Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử?. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức khác.. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các ph ơn
Trang 1Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử
Môn: Đại số 8 Giáo viên dạy: Quưn
Trang 21 Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đa thức khác
2 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các ph ơng pháp thông th ờng :
a Đặt nhân tử chung
b Dùng hằng đẳng thức
c Nhóm các hạng tử d.Phối hợp các ph ơng pháp trên
I Một số kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử
Trang 33 Các ph ơng pháp khác
• Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
• Thêm, bớt cùng một hạng tử
• Đặt ẩn phụ
• Dùng ph ơng pháp hệ số bất định
• Nhẩm nghiệm
II Ph ơng pháp: “ Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử” :
Ph ơng pháp này th ờng đ ợc áp dụng để phân tích các đa thức có dạng:
x2 + px +q hoặc ax2 + bx + c ( a 0; a 1 ) thành nhân tử
1 Tr ớc tiên ta xét dạng toán phân tích đa thức x2 + px + q thành nhân tử:
Trang 41> Phân tích đa thức x2 + px + q thành nhân tử:
-Nếu hệ số p có thể tách đ ợc p = m + n sao cho m.n = q thì khi đó ta có thể viết lại đa thức : x2 + px + q
= x2 + ( m + n)x + m.n
= ( x + m )( x + n )
* Ví dụ 1> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 7x + 10 b) x2 - 9x + 20 c) x2 + 13x + 36
Giải
a) x2 + 7x + 10
= x2 + ( 2 + 5 )x + 2.5
= ( x + 2 )( x + 5 )
b) x2 - 9x + 20 = x2 + ( - 4 - 5)x + ( - 4 )( -5 )
= ( x - 4 )( x - 5 )
c) x2 + 13x + 36 = x2 + ( 4 + 9 )x + 4.9 = ( x + 4 )( x + 9 )
Trang 52> Phân tích đa thức ax2 + bx + c ( với a 0; a 1) thành nhân tử
* Cách làm:
B ớc 1: Lấy tích a.c = t
B ớc 2: Phân tích t thành hai nhân tử: t = pi qi
B ớc 3: Tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pk , qk sao cho pk + qk = b
B ớc 4: Viết ax2 + bx + c = ax2 + pk x + qkx + c
B ớc 5: Nhóm số hạng và đ a nhân tử chung ra ngoài
Ví dụ 2> Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 -3x-1 b) 3x2 - 10x - 8
Giải
a) 4x2 -3x-1 B1: Ta có : 4 ( - 1 ) = - 4 B2: - 4 = ( - 2) 2 = ( - 4) 1 = ( - 1).4 B3: Ta thấy: (- 4) + 1 = - 3 ( = b )
B4 + B5: Do đó ta viết : 4x2 -3x-1 = 4x2 - 4x + x - 1 = (4x2 - 4x) + (x – 1) = 4x( x - 1) + ( x - 1 ) = ( x - 1 )( 4x + 1 )
Trang 6* C¸ch lµm:
tö: t = pi qi
pi, qi mét cÆp pk , qk sao cho pk +
qk = b.
• B íc 4: ViÕt ax2 + bx + c
= ax2 + pkx + qkx + c
tö chung ra ngoµi
b) 3x2 - 10x - 8
• B1: 3 ( - 8 ) = - 24
• B2: - 24 = (- 2 ) 12 = ( - 12 ).2 = (-4).6 = ( - 6 ).4 = ( -3 ).8 = ( -8 ).3 = ( -1).24 = ( -24).1
• B3: Ta thÊy - 12 + 2 = - 10 ( = b )
• B4 + B5: 3x2 - 10x - 8 =3x2 - 12x + 2x - 8 = (3x2 - 12x) + (2x - 8) = 3x( x - 4 ) +2(x - 4 ) = ( x - 4 )( 3x - 2 )
Trang 73 Một vài ứng dụng của ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
Ví dụ 3> Giải các ph ơng trình sau:
a) x2 + 11x + 28 = 0 b) 4x2 + 22x + 30 = 0
- Đây là những ph ơng trình bậc 2, ph ơng pháp giải những ph ơng trình này thì
các em ch a học Tuy nhiên, nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử các em
