2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B).. Câu III[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010
MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
1) Giải hệ phương trình
¿
3 x2+8 y2+12 xy=23
x2 +y2 =2.
¿ {
¿
2) Giải phương trình
√2 x +1+3√4 x2− 2 x +1=3+√8 x3+1.
Câu II
1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức
(1+x2)(1+ y2)+4 xy+2 ( x + y ) (1+xy )=25
2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a] Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có
[ 3
1 2+
7
2 3+ .
n2+n+1
n (n+1) ]=n
Câu III
Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc ACB=300 Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường tròn (O)
1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm N (khác B) Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC
Câu IV
Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1+a)(1+b)=9
4 , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=√1+a4+√1+b4
_
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010
Trang 2MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
3) Giải phương trình
√x+3+√3 x +1=4
4) Giải hệ phương trình
¿
5 x2+2 y2+2 xy=26
3 x+(2 x + y ) (x − y )=11.
¿ {
¿
Câu II
3) Tìm tất cả các số nguyên dương n để n2+391 là số chính phương
4) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x+ y+ z=1 Chứng minh rằng
√xy+z +√2 x2+2 y2 1+√xy ≥ 1.
Câu III
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng
1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp
Câu IV
Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự
a1, a2, ., a2010 , ta đánh dấu tất cả các số d¬ng và tất cả các số mà tổng của
nó với một số sè liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương (Ví dụ với dãy
số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thì các số được đánh dấu là
a2=−4 , a3=4 , a4=−1 , a5=2 )
Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương
_
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.
Ghi chó : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
Hä vµ tªn thÝ sinh sè b¸o danh
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010
MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
5) Giải hệ phương trình
Trang 33 x2+8 y2+12 xy=23
x2 +y2 =2.
¿ {
¿
6) Giải phương trỡnh
√2 x +1+3√4 x2− 2 x +1=3+√8 x3+1.
H
ớng dẫn
1) Cộng cả hai phơng trình ta đợc
3 x2+8 y2+12 xy=23
x2
+y2 =2.
⇔
¿4 x2 +9 y 2
+ 12 xy=25
¿
x2+y2=2.
⇔
2 x +3 y¿2=25
¿
x2+y2=2.
¿
¿ ¿
Ta có hai hệ
¿
2 x +3 y=5
x2+y2=2
¿ {
¿
Và
¿
2 x +3 y=− 5
x2+y2=2
¿ {
¿
Giai ra ta đợc Hệ PT có 4 nghiệm
(x ; y )∈{(1 ;1);(137 ;
17
13);(−1 ;−1) ;(13−7 ;
− 17
13 ) }
ĐKXĐ x ≥ − 1
2 Đặt √2 x +1=a(a ≥ 0);√4 x2−2 x+1=b(b>0)
Trang 4¿
b=1
¿
√2 x+1=3
¿
√4 x2− 2 x +1=1
¿
2 x +1=3
¿
4 x2− 2 x +1=1
¿
2 x +1=3
¿
2 x (2 x −1)=0
¿
x=1
¿
x=0
¿
x=1
2
¿
¿
¿
⇔¿
¿
⇔¿
¿
⇔¿
¿
⇔¿
¿
¿
¿ √2 x+1+3√4 x2−2 x+1=3+√8 x3+1 (∗)
Ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm x1=1; x2=0 ; x3= 1
2
Câu II
5) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức
(1+x2)(1+ y2)+4 xy+2 ( x + y ) (1+xy )=25
6) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a] Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có
[ 3
1 2+
7
2 3+ .
n2+n+1
n (n+1) ]=n
H íng dÉn
1)Ph¸ ngoÆc
(1+x2)(1+ y2)+4 xy+2 ( x + y ) (1+xy )=25 ⇔1+ y2
+x2+x2y2+4 xy+2( x + y ) (1+xy )=25
y +1¿2=25
x +1¿2¿
xy +1+x + y¿2=25⇔¿
x + y¿2=25⇔¿
¿
xy +1 ¿2+2 (x + y ) (1+xy )+¿
⇔¿
Trang 5vì x,y không âm nên (x+1)(y+1)=5 ta có
(x;y) {(0;4);(4;0)}
2) xét k k (k +1)2+k +1= k2
k (k+1)+
k +1
k (k +1)=
k
(k +1)+
1
k=1 −
1
k +1+
1
k(k ∈ N )
Thay k lần lợt từ 1 đến n ta có
[ 3
1 2+
7
2 3+ .
