Bài giảng số 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác. Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết.. Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạ[r]

Trang 1

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1

Chuyên đề 3: Phân tích đa thức thành nhân tử Đặt vấn đề:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của các đa thức, đơn thức khác VD:

- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác Ví dụ:

+ Bài toán chứng minh chia hết

+ Rút gọn biểu thức

+ Giải phương trình bậc cao

+ Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

I Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1) Phương pháp đặt nhân tử chung

*Phương pháp giải toán:

- Phương pháp đặt nhân tử chung ngược lại với phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa

thức: A.B + A.C = A.(B + C)

- Nhân tử chung là tích của phần hệ số với phần biến và được xác định như sau

+ Phân hệ số: Là ƯCLN của các hệ số có mặt trong từng hạng tử

+ Phần biến: Là phần biến có mặt trong tất cả các hạng tử của đa thức đó, mỗi biến lấy với sỗ mũ

nhỏ nhất

Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2

5

15x y 5xy 20x y  10xy c)  2  

x y  yx

Lời giải mẫu

a) Đa thức có 2 hạng tử là x2 và 5x

- Nhân tử chung phần hệ số là ƯCLN(1, 5) = 1

- Nhân tử chung phần biến là x

Vậy nhân tử chung của đa thức trên là x

Ta có: 2  

x  xx x

b) Nhân tử chung là 5xy

15x y 5xy 20x y  10xy  5xy 3x   1 4xy 2y

c) Không nên khai triển hằng đẳng thức vì sẽ làm bài toán phức tạp hơn Nhận thấy nếu đổi dấu

hạng tử thứ 2 thì đa thức xuất hiện nhân tử chung là x2y Vậy

x y  yx  x y x y

Chú ý: - Để tìm “Nhân tử riêng” là hạng tửbêntrong ngoặc ta lấy đa thức chia cho nhân tử chung

- Đôi khi để làm xuất hiện nhân tử chung, ta phải đổi dấu của các hạng tử

Trang 2

Bài tập áp dụng

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

)4 14 ;

)5 15 ;

a x x

b y y

c x y x y xy





)15 20 25 ; )9 (2 ) 12 (2 );

) ( 1) (1 );

e x y z x y z

2

a x x x

b x y x y

2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức

*Phương pháp giải toán

- Ghi nhớ 7 hằng đẳng thức cơ bản Chú ý chiều biến đổi từ tổng về tích của các hằng đẳng thức

này

2

) 2 1;

a x x

b x x y

c x x x

Lời giải mẫu:

a) Nhận thấy đây là vế trái của hằng đẳng thức số 1 Áp dụng ta có

 2 2

x  x  x

b) Nhận thấy 3 hạng tử đầu tiên và hạng tử cuối đều có thể đưa về đươc bình phương

x  x x  x  x  x  x  x  x x x x

c) Ta thấy đa thức có nhân tử chung là x

 4 3 2 2 2  2 2

x  x x x x  x x x

Bài 1

2

1) x  10x  25

2

2) x  6x  9

3) 25x  10xy  y

 2

2

4) 6a  3a  2b

 2 2

6) 81a  5a 3b

  2 2 7) a  2b  3a  b

Trang 3

3

1) m  27

3

2) x  8

 3

3) x 5   27

 3

4) x 1   125

 3 5) x  4  64 6

6) x  1

7) x  15x  75x 125 

8) x  3x  3x  28 (M)

3) Phương pháp nhóm hạng tử

Ta có thể tổng quát phương pháp này như sau:

“Cho đa thức

A + B + C + D (A,B,C,D là các biểu thức) Nếu A, B, C, D không có nhân tử chung nào thì hãy thử với (A + B) và (C + D) hoặc các phép giao hoán khác Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạo thành một hằng

đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung của đa thức”

- Quan sát trong đa thức xem những hạng tử nào có nhân tử chung

- Nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung cho mỗi nhóm

- Đa thức hiện tại đã xuất hiện nhân tử chung chưa? Nếu chưa phải nhóm lại

Đôi khi, ta phải sắp xếp lại vị trí các hạng tử mới xuất hiện nhân tử chung

a) x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) – (3x + 3y)

= x(x + y) – 3(x + y)

= (x + y)(x – 3)

b) 2xy + 3z + 6y + xz = (2xy + 6y) + (3z + xz)

= 2y(x + 3) + z(3 + x) = (x + 3)(2y + z) c) x2 – x – y2 – y = (x2 – y2 ) – (x + y)

