Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số và các vấn đề liên quan LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu và được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Sinh, đến nay luận văn tố

Trang 1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Sinh Sinh viên thực hiện : Lê Thị Thái Huyền

§µ N½ng, th¸ng 05 n¨m 2013

-ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Trang 2

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số và các vấn đề liên quan

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 3

MỞ ĐẦU 4

Chương I LÝ THUYẾT CƠ SỞ 6

I Hàm số 6

II Khảo sát hàm số 8

III Các dạng hàm số thường gặp 9

Chương II CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ 11

A Vấn đề 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG 11

A.1 Tính đơn điệu của hàm số 11

 Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D 11

A.2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số 14

 Dạng 1: Ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình 14

 Dạng 2: Ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức 19

B Vấn đề 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 24

 Dạng 1: Tìm giá trị của tham số m để (Cm): y = f(x, m) đạt cực đại, cực tiểu tại x0 24

 Dạng 2: Tìm giá trị của tham số m để (Cm): y = f(x, m) có n cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước (nếu có) 26

 Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị 30

 Dạng 4: Tìm quỹ tích các điểm cực trị 32

Trang 3

C Vấn đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 35

D Vấn đề 4 ĐIỂM CỐ ĐỊNH 42

 Dạng 1: Điểm cố định mà họ đường cong (Cm) đi qua 43

 Dạng 2: Tập hợp điểm mà không có họ đường cong (Cm) nào đi qua 45

 Dạng 3: Điểm có n đồ thị (Cm) đi qua 47

E Vấn đề 5 TIẾP TUYẾN VÀ TIẾP XÚC 49

 Dạng 1: Tiếp tuyến tại M(x0; y0) ∈(C): y = f(x) 49

 Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho sẵn 51

 Dạng 3: Tiếp tuyến qua một điểm 53

 Dạng 4: Điều kiện tiếp xúc Tính chất và số lượng tiếp tuyến 54

F Vấn đề 6 BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 59

G Vấn đề 7 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 69

 Dạng 1: Biện luận sự tương giao của hai đường 69

 Dạng 2: Chứng minh (Cm): y = f(x, m) luôn tiếp xúc với một đường cố định 72

KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Sinh, đến nay luận văn tốt nghiệp của em đã được hoàn thành

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Nguyễn Thị Sinh đã giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa Toán, thư viện đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi nhất để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Trang 5

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hàm số và ứng dụng của hàm số là một chủ đề xuyên suốt trong quá trình giảng dạy và học tập bộ môn Toán ở trường Trung học Phổ thông, với vai trò như một công cụ đắc lực, nhằm giải quyết hiệu quả các bài toán của đại số, hình học và giải tích Việc sử dụng các đặc trưng của hàm số tỏ ra ưu việt khi đưa ra lời giải cho các bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình mà ít

có phương pháp khác cho lời giải ngắn gọn hơn

Do đó, hầu hết các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hằng năm đều khai thác triệt để các ứng dụng này bằng nhiều dạng toán phong phú, đòi hỏi học sinh phải nắm được các đặc trưng và tính chất của hàm số để đưa ra lời giải phù hợp

“ Hàm số và các vấn đề liên quan” là đề tài được nghiên cứu

với mong muốn xây dựng một hệ thống các đặc trưng của hàm số và phương pháp giải phù hợp với yêu cầu của từng loại bài tập, giúp cho học sinh củng cố lại toàn bộ kiến thức về hàm số và là tài liệu bổ ích cho sinh viên khoa Toán cũng như giáo viên phổ thông trong suốt quá trình giảng dạy

2 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài “ Hàm số và các vấn đề liên quan” nghiên cứu giải

một số dạng toán trong chương trình phổ thông

3 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm hai chương:

Chương I: Lý thuyết cơ sở

Trang 6

Chương này trình bày về khái niệm hàm số và các kiến thức cơ

sở về hàm số nhằm vận dụng cho chương II

Chương II: Các vấn đề liên quan đến hàm số

Chương này trình bày 7 vấn đề liên quan đến hàm số, mỗi vấn

đề bao gồm nhiều phương pháp giải tối ưu, các dạng bài tập được trình cách giải rõ ràng, logic và cung cấp một số bài tập tự giải được tổng hợp từ đề thi đại học, cao đẳng của những năm trước

