ðồng thời sẽ xét các ứng dụng của tính ñơn ñiệu trong việc chứng minh bất ñẳng thức, giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình.. TÓM TẮT GIÁO KHOAI[r]
Trang 1Bài 1: TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ
Số tiết: 4 tiết
Trong bài này chúng ta sẽ ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu (tức là tính ñồng biến và nghịch biến) của hàm số ðồng thời sẽ xét các ứng dụng của tính ñơn ñiệu trong việc chứng minh bất ñẳng thức, giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình
A TÓM TẮT GIÁO KHOA
Giả sử K là một khoảng, một ñoạn hoặc một nữa khoảng và f là hàm số xác ñịnh trên K
I) ðỊNH NGHĨA
• Hàm số f ñược gọi là ñồng biến (tăng) trên K nếu
∀x , x1 2∈K, x1<x2⇒f x( )1 <f x( )2
• Hàm số f ñược gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu
∀x , x1 2∈K, x1<x2 ⇒f x( )1 >f x( )2
Minh họa:
-0.5
0.5 1 1.5 2 2.5
x y
K=(-1;0) K=(1/2;1)
y=f(x)=x 4 -2x 2 +2
• Nếu hàm số ñồng biến trên K thì ñồ thị ñi lên từ trái sang phải
• Nếu hàm số nghịch biến trên K thì ñồ thị ñi xuống từ trái sang phải
• Hàm số ñồng biến hay nghịch biến trên K ñược gọi chung là hàm số ñơn ñiệu trên K
II) CÁC ðỊNH LÝ
a) Nếu hàm số f (x) ñồng biến trên K thì f '(x)≥ với mọi x K0 ∈
b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)≤ với mọi x K0 ∈
a) Nếu f ' x( )> với mọi x K0 ∈ thì hàm số f (x) ñồng biến trên K
b) Nếu f ' x( )< với mọi x K0 ∈ thì hàm số f (x) nghịch biến trên K
c) Nếu f ' x( )= với mọi x K0 ∈ thì hàm số f (x) không ñổi trên K
Chú ý quan trọng:
Khoảng K trong ñịnh lý trên có thể ñược thay bởi một ñoạn hoặc một nữa khoảng Khi ñó phải bổ sung giả thiết
"Hàm số liên tục trên ñoạn hoặc nữa khoảng ñó" Cụ thể
• Nếu hàm số liên tục trên ñọan [ ]a; b và có ñạo hàm f '(x)> trên khoảng 0 ( )a; b thì hàm số f ñồng biến
trên ñọan [ ]a; b
• Nếu hàm số liên tục trên ñọan [ ]a; b và có ñạo hàm f '(x)< trên khoảng 0 ( )a; b thì hàm số f nghịch
biến trên ñọan [ ]a; b
Trang 23) ðịnh lý 3: (ðịnh lý mở rộng) Cho hàm số y=f (x) có ñạo hàm trên K
a) Nếu f ' x( )≥ với mọi x K0 ∈ và f ' x( )= chỉ tại một số ñiểm hữu hạn thuộc K 0
thì hàm số f (x) ñồng biến trên K
b) Nếu f ' x( )≤ với mọi x K0 ∈ và f ' x( )= chỉ tại một số ñiểm hữu hạn thuộc K 0
thì hàm số f (x) nghịch biến trên K
Tính ñơn ñiệu của hàm số bậc ba
y=f x =ax +bx +cx+d a≠0 , ta có ( ) 2
f ' x =3ax +2bx+ c
y=f x =ax +bx +cx+d a≠0 ñồng biến trên ℝ ⇔ ( ) 2
f ' x =3ax +2bx+ ≥c 0 x∀ ∈ ℝ
y=f x =ax +bx +cx+d a≠0 nghịch biến trên ℝ ⇔ ( ) 2
f ' x =3ax +2bx+ ≤c 0 x∀ ∈ ℝ
B THỰC HÀNH GIẢI TOÁN
I CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
1.Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Ví dụ 1: Tìm các khoảng ñơn ñiệu của các hàm số sau
4
2
a) y f x x x x 3 b) y f x x 3x 9x 11
x c) y f x 2x 6 d) y f x x 4x 3
4
