Hàm số thực và các ứng dụng vào giải toán sơ cấp

Thực tế giảng dạy Toán cho học sinh trung học phổ thông, tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc nắm bắt các khái niệm, ứng dụng các tính chất, đặc trưng của các hàm số vào

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM VĂN HẠNH

HÀM SỐ THỰC VÀ CÁC ỨNG DỤNG

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan

Những nội dung được trình bày trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đạo Dõng

Mọi tài liệu trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả luận văn

Phạm Văn Hạnh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa thực tiễn của đề tài 2

6 Cấu trúc của luận văn 3

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 4

1.1 GIỚI THIỆU VỀ ÁNH XẠ VÀ HÀM SỐ 4

1.1.1 Ánh xạ 4

1.1.2 Hàm số 6

1.2 GIỚI THIỆU CÁC HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG TRUNG HỌC 8

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 17

2.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 17

2.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 39

2.3 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 47

2.4 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 58

2.5 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 66

2.6 TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM SỐ 72

2.7 TÍNH KHẢ TÍCH CỦA HÀM SỐ 82

KẾT LUẬN 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI THẠC SĨ (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa quan trọng Đặc biệt môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông, góp phần phát triển nhân cách học sinh Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹ năng cần thiết Toán học còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá; rèn luyện những đức tính, phẩm chất của con người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, thẩm mỹ,

Nhiệm vụ của dạy học môn Toán là trang bị tri thức cơ bản cần thiết cho học sinh; rèn luyện kỹ năng Toán học và kỹ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn; phát triển trí tuệ cho học sinh; bồi dưỡng những phẩm chất đạo đức tốt đẹp cho học sinh; đảm bảo trình độ phổ thông, đồng thời chú trọng bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về Toán

Thực tế giảng dạy Toán cho học sinh trung học phổ thông, tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc nắm bắt các khái niệm, ứng dụng các tính chất, đặc trưng của các hàm số vào giải toán các chủ đề liên quan Cùng

với sự định hướng của PGS.TS.Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “HÀM SỐ THỰC VÀ CÁC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” làm đề tài

luận văn thạc sĩ của mình

Trong luận văn này, trước hết chúng tôi giới thiệu về ánh xạ và hàm số, các hàm số thể hiện trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông Tiếp

đó, ứng dụng các tính chất cơ bản của hàm số như tính đơn điệu, tính liên tục, khả vi, để giải một số dạng toán trong đại số, giải tích và hình học

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác các tính chất cơ bản của hàm

số để giải một số dạng toán trong đại số, giải tích và hình học thể hiện qua các dạng bài toán về bất đẳng thức, phương trình và bất phương trình, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất, bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy học bộ môn Toán trong chương trình Trung học phổ thông (THPT)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khai thác các tính chất cơ bản của hàm số như tính đơn điệu, tính liên tục, khả vi,… để giải các dạng bài toán về bất đẳng thức, phương trình và bất phương trình, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất, bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình,

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học môn toán, sách giáo khoa phổ thông, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, các sách tham khảo, các tạp chí về giáo dục, một số luận văn có liên quan đến đề tài

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:

Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên giỏi bộ môn Toán ở trường THPT Từ đó xây dựng được hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ trong giải toán về hàm số và các bài toán liên quan

5 Ý nghĩa thực tiễn của đề tài

Nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề trong đại số, giải tích và hình học trong chương trình toán THPT

Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm:

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ bản về ánh xạ

và hàm số Trình bày một số hàm số quen thuộc trong chương trình phổ thông trung học liên quan đến hàm số bậc hai, hàm số đa thức, hàm số phân thức Các kiến thức trình bày trong chương có thể tham khảo tại các tài liệu [3],[6], [8],[9]

1.1 GIỚI THIỆU VỀ ÁNH XẠ VÀ HÀM SỐ

1.1.1 Ánh xạ

Định nghĩa 1.1 Cho hai tập hợp X và Y khác  Ta gọi ánh xạ f từ tập X

phần tử y ∈ Y, kí hiệu : f X Y, x y f x( )

X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích

Phần tử y được gọi là ảnh của x và x được gọi là nghịch ảnh của y

Định nghĩa 1.2 Cho A X , khi đó tập hợpy y|  f x x( ), A} được

gọi là ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f, kí hiệu f(A)

Định nghĩa 1.3 Cho BY, khi đó tập hợp {xX f x| ( ) y B} được

gọi là nghịch ảnh của tập hợp B qua ánh xạ f, kí hiệu f1( )B

Định nghĩa 1.4 Cho ánh xạ f X: Y Ta có các định nghĩa sau:

 Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu:

 Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh, vừa là toàn ánh

 Ánh xạ ngược của một song ánh:

Giả sử f X: Y là một song ánh Khi đó, mỗi phần tử xX có một ảnh xác định f x( )Y Ngược lại, mỗi phần tử y có một và chỉ một Y

nghịch ảnh xX Vì vậy, song ánh f từ X lên Y là một phép tương ứng 1-1 hai chiều giữa X và Y Ánh xạ biến y  thành x Y X sao cho f x( ) được y

gọi là ánh xạ ngược của song ánh f, kí hiệu là f 1 Vậy f 1là một ánh xạ từ Y lên X, hơn nữa f1 cũng là một song ánh

