Hàm số đạo hàm trong dạy học toán bậc trung học phổ thông

Trong chương trình Giải tích 11, 12 ở cả hai ban Cơ bản và Nâng cao, khái niệm đạo hàm được giới thiệu là một đối tượng sau đó là công cụ để giải quyết nhiều bài toán liên quan như bài t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI B ẢO THIÊN TRUNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2016

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy

Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã tận tình giảng dạy, chỉ dẫn và động viên giúp tôi

có đủ niềm tin, động lực để hoàn thành nghiên cứu này

L ời cảm ơn chân thành của tôi xin gửi đến:

Cô Lê Thị Hoài Châu bởi sau mỗi giờ học với Cô, tôi không những tiếp thu thêm được những kiến thức về Didactic Toán mà còn học tập được tinh thần làm

việc, nghiên cứu nghiêm túc

Cô Vũ Như Thư Hương, người luôn điều chỉnh cho tôi từng sai sót, bài học

của Cô không chỉ là kiến thức Didactic Toán mà cả những bài học về cuộc sống để tôi ngày càng tốt hơn

Thầy Lê Văn Tiến, Thầy đã mang đến cho lớp tôi những giờ học thú vị và quan trọng hơn là biết làm thế nào để thực hiện một nghiên cứu khoa học

Cô Nguyễn Thị Nga, những kiến thức Cô truyền đạt rất bổ ích cho công việc

giảng dạy của tôi Tôi cảm ơn những nhận xét rất nhẹ nhàng nhưng đầy thuyết phục

của Cô trong quá trình giảng dạy

Thầy Tăng Minh Dũng, Thầy đã giúp tôi thực sự thấy được lợi ích của môi trường tin học trong việc dạy học toán

Tôi xin cảm ơn Thầy Hamid Chaachoua và Cô Annie Besot đã góp ý, chia sẻ tài liệu để tôi có được hướng đi tốt trong nghiên cứu của mình

Tôi xin cảm ơn Quý Thầy, Cô phòng Sau Đại học đã tạo thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Cảm ơn lớp trưởng Trần Tố Nương đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn, vui

buồn trong suốt khóa học và tất cả các bạn trong lớp Cao học ngành Lí luận và Phương pháp Dạy học bộ môn Toán Khóa 25 đã cùng tôi làm quen, học tập và nghiên cứu về Didactic Toán

Xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Trãi đã tạo điều kiện, các đồng nghiệp trong tổ Toán đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

Tôi cảm ơn các em học sinh lớp 12A15 trường THPT Nguyễn Trãi đã nghiêm túc, nhiệt tình giúp tôi hoàn thành thực nghiệm

Cuối cùng, tôi rất biết ơn Ba Mẹ và gia đình em trai tôi đã luôn chăm sóc, động viên để tôi hoàn thành khóa học

PHẠM THỊ THANH

M ỤC LỤC

Trang ph ụ bìa

L ời cam đoan

L ời cảm ơn

M ục lục

Danh m ục các thuật ngữ viết tắt

Danh m ục các bảng

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS CỦA MỸ 6

1.1 Thời điểm 1: Định nghĩa hàm số đạo hàm 7

1.1.1 V ề phần bài học 7

1.1.2 Các t ổ chức toán học xoay quanh đối tượng hàm số đạo hàm 16

1.2 Thời điểm 2: Đạo hàm với hình dạng đồ thị hàm số ban đầu 24

1.2.1 V ề phần bài học: Những tiêu chuẩn thể hiện mối quan hệ giữa f và f ' 24

1.2.2 Các t ổ chức toán học 29

1.3 K ết luận chung 32

Chương 2 HÀM SỐ ĐẠO HÀM TRONG SÁCH GIÁO KHOA THPT VI ỆT NAM 37

2.1 Định nghĩa hàm số đạo hàm 37

2.1.1 Cách ghi định nghĩa đạo hàm 37

2.1.2 S ự xuất hiện hàm số đạo hàm 38

2.1.3 M ối liên hệ giữa đạo hàm và hàm số ban đầu 40

2.1.4 K ết luận 44

2.2 Các t ổ chức toán học xoay quanh đối tượng hàm số đạo hàm 45

2.2.1 Đối với bộ sách giáo khoa cơ bản 45

2.2.2 Đối với sách giáo khoa nâng cao 46

2.3 K ết luận chung 49

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 53

3.1 M ục tiêu và đối tượng của thực nghiệm 53

3.2 N ội dung thực nghiệm 53

3.3 Phân tích tiên nghi ệm 58

3.3.1 Câu 1: M ối liên hệ f → f ' t ừ phương diện đồ thị → đồ thị 58

3.3.2 Câu 2: M ối liên hệ f '→ f t ừ phương diện đồ thị → đồ thị 60

3.3.3 Câu 3: M ối liên hệ f ↔ f ' t ừ phương diện đồ thị ↔ đồ thị 61

3.3.4 Câu 4: M ối liên hệ f→f ' t ừ phương diện biểu thức đại số → đồ thị 64

3.4 Phân tích h ậu nghiệm 66

3.4.1 Ghi nh ận tổng quát 66

3.4.2 Phân tích chi ti ết kết quả thực nghiệm 67

3.5 K ết luận 78

K ẾT LUẬN 79

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 81

PH Ụ LỤC

DANH M ỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

SBT : Sách bài tập

SBT – CB11 : Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ bản

SBT – CB12 : Sách bài tập Giải tích 12 Cơ bản

SBT – NC11 : Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

SBT – NC12 : Sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

SGK – CB11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Cơ bản

SGK – CB12 : Sách giáo khoa Gi ải tích 12 Cơ bản

SGK – NC11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

SGK – NC12 : Sách giáo khoa Gi ải tích 12 Nâng cao

SGV : Sách giáo viên

SGV – CB11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Cơ bản

SGV – CB12 : Sách giáo khoa Gi ải tích 12 Cơ bản

SGV – NC11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

SGV – NC12 : Sách giáo khoa Gi ải tích 12 Nâng cao

THPT : Trung học phổ thông

DANH M ỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Bảng thống kê các KNV trong hai thời điểm của GT 34

Bảng 2.1 Bảng thống kê số lượng nhiệm vụ của các KNV trong SGK Việt Nam 50

Bảng 3.1 Bảng tổng hợp kết quả phân tích thực nghiệm câu 2 68

Bảng 3.2 Bảng tổng hợp kết quả phân tích thực nghiệm câu 3 70

Bảng 3.3 Thống kê số lượng lựa chọn đáp án của học sinh trả lời không giải thích 70

Bảng 3.4 Bảng tổng hợp kết quả phân tích thực nghiệm câu 4 73

MỞ ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài

1.1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong dạy học Toán bậc trung học ở Việt Nam, khái niệm đạo hàm đóng vai trò quan trọng Trong chương trình Giải tích 11, 12 ở cả hai ban Cơ bản và Nâng cao, khái niệm đạo hàm được giới thiệu là một đối tượng sau đó là công cụ để giải quyết nhiều bài toán liên quan như bài toán tiếp tuyến của đường cong, khảo sát và vẽ đồ thị hàm

số

Việc tính toán đạo hàm của một hàm số cho kết quả là một biểu thức, nó cũng cho một hàm số Và vì khái niệm đạo hàm trên một khoảng được định nghĩa trong các SGK nên chúng tôi đặt các câu hỏi sau để khởi đầu nghiên cứu của mình: Hàm số đạo hàm xu ất hiện như thế nào trong chương trình và SGK hiện hành ở Việt Nam? Mối liên hệ giữa hàm số ban đầu và các hàm số đạo hàm được thể hiện như thế nào trong SGK?