= (x + y) (x – y) – (x +y)

= (x + y) (x – y – 1)

Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b) Đối với đa thức dạng này phương pháp chung là khai triển hai trong số ba hạng tử còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số hạng tử thứ ba Do đó,

ta có thể khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung

là a + b:

bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)

Trang 4

= b2c + bc2 + c2a – ca2 – ab(a + b)

= (b2c – ca2) + (bc2+ c2a) – ab(a + b)

= c(b2 – a2

) + c2(b + a) – ab(a + b)

= c(b – a)(b + a) + c2(b + a) – ab(a + b)

= (b + a)(cb – ca + c2) – ab(a + b)

= (a + b)(cb – ca + c2 – ab)

= (a + b)[(cb + c2) – (ca + ba)]

= (a + b)[c(b + c) – a(c + b)]

= (a + b)(b + c)(c – a)

3 2

a xy y x

b x x x

c x x x

2 2

) )3x – 75x 6x – 150 (A)

d xy xz y yz

e x xy xz x y z f



4) Phương pháp phối hợp

Để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp, ta nên chú ý chọn

các phương pháp theo thứ tự ưu tiên như sau:

- Bước 1: Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung hay không?

 Có nhân tử chung: áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung Sau đó ta xem đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với bước 1 và tiếp tục thực hiện đến kết quả cuối cùng

 Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bước 2

- Bước 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng phương pháp hằng đẳng thức Nếu không thì chuyển qua bước 3

- Bước 3: Dùng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung

Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

b) 2a2 – 12ab + 18b2

c) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2

a) Ta thấy tất cả hạng tử đều có thừa số chung, ta đặt thừa số chung ra ngoài và tiếp tục phân tích đa thức trong ngoặc

2x2 + 4x + 2 – 2y2

= 2(x2 + 2x + 1 – y2) Đặt nhân tử chung

Trang 5

= 2 [(x2 + 2x + 1) – y2] Nhóm các hạng tử thích hợp của đa thức trong ngoặc = 2[(x + 1)2 – y2] Xuất hiện hằng đẳng thức

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y) Dùng hằng đẳng thức

Vậy 2x2

+ 4x + 2 – 2y2 = 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

b) 2a2 – 12ab + 18b2

Giải tương tự câu a) :

2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2)

= 2(a – 3b)2

c) 5x3z – 10x2z – 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2

= 5xz(x2 – 2x – z2 – y2 + 1 + 2yz)

= 5xz[ (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2yz + z2)]

= 5xz[(x – 1)2 – (y – z)2]

= 5xz(x – 1 – y + z)(x – 1 + y – z)

1) 5x  10xy 5y 

2) 6x  12xy 6y 

3) 2x  4x y  2xy

4)  3x y 6x y   3x y

5 2 4 3 3 4 5) 4x y  8x y  4x y

7) 2x  8x  8x

8) x  5x  15x  9

5) Phương pháp tách một hạng tử thành hai hạng tử

Phương pháp này áp dụng cho những đa thức chưa phân tích được ngay thành nhân tử Ta tách một hạng tử trong đa thức thành nhiều hạng tử để vận dụng các phương pháp đã biết

5.1) Đối với đa thức bậc hai một biến (Tam thức bậc hai)

f x ax  bx c a

Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử

Cơ sở: dựa vào cách suy luận ngược lại sau:

(mx + n)(px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq Như vậy: đa thức ax2 + bx + c, hệ số b được tách thành hai hạng tử b = b1 + b2 sao cho b b1 2 ac

Áp dụng khi tam thức ax 2

+ bx +c có b là số lẻ, hoặc a không là bình phương của một số nguyên

Các bước tách:

 Bước 1: Xác định hệ số a, b, c

 Bước 2: Tìm tích a.c

Trang 6

 Bước 3: Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

 Bước 4: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Ví dụ mẫu 1: Phân tích đa thức 2

9x 6x8 Bước 1: Xác định a = 9; b = 6; c = 8

Bước 2 : Tích ac = 9 (- 8) = -72

Bước 3 : Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số đó bằng 6)

-72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) 18 = (-6).12 =(-8).9 Bước 4 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6 Đó là -6 và 12

Ta có: 9x2 +6x – 8 = 9x2 -6x + 12x – 8 = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x2)(3x + 4)

Cách 2: Tách hạng tử là hằng số thành hai hạng tử (c = c1 + c2)