có thể đ a các ph ơng trình trên về dạng ph ơng trình tích và giải đ ợc chúng
theo ph ơng pháp đã biết : A(x ) B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
Giải
a) x2 + 11x + 28 = 0
x2 + ( 4 + 7 )x + 4.7 = 0
( x + 4 )( x + 7 ) = 0
x + 4 = 0 hoặc x + 7 = 0
x = - 4 hoặc x = -7
Vậy ph ơng trình đã cho có tập
nghiệm là S =
4; 7
b) 4x2 + 22x + 30 = 0
2x2 + 11x + 15 = 0 2x2 + 6x + 5x + 15 = 0 2x( x + 3) + 5( x + 3 ) = 0 ( x + 3 )( 2x + 5) = 0
x + 3 = 0 hay 2x + 5 = 0
x = - 3 hay x = Vậy tập nghiệm của ph ơng trình đã cho
là
5 2
5 3;
2
S
Trang 8Ví dụ 4> Tính giá trị của các biểu thức sau:
A = 18x3 + 24x2 - 10x tại x = - 1
3
Gặp những bài toán nh thế này ta không thể thay trực tiếp giá trị của x vào biểu thức ban đầu vì làm nh thế sẽ dẫn đến các phép tính toán rất phức tạp Vì vậy bắt buộc ta phải phân tích các đa thức đã cho thành nhân tử rồi thay các giá trị của x vào biểu thức đã đ ợc phân tích đó
Thật vậy, ta có: A = 18x3 + 24x2 - 10x = 2x( 9x2 + 12x - 5) = 2x( 9x2 + 15x - 3x - 5 ) = 2x( 3x + 5)( 3x - 1 ) 16
3
IV Một số cách giải khác đối với hai dạng toán trên:
* Trên đây là hai dạng toán th ờng gặp và phổ biến trong ch ơng trình toán 8, nhờ ph
ơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử nêu trên mà các có thể giải quyết đ
ợc những dạng toán này một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn Tuy nhiên, khi gặp bài toán dạng này không phải lúc nào đều sử dụng ph ong pháp trên Tùy theo đặc thù
Gi iải
1 3
Ta thay x =- vào biểu thức 2x( 3x + 5)( 3x - 1 ) ta đ ợc
A =
Trang 9VÝ dô 5> Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a x2 -7x+12 b 4x2 -3x-1
a x 2 -7x+12
C¸ch 1: Ta cã: x 2 - 7x + 12
= x 2 + ( - 4 -3 )x + ( -4)( - 3 )
= ( x - 4 )( x - 3 )
C¸ch 2: T¸ch sè h¹ng -7x thµnh - 4x-3x
Ta cã x 2 -7x+12 =x 2 -4x-3x +12
=(x 2 -4x)-(3x -12)
= x(x-4)-3(x-4)
=(x-4)(x-3)
C¸ch 3: T¸ch sè h¹ng 12 thµnh 21- 9
x 2 -7x+12 =x 2 -7x +21-9
=(x 2 -9) - (7x-21)
=(x-3) (x+3) -7(x-3)
=(x-3) (x -4)
• b 4x2 -3x-1 C¸ch 1: T¸ch 4x 2 thµnh x 2 +3x 2
Ta cã 4x 2 -3x-1
=x 2 +3x 2 -3x-1
=(x 2 -1) + (3x 2 -3x)
=(x-1)(x+1) +3x(x-1)
=(x-1)( 4x +1) C¸ch 2: T¸ch -3x thµnh - 4x +x 4x 2 -3x-1 = 4x 2 -4x +x -1
= 4x(x-1)+ (x -1) = (x -1)(4x+1) C¸ch 3: T¸ch sè h¹ng -1 thµnh - 4 +3 4x 2 -3x-1
=4x 2 -3x -4 +3 =4(x-1)(x+1) -3 (x-1) =(x-1)(4x+1)
Trang 10* Củng cố:
Nhắc lại hai dạng toán đã đ ợc áp dụng ph ơng pháp tách một hạng tử thành nhiều
hạng tử đã trình bày trong tiết học
* Dạng 1: Phân tích đa thức dạng:
x2 + px + q thành nhân tử
Cách làm: Tách p = m + n sao cho m.n = q
thì khi đó ta có thể viết lại
x2 + px + q
= x2 + ( m + n)x + m.n
= ( x + m )( x + n )
•Dạng 2: Phân tích đa thức ax2 + bx + c với
a 0 và a 1 thành nhân tử
Cách làm:
B ớc 1: Lấy tích a.c = t
B ớc 2: Phân tích t thành hai nhân tử: t = pi qi
B ớc 3: Tìm trong các cặp nhân tử pi , qi một cặp
pk , qk sao cho pk + qk = b
B ớc 4: Viết ax2 + bx + c = ax2 + pkx + qkx + c
B ớc 5: Nhóm số hạng và đ a nhân tử chung ra ngoài
Dặn dò: Về nhà xem lại các dạng toán đã giải và làm các bài tập sau:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 – 8x2 + 12x b) 5x2 + x - 18