1.2 Tổng quan các công trình nghiên cứu

Đạo hàm là nội dung quan trọng trong chương trình Toán THPT Đạo hàm trở thành đối tượng chính của nhiều công trình nghiên cứu, luận văn giáo dục học Chúng tôi tìm thấy các luận văn cùng chuyên ngành liên quan đến khái niệm đạo hàm:

 Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên

c ứu khoa học luận và sư phạm, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP HCM

 Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu Didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP HCM

 Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lý ở trường phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP HCM

 Trương Hữu Phúc (2014), Tiếp cận khái niệm đạo hàm trong dạy học Toán THPT, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP HCM

Trong các luận văn trên, chúng tôi đặc biệt chú ý đến luận văn của tác giả Trương

Hữu Phúc Trong luận văn này, tác giả phân tích một giáo trình của Mỹ là Calculus Early Transcendentals Sixth Edition, James Steward, McMASTER University và bộ

SGK hiện hành ở Việt Nam về đối tượng tri thức đạo hàm xoay quanh phạm vi các hoạt động tiếp cận, định nghĩa và các ý nghĩa tường minh của đạo hàm Việc phân tích, so sánh hai tài liệu và thực nghiệm quan sát giờ dạy của một giáo viên, tác giả đã

- Trong thực nghiệm nghiên cứu thực hành giảng dạy của giáo viên về quá trình tiếp cận đạo hàm, các ý nghĩa được giáo viên lựa chọn xây dựng là ý nghĩa vật lý

về vận tốc và cường độ tức thời; ý nghĩa không được xây dựng là ý nghĩa tốc độ biến thiên tức thời và ý nghĩa hình học Sự lựa chọn này của giáo viên hoàn toàn tương đồng với hai bộ SGK Việt Nam

Bên cạnh những nghiên cứu trên là bài báo “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm” của tác giả Lê Thị Hoài Châu đăng trên tạp chí Khoa học trường ĐHSP TP

HCM Trong bài viết, tác giả nêu những nghĩa khác nhau của đạo hàm:

 Đạo hàm – hệ số góc của tiếp tuyến,

 Đạo hàm – tốc độ biến thiên của hàm số,

 Đạo hàm – công cụ xấp xỉ hàm số

Từ đó, tác giả đã tìm hiểu thực trạng dạy học khái niệm đạo hàm ở bậc THPT, xem xét sự lựa chọn của SGK và giáo viên có ảnh hưởng như thế nào lên kiến thức của học sinh Các kết quả đạt được là:

 Học sinh không thấy được mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine hay công

cụ xấp xỉ hình học của đạo hàm chưa hiện diện trong kiến thức của học sinh

 Khái niệm tốc độ biến thiên trung bình vẫn hiện diện trong quan niệm của học sinh Nhưng học sinh vẫn không thấy được mối quan hệ giữa tốc độ biến thiên tức thời với đạo hàm

 Học sinh có những khó khăn trong việc liên kết hai nghĩa khác nhau của đạo hàm

là nghĩa vật lý – vận tốc tức thời và nghĩa hình học – hệ số góc của tiếp tuyến Như vậy, các nghiên cứu này đã có những đánh giá về quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân của học sinh liên quan đến khái niệm đạo hàm

1.3 Xác định lại vấn đề nghiên cứu

Như vậy, đã có các nghiên cứu về ý nghĩa đạo hàm, cách tiếp cận đạo hàm trong SGK và một phần mối quan hệ của học sinh với khái niệm đạo hàm Tuy nhiên, các nghiên cứu trước đây chưa cho thấy việc xem đạo hàm như một hàm số Tiếp theo

những nghiên cứu này, chúng tôi muốn xem xét đạo hàm với tư cách là một hàm số

Do đó, chúng tôi chọn đề tài “Hàm số đạo hàm trong dạy học Toán bậc THPT” để

thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ

2 Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu và nội dung nghiên cứu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi Didactic Toán, mà cụ thể là thuyết nhân học trong Didactic Toán (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán

học) và lý thuyết tình huống

Trong chương 1, chúng tôi vận dụng những lý thuyết của thuyết nhân học (quan hệ

thể chế, tổ chức toán học) trong Didactic Toán để phân tích, làm rõ một số đặc trưng

của hàm số đạo hàm trong một giáo trình Đại học đang phổ biến ở Mỹ: Calculus Early Transcendentals Seventh Edition của J Stewart (2012) Vì tri thức được trình bày trong giáo trình Đại học này gần với tri thức bác học hơn tri thức cần dạy trong SGK

phổ thông Việt Nam nên chúng tôi chọn đó làm tham chiếu

Trong chương 2, chúng tôi tiếp tục vận dụng những lý thuyết của thuyết nhân học (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học) trong Didactic Toán để phân tích, đối chiếu với tri thức trong giáo trình Đại học đã chọn để tìm ra những ràng buộc của

thể chế dạy học Toán hiện hành ở Việt Nam đối với đối tượng hàm số đạo hàm Từ đó, làm rõ quan hệ thể chế với đối tượng hàm số đạo hàm

Trong chương 3, bằng các công cụ của lý thuyết tình huống, chúng tôi xây dựng

một thực nghiệm để làm rõ sự ảnh hưởng của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của

học sinh đối với đối tượng hàm số đạo hàm Chương này sẽ sử dụng các công cụ của lí thuyết tình huống

3 M ục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu của chúng tôi là tìm hiểu một phần kiến thức của học sinh về đối tượng hàm số đạo hàm và mối liên hệ giữa hàm số đạo hàm với hàm số ban đầu dưới ràng

buộc của thể chế dạy học toán ở bậc THPT hiện hành

Trong ph ạm vi lí thuyết tham chiếu, chúng tôi phát biểu các câu hỏi nghiên cứu sau:

CH1 – Trong giáo trình Đại học của Mỹ đã chọn, hàm số đạo hàm được định nghĩa

như thế nào? Những kiểu nhiệm vụ nào xoay quanh đối tượng này? Đặc biệt,

những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến mối liên hệ giữa hàm số ban đầu và hàm số đạo hàm của nó?

CH2 – Trong thể chế dạy học toán bậc THPT hiện hành ở Việt Nam, đâu là mối quan

hệ thể chế với đối tượng hàm số đạo hàm? Đặc biệt, mối liên hệ nào giữa hàm ban đầu với hàm số đạo hàm của nó hiện diện?

CH3 – Đâu là sự ảnh hưởng của quan hệ thể chế đến mối quan hệ của học sinh đối với

đối tượng hàm số đạo hàm?