n2+n+1
n (n+1) ]=[1−1
2+1+1−
1
3+
1
2+ ++ 1−
1
n+
1
n− 1+1 −
1
1
n]
n+1]=[n+ n
n+1]=n(dpcm); vi:0< n
n+1<1
Cõu III
Cho đường trũn (O) với đường kớnh AB = 2R Trờn đường thẳng tiếp xỳc với đương trũn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho gúc ACB=300 Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường trũn (O)
3) Tớnh độ dài đường thẳng AC, BC và khoảng cỏch từ A đến đương thẳng BC theo R
4) Với mỗi điểm M trờn đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường trũn (O tại điểm N (khỏc B) Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trờn cựng một đường trũn và tõm đường trũn đú luụn chạy trờn một đường thẳng cố định khi M thay đổi trờn đoạn thẳng AC
H ớng dẫn
j
N
C
H
O
M
1)Xét tam giác vuông ABC ( vuông tại A)có AB=2R;gúc ACB=300 Nên
BC=4R;
áp dụng Pi-Ta-Go AC=√BC 2− AB2
=√16 R2− 4 R2
=√12 R2 nên AC= 2√3 R ;
Trang 6áp dụng hệ thức lợng AH BC=AB AC⇒ AH=AB AC
2 R 2√3 R
4 R =R√3 vậy AH=
R√3
2) Ta có Do ∠ACB =∠HAB=300 suy ra ∠HNB=∠ HAB=300 nên
này thuộc trung trực HC cố định
Cõu IV
Với a,b là cỏc số thực thoả món đẳng thức (1+a)(1+b)=9
4 , hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P=√1+a4+√1+ b4
H ớng dẫn
áp dụng BBĐT Bu nhi acópky cho 2 dãy
a2;1 và 1; 4 ta có a2+ 4 ¿2⇔√a4+1≥ a
2
+ 4
√17 (1);Dau := ⇔a=1
2
17(a4+1)≥ ¿
b2;1 và 1; 4 ta có b2+ 4 ¿2⇔√b4+1≥ b
2 + 4
√17 (2);Dau := ⇔b=1
2
17(b4+1)≥ ¿
Từ (1)&(2) ta có P≥ a
2 +b2+8
√17 (∗) Mặt khác Từ GT ta có a+b +ab=5
4 Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 ta có
¿
a2+ 1
4≥ a
b2+ 1
4≥ b
a2+b2
2 ≥ ab
2(a
2
+b2)+ 1
5
4⇔ a2 +b2≥1
2
¿ { {
¿
Thay Vào (*) ta có P≥
1
2+8
√17=
√17 2
Vây Min(P)=√17
2 _
MễN THI: TOÁN (Vũng 2) Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I
7) Giải phương trình
√x+3+√3 x +1=4
8) Giải hệ phương trỡnh
¿
5 x2+2 y2+2 xy=26
3 x+(2 x + y ) (x − y )=11.
¿ {
¿
H ớng dẫn
Trang 71) ĐKXĐ x ≥ − 1
3 ; x=1 Thảo mãn xét x< 1 thì VT<4 (loại); x>1 thìVT>4 (loại)
Cách khác
√x+3+√3 x +1=4 ⇔√x +3=4 −√3 x +1;(√3 x +1 ≤ 4 ⇔ x ≤5)
+14 x +49 ⇔ x2
x=1(t /m)
¿
x=33 ;(loai)
¿
¿
¿
¿
¿
¿
5 x2+2 y2+ 2 xy=26
3 x +(2 x+ y ) ( x − y )=11.
⇔
¿5 x2 +2 y 2 +2 xy =26
3 x +2 x2− xy − y2 =11
⇔
¿5 x2+2 y2+2 xy =26
6 x+4 x2− 2 xy − 2 y2=22
¿
⇔
¿5 x2 +2 y 2 +2 xy =26
9 x2+6 x+1=49
⇔
¿5 x2+2 y2+2 xy =26
3 x +1¿2= 49
¿
⇔
¿
¿
¿
5 x2+2 y2+ 2 xy=26
¿
3 x +1=7
¿
¿
¿
¿
¿
¿
5 x2+2 y2+ 2 xy=26
¿
3 x +1=− 7
¿
¿
¿
¿
¿
⇔
¿
Với x= −8
3 thay vào PT(1) vô nghiệm
Với x=2 thay vào PT(1) ta đợc y=1 hoặc y=-3
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) {(2;1);(2-3)}
Trang 8Câu II
1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để n2 +391 là số chính phương
2)Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x+ y+ z=1
Chứng minh rằng
√xy+z +√2 x2+2 y2 1+√xy ≥ 1.
