pháp giải cho từng thể loại bài tập Qua quá trình giảng dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử với nhiệm vụ bồi dỡng học sinh lớp 8, tôi mạnh dạn đa ra một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho các dạng bài tập cơ bản thờng gặp

Theo tôi khi dạy giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh và yêu cầu học sinh nắm đợc những nội dung kiến thức cơ bản sau:

- Các khái niệm : đa thức, giá trị của một đa thức, nghiệm của môt đa thức, đa thức bất khả quy

- Định lý và định nghĩa về phhép chia đa thức

- Hệ quả định lý Bơdu

- Sơ đồ Hooc ne

- Tiêu chuẩn Aidenx tai nơ

II - Những phơng pháp, biện pháp, giải cụ thể:

A - Nội dung lý thuyết cơ sở:

• Các khái niệm :

- Đa thức là một tổng của những đơn thức, mỗi đơn thức trong tổng gọi

Cho đa thức: f(x) = anxn + an - 1x n - 1 + +a1x + a0 Với ai∈ Z

- Khi thay x = α thì đợc một số kí hiệu f(α)

⇒ f(α) = anαn + an - 1αn - 1 + +a1α + a0

+ f(α) đợc gọi là giá trị của f(x) tại x = α

+ Nếu f(α) = 0 thì ta nói x = α là một nghiệm của đa thức f(α)

- Đa thức bất khả quy : Đa thức f(x) khác o và khác ớc của 1 đợc gọi là bất khả quy nếu từ đẳng thức f(x) = g(x) h(x)

⇒ g(x) hoặc h(x) là ớc của đơn vị;

Ví dụ :

a ) Số nguyên m∈ Z(x) bất khả quy ⇔ m là số nguyên tố

b) đa thức ax + b ∈

Z(x); a ≠ 0 là bất khả quy ⇔ (a;b) = 1

c) Đa thức bậc hai ax2 + bx + c ∈ Z(x) là bất khả quy khi biệt thức

∆ = b2 - 4ac < 0

hoặc ∆ = b2 - 4ac > 0 nhng không phải là số chính phơng

• Định lí và định nghĩa về phép chia đa thức:

• Với hai đa thức bất kỳ f(x) ; g(x) với g(x) ≠ 0 tồn tại duy nhất 2 đa thức q(x) và r(x) sao cho : f(x) = g(x) q(x) + r(x)

(r(x) ≠ 0 hoặc bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của g(x)

q(x) đợc gọi là thơng ; r(x) gọi là d )

- Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và kí hiệu f(x) : g(x)

- Nếu r(x) ≠ 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) còn d

• Hệ quả định lí Bơdu:

x = α là nghiệm của đa thức f(x) ⇔ f(x) chia hết cho nhị thức x - α

• Sơ đồ hoocne:

Giả sử g(x) = bn - 1xn -1 + bn - 2x n - 2 + +b1x + b0 là thơng và d của phép chia đa thức f(x) = anxn + an - 1x n - 1 + + a1x + a0 cho nhị thức x - α

Khi đó r và các hệ số của g(x) đợc tính theo sơ đồ sau:

α bn-1

(=an) b(=n-2α bn-1 +an-1)

bn-3 (=α bn-2 +an-2)

…… b0

(=α b1 +a1)

r (=α b0 +a0)

x

x

Nghiệm (nếu có) của một đa thức:

đa thức f (x) = anxn + an - 1x n - 1 + + a1x + a0

-Nghiệm nguyên của f(x) phải là ớc của a0

-Nghiệm hữu tỷ của f(x) có dạng q p ( trong đó p là ớc của a0; q là ớc dơng của

an)

Chú ý : Gọi m là tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn

và n là tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ

+ Nếu m + n = 0 ⇒ đa thức có nghiệm x = 1

+ Nếu m - n =0 ⇒ đa thức có nghiệm x = -1

• Tiêu chuẩn Aidenxtainơ:

Giả sử : f(x) = anxn + an - 1x n - 1 + +a1x + a0 với ai ∈ Z

Nếu có 1 số nguyên tố p thoả mãn các điều kiện sau:

+ p không phải là ớc của an

+ p là ớc của ai với i = 0;1;2 n-1

+ p2 không phải là ớc của a0

thì f(x) bất khả quy trong Q[x ]

B - Vận dụng lý thuyết vào giảng dạy thực tiễn:

Cung cấp cho học sinh những nội dung kiến thức trên

Các phong pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Các phơng pháp thông thờng