4 Ph ạm vi nghiên cứu

Chúng tôi giới hạn luận văn của mình bằng cách không xem xét mối liên hệ giữa hàm số đạo hàm trong các khái niệm nguyên hàm, tích phân bất định và tích phân xác định

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích các sách giáo khoa

Phân tích một giáo trình bậc Đại học và các SGK toán phổ thông bằng công cụ tổ

chức toán học của thuyết nhân học trong Didactic Toán nhằm làm rõ quan hệ thể chế

với đối tượng hàm số đạo hàm

Nghiên c ứu thực nghiệm

Từ kết quả phân tích ở trên, chúng tôi sẽ xây dựng tình huống thực nghiệm nhằm tìm hiểu quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng hàm số đạo hàm dưới ảnh hưởng

của quan hệ thể chế

Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 12 (Ban Cơ bản) sau khi học xong chương đạo hàm

6 C ấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận văn gồm có 3 chương

Trong phần mở đầu chúng tôi trình bày: lý do chọn đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu

và cuối cùng là cấu trúc của luận văn

Nội dung các chương gồm có:

Chương 1: Phân tích một giáo trình Calculus của Mỹ

Chương 2: Hàm số đạo hàm trong sách giáo khoa THPT Việt Nam

Chương 3: Thực nghiệm

Trong phần kết luận là những kết quả chúng tôi đạt được và hướng mở cho đề tài

Chương 1 PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS

M ục tiêu của chương

Trong chương này, chúng tôi chọn phân tích giáo trình Calculus Early Transcendentals Seventh Edition của tác giả James Stewart (2012) – được bán chạy

nhất ở Mỹ và đang được chọn để giảng dạy trong các trường quốc tế ở Việt Nam, như

là một tham chiếu, để đi tìm các yếu tố trả lời cho nhóm câu hỏi:

CH1 – Trong giáo trình Đại học của Mỹ đã chọn, hàm số đạo hàm được định nghĩa như thế nào? Những KNV nào xoay quanh đối tượng này? Đặc biệt, những KNV nào liên quan đến mối liên hệ giữa hàm số ban đầu và hàm số đạo hàm của nó?

James Stewart (2012) đề cao việc hiểu khái niệm của học sinh và xem nó là mục tiêu chính của nghiên cứu giải tích Giáo trình của ông được soạn thảo nhằm giúp sinh viên khám phá và chiếm lĩnh tri thức giải tích thông qua ba phương diện: đại số, đồ thị

và thực nghiệm số Ngoài ra, việc dạy học bằng mô hình hóa toán học cũng được khai thác tối đa trong giáo trình

V ị trí của hàm số đạo hàm trong giáo trình

Trong GT, hàm số đạo hàm từ khi được định nghĩa, xuất hiện trong nhiều chủ đề

Giới hạn trong một luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ xem xét hàm số đạo hàm cấp 1 (sau này sẽ gọi tắt là hàm số đạo hàm) và sẽ xem xét đối tượng này ở hai thời điểm

x GT định nghĩa hàm số đạo hàm f ' như sau:

Cho bất kì số x mà giới hạn này tồn tại, ta gán cho x số f ' x Do vậy, có thể coi ( )

f ' như một hàm số mới gọi là đạo hàm của f và định nghĩa bởi (2) Ta biết rằng giá trị của f ' tại x, f ' x( ), được giải thích về mặt hình học là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị f tại điểm (x; f x ( )) Hàm f 'được gọi là hàm số đạo hàm của f bởi

vì nó được “dẫn xuất” từ f bằng phép toán giới hạn trong (2) [19, tr.154]

Liên quan đến tập xác định của hàm f ', đầu tiên, x phải thuộc vào tập xác định

của hàm f; kế đến, vì vế phải của (2) là một giới hạn nên cần phải tồn tại giới hạn này thì f ' sẽ xác định Như vậy, tập xác định của hàm số mới lập là tập những giá trị x mà

giới hạn ở vế phải của (2) tồn tại “Tập xác định của f ' là tập {x, f ' x( ) tồn tại } và có

th ể nhỏ hơn tập xác định của f” [19, tr.154] Hay là, tập xác định của hàm số đạo hàm

f ' là tập con của tập xác định hàm số f

VD1 cho thấy cách xác định hàm số đạo hàm bằng công thức (2)

Giới hạn này luôn tồn tại nên tập xác định của hàm số đạo hàm là , trong trường

hợp này tập xác định của hàm số đạo hàm trùng với tập xác định của hàm số ban đầu

1.1.1.2 M ối liên hệ giữa f với f ' t ừ phương diện đồ thị

GT quan tâm đến mối liên hệ giữa hai tập xác định này nhìn từ phương diện đồ

thị: “Ta biết rằng giá trị của f ' tại x, f ' x( ), được giải thích về mặt hình học là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị f tại điểm (x;f x( ) )” [19, tr.154]

Như vậy, ý nghĩa hình học của đạo hàm là hệ số góc tiếp tuyến có thể được huy động để xem xét mối liên hệ giữa hàm số đạo hàm f ' và hàm số ban đầu f

Để minh họa rõ hơn về mối liên hệ của hai tập xác định từ phương diện đồ thị, GT

đã trình bày chi tiết lời giải của các VD sau:

Hình 1.1

VD2: Cho đồ thị hàm số f như hình vẽ (Hình 1.1) Hãy phác thảo đồ thị hàm số f '

Lời giải

Ta có thể ước lượng giá trị của đạo hàm tại bất

kỳ giá trị x nào bằng cách vẽ tiếp tuyến tại

( )

(x;f x )và ước lượng hệ số góc tiếp tuyến

Chẳng hạn như, cho x = 5, ta vẽ được tiếp

tuyến tại P như Hình 1.1a và ước lượng hệ số

góc tiếp tuyến bằng 3

2 nên f ' 5( )» 1, 5 Điều này cho phép xác định điểm P ' 5;1, 5( )

trên đồ thị f ' một cách trực tiếp

Lập lại tiến trình này vài lần, ta có đồ thị biểu

diễn ở hình 1.1b [19, tr.154-155]

Sau khi thực hiện ước lượng giá trị của hàm số

đạo hàm f ' tại điểm cụ thể chọn tùy ý GT đề nghị

“L ập lại tiến trình này vài lần”, GT không có ràng

buộc những điểm chọn để lập lại tiến trình đó nên hiểu rằng các điểm này được chọn tùy ý Đối với VD đang xét nếu lấy tùy ý một điểm x0 trên đồ thị hàm số f chúng ta luôn vẽ được tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó và xác định được hệ số góc tiếp tuyến

tại x0 là một giá trị thực hữu hạn hay là f ' x( )0 luôn tồn tại

Chú ý rằng tại các điểm A, B, C tiếp tuyến là đường nằm ngang nên đạo hàm

bằng 0 và đồ thị f ' cắt trục Ox tại A ', B', C'

Giữa A và B tiếp tuyến có hệ số góc dương nên f ' x( ) dương trên đó;

Giữa B và C tiếp tuyến có hệ số góc âm nên f ' x( ) âm trên đó [19, tr.154]

Như vậy, để phác họa đồ thị của hàm số đạo hàm từ đồ thị của hàm số ban đầu, ta

cần chú ý đến những tính chất sau:

- Những điểm trên đồ thị f có tiếp tuyến nằm ngang sẽ tương ứng với giao điểm

của đồ thị f ' với trục hoành

Hình 1.1b Hình 1.1a

- Những điểm có hệ số góc tiếp tuyến của hàm f âm (hay dương) – ứng với góc định hướng của tiếp tuyến tù (hay nhọn) – sẽ ứng với những điểm có giá trị âm (hay dương) của f '

Kĩ thuật phác họa đồ thị f ' từ đồ thị f cho trước đòi hỏi phải huy động ý nghĩa hình học của đạo hàm – hệ số góc tiếp tuyến Ngoài ra, để ước lượng hệ số góc của

tiếp tuyến, ta cần phải quay lại với định nghĩa hệ số góc

Trong VD3, hàm số được cho bởi công thức, từ đó ta có thể quan sát mối quan hệ

giữa đồ thị f và f ' nhờ vào các biểu diễn hình học chính xác hơn trong VD1

f 'được nhấn mạnh lần nữa

Để tìm cách nhìn thấy mối liên hệ của hai tập xác định từ phương diện đồ thị GT

đã chỉ ra mối liên hệ giữa tính liên tục và tính khả vi, theo GT thì “Cả tính liên tục và tính kh ả vi là tính chất hấp dẫn đối với một hàm số, định lí sau cho thấy mối liên hệ giữa hai tính chất này” [19, tr.158]

Tính chất “hấp hẫn” này được thể hiện trong định lí 4

ĐỊNH LÍ 4: “Nếu hàm f khả vi tại a thì nó liên tục tại a”

Hình 1.2

Từ định lí này, GT rút ra tính chất nếu tại điểm mà hàm số không liên tục thì hàm

số không có đạo hàm tại điểm đó hay hàm số đạo hàm không xác định tại đó Vậy tại

một điểm gián đoạn bất kỳ của hàm f và những điểm liên tục nhưng không có đạo hàm thì điểm đó sẽ không thuộc tập xác định của hàm số đạo hàm f ' Định lý 4 không phải

là điều kiện cần và đủ, do vậy GT nêu chú ý sau:

Chú ý: “Định lý đảo của định lý 4 là không đúng Có những điểm hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm” [19, tr.159].