Áp dụng trong trường hợp ngược lại với cách 1

 Bước 1: Xác định hệ số a, b, c

 Bước 2: Tách c = c1 + c2 trong đó c10;c20; c1 và c2 đều là số chính phương

 Bước 3: Nhóm thành (ax2

+ bx + c1)c2 rồi dùng hằng đẳng thức 2 2   

a b  a b a b 

Ví dụ mẫu 2: Phân tích đa thức trong ví dụ mẫu 1

Bước 1: Xác định a = 9; b = 6; c = 8

Bước 2: Tách    8 1 9

9x  6x  8 9x  6x  1 9

9x  6x   1 9 3x  1 3  3x 1 3x 4

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 + 4x + 3

b) x2 – 7x + 12

c) 2

3x 12x9

d) 2

4x 12x8

e) 2

144x 72x14

Trang 7

Chuyên đề 3: Phân tích thành nhân tử phần 2 5.2) Đối với đa thức bậc cao một biến

Cở sở: Ta thừa nhận các tính chất sau

Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) thì a phải là ước của hạng tử tự do (hằng số) và f(x) chia hết cho đa thức xa hay f x( )B x a.  trong đó B là đa thức

Ví dụ mẫu: Phân tích các đa thức 3

2 4

x  x

Ta có Ư(4) = {-1 ; 1 ; -2 ; 2 ; -4 ; 4}

Thấy a 2là nghiệm của đa thức vậy 3  

x  x B x Ta sẽ tìm đa thức B bằng cách biến đổi các hạng tử của đa thức 3

2 4

x  x xuất hiện nhân tử chung là x 2

Lời giải mẫu :

x3 – 2x – 4 = x3 – 2x – 8 + 4

= (x3 – 8) – (2x – 4)

= (x – 2)(x2 + 2x + 4) – 2(x – 2)

= (x – 2)(x2 + 2x + 4 – 2)

= (x – 2)(x2+ 2x + 2)

a) 3 2

4

x x  b) 3

7 6

5 8 4

x  x  x d)

3x 7x 17x5

5.3 ) Đối với đa thức bậc 2 hai ẩn có dạng 2 2

( )

f x ax bxycy

- Coi f(x) là một tam thức bậc 2 ẩn x có tham số là y (hoặc ngược lại)

- Thực hiện như các bước trong phần 5.1)

Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức 2 2

9x  6xy 8y

Bước 1: Xác định a = 9; b = 6; c = 8

Bước 2 : Tích ac = 9.(- 8y2

) = 72y2 Bước 3 : Phân tích -72y2

ra tích hai thừa số trái dấu đều có y, trong đó thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai hệ số của thừa số đó bằng 6)

-72(-1y).72y(-2y).36y(-3y).24y(-4y) 18y (-6y).12y(-8y).9y Bước 4 : Chọn hai thừa số mà tổng hệ số bằng 6 Đó là -6 và 12

Ta có: 9x2 +6xy – 8y2 = 9x2 -6xy + 12xy – 8y2 = 3x(3x – 2y) + 4y(3x – 2y) = (3x2y)(3x + 4y)

Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2 + 4xy + 3y2 b) x2 – 7xy + 12y2 c) 2 2

3x  12xy 9y

Trang 8

6) Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức cũng không thể nhóm số hạng tử Đối với những đa thức dạng này ta phải biến đổi

đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết

6.1 Thêm và bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương

- Áp dụng với trường hợp đa thức cần phân tích có dạng x4ny4n hoặc A2nm.An

B2m

- Thêm và bớt vào biểu thức cùng một 2A2nB2n để có hằng

Ví dụ mẫu : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) 4

1

x x 

Lời giải mẫu

a) Nếu coi biểu thức thứ nhất là 2

x , biểu thức thứ 2 là 1 thì ta thấy đa thức trên còn thiếu

1 lượng là 2 lần tích của 2 biểu thức là 2

2x Thêm và bớt cùng một lượng 2

2x vào đa thức trên ta được

x  x  x   x  x  x   x  x   x  x   x x   x

b) Tương tự ý a) ta có

x x  x  x  x  x  x  x  x x  x

Bài tập áp dụng : Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x4 + 4 b) 4

4x 81 c) 4 2

4x 9x 81

6.2 Thêm, bớt nhiều hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

*Phương pháp giải toán :

- Ta thừa nhận các khẳng định sau

+ Tam thức x mx n 1 có nhân tử là x2 x 1 khi và chỉ khi m n 2 3 ;