H íng dÉn
1)ta cã n2
+ 391 lµ sè chÝnh ph¬ng nªn n2 +391=k 2 (k ∈ N )
n2
+391=k2⇔(n − k)(n+k)=− 391 mµ 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23)
Ta cã n-k<n+k nªn
VËy n =3 hoÆc n=195 2) √xy+z +√2 x2+2 y2
1+√xy ≥ 1. ⇔√xy +z +√2 x2 +2 y 2≥ 1+√xy
¸p dông B§T Bunhiacopsky cho 2 d·y x ; y vµ 1; 1 ta cã
x+ y¿2⇒√2(x2+y2)≥ x + y
2(x2
+y2
)≥¿
Nªn √xy + z+√2 x2
+2 y2≥√xy+ z +x + y ta ph¶i chøng minh
√xy+z +x + y ≥ 1+√xy⇔√xy +z +1− z ≥ 1+√xy⇔√xy +z ≥ z +√xy
⇔ xy+z ≥ z2
+2 z√xy+xy⇔ z− z2≥2 z√xy⇔1 − z ≥2√xy⇔ x+ y ≥ 2√xy (dung)
DÊu “=” x¶y ra khi x= y= 1 − z
2 =
1 3
C¸ch kh¸c ta cã
x+ y ≥ 2√xy⇔ x+ y +z ≥ z+2√xy⇔1≥ z+2√xy⇔ z≥ z2
+2 z√xy
¿
√xy +z¿2⇔√xy+ z ≥√xy +z (1)
⇔ xy +z≥ xy+z2
+2 z√xy= ¿
¸p dông B§T Bunhiacopsky cho 2 d·y x ; y vµ 1; 1 ta cã
x+ y¿2⇒√2(x2+y2)≥ x + y
2(x2+y2)≥¿ (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã √xy +z+√2 x2+2 y2≥1+√xy⇔√xy +z +√2 x2+2 y2
DÊu “=” X¶y ra khi x= y= 1 − z
2 =
1 3
Câu III
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng
3) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC
4) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp
H
íng dÉn
Trang 9Q E
F M
H
B
C A
1)Vì tứ giác BEPH nội tiếp nên ∠EHB =∠EPB (1) vì E;P;Q thẳng hàng nên
ΔMHC vuông tại H có HQ⊥ MC suy ra ∠MCH=∠ MHQ (4) từ (1); (2) ; (3) ; (4) ta có ∠EHB =∠MCH ở vị trí đồng vị nên HE//CM mà
Tơng tự BM⊥ AC(**)
từ (*) và (**) ta có M là trực Tâm tam giác ABC
2)Vì M là trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta có
Nên tứ giác BEFC nội tiếp
Cõu IV
Trong dóy số gồm 2010 số thực khỏc 0 được sắp xếp theo thứ tự
a1, a2, ., a2010 , ta đỏnh dấu tất cả cỏc số õm và tất cả cỏc số mà tổng của nú với một số số liờn tiếp liền ngay sau nú là một số dương (Vớ dụ với dóy số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thỡ cỏc số được đỏnh dấu là
a2=−4 , a3=4 , a4=−1 , a5=2 )
Chứng minh rằng nếu trong dóy số đó cho cú ớt nhất một số dương thỡ tổng của tất cả cỏc số được đỏnh dấu là một số dương
H
ớng dẫn
Xét các số đợc đánh dấu a1;a2;a3 an (n N ;n<2010¿
-Nếu dãy có tất cả các số dơng thì ta có đpcm
-Nếu có số âm đợc đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dơng sao cho tổng của số âm này với các số liền sau nó luôn dơng ( Giá trị tuyệt đối số số tổng các
d-ơng lớn hơn GTTĐ số âm) suy ra số liền sau số âm đó cũng đợc đánh dấu Tổng của các số đợc đánh dấu bằng các tổng luôn dơng nên Tổng các số đợc đánh dấu luôn dơng ( đpcm)