GT lấy VD hàm số y= để minh họa cho chú ý trên Hàm số này liên tục tại x

tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại (0;0]” x

Vậy thì ngoài những điểm mà hàm số không liên

tục thì còn những điểm mà hàm số liên tục nhưng vẫn

không có đạo hàm thì có đặc điểm gì khác GT đặt ra

câu hỏi “Bằng cách nào để biết hàm số không khả vi?”

GT phân tích đồ thị hình 1.4 để có nhận xét: “Ở

hàm số f x( )= ta nói hàm số không có đạo hàm x

t ại x = 0 và trên đồ thị thì đồ thị hàm số thay đổi

Hình 1.3

Hình 1.4

(vertical tangent line: ti ếp tuyến thẳng đứng)

hướng đột ngột khi x = 0.” [19, tr.159].

Sau nhận xét trên, GT đã thực hiện tổng quát hóa cho trường hợp này “Nhìn chung, nếu đồ thị của một hàm số có “góc đỉnh” hay là “nút” thì đồ thị của hàm f không có ti ếp tuyến tại điểm này và f không có đạo hàm tại đó (trong lúc tính toán

( )

f ' a ta th ấy giới hạn bên trái và giới hạn bên phải khác nhau)” [19, tr.159] Hình 1.4

minh họa cho nhận xét trên

Cách tiếp theo để biết được hàm số có đạo hàm tại điểm x = a là bằng phương của

tiếp tuyến “Khả năng thứ ba là đường cong có tiếp tuyến thẳng đứng x = a thì f liên

t ục tại a và ( )

x a

lim f ' x

Hình 1.5 minh họa cho 3 trường hợp vừa nêu

(corner: góc đỉnh; discontinuity: không liên tục) [19, tr.159]

Từ đó, GT nêu cách để nhận biết hàm số có đạo hàm tại a là “Đồ thị cho cách khác để nhìn thấy tính khả vi Nếu f khả vi tại a thì khi đến gần điểm (a;f a( ) ) đồ thị thẳng ra và ngày càng giống đường thẳng” (Hình 1.6a)

GT cũng nhận xét rằng trên hình 1.5a tại điểm góc ta có tiến gần bao nhiêu đi nữa

cũng không thể khử được góc đó và minh họa bằng cách phóng to ở hình 1.6b

Hình 1.5

Hình 1.6

Hình 1.5b áp dụng tính chất đồ thị hàm số gián đoạn tại x = a nên sẽ không có đạo hàm tại điểm này Hình 1.5c tại x = a tiếp tuyến thẳng đứng nên lim f ' xx a ( )

f ' Tại những điểm tiếp tuyến nằm ngang thì đồ thị f ' giao với Ox

 Tại những điểm đồ thị hàm số f có “góc đỉnh” hay “nút” thì hàm số đạo hàm f '

không xác định Ngược lại, tại những điểm mà đồ thị gần như là đường thẳng khi

lại gần điểm đó thì sẽ tồn tại đạo hàm

 Tại những điểm hàm số f gián đoạn thì hàm số đạo hàm f ' cũng không xác định

 Tại những điểm x = a trên đồ thị hàm số f mà tiếp tuyến thẳng đứng thì đồ thị hàm số đạo hàm nhận đường thẳng x = a làm tiệm cận đứng nên hàm số đạo hàm cũng không xác định tại x = a

1.1.1.3 M ối liên hệ giữa f với f ' nhìn t ừ biểu thức đại số

Nếu như các nhận xét trên được dựa vào đồ thị bằng cách dùng ý nghĩa hình học

của đạo hàm thì ở VD4 các kết quả được kiểm chứng chính xác khi hàm số được cho

bằng biểu thức đại số, tập xác định cũng được nhìn thấy rõ hơn từ việc thiết lập công

Vậy miền xác định của f ' là (0;¥ nó nhỏ hơn miền xác định của f là ) [0;¥)

Hình 1.7 minh họa đồ thị hàm số ( )f x = x và đồ thị hàm số đạo hàm ( ) 1

f ' x

2 x

GT nhận xét đồ thị ở hình 1.7 thấy rằng khi tiếp tuyến càng gần đến x = 0 hình ảnh

của tiếp tuyến được mô tả “Tiếp tuyến càng dốc hơn khi x®a”

GT đánh giá trên công thức hàm f và f ' khi cho x tiến về 0, sau đó, minh họa trên hai đồ thị nhằm giúp người học quan sát nhận ra điểm khác biệt:

Chúng ta kiểm tra và thấy rằng kết quả của VD4 là hợp lý bằng cách nhìn vào đồ

thị của hàm f và f ' trong hình 1.7 Khi x tiến về 0, x cũng tiến về 0 nên

Vậy là GT tiếp tục dùng tiếp tuyến của đường cong tại gần điểm (0;0) để nhận xét

sự thay đổi giá trị của f ' tại những điểm gần điểm này

Ở VD5, hàm số cũng được cho bằng biểu thức đại số, yêu cầu tính đạo hàm của hàm số, lời giải của GT vẫn dùng công thức (2) để tính

VD5: Tìm f ' biết f x( ) 1 x

2 x

-= +

GT không có bình luận hay nhận xét gì đối với VD này

GT nêu định nghĩa để giải thích khái niệm khả vi của hàm số trên một khoảng mở

ĐỊNH NGHĨA: “Một hàm f có đạo hàm tại a nếu f ' a( ) tồn tại Nó có đạo hàm trên kho ảng mở ( )a; b (ho ặc (a; ¥ -¥) (; ; a ;) (-¥ ¥ ; )) n ếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên kho ảng đó” [19, tr.157]

VD6 minh họa việc xét tính khả vi của hàm số trên tập xác định của nó

VD6: Tại đâu thì hàm số có f x( )= có đạo hàm? x

VD6 đã vận dụng công thức (2) để tìm đạo hàm f ' của hàm số ban đầu f được cho

bằng biểu thức đại số Lời giải của VD6 đã chỉ ra khoảng mà hàm số có đạo hàm, điểm

mà hàm số không có đạo hàm

Ba VD (4, 5, 6) trên đều dùng công thức (2) để tính đạo hàm của hàm số tại điểm

x bất kì thuộc khoảng mở mà hàm số xác định

1.1.1.4 K ết luận

Hàm số đạo hàm được xây dựng qua công thức định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn

Tập xác định của hàm số đạo hàm f ' là tập giá trị x sao cho giới hạn được tính tồn tại

Tập xác định của hàm f ' là tập con của tập xác định của hàm f

Ý nghĩa hình học của đạo hàm – hệ số góc tiếp tuyến – được huy động để xem xét

mối liên hệ giữa f ' và f, cụ thể là mối liên hệ theo chiều từ hàm f đến hàm f ' nhìn từ