Trang 7

Nếu X, Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số Trong luận

văn này chúng ta chỉ xét các hàm số thực của các biến số thực, nghĩa là: 𝑋 ⊆ 𝑅; 𝑌 ⊆ 𝑅

X được gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số f (Trong luận văn này kí hiệu tập xác định của hàm số là D)

Số thực x ∈ X được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đối

số Số thực y = f(x) ∈ Y được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x Tập

hợp tất cả các giá trị f(x) khi x lấy mọi số thực thuộc tập hợp X gọi là tập

Trang 8

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D, khoảng (a; b) là tập con

của D Khi đó ta có:

- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a; b),

nếu với ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1) < 𝑓(x2)

- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a; b)

nếu với ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1) > 𝑓(x2)

Một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a; b) thì ta nói

hàm số đơn điệu trên khoảng đó

b Định lý

b.1 Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên miền D

- Nếu f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ D thì hàm số đồng biến trên D

- Nếu f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ D thì hàm số nghịch biến trên D

Trang 9

- Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm trên khoảng (a; b) và cùng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b), thì hàm số y = f(x).g(x)

đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)

4 Hàm số chẵn, hàm số lẻ

a Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định trên D

- Hàm số f được gọi là hàm số chẵn, nếu với mọi x ∈ D, ta có

b Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ

- Đồ thị của hàm số chẳn có trục đối xứng là trục tung

- Đồ thị của hàm số lẻ có tâm đối xứng là gốc tọa độ O

5 Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn

Trang 10

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

1 Tìm tập xác định của hàm số

2 Xét sự biến thiên của hàm số

a Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

b Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm

số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số

(nếu có), điền các kết quả vào bảng

3 Vẽ đồ thị của hàm số

a Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

b Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm

của đồ thị với các trục tọa độ

c Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị (nếu có)

b

3

;

3 làm tâm đối xứng

Trang 11

b ax



2

b x a

c bx ax

- Đồ thị (C) là một đường cong có tiệm cận đứng

Trang 12

Chương II CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ

A Vấn đề 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG A.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I CÁC DẠNG BÀI TẬP

* Kí hiệu: y = f(x, m) là hàm số y, biến x có chứa tham số m

1 Dạng 1: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ

ĐỒNG BIẾN HOẶC NGHỊCH BIẾN TRÊN D

2 2

m m

mx x

Trang 13

x − m ≠ 0 ⇔ {g(x) ≥ 0 ; ∀x > 1

Trang 14

72

)22(7)(

x x

m

x

Bài tập 3: Cho hàm số (Cm): y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 với m là

tham số Xác định m để hàm số đồng biến trong các khoảng (−∞; −1), (2; +∞)

Giải:

- D = R

Trang 15

Để hàm số đồng biến trên (−∞; −1), (2; +∞), ta phải có:

∆′≤ 0 {∆

A.2 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I Dạng 1 ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

b Định lý 2: Hàm số f(x) liên tục đơn điệu trên

[a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trong (a; b)

c Định lý 3: Cho hàm số f(x) liên tục và tăng (giảm) trên [a; b], g(x)

liên tục và giảm (tăng) trên [a; b]

Nếu f(a) < g(a) (f(a) > g(a)) và f(b) > g(b) (f(b) < g(b)) thì

phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất trên [a; b]

2 CÁC DẠNG BÀI TẬP

(C’): y = g(x) (C): y = f(x)

O

a 𝑥0 b

Trang 16

Bài tập 4: Giải phương trình: x5+ x3− √1 − 3x + 4 = 0

13

)('

x x

2

mà f (1)  0 nên (5.1) có đúng một nghiệm x  1

Trang 17

Bài tập 6: Giải phương trình:

Nghiệm của f (x)  g(x) là hoành độ giao điểm của y = f(x) và y = g(x)

Do f(x) tăng, g(x) giảm và f(1) = g(1) = 13 nên (6.1) có nghiệm duy nhất x  1

Bài tập 7: Giải bất phương trình:

Trang 18

Trang 19

Bài tập 10: Giải hệ phương trình

x

Trang 20

II Dạng 2 ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

x

  = f(x) > 0 ; x > 0

Trang 21

Trang 22

y x

Trang 23

Trang 24

Trang 25

 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) chứa điểm x0,

có đạo hàm trên (a; b) \ {x0} Khi đó:

y = f(x) đạt cực trị tại x0)