e) y f x f ) y f x
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau
2 a) y x 2 x b) y x 4 x
2
c) y d) y
+
2.Dạng 2: ðịnh tham số ñể hàm số ñơn ñiệu trên một miền K cho trước
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m ñể hàm số
3
3
= − + − + + − nghịch biến trên ℝ
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2
f x =x − m 1 x+ + 2m 1 x− +m − 2 a) ðồng biến trên ℝ
b) ðồng biến trên nữa khoảng 3;
2
+∞
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số a sao cho hàm số ( ) 1 3 1 2 ( 2 )
a) Nghịch biến trên ℝ
b) Nghịch biến trên mỗi nữa khoảng (−∞ − và ; 1] [3; +∞ )
Trang 3II CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO
1.Dạng 1: Sử dụng tính ñơn ñiệu chứng minh bất ñẳng thức
a) Ví dụ 1: Chứng minh các bất ñẳng thức sau:
i) sin x< với mọi xx 0;
2
π
ii)
2 x cos x 1
2
> − với mọi x 0;
2
π
b) Ví dụ 2: Chứng minh các bất ñẳng thức sau:
i) 2sin x+tan x >3x với mọi x 0;
2
π
ii) sin x+tan x>2x với mọi x 0;
2
π
2.Dạng 2: Sử dụng tính ñơn ñiệu giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
Bổ sung các tính chất của tính ñơn ñiệu
• Tính chất 1: Giả hàm số y=f x( ) ñồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( )a; b và u; v∈( )a; b ta có:
f u =f v ⇔ =u v
• Tính chất 2: Giả hàm số y=f x( ) ñồng biến trên khoảng ( )a; b và u; v∈( )a; b ta có:
f u <f v ⇔ <u v
• Tính chất 3: Giả hàm số y=f x( ) nghịch biến trên khoảng ( )a; b và u; v∈( )a; b ta có:
f u( )<f v( )⇔ >u v
• Tính chất 4: Nếu hàm số y=f x( ) ñồng biến trên ( )a; b và y=g x( ) làm hàm hằng hoặc là một hàm
số nghịch biến trên ( )a; b thì phương trình f x( )=g x( ) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng ( )a; b
Dựa vào tính chất trên ta suy ra:
Nếu có x0∈( )a; b sao cho f x( )0 =g x( )0 thì phương trình f x( )=g x( ) có nghiệm duy nhất trên ( )a; b
a) Ví dụ 1: Giải phương trình x 9+ + 2x+ = 4 5
b) Ví dụ 2: Giải phương trình x cos x 2 0
π
x +15 =3x− +2 x + 8
d) Ví dụ 4: Giải bất phương trình x 2+ − 3 x− < 5 2x−
e) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình {cot x cot y x y
5x 8y 2
+ = π với x, y∈(0;π )
f) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: x y 1 y 1 x 0
Trang 4C BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tìm các khoảng ñơn ñiệu của các hàm số sau
2
a) y f x x 3x 9x 5 b) y f x x 2x 3
c) y f x d) y f x
Bài 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau
2
3
Tìm a ñể hàm số ñồng biến trên ℝ
Bài 4: Tùy theo m hãy xét sự biến thiên của hàm số 2( )
y=x m x− −m
Bài 5: Giải các phương trình sau:
2
3
b) sin x cos x 2x 1 0 c) 4x 12x 8 cos 3x 9 cos x 0
Bài 6: Giải bất phương trình 2
x + +x 6 x+ <2 18
Bài 7: Giải hệ phương trình
3 2
3 2
3 2
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng:
sin A+sin B sin C+ +tan A+tan B+tan C> π 2
-Hết -