đồ thị Hệ số góc tiếp tuyến cho biết sự tồn tại của đạo hàm và ước lượng giá trị của đạo hàm GT chỉ ra ba đặc điểm trên đồ thị nhận biết hàm số không có đạo hàm, đó là điểm đồ thị gián đoạn, có “góc đỉnh” hay tiếp tuyến thẳng đứng Tại những điểm mà

đồ thị gần như đường thẳng khi lại gần điểm đó thì tồn tại đạo hàm

Ngoài ra, GT cũng đề cập đến mối liên hệ theo chiều từ hàm f đến hàm f ' nhìn từ

biểu thức đại số bằng cách dùng định nghĩa hàm số đạo hàm để nghiên cứu sự khả vi

của hàm số trên một khoảng

Có một định lí quan trọng được đề cập là định lí về mối liên hệ giữa tính liên tục

và khả vi GT vận dụng định lí này như một cách để nhận diện điểm không có đạo hàm trên đồ thị hàm f

Tiếp theo, chúng tôi sẽ nghiên cứu các tổ chức toán học xoay quanh đến đối tượng hàm số đạo hàm để tìm ra một số yếu tố trả lời các câu hỏi sau: Những KNV tham chi ếu nào xoay quanh đối tượng này? Đặc biệt, những KNV nào liên quan đến mối liên h ệ giữa hàm số ban đầu và hàm số đạo hàm?

1.1.2 Các t ổ chức toán học xoay quanh đối tượng hàm số đạo hàm

Vì mục tiêu nghiên cứu của luận văn, chúng tôi chỉ chỉ ra các KNV xoay quanh đối tượng hàm số đạo hàm Sau đó, sẽ tập trung phân tích các KNV liên quan đến mối liên hệ giữa hàm f ' với hàm f được đề cập trong GT

KNV T 1 : Phác thảo đồ thị của hàm số f ' khi có đồ thị của hàm số f

VD: Cho đồ thị hàm số f (Hình 1.8) Phác thảo đồ thị

hàm s ố f ' [19, tr.162]

Trong KNV T1 có một KNV con T1a: Ước lượng giá trị

của hàm số đạo hàm f 'tại một điểm từ đồ thị của hàm số f

VD: Dùng đồ thị đã cho để ước lượng giá trị của đạo

hàm tại mỗi điểm sau:

a f '( )- 3 b f '( )- 2 c f '( )- 1 d f ' 0( )

e f ' 1( ) f f ' 2( ) g f ' 3( )

[19, tr.162]

Kỹ thuật của KNV T1a được chúng tôi rút ra từ một phần

lời giải của VD2 trong phần 1.1.1.2 luận văn này

K ỹ thuật τ : 1a

Để ước lượng giá trị của hàm số đạo hàm f ' tại một điểm a ta làm như sau:

- Vẽ tiếp tuyến của đồ thị hàm f tại điểm ( a;f a ( ) )

- Ước lượng f ' a( ) là hệ số góc của tiếp tuyến chính bằng tan α, α là góc tạo

bởi tiếp tuyến và chiều dương của trục Ox

Công ngh ệ - Lý thuyết: Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong; Ý nghĩa hình học của

đạo hàm và định nghĩa hàm số đạo hàm

KNV T1a đề cập đến việc tìm giá trị của f ' x t( ) ừ đồ thị hàm f, có một quy tắc tương ứng x với f ' x( ) được xây dựng từ đồ thị hàm số f

Trở lại với kỹ thuật của KNV T1, chúng tôi rút ra từ lời giải của VD2 trong phần 1.1.1.2 luận văn này

K ỹ thuật τ : 1

Để phác thảo đồ thị của hàm số f ', ta làm như sau:

- Chọn giá trị a1 thuộc tập xác định, thực hiện KNV T1a với x = a1, ta có điểm

( ) (x;f ' x ) thuộc đồ thị hàm số f ' (Chú ý những điểm tiếp tuyến song song với

trục hoành sẽ là giao điểm của đồ thị hàm số f ' với trục hoành);

Hình 1.9 Hình 1.8

Hình 1.10

- Chọn thêm một số điểm a2, a3, … phủ khắp tập xác định của f để thực hiện

tiến trình trên;

- Nối các điểm vừa xác định được ở trên để được đồ thị hàm số đạo hàm

Công ngh ệ - Lý thuyết: Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong; Ý nghĩa hình học của

đạo hàm và định nghĩa hàm số đạo hàm

Nh ận xét: Tập hợp những điểm xác định được ở KNV T1 sẽ được phác họa thành đồ

thị của f ' Việc phác họa có thể chưa có được hình ảnh đồ thị chính xác nhưng nó cho

thấy hình dạng đồ thị hàm số đạo hàm KNV cũng cho thấy được quan hệ bao hàm của hai tập xác định hàm f và hàm f 'khi những điểm ai phải thuộc tập xác định của hàm f KNV này nhằm chỉ ra mối liên hệ theo chiều từ hàm f đến hàm f ' nhìn từ đồ thị

với công cụ được dùng là ý nghĩa hình học của đạo hàm, đó là hệ số góc tiếp tuyến Trong GT có những nhiệm vụ thuộc kiểu T1 mang tính thực tiễn về ý nghĩa của việc xác định đồ thị hàm f ' khi cho đồ thị hàm f

VD: Hình biểu đồ thị của hàm quần thể sinh học P t( )

cho tế bào men trong phòng thí nghiệm, dùng

nhận xét

Ở đây, nếu quan sát trên đồ thị hàm số ban đầu học sinh có thể đưa ra nhận xét

rằng trong khoảng 5 giờ đầu số lượng tế bào men tăng chậm, số lượng tế bào men tăng nhanh trong khoảng từ 5 đến 10 giờ và sau 10 giờ thì gần như không tăng Câu trả lời này có vẻ như nói lên tốc độ tăng số lượng tế bào men nhưng thực tế đồ thị hàm ban đầu nói lên số lượng tế bào tăng theo thời gian Tốc độ tăng của số lượng tế bào men được trả lời qua quan sát đồ thị hàm số đạo hàm sẽ là trong khoảng 5 giờ đầu tốc độ tăng nhỏ sau đó tốc độ tăng nhanh hơn và đến khoảng 8 giờ tốc độ tăng bắt đầu giảm,

đến sau 10 giờ tốc độ tăng gần như bằng 0 Đạo hàm đánh giá được tốc độ tăng tại mỗi

thời điểm Nhờ đó, học sinh thấy được nghĩa của đạo hàm – tốc độ biến thiên

Ngoài ra, GT còn một số bài tập tương tự như bài 12 (bài 13, 14, 15) cho thấy ý nghĩa tốc độ biến thiên mà hàm số đạo hàm mang lại Chẳng hạn như, bài 13 sau đây:

Câu b) của bài toán thực tiễn trên cũng là một nhiệm vụ

thuộc KNV T1, vì đạo hàm nói lên tốc độ thay đổi tức thời của

phần trăm dung lượng theo thời gian nên sau khi phác thảo đồ

thị hàm số đạo hàm sẽ thấy được tốc độ này giảm dần theo thời

gian và tiến dần về 0 (Hình 1.11b)

KNV T 2 : Dùng định nghĩa của đạo hàm, tính đạo hàm

của hàm số cho bằng biểu thức đại số

VD: Dùng định nghĩa của đạo hàm để tìm đạo hàm ( ) 1 1

KNV T 3: Tìm tập xác định của hàm số đạo hàm f ' khi biết biểu thức đại số của hàm số f

VD: Dùng định nghĩa của đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số ( )g x = 9 - x