 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên (a; b) chứa x0

{f

′(x0) = 0f"(x0) < 0 ⟹ y = f(x) đạt cực đại tại x0{f

′(x0) = 0f"(x0) > 0 ⟹ y = f(x) đạt cực tiểu tại x0

Trang 26

{f

′(x0, m) = 0 f"(x0, m) < 0 (> 0)

Bài tập 18: Cho hàm số y = (x − m)3− 3x Tìm giá trị của tham số m

Vậy để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì m = 1

Bài tập 19: Cho hàm số y = m√x2+ 1 − 2x Tìm giá trị của tham số m để

Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 khi và chỉ khi

′(x0) = 0y"(x0) > 0

m > 0

Trang 27

Vậy để hàm số đạt cực tiểu thì m > 2

2 Dạng 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ (C m ): y = f(x, m) CÓ

n CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC (NẾU CÓ)

′(x) = 0 có n nghiệm phân biệt xi, i = 1, n̅̅̅̅̅

f(x) đổi dấu n lần qua xi, i = 1, n̅̅̅̅̅

- Kết hợp (1) và (2) suy ra giá trị m cần tìm

Bài tập 20: Tìm m để hàm số: y =

2

23

có 2 cực trị thỏa mãn: |yCĐ − yCT| < 12



x

x g

Hàm số có 2 cực trị khi 𝑦′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -2

Gọi A(x1; y1); B(x2; y2) là 2 điểm cực trị

y1 = y(x1) = 4x1+ 3

y2 = y(x2) = 4x2+ 3

Trang 28

Hai cực trị thỏa |yCĐ − yCT| < 12 khi |y1 − y2| < 3

Bài tập 21: Cho y =

1

22

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng (∆): x + y + 2 = 0 là bằng nhau

Giải:

1

22

)1(

)(



x

x g

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1

2

3

(21.1) Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là 2 điểm cực đại và cực tiểu, khi đó:

y1 = y(x1) = 2x1+ 2m

Trang 29

|x1  y1

=

2

|2

3

m

)

Trang 30

Hai cực trị đối xứng qua (∆): y = x khi {I ∈ (∆)

x = 4Hàm số luôn có 2 cực trị là: A(0; m), B(4; m + 8)

Trang 31

3 Dạng 3: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG QUA HAI

- Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị

 Nếu phương trình 𝑦′ = 0 giải được nghiệm rõ ràng theo m là:

x1, x2 Ta luôn tìm được 2 điểm cực trị A(x1,y1), B(x2,y2) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

1 2

1

x x



=

1 2

1

y y



 Nếu phương trình 𝑦′ = 0 giải ra nghiệm là biểu thức phức tạp theo m, ta luôn biểu diễn được tọa độ 2 điểm cực trị là A(x1; y1), B(x2; y2) Ta có:

y1 = px1 + q

y2 = px2 + q với p, q là các biểu thức theo tham số m

Vậy phương trình đường thẳng cần là:

Trang 32

Giải:

- TXĐ: D = R

- y′ = 3x2− 3mx Hàm số có 2 cực trị khi 𝑦′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0

Suy ra hai điểm cực trị là: A (0;

2

3

m

) , B(m; 0) Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

22

3 3

m x

Trang 33

- Tìm giá trị của tham số m để hàm số có cực trị (*)

Tìm quỹ tích các điểm cực đại

)()

1(

242

m x

x

Hàm số có 2 cực trị khi 𝑦′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Trang 34

y =

1

1)

1(

Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng

5 (Khối A – 2005) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y = mx +

x

1 Tìm m để hàm

số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên

của (Cm) bằng

21

Trang 35

6 (Dự bị Khối A – 2002) Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + 1 Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

7 (Khối A – 2007) Cho hàm số y =

2

4)

1(

x m



1

2

Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa 2 cực trị của đồ thị bằng 10

9 (Dự bị Khối A – 2003) Cho hàm số y =

)(

2

4)

