Một số kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Sau đây, thày giới thiệu ph ơng pháp nhanh hơn, chính xác hơn….. II..[r]

Phân tích đa thức bậc hai, bậc ba bằng các phương pháp đặc biệt

I Phương pháp nhẩm nghiệm thông thường kết hợp sử dụng lược đồ hoocne

a) Lược đồ Hocne

Với đa thức f(x) = n n-1 n-2

a x + a x + a x + + a x + a chia cho nhị thức bậc nhất x a có

th ơng là g(x) = n-1 n-2 n-3

b x + b x + b x + + b x + b d r

Thì ta có

n

a b n1 a n b n2ab n1a n2 b n3 ab n2a n3 b1 ab2a2 b0 ab1a1 rab0b0

Nhìn có vẻ khó hiểu nh ng lại vô cùng dễ dàng!

Ví dụ minh họa: Tìm th ơng và d của phép chia 3 2

x  x  x cho x 2

+ B ớc 1: Xác định “a” Ta có a  2

+ B ớc 2: Ghi nhớ câu thần chú “cắt đầu đem xuống” , “tr ớc nhân đầu, cộng trên”,

xác định các hệ số của đa thức bị chia (Đư sắp xếp) để điền vào bảng ở trong b ớc 3

+ B ớc 3: Lập bảng nh sau

2

(Cắt đầu đem xuống)

1.( 2) 3 1    (tr ớc nhân đầu cộng trên)

1.( 2) 4     6 (tr ớc nhân đầu cộng trên)

6.( 2) 9 21

    (tr ớc nhân đầu cộng trên)

+ B ớc 4: Xác định th ơng và d

Ô cuối cùng của dòng thứ 2 chính là số d , số d là hệ số tự do Trong phép chia này

có d là 21

Các ô tiếp theo là các hệ số có bậc tăng dần của đa thức chia

Hệ số bậc 1 là  6 , bậc 2 là 1

Vậy phép chia trên có th ơng là 2

3 1

x  x d 3 và d là 21

Chú ý: Nếu số d bằng 0 thì phép chia đó là phép chia hết

Khi chia đa thức đa thức một ẩn bậc n cho nhị thức bậc nhất x a thì th ơng luôn là đa

thức bậc n 1 và số d là 1 số thực

b) Áp dụng vào phương pháp

*Cơ sở của ph ơng pháp:

Nghiệm nguyên của đa thức 1

( ) n n n n

f x a x a x   axa là ớc của số hạng tự do a o

Nghiệm hữu tỉ của đa thức 1

( ) n n n n

f x a x a x   axa có dạng m

n thì m là ớc của

số hạng tự do a o còn n là ớc của an

*Định lí: Nếu a là 1 nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho xx0 hay f x( ) có nhân tử là x a

** *Các bước phân tích đa thức f(x) thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm minh họa bằng ví dụ sau

Ví dụ: phân tích đa thức 3

f x x  x

- B ớc 1: Tìm nghiệm của f(x)

+ ớc của 6 gồm     1; 2; 3; 6

+ Thấy f( 1)       1 7 6 0 Vậy a  1 là nghiệm của 3

f x x  x hay

3

f x x  x có nhân tử là x     x0 x ( 1) x 1

- B ớc 2: Sử dụng l ợc đồ Hoocne tìm th ơng của phép chia 3

f x x  x cho x 1

1

(Cắt đầu đem xuống)

1.( 1) 0     1 (tr ớc nhân đầu cộng trên)

1.( 1) 7 6

     (tr ớc nhân đầu cộng trên)

6.( 1) ( 6) 0

     (tr ớc nhân đầu cộng trên)

B ớc 3: Kết luận

Vậy th ơng của phép chia trên là 2

6

x  x hay

x  x  x x  x và tiếp tục các b ớc nh trên để phân tích đa thức 2

6

x  x

Ph ơng pháp này khá dài, đôi khi làm mất thời gian của các bạn Sau đây, thày giới thiệu ph ơng pháp nhanh hơn, chính xác hơn…

II Phương Pháp dùng máy tính bỏ túi:

*Cơ sở: Ta thừa nhận tính chất sau đây

f x ax bx c a  có hai nghiệm x1; x2 thì f x( ) a x x1xx2

f x ax bx  cx d a có 3 nghiệm x1; x2; x3 thì

( )

f x a xx xx xx

Vậy tìm các nghiệm đó nh thế nào?

Đối với máy tính Casio Fx 500ms các bạn hưy truy cập đ ờng dẫn sau

http://bitex.edu.vn/kho-ung-dung/1394/giai-cac-phuong-trinh-tren-may-tinh-casio-may-fx500ms.html

Đối với máy tính Casio Fx 570 các bạn truy cập đ ờng dẫn sau:

http://bitex.edu.vn/kho-ung-dung/1442/huong-dan-giai-phuong-trinh-bang-may-fx-570ms.html

Sau đây ta bắt đầu thực hành:

Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2

5 6

x  x

b) 2x3x2 5x 2

Giải

a) Các b ớc thực hiện

+ B ớc 1: Xác định các hệ số a: a 1

+ B ớc 2: Sử dụng máy tính ta tìm đ ợc nghiệm của 2

5 6

x  x là  1 và 6

x  x  x x  x x

2

x x  x  x  x x

Tuy nhiên trong thực tế giáo viên không chấp nhận cách làm trên, buộc ta phải “biến tấu” đi một chút cho phù hợp

Các b ớc trên coi nh là b ớc nháp Tiếp tục thực hiện các b ớc sau ra nháp

x  x  x x

+ Nhân vào:    2

x x x  x x  Hình thành các tách hạng tử: Đó là tách hạng tử     5x 6x x

b)

1

2

Nhân tiếp đ ợc    2  3 2 2

2x 1 x  x 2  2x  2x  4xx  x 2 từ đó hình thành cách tách 2 hạng tử Nhóm 2 hoặc 3 hạng tử đầu đều cho ra kết quả Sau đó lại tách tiếp

Tr ờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên chỉ có 1 nghiệm là số thực, các nghiệm còn lại là

số phức (dùng máy tính tìm nghiệm thấy xuất hiện RI) thì ta dùng l ợc đồ hoocne bên trên để chia nhằm hạ bậc của đa thức cần phân tích

Ví dụ: Khi phân tích đa thức 3

2

x  x Bấm máy tính chỉ xuất hiện nghiệm thực x 1

thì ta nên dùng l ợc đồ Hoocne để chia đa thức 3

2

x  x cho x 1