Nh ận xét: Hai KNV T2, T3 đều xem xét mối liên hệ theo chiều từ hàm f đến hàm f '

với hàm số được cho bằng biểu thức đại số

KNV T 4 : Ước lượng giá trị hàm số đạo hàm f ' tại các điểm được cho trong

bảng giá trị của hàm số f

VD: Tỉ lệ thất nghiệp U t( ) là biến theo thời gian

Bảng sau cho tỉ lệ phần trăm người lao động thất

nghiệp tại Mỹ từ năm 1999 đến 2008 Xây dựng

một bảng ước lượng giá trị của U ' t( )

[19, tr.164]

GT không có VD hướng dẫn giải cho bài tập dạng

này Kỹ thuật mà chúng tôi nêu dưới đây dựa vào nghĩa của đạo hàm – tốc độ biến thiên của hàm số

Bảng 1

- Ghi kết quả tính được vào bảng

Chú ý: Với công thức tính trên ta chỉ tính được (n – 1) giá trị U ' t( )

Công ngh ệ - Lý thuyết: Ý nghĩa đạo hàm là tốc độ biến thiên tức thời của hàm theo

biến số Tốc độ biến thiên tức thời xấp xỉ tốc độ biến thiên trung bình khi ∆x nhỏ

Nh ận xét: KNV này cũng nói lên mối liên hệ theo chiều từ hàm f đến hàm f ', kết quả đạo hàm được lập thành bảng hình thành nên hàm số f ' Đây là KNV duy nhất hàm số được cho bằng bảng và dùng nghĩa tốc độ biến thiên hàm số để xây dựng kỹ thuật

Nh ận xét chung: Các KNV T1; T2; T3; T4 nhằm xây dựng hàm số đạo hàm f ' Hàm

f ' là hàm số được “dẫn xuất” từ hàm số f Cho nên, các KNV này nhằm thiết lập được hàm f 'từ hàm f được cho bằng đồ thị, bảng hay biểu thức đại số Khi hàm số được cho

bằng cách nào thì đều có thể xây dựng được hàm số đạo hàm bằng đúng cách đó

KNV T 5 : Chọn các cặp đồ thị của hàm số f và hàm số đạo hàm f ' từ những đồ

thị được cho

VD: N ối những đồ thị của hàm trong a_d với những đồ thị đạo hàm I_IV Giải thích lí do lựa chọn [19, tr.162]

Kỹ thuật được xây dựng dựa trên những nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm f để

nhận biết những điểm tiếp tuyến đặc biệt, những điểm hàm số không có đạo hàm

Hình 1.12

K ỹ thuật τ : 5

- Trên đồ thị hàm số f xác định f ' x ( ) các điểm đặc biệt như: tiếp tuyến nằm ngang, tiếp tuyến thẳng đứng, tiếp tuyến ngày càng dốc khi tiến gần đến điểm x0, hàm số không liên tục tại điểm, hàm số liên tục nhưng đồ thị hàm số “gãy” hay

“góc” tại điểm, khoảng mà tiếp tuyến có hệ số góc dương hoặc âm

• Tại những điểm hàm số không liên tục thì hàm số không có đạo hàm hay không xác định f ' x t( ) ại đó, đồ thị f 'gián đoạn tại đó

• Tại những điểm mà đồ thị hàm số “gãy” hay “góc” thì không có đạo hàm

• Những khoảng mà đồ thị hàm số f có hệ số góc tiếp tuyến dương thì đồ thị hàm số đạo hàm f ' nằm phía trên trục hoành, những khoảng mà đồ thị hàm số

f có hệ số góc tiếp tuyến âm thì đồ thị hàm số đạo hàm f ' nằm phía dưới trục hoành

- Những cặp đồ thị nào thỏa được các mối liên hệ trên là cặp đồ thị cần tìm

Công ngh ệ - Lý thuyết: Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong; Định lí về mối liên hệ

giữa liên tục và khả vi; Định nghĩa hàm số đạo hàm

Nh ận xét: KNV T5 nhằm xây dựng mối liên hệ giữa hai đồ thị hàm f và hàm f 'như:

những điểm giá trị hàm số đạo hàm âm hoặc dương, những điểm hàm số không có đạo hàm, các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đạo hàm

KNV T 6 : Chỉ ra và cho biết lý do những giá trị mà tại đó f không có đạo hàm khi có đồ thị f của hàm số

VD: Cho đồ thị f Chỉ ra và cho biết lý do những giá trị mà tại đó f không có đạo hàm [19, tr.164]

Kỹ thuật của KNV này được rút ra từ phân tích trong phần 1.1.1.2 luận văn này

Hình 1.13

K ỹ thuật τ : 6

Những điểm hàm số không có đạo hàm thì đồ thị của

nó có một trong các đặc điểm sau:

- Những điểm mà đồ thị hàm số gián đoạn Tại

những điểm đó hàm f không có đạo hàm vì không

tồn tại tiếp tuyến tại đó;

- Những điểm mà đồ thị của hàm số có “góc đỉnh” hay là “nút” thì đồ thị của hàm f không có tiếp tuyến tại điểm này và f không có đạo hàm tại đó;

- Đường cong có tiếp tuyến thẳng đứng x = a thì hàm số không có đạo hàm vì

( )

x a

lim f ' x

Tìm những điểm có đặc điểm như trên và kết luận tại đó không có đạo hàm

Công ngh ệ - Lý thuyết: Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong; Định lí về mối liên hệ

giữa liên tục và khả vi; Định nghĩa đạo hàm và định nghĩa hàm số đạo hàm

Nh ận xét: KNV T6 củng cố lại cách nhận biết tính khả vi dựa vào đồ thị của hàm số f

Từ đó, thấy được mối liên hệ theo chiều từ hàm f đến hàm f ' của hàm số được cho

bằng đồ thị

Ngoài ra, trong GT có một bài tập cho thấy mối liên hệ đặc biệt giữa hàm f và f '

VD: Biết rằng hàm f được gọi là hàm chẵn nếu f( )- = x f x( ) cho tất cả x thuộc tập xác định và là hàm lẻ nếu f( )- = - x f x( ) Chứng minh các mệnh đề sau:

Với ba cách xác định hàm số (bảng số, đồ thị và biểu thức đại số) đã nghiên cứu khi giới thiệu khái niệm hàm số, tại thời điểm này, GT nghiên cứu hàm số đạo hàm theo cả ba cách này

Chúng tôi sẽ thống kê số lượng nhiệm vụ của các KNV sau khi phân tích các tổ

chức toán học ở thời điểm 2

1.2 Th ời điểm 2: Đạo hàm với hình dạng đồ thị hàm số ban đầu

1.2.1 V ề phần bài học: Những tiêu chuẩn thể hiện mối quan hệ giữa f và f '

Trong chương 4, GT đề cập đến việc ứng dụng của đạo hàm ở mức độ sâu hơn Ở đầu chương GT viết:

Chúng ta đã tìm hiểu một số các ứng dụng của đạo hàm, nhưng bây giờ chúng ta

đã biết quy tắc lấy đạo hàm Chúng ta đang ở vị trí tốt hơn để theo đuổi các ứng dụng khác của đạo hàm trong mức độ sâu hơn Chương này chúng ta sẽ học cách đạo hàm ảnh hưởng đến đồ thị của một hàm, và đặc biệt, làm thế nào để đạo hàm giúp ta xác định vị trí của giá trị cực đại và cực tiểu địa phương của hàm số,…

[19, tr.273]

Cụ thể hơn, trong mục 4.3, GT muốn nghiên cứu những ứng dụng tính toán trên hàm số ban đầu f từ những thông tin của hàm số f '

Nhiều ứng dụng của tính toán phụ thuộc vào khả năng suy diễn về một hàm số f

từ thông tin liên quan đến đạo hàm của nó Bởi vì, f ' x ( ) đại diện cho độ dốc của đường cong y=f x( ) tại điểm (x;f x( )), nó cho chúng ta biết hướng mà đường cong tiếp tục tại mỗi điểm Vì vậy, việc mong đợi có được thông tin từ hàm f ' x ( )

sẽ cung cấp cho chúng ta thông tin về hàm f là hợp lý [19, tr.290]

Câu hỏi mà GT đặt ra là “Hàm f ' nói gì v ề hàm f?”