- Đặt nhân tử chung

- Dùng hằng đẳng thức

- Nhóm nhiều hạng tử để :

+ Xuất hiện nhân tử chung của các nhóm + Xuất hiện hằng đẳng thức

α

Khi ta thực hiện ta lần lợt xét các phơng pháp có thể đợc

Ví dụ 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử :

A = 2x4 - 8x3y + 8x2y2

= 2x2(x2 - 4xy + 4y2)

= 2x2(x- 2y)2

Ví dụ 2 : B = x2 - x2z - 2xy + y2 + xyz

= ( x2 - 2xy + y2) - (x2z - xyz)

= ( x - y)2 - xz (x - y)

= (x - y) (x - y -xz)

Các phơng pháp đặc biệt

• Khi đa thức có nghệm hữu tỷ :

1 ) Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:

Phơng pháp chung :

Thờng sử dụng so đồ hoocne tìm nghiệm (nếu có) của đa thức giả sử tìm đợc nghiệm của đa thức x = α

⇒ f(x) : x - α ( hệ quả định lý Bơdu)

⇒ f(x) = ( x - α) q(x) ( q(x) là thơng của phép chia f(x) cho (x - α))

Do đó khi phân tích đa thức f(x) thành nhân tử thì có chứa nhân tử x-α

Ví dụ 3 : f(x) = x3 + 9x2 + 11x - 21

Ta thấy tổng các hệ số của các hạng tử 1 + 9 + 11 - 21 = 0

⇒ f(x) có nghiệm x = 1 ⇒ có nhân tử là x - 1 ⇒ Ta là xuất hiện nhân tử x - 1 f(x) = x3 - x2 + 10x2 - 10x + 21x - 21

= x2(x -1) + 10x(x -1) + 21 (x -1)

= (x-1) ( x2 +10x +21)

ta tiếp tục xét xem có thể phân tích tam thức bậc hai x2 +10x +21 thành nhân tử

đợc haykhông Ta thấy ∆ = 102 - 4.1.21 = 16 = 42

là số chính phơng nên ta đi phân tích đa thức x2 +10x +21 thành nhân tử và x=

±1 không là nghiệm của đa thức nên ta thử các ớc còn lại của 21

Xét x = -3 Sử dụng sơ đồ Hoocne

D 0 ⇒ x = -3 là nghiệm ⇒ có nhân tử x +3

⇒ x2 +10x +21 = x2 + 3x + 7x+ 21

=x(x+3) + 7(x + 3)

= (x + 3) ( x + 7)

Cách khác : x2 +10x +21 = x2 + 10x + 25 - 4

= (x + 5)2 - 22

= (x+3)(x+7) Vậy f(x) = (x - 1)(x + 3) (x+ 7)

( Với tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c khi phân tích thành nhân tử ta có thể

là đơn giản hơn nh sau:

• Tìm tích ac

• Phân tích ac ra tích của 2 thừa sô nguyên bằng mọi cách

• Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b

Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 + x- 6

Giải Lập tích ac = 1.(-6) = -6

Mà -6 = (-1) 6 = 2 (-3) = (-2).3

Ta thấy - 2 + 3 = 1 = b

vậy x2 + x- 6 = x2 - 2x + 3x - 6

= (x - 2) ( x + 3)

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = 2x3 - x2 + 5x + 3

Giải:

Ta thấy x = -12 là nghiệm của f(x) do đó f(x) chứa nhân tử 2x + 1

vậy f(x) = 2x3 + x2 - 2x2 - x + 6x + 3

= ( 2x- 1)(x2 - x +3)

( đa thức bậc hai x2 - x +3 có biệt thức ∆ = (-1)2 - 4 1.3 = -11 <0

⇒ bất khả quy)

Bài tập :

1) Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2 + 4x -12 b) 2x3 - 5x2 - 3x c) x3 + 5x2 + 3x - 9 d) x4 + 4x2 - 5 e) x3 - 7x + 6

f) 3x3 - 7x2 + 17x - 5 g) 4x4 - 4x3 + 15x 2 + 3x - 3 h) 3x3 - 14x2 + 4x + 3

• Khi đa thức không có nghiệm hữu tỷ :

2 ) Thêm bớt cùng một hạng tử:

• Dạng A4 + 4B4

Phơng pháp: Thêm, bớt 4A2B2 đa về dạng hiệu 2 bình phơng

Ví dụ 5 : Phân tích đa thức thành nhân tử: 81x4 + 4

Giải:

81x4 + 4 = 81x4 + 36x2 + 4 - 36x2

= ( 9x2 + 2)2 - (6x)2

= (9x2 - 6x +2)( 9x2 + 6x +2)