+ Tam thức x mx n1 có nhân tử là 2

1

x  x khi và chỉ khi m n  2 và m n đồng thời chia hết cho 6

- Biến đổi các đa thức x mx n 1 về dạng có nhân tử chung là x2 x 1 hoặc 2

1

x  x tùy từng trường hợp cụ thể

Ví dụ mẫu : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử x5 + x4 + 1

Trang 9

Ta thấy m 5, n  4 m n   2 18 3   x5 + x4 + 1 có nhân tử là 2

1

x  x Ta tìm cách thêm và bớt các tử 2

x và x để đa thức có nhân tử chung là 2

1

x  x

x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1

= (x5 + x4 + x3) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)

= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

a) x5 + x4 + 1; b) x8 + x4 + 1; c)x10 + x8 + 1 b/ x5 +

x + 1

7) Phương pháp đặt ẩn phụ

Áp dụng cho những đa thức có dạng f x( ) x a x b x c x d      e thỏa mãn

a d  b c hoặc a d b c.

- Nhân x a với x d ; x b với x c được

( )

f x  x  a d x ad    x  b c x bc 

2

x a d x ad x b c x bc

bình phương với ẩn là y, thay y bằng biểu thức của x ban đầu rồi phân tích tiếp

Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức x x 4x6x10128

Lời giải mẫu: Ta thấy a0;b4;c6;d 10   2  2 

f x  x  x x  x 

Đặt 2 10 2 10 24 2

10 12 2

2

Bài tập áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 2

2

) ( ) 4

a k x x x y x y z x z y z

b f x x x x x

c h x x x x x

8) Phương pháp hệ số bất định

Trang 10

Cơ sở của phương pháp này là : Hai đa thức (viết dưới dạng thu gọn) là đồng nhất khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó phải bằng nhau

Áp dụng cho những đa thức không tính được nghiệm nguyên

Ví dụ mẫu : Phân tích đa thức x3

– 19x – 30

Lời giải mẫu :

Ta có kết quả phân tích có dạng:

x3 – 19x – 20 = (x + a)( x2 + bx + c)

= x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac

= x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac

Ta phải tìm hệ số a, b, c thỏa mãn:

Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thỏa mãn hệ thức trên, đó là bộ số phải tìm tức là:

x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15)

Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức

a) 4 3 2

6 12 14 3

x  x  x  x

b) 4 3

8 63

x  x 

c)x43x24

d) 2  

2

x x  x x 

9) Phương pháp giá trị riêng

*Sử dụng khi vai trò của ẩn là như nhau

Ví dụ mẫu: Phân tích đa thức Pab a b   bc b c   ac c a  

Nếu thay a bởi b thì ta có: P 0 bc b c   ac c b   0nên P có nhân tử là

a b , mặt khác ta thấy vai trò của a, b, c là như nhau nên P cũng có nhân tử là

a b b c c a     

Bậc của P là 3, đa thức a b b c c a      cũng có bậc là 3 suy ra

Pab a - b +bc b - c +ac c - a k a b b c c a  

Trang 11

Trong đẳng thức trên ta cho các biến nhận giá trị riêng chẳng hạn

a b c ta được

 

2.1.1+ 0 + 0 = k.1.1 -2

2= 2k k 1 P = a - b b - c c - a

Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức

a)  3 3 3 3

Q a b c  a  b c

b) 2  2  2 

Kx y z y x z z xy

II Ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử

Ứng dụng 1:Tính nhanh

+ Bước 1: Phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử

+ Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích để tính

Ví dụ mẫu: Tính nhanh

a) 732 – 272

= (73 – 27)(73 + 27)

= 46 100

= 4600

b) 20022 – 4

= 20022 – 22

= (2002 + 2)(2002 – 2)

= 2004 2000

= 4008000

Ứng dụng 2: Tính giá trị biểu thức

Tương tự cách giải dạng 1

Ví dụ mẫu: Tính giá trị các biểu thức sau

a) 15.91,5 + 150.0,85

= 15.91,5 + 15.8,5

= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500

b) 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x), với x = 2010; y = 2011; z = -1

Ta có: 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x)

= 5x5 (x – 2z + 2z – x) = 5x5.0 = 0

Với x = 2010; y = 2011; z = -1 thì biểu thức bằng 0

43-11 43+11

36,5 - 27,5 36,5- 27,5 36,5 + 27,5 9.54 9

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	815,69 KB