1.2.1.1 Đạo hàm: tiêu chuẩn về sự tăng giảm của hàm số

Như đã nói ở trên, f ' x( ) đại diện cho độ dốc của đường

cong y=f x( ) tại điểm (x;f x – ( ) ) f ' x( ) chính là hệ số góc

tiếp tuyến tại (x;f x – Từ quan sát hình 1.14, GT cho nhận ( ) )

xét:

Hình 1.14

Giữa A và B, giữa C và D tiếp tuyến có hệ số góc dương và do vậy f ' x( )> 0

Giữa B và C tiếp tuyến có hệ số góc âm và do vậy f ' x( )< Do vậy, f tăng khi 0

( )

f ' x dương và f giảm khi f ' x âm ( ) [19, tr.290]

Giống như thời điểm 1, GT đã dùng dấu của hệ số góc tiếp tuyến để tìm ra mối liên hệ giữa hai hàm số f và f ' Tuy vậy, khác với kết quả của thời điểm 1 – cho biết tính chất của hàm số đạo hàm f ' – thời điểm 2 cho biết tính tăng, giảm của hàm số f

GT phát biểu nhận xét trên thành tiêu chuẩn và chứng minh bằng cách sử dụng định lý giá trị trung bình

Tiêu chu ẩn tăng/ giảm

Nếu f ' x( )> trên một khoảng thì f tăng trên khoảng đó 0

Nếu f ' x( )< trên một khoảng thì f giảm trên khoảng đó.0

Ch ứng minh

a) Lấy x1 và x2 là hai số bất kỳ trên khoảng với x1 < x2

Theo định nghĩa hàm số tăng, ta phải chỉ ra f x( ) ( )1 <f x2

Ta có f ' x( )> nên f có đạo hàm trên 0 [x ; x 1 2] Theo định lý giá trị trung bình có

một số c giữa x1 và x2 sao cho f x( ) ( )2 -f x1 =f ' c x( )( 2-x1) (1)

Sau khi đã được chứng minh thì tiêu chuẩn này có thể được vận dụng để tìm

những khoảng hàm số tăng hoặc giảm

VD1: Tìm các kho ảng tăng, giảm của hàm số

biết nơi mà f ' x( )> và nơi mà 0 f ' x( )< , điều này phụ thuộc vào dấu hiệu của 0

ba nhân tử của f ' x cụ thể là 12x, x – 2 và x + 1 Chúng ta chia đường thẳng thực ( )

thành các khoảng, điểm cuối của chúng là những con số tới hạn1 -1, 0 và 2 và sắp

xếp lên một bảng Một dấu cộng để chỉ ra rằng biểu thức được cho là dương và một dấu trừ chỉ ra rằng nó âm Cột cuối cùng của bảng cho các kết luận dựa trên tiêu chuẩn tăng/ giảm Chẳng hạn, f ' âm trên 0 < x < 2 do đó f giảm trên (0;2) (vẫn đúng khi nói rằng f giảm trên khoảng đóng [0;2])

-

-

- +

- + + +

- +

- +

Giảm trên (-¥ - ; 1)

Tăng trên (- 1; 0)

Giảm trên ( )0; 2 Tăng trên (2;+¥) [19, tr.290-291] Theo tiêu chuẩn tăng/ giảm thì xét tính tăng, giảm của hàm số dựa trên dấu của đạo hàm, do đó, việc cần làm là lập bảng xét dấu của đạo hàm rồi kết luận GT minh

họa đồ thị hàm f để giúp so sánh kết quả trên bảng “Đồ thị của hàm f trên hình 1.15 xác nhận thông tin của bảng”

Như vậy, tiêu chuẩn tăng/ giảm cho phép chỉ ra mối liên hệ theo chiều từ hàm số đạo hàm đến hàm số ban đầu cụ thể, dùng đạo hàm để xét tính tăng, giảm của hàm số

1.2.1.2 M ối liên hệ giữa đạo hàm và cực trị

Cực trị là nội dung đã được giới thiệu ở mục 4.1, GT nhắc lại “nếu f có cực đại hay cực tiểu địa phương tại c thì c phải là số tới hạn của f (theo định lý Fermat) nhưng không phải mỗi số tới hạn tạo nên cực đại hoặc cực tiểu Trước tiên, chúng ta

có một tiêu chuẩn, nó sẽ cho chúng ta biết có hay không cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại một điểm tới hạn.” [19, tr.291]

GT dùng đồ thị của VD ở trên (Hình 1.15) để nhận xét:

1 S ố tới hạn của hàm số f là số c thuộc miền xác định của f sao cho f ' c( )= 0 ho ặc f ' c( ) không t ồn tại

Bạn có thể thấy ở hình 1.15 rằng f 0( )= là giá trị cực đại địa phương của f bởi 5

vì f tăng trên (-1;0) và giảm trên (0;2), hoặc trong số hạng của đạo hàm f ' x( )> 0khi - < < 1 x 0 và f ' x( )< khi 0 < x < 2 Nói cách khác, dấu của 0 f ' x thay đổi ( )

từ dương sang âm tại 0 [19, tr.291]

Sau đó, cũng như cách dẫn đến tiêu chuẩn tăng/ giảm, GT nói rằng quan sát đồ

thị trong hình 1.15 là cơ sở của tiêu chuẩn

Tiêu chu ẩn đạo hàm cấp 1: giả sử c là số tới hạn của một hàm liên tục f

a) Nếu f ' thay đổi từ dương sang âm tại c thì f có cực đại địa phương tại c;

b) Nếu f ' thay đổi từ âm sang dương tại c thì f có cực tiểu địa phương tại c; c) Nếu f ' không đổi dấu tại c (chẳng hạn f ' dương trên cả hai phía hoặc âm trên

cả hai phía) thì khi đó f không có cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại c

[19, tr.291]

GT không chứng minh tiêu chuẩn này và giải thích rằng nó là hệ quả của tiêu chuẩn

tăng/ giảm “Chẳng hạn, trong phần a) khi dấu của f ' x( ) thay đổi từ dương sang âm

t ại c, f tăng bên trái của c và giảm bên phải của c, nó cho thấy rằng f có cực đại địa phương tại c.” [19, tr.291]

Vậy là, tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1 chỉ ra mối liên hệ giữa hai hàm số nhờ sự thay đổi dấu của f ' khi qua điểm tới hạn GT cũng chỉ ra cách để nhớ tiêu chuẩn này bằng cách hình dung từ đồ thị:

VD2 sau đây minh họa cách vận dụng tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1 để tìm cực trị

VD2: “Tìm giá tr ị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm f trong VD1”

Do VD1 đã lập bảng xét dấu của f 'nên nhìn vào bảng này GT đã có những kết luận

Hình 1.16

Chúng ta thấy rằng f ' x ( ) thay đổi từ âm sang dương tại -1, do vậy f(-1) = 0 là giá

trị cực tiểu địa phương theo tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1 Tương tự, f ' thay đổi từ