• Dạng x3m+1 + x3n + 2

Phơng pháp : Đa thức dạng trên luôn có chứa nhân tử x2 + x + 1 đặc biệt hơn nếu 3m + 1 và 3n + 2 đều chẵn thì có chứa thêm nhân tử x2 - x + 1

Ví dụ 6 : x7 + x2 + 1 = x7 - x + x2 + x +1

= x(x6 - 1) + ( x2 + x + 1)

= x( x3 - 1) (x3 + 1) + ( x 2 + x + 1)

= x( x- 1)( x 2 + x + 1)(x3 + 1) + (x 2 + x + 1)

= (x 2 + x + 1) ( x5 - x4 + x 2 - x + 1)

• Cách khác:

x7 + x2 + 1= x7 + x6 + x5 - x6 - x5 - x4 + x4 + x3 + x2 - x3 - x2 -x + x2 + x+1 = x5 ( x2 + x+ 1) - x4( x2 + x+ 1) + x2( x2 + x+ 1) - x( x2 + x+ 1) +( x2 + x+ 1)

= ( x2 + x+ 1)( x5 - x4 + x2 -x +1)

Ví dụ 7:

x8 + x4 + 1 = ( x2 + x+ 1)(x6 - x5 + x3 - x + 1)

=( x2 + x+ 1)(x6 - x5 + x4 - x4 + x3 - x2 + x2 - x+1)

=( x2 + x+ 1)[x4( x2 - x+ 1)- x2( x2 - x+ 1) + ( x2 - x+ 1)]

= ( x2 - x+ 1) ( x2 - x+ 1) ( x4 - x2 + 1)

Bài tập :

2 ) Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x4 + 4 b) x4 + 64 c) 64x4 + 1 d) 81x4 + 4 e) 4x4 + 1 f) 64x4 + y4 g) x4 + 324 h) x5 + x4 + 1 i) x8 + x 7 + 1 j) -x5 - x7 - 1 k) x 10 + x2 + 1 l) x 4 + x2 + 1

3) Phơng pháp đổi biến

Mục đích : Đa đa thức bậc cao về bậc thấp hơn đối với biến mới

Ví dụ 8: A = (x2 + x)2 - 2( x2 + x) - 15

Giải

Đặt x2 + x = t ⇒ A = t2 - 2t - 15

= t2 - 5t + 3t - 15

= t( t - 5) + 3 ( t - 5)

= ( t - 5) ( t + 3)

= (x2 + x - 5) (x2 + x + 3)

Ví dụ 9 : B = ( 4x + 1) ( 12 x - 1) ( 3x + 2) ( x + 1) - 4

Giải

B = [ ( 4x + 1) ( 3x + 2)][ ( 12x - 1) ( x + 1)] - 4

= ( 12x2 + 11x + 2)( 12x2 + 11x - 1) - 4

Đặt 12x2 + 11x = y ⇒ B = ( y + 2) ( y - 1) - 4

= y2 + y - 6

= y2 - 2y + 3y - 6

= y( y - 2) + 3 ( y - 2)

= ( y - 2) ( y + 3) Vậy B = (12x2 + 11x - 2) (12x2 + 11x + 3)

Ví dụ 10 : C = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1

Giải: Vì x =0 không phải là nghiệm của đa thức nên:

C = x2 ( x2 + 6x+ 11 + 6x + 2

1

x ) = x2[ (x2 + 2

1

x ) + 6( x+ 1x ) + 11]

đặt x+ 1x = t ⇒ x2 + 12

x + 2 = t2⇒ x2 + 12

x = t2 - 2

⇒ C = x2(t2 - 2 + 6t + 11)

= x2 (t + 3)2

=x2(x+ 1x + 3)2

= ( x2 + 3x+1)2

Ví dụ 11 : D = 3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3 + 2x2 - 4x + 3

Giải:

Vì x = 0 không phải là nghiệm của đa thức nên:

D = x3(3x3 - 4x2 + 2x - 8 +

x

2

- 42

x + 33

x ) = x3[3(x3 + 3

1

x ) - 4( x2 + 2

1

x ) + 2(x+ x1 ) - 8]

Đặt x+

x

1

= t ⇒ x 2 + 12

x = t2 - 2

x3 + 13

x = t3 - 3t

⇒ D = x3[3 ( t3 - 3t) - 4( t2 - 2) + 2t - 8]

= x3 ( 3t3 - 4t2 - 7t)