1(

2

m x

m m m x m x

10 Cho hàm số: y =

m x

mx x

m x x

Trang 36

15 Cho hàm số y = 2x3 + mx2 – 12x – 13 Với giá trị nào của m thì hàm số

có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung

C Vấn đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

I BÀI TOÁN

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] chứa trong D

giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f(x) trên [a; b]

⇔ m ≤ f(x) ≤ M; ∀x ∈ [a; b]

]

; [

max

b a

m =

]

; [

min

b a

Cách giải:

- Tìm tất cả các cực trị của f(x1), f(x2), f(x3)… f(xn) của hàm số trên [a; b]

Trang 37

- Tìm tất cả các cực trị của f(x1), f(x2), f(x3)… f(xn) của hàm số trên (a; b)

max

b a x {f(x1), f(x2), f(x3), … f(xn)}

 Nếu min[f(x1), f(x2), f(x3)… f(xn)] nhỏ hơn hay bằng

Muốn ứng dụng tính chất trên, ta làm hai bước:

Bước 1: Xét phương trình 𝑓(𝑥0) = 𝑦0 (1) với 𝑦0 là tham số Bước 2: Tìm điều kiện tồn tại nghiệm x0 của phương trình

⇒ { x D

min f(x) = m

D x

max f(x) = M

c Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức tìm GTLN và GTNN

- f(x) ≥ k1, ∀x ∈ D, dấu “ = ” có thể xảy ra

Trang 38

Suy ra

D x

max f(x) = k1

- f(x) ≤ k2, ∀x ∈ D, dấu “ = ” có thể xảy ra

D x

)2(

1)2()2(

2

1

xảy ra khi t = 0 ⟺ x = 1

Vậy với x = 1 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 28: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức lượng giác:

11

4cos1

x y

Giải:

- D = R

Trang 39

x

2

21

f′′(u) = 4u + 1 > 0 ∀u ∈ [cos1, 1]

nên hàm số y = f(u) đồng biến trên [cos1, 1]

D x

 y D x

Bài tập 29: Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

y =

4sincos

2

3sin2cos

x x

21

1.2

31

41

1

2 2

2

2 2

t

t t

t y

3

22

t t y

Trang 40

- Gọi y là giá trị hàm số có thể đạt

t t

22

2 2

⟺ phương trình: (y - 1)t2 – (y + 2)t + 3y – 2 = 0 có nghiệm

𝑦 = 1 {𝑦 ≠ 1

1cos3sin2

Giải:

2sin

1cos3sin2

1cos3sin

2

0

0 0

có nghiệm

⇔ (2 − y0)2+ 32 ≥ (2y0+ 1)2

⇔ 3y02+ 8y0− 12 ≤ 0

Tiêu đề	Hàm số và các vấn đề liên quan
Tác giả	Lê Thị Thỏi Huyền
Người hướng dẫn	ThS. Đoàn Ngọc Minh Tú, ThS. Nguyễn Thị Sinh
Trường học	Đại học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Khóa luận tốt nghiệp
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	81
Dung lượng	1,77 MB

Tài liệu tham khảo	Loại	Chi tiết
1. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Đại số và giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục	Khác
2. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục	Khác
3. Hoàng Kỳ (1992), Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục	Khác
4. Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc (2004), Phương pháp giải toán giải tích, NXB Giáo dục	Khác
5. Lê Hoành Phò (2008), Bộ đề thi tự luận toán học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội	Khác
6. Lê Kim Chung (2009), Giáo trình luyện thi đại học, Lưu hành nội bộ	Khác
7. Nguyễn Tiến Quang (2008), Tuyển chọn các bài toán giải tích 12, NXB giáo dục	Khác
8. Nguyễn Văn Thông (2001), 41 chủ đề nâng cao giải tích THPT, NXB Giáo dục	Khác
9. Phạm An Hòa (2001), Phương pháp giải toán khảo sát hàm số luyện thi vào đại học, NXB Trẻ	Khác
10. PGS.TS Nguyễn Văn Lộc (2008), 500 bài tập cơ bản và nâng cao lớp 12, NXB Đại học quốc gia TP HCM	Khác
11. Phạm Đức Chính, Phạm Văn Điều (2003), Một số phương pháp chọ lọc giải các bài toán sơ cấp, NXB Đại học quốc gia Hà Nội	Khác