âm sang dương tại 2, do vậy f(2) = -27 cũng là giá trị cực tiểu địa phương tại 2 Như ghi chú trước đây, f(0) = 5 là giá trị cực đại địa phương vì f ' thay đổi từ dương sang âm tại 0 [19, tr.291]

Rõ ràng, tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1 dựa trên dấu của đạo hàm thì cũng là dựa trên tính tăng, giảm của hàm số Nếu như VD2 chỉ cần nhìn vào bảng xét dấu đã làm trong VD1 thì VD3 tiếp theo đây là một hàm số khác

VD3: “Tìm giá tr ị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số

Vì g ' x ( ) thay đổi từ dương sang âm tại 2π

3 , tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1 nói rằng có

một cực đại địa phương tại 2π

Tương tự g ' x ( ) thay đổi từ âm sang dương tại 4π

Là giá trị cực tiểu địa phương [19, tr.292]

Đồ thị của g trong hình 1.17 đánh giá kết luận này

1.2.1.3 K ết luận

GT giới thiệu tiêu chuẩn tăng/ giảm, tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1 và dùng nó để chỉ

ra mối liên hệ theo chiều từ hàm số đạo hàm đến hàm số ban đầu Cả hai tiêu chuẩn đều dựa trên việc xét dấu đạo hàm, từ đó cho biết tính tăng, giảm và cực trị của hàm số ban đầu

Các hàm số trong phần này đều được cho bằng biểu thức đại số, GT chỉ dùng đồ

thị để minh họa, nhận xét, không có hàm số cho bằng cách khác (đồ thị hoặc bảng số) Cũng như ở tiến trình ở thời điểm 1, tiếp theo chúng tôi nghiên cứu các tổ chức toán học xoay quanh đối tượng hàm số đạo hàm để tìm kiếm những KNV xây dựng

mối liên hệ giữa hàm số ban đầu và hàm số đạo hàm

VD: Cho đồ thị của hàm số đạo hàm f ' Tìm những

kho ảng mà hàm f tăng hoặc giảm (Hình 1.18)

[19, tr.297]

Kỹ thuật của KNV này được chúng tôi xây dựng dựa trên

tiêu chuẩn tăng/ giảm và VD1 trong mục 1.2.1.1 với khái niệm điểm tới hạn

K ỹ thuật τ7:

- Đọc từ đồ thị f ' đã cho, xác định lần lượt a là hoành độ điểm mút đầu tiên, các giao điểm của hàm số đạo hàm f ' với trục hoành và những điểm đạo hàm

Hình 1.18

không xác định (nếu có) tính từ trái qua phải kí hiệu xi (i=1, n), hoành độ điểm mút cuối cùng b Giả sử, ta có các khoảng (a; x ; x ; x ; ; x ; b ; 1) ( 1 2) ( n )

- Trên mỗi khoảng nếu đồ thị hàm số đạo hàm f ' nằm dưới trục hoành, tức

( )

f ' x < Ta kết luận hàm f giảm trên khoảng đó; 0

- Trên mỗi khoảng nếu đồ thị hàm số đạo hàm f ' nằm trên trục hoành, tức

( )

f ' x > Ta kết luận hàm f tăng trên khoảng đó 0

Công ngh ệ - Lý thuyết: Tiêu chuẩn tăng/ giảm; Định nghĩa hàm số đạo hàm

KNV T 8 : Cho đồ thị của hàm số đạo hàm f ' của hàm f Tìm hoành độ các điểm

cực đại và cực tiểu

K ỹ thuật τ8:

Đọc từ đồ thị f ' đã cho, xác định lần lượt các giao điểm của hàm số đạo hàm f '

với trục hoành và những điểm đạo hàm không xác định (nếu có) tính từ trái qua phải kí

hiệu xi (i=1, n) Tại mỗi xi:

- Nếu giá trị của f ' đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm xi thì xi hoành độ điểm

cực tiểu;

- Nếu giá trị của f ' đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm xi thì xi hoành độ điểm

cực đại

Công ngh ệ - Lý thuyết: Tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1; Định nghĩa hàm số đạo hàm

Nh ận xét: Hai KNV vừa nêu cho thấy mối liên hệ theo chiều từ hàm f ' đến hàm f với hàm số được cho bằng đồ thị Mối liên hệ này có được nhờ hai tiêu chuẩn được đề cập trong lý thuyết

KNV T 9 : Tìm các khoảng tăng, giảm của hàm số f được cho bằng biểu thức đại

K ỹ thuật τ9:

- Tìm (a;b) là tập xác định của hàm f;

- Tính đạo hàm của f bằng quy tắc tính đạo hàm;

- Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định;

- Các điểm xi chia (a;b) thành i + 1 khoảng liên tiếp (a; x ; x ; x ; ; x ; b ; 1) ( 1 2) ( n )

- Xét dấu f ' trên mỗi khoảng

+ Nếu f ' x( )<0 trên khoảng thì f giảm trên khoảng đó;

+ Nếu f ' x( )>0 trên khoảng thì f tăng trên khoảng đó

Công ngh ệ - Lý thuyết: Tiêu chuẩn tăng/ giảm; Các quy tắc tính đạo hàm

KNV T 10 : Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số f cho bằng biểu

thức đại số

VD: Tìm giá tr ị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số ( ) 3 2

f x = 2x + 3x - 36x [19, tr.298]

Kỹ thuật được tìm thấy trong lời giải VD3 mục 1.2.1.2 luận văn này

K ỹ thuật τ10:

- Tìm (a;b) là tập xác định của hàm f;

- Tính đạo hàm của f bằng quy tắc tính đạo hàm;

- Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định;

- Các điểm xi chia (a;b) thành i + 1 khoảng liên tiếp (a; x ; x ; x ; ; x ; b1) ( 1 2) ( n );

- Xét dấu f ' trên mỗi khoảng;

+ Nếu f ' x ( ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua xi thì xi là điểm cực tiểu, giá trị

Nh ận xét: Hai KNV này cho thấy mối liên hệ theo chiều từ hàm số đạo hàm đến hàm

số ban đầu với hàm số được cho bằng biểu thức đại số cũng bằng hai tiêu chuẩn được

- Tính đạo hàm của f bằng các quy tắc tính đạo hàm;

- Biến đổi biểu thức đạo hàm thành một tích, thương các biểu thức là các tam thức

bậc hai;

- Tính biệt thức Δ của các tam thức này;

- Để f luôn tăng (hoặc giảm) thì f ' luôn dương (hoặc âm) khi đó cần đồng thời

thỏa các điều kiện các biệt thức Δ < 0 và tích các hệ số của x2 dương (hoặc âm);

- Giải các điều kiện tìm giá trị tham số thỏa yêu cầu

Y ếu tố công nghệ: Tiêu chuẩn tăng/ giảm; Định nghĩa hàm số đạo hàm

Nh ận xét: KNV này vận dụng mối liên hệ giữa hàm f ' và hàm f để tìm điều kiện cho hàm f luôn tăng hoặc giảm

Nh ận xét chung

Với hai tiêu chuẩn là tiêu chuẩn tăng/ giảm và tiêu chuẩn đạo hàm cấp 1 được dùng để xét mối liên hệ theo chiều từ hàm số đạo hàm đến hàm số ban đầu Hai tiêu chuẩn này đều thực hiện trên cơ sở xét dấu đạo hàm

Thời điểm này không có KNV mà hàm số được biểu diễn bằng bảng số, hàm số

chỉ được biểu diễn bằng đồ thị hoặc biểu thức đại số