= x3 t ( 3t2 - 4t - 7)

= x3t ( t + 1) ( 3t - 7)

Vậy D = x3 (x+ x1 ) (x+ x1 + 1) ( 3x + x3 - 7)

= ( x2 + 1) ( x 2 + x +1) ( 3x2 - 7x + 3)

Bài tập :

3)Phân tích đa thức thành nhân tử:

a)(x2 + 5x)2 - 2( x2 + 5x) - 24 b)( x2 + 3x + 1) (x2 + 3x + 2) - 6 c)( x2 + 4x + 8)2 + 3x ( x 2 + 4x + 8) + 2x2 d)x( x + 4) ( x+ 6) ( x+10) + 128

e)4x( x + y) ( x + y+ z ) ( x + z) + y2z2 f) x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1

g)x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 h)x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1

4 Phơng pháp xét giá trị riêng:

Phơng pháp : Dựa vào đa thức dự đoán nhân tử

Ví dụ 12 : P = x2 (y - z) + y 2 ( z - x) + z2 ( x - y)

Giải:

Từ đặc điểm của đa thức ta dự đoán P có thể nhân tử y - z hoặc z - x hoặc x - y

Ta thấy khi y = z thì P = x2 0 + z2 (z - x) + z2 ( x - z) = 0

Nh vậy P có nhân tử y -z, ta làm xuất hiện nhân tử y - z:

P = x2( y - z) - y2 ( y - z - y + x) + z2 (x - y)

= x2 ( y - z) - y2 ( y - z) - y2 ( x - y) + z2 ( x - y)

= ( y - z) ( x2 - y2) - ( x - y) ( y2 - z2)

= ( y - z) ( x - y) ( x + y - y - z)

= ( x - y) ( y - z) ( x - z)

( Tơng tự ta có thể làm xuất hiện nhân tử x - y hay x - z trớc)

Cách khác : ta thấy vai trò của x; y; z có thể hoán vị vòng quanh nên khi P có nhân

tử y - z ⇒ có nhân tử x - y và x - z

⇒ P có dạng k ( x - y) ( y - z)( x - z) ( k là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến)

⇒ x2 ( y - z) + y2 ( z - x) + z2 ( x - y) = k ( x - y) ( y - z) ( x -z) đúng với mọi

x ; y; z

Chọn x = 1; y = 2; z = 0 ta có :

1.2 + 4.(-1) + 0 = k( -1) 2.1

⇒ k =1

Vậy P = ( x - y) ( y - z)( x - z)

Bài tập :

4 ) Phân tích đa thức thành nhân tử :

a) x2y2 ( y -x) + y2z2(z - y) - z2 x2( z - x) b) ab(a + b) - bc ( b + c) + ac ( a - c) c) a ( b + c)2 (b - c) + b ( c + a)2 ( c - a) + c ( a + b)2 ( a - b) d) y ( x - 2z)2 + 8xyz + x( y - 2z)2 - 2z(x + y)2

e) 8x3 ( y + z) - y3 ( z + 2x) - z3 ( 2x - y) f) (x2 + y2)3 + ( z2 - x2)3 - ( y2 + z2)3 g) a( b2 - c2) + b( c2 - a2) + c( a2 - b2) h) a ( b3 - c3) + b( c3 - a 3) + c( a3 - b3) i) ( a + b) ( a2 - b2) + ( b + c) ( b2 - c2) + ( c + a) ( c2 - a2) j) a3 (c - b2) + b3 ( a - c2) + c3 ( b - a2) + abc ( abc - 1) k) x2y + x y2 + x2 z + x z2 + y2 z + yz2 + 2xyz

l) ( x + y + z )3 - x3 - y3 - z3

5 ) Phơng pháp hệ số bất định :

Phơng pháp: Dự đoán nhân tử dạng tổng quát , sau đó đồng nhất hệ số 2 vế tìm các

hệ số cha biết

Ví dụ 13 : Tìm a, b, c để : x4 - 2x3 + 2x 2 - 2x + a

(x2 - 2x + 1) ( x2 + bx + c) (*)

Giải : (*) ⇒ x4 - 2x3 + 2x 2 - 2x + a = x4 + ( b - 2) x3 + ( c - 2b + 1) x2 + ( b - 2c ) x + c

Đồng nhất hệ số 2 vế ta đợc

b - 2 = -2 a = c = 1

c - 2b + 1 = 2 ⇒

b - 2c = -2

c = a b = 0

⇒ x4 - 2x3 + 2x 2 - 2x + 1 = ( x2 - 2x + 1) ( x2 + 1)

Ví dụ 14 : Phân tích đa thức thành nhân tử : f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x+1

Giải:

Vì f(x) không có nghiệm hữu tỷ nên f(x) nếu ohân tích đợc thành nhâ tử phải

có dạng: ( x2 + ax + b) (x2 + cx + d)

⇒ x4 + 6x3 + 7x2 + 6x+1 = ( x2 + ax + b) (x2 + cx + d) (**)

Có VT = x4 + ( a + c)x3 + ( ac + b + d) x2 + ( ad + bc ) x + bd

đồng nhất hệ số 2 vế ta có :

a + c = 6

ac + b + d = 7

⇒ ad + bc = 6

bd = 1

XÐt bd = 1 , v× b, d ∈ Z ⇒ b ∈ - 1;1

Khi b = 1 ⇒ d = 1 ⇒ a + c = 6 vµ ac = 5 ⇒ a = 1 vµ c = 5

VËy f(x) = ( x2 + x+1)( x2 + 5x+1)

Bµi tËp :

5 ) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

a) x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3

b) x5 - 2x4 - 10x3 - 13x2 - 16x + 4

c) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1

d) 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1

Mét sè bµi tËp ¸p dông:

6) T×m nghiÖm cña ®a thøc:

a) x2 - 7x+ 6

b) x3 + 5x2 + 8x + 4

c) (y + 1) ( 2 - y) + ( y - 2)2 + y2 -4

d) ( x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12

e) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x +1

7) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

a) 6x2 - 11x + 3 = 0

b) x3 - 7x - 6 = 0

c) x3 - 9x2 + 6x + 16 = 0

d) x3 - x2 - x = 2

e) 2x3 - x2 + 5x + 3 = 0

f) 27x3 - 27x2 + 18x - 4 = 0

g) (x2+ 8x + 7) ( x2 + 8x + 15) + 15 = 0

h) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) = 24

i) 4 ( x + 5) ( x + 6) ( x + 10) ( x + 12) - 3x2 = 0

j) ( 12x + 7)2 ( 3x + 2) ( 2x + 1) = 3

8) Rót gän

a)

2 7 3

2 5 3 2

2 +

−

− +

x x

x x

b)

16 x 16 x 8 x 4 x

16 x 2 3 4

4

+

− +

−

−

c)

45 51 38

10

15 7 3

2 3

4 5

2 3

−

−

−

−

−

−

−

−

x x

x x

x

x x x

3 2 2 3 2 2 3 2 2

) ( ) ( ) (

) (

) (

) (

x z z y y x

x z z y y

x

− +

− +

−

− +

− +

−

3 3 3 3 3 3

zx x z yz z y xy y x

zx x z yz z y xy y x

− +

− +

−

− +

− +

−

9) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A =

9 9 6 3

27 2 3 4

6

+

− +

−

+

x x x x

x

b) B =

3 3

6 3 4 2 2

2 3

2 3 4 5

+ + +

+

−

− +

−

x x x

x x x x x

Chỉ dẫn hoặc đáp số :

1) a) (x + 6) ( x - 2)

b) x(x - 3) ( 2x + 1)

c)(x - 1) ( x + 3)2

d) ( x - 1) ( x + 1) ( x2 + 5)

e) ( x - 1) ( x - 2) (x + 3)

f) ( 3x -1) ( x2 - 2x + 5)

g) ( 2x +1) ( 2x3 - 3x2 + 9x - 3) đa thức 2x3 - 3x2 + 9x - 3 bất khả quy vì

ta tìm đợc số p = 3 thảo mãn tiêu chuẩn Aidenxtainơ

h) (3x+1) ( x2 - 5x + 3)

2) a) Thêm bớt 4x2 kết quả ( x2 + 2x + 2) ( x2 - 2x + 2)

b) ( x2 + 4x + 8) ( 8x2 - 4x + 8)

c) ( 8x2 - 4x + 1) ( 8x2 + 4x + 1)

d) ( 9x2 - 6x + 2) ( 9x2 + 6x + 2)

e )(2x2 + 2x + 1) (2x2 - 2x + 1)

f) (8x2 + y2 + 4xy) (8x2 + y2 - 4xy)

g)( x2 + 6x + 18) ( x2 - 6x + 18)

h) (x2 + x + 1) (x3 - x + 1)

i) ( x2 + x + 1) ( x6 - x 4 + x3 - x + 1)

k)- (x2 + x +1) ( x5 - x 4 + x3 - x + 1)