Ánh xạ từ X tới Z xác định bởi: xX zg f x[ ( )]Z được gọi là

tích (hay hợp) của các ánh xạ f và g, kí hiệu là g f

Tính chất 1.2 Giả sử g X: Y và f Y: Z Khi đó:

 Nếu f và g là đơn ánh thì f  cũng đơn ánh g

 Nếu f và g là toàn ánh thì f  cũng là toàn ánh g

 Nếu f và g là song ánh thì f  cũng là song ánh g

1.1.2 Hàm số

Định nghĩa 1.5

Cho X là một tập con khác rỗng của tập số thực 

 Người ta gọi ánh xạ f X:  , x f x( ), là hàm số một biến số

xác định trên tập hợp X, trong đó x gọi là biến độc lập, y gọi là biến số phụ thuộc hay hàm số của x, X gọi là miền xác định của hàm số f, tập hợp

f X  y y f x  x X được gọi là miền giá trị của f

 Đồ thị của hàm số:

Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định là X   Ứng với giá trị x 0 

hệ trục toạ độ đề - các vuông góc Cho x biến thiên trên tập hợp xác định X,

điểm M biến thiên theo và tạo nên một đường cong trong mặt phẳng toạ độ

Oxy, được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x) Nói cách khác đồ thị của hàm số

y = f(x) là tập hợp những điểm có toạ độ (x;y) thoả mãn hệ thức y = f(x)

Hàm số f được gọi là giảm ngặt trong khoảng (a;b) nếu:

1 2 ( ; ), 1 2 ( )1 ( )2

Hàm số f được gọi là đơn điệu trong khoảng (a;b) nếu hàm số f tăng hoặc

giảm trên khoảng (a;b)

1.2 GIỚI THIỆU CÁC HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG TRUNG HỌC

1.2.1 Hàm số đa thức:

a) Hàm số bậc hai y = ax 2 + bx +c (a ≠ 0)

Hàm số xác định với mọi x ∈  Đạo hàm ' 2 y  ax b

Suy ra y' 2ax b 0 x b

a

     

Có các khả năng sau:

a > 0:

X -∞ b

a

 +∞

y’ - 0 +

Y +∞ +∞

4a   a < 0: x -∞ b a  +∞

y’ + 0 -

y

4a  

-∞ -∞

Dáng điệu của đồ thị:

b) Hàm số bậc ba yax3bx2 cxd (a ≠ 0)

Hàm số xác định với mọi x ∈  Đạo hàm 2

' 3 2

Có các khả năng sau:

+ y’ có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Giả sử x1 < x2

a > 0:

x -∞ x1 x2 +∞

y’ + 0 - 0 +

y y1 +∞

-∞ y2 a < 0: x -∞ x1 x2 +∞

y’ - 0 + 0 -

y +∞ y2

y1 -∞

-4 -3 -2 -1 1 2 -1 1 2 3 4 x y

-1

1 2 3 4

x y

Dáng điệu của đồ thị:

+ y’ có hai nghiệm kép x1 = x2 = α

x -∞ α +∞

y’ + 0 +

y f(α) +∞

-∞

a < 0: y’≤ 0: Hàm số nghịch biến x -∞ α +∞

y’ - 0 -

y +∞

f(α) -∞

Dáng điệu của đồ thị: + y’ không có nghiệm thực a > 0, y’ > 0, ∀x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2

2 4

x y

x -∞ +∞

y’ +

y +∞

-∞

a < 0, y’ < 0 ∀x x -∞ +∞

y’ -

y +∞

-∞

Dáng điệu của đồ thị:

c) Hàm số bậc bốn trùng phương yax4 bx2 (a ≠ 0) c

Hàm số xác định với mọi x ∈ 

Đạo hàm y'4ax32bx2 (2x ax2b)

Có 2 khả năng:

+ Trường hợp a và b cùng dấu

y’= 0  x = 0

y’ cùng dấu với x hoặc trái dấu với x tuỳ theo a > 0 hoặc a < 0

a > 0:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2

2 4

x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2

2 4

x y

x -∞ 0 +∞

y’ - 0 +

y +∞ +∞

c

a < 0: x -∞ 0 +∞

y’ + 0 -

y c

-∞ -∞

Dáng điệu của đồ thị: + Trường hợp a và b trái dấu y’= 0  x = 0, x = x1, x = x2 a > 0: x -∞ x1 0 x2 +∞

y’ - 0 + 0 - 0 +

y +∞ c +∞

y1 y 2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4 -2

2 4

x y

2 4

x y

-4 -2

2 4

x y

2 4

x y

-4 -2

2 4

x y

Đạo hàm:

2 2

' '( )

 



Suy ra f’(x) = 0  (dx e)2 Cd

A

 

+ ACd < 0: Hàm số không có cực trị

+ ACd > 0: Hàm số có hai cực trị tại x1, x2

Bảng biến thiên:

+ A < 0, ACd > 0:

X -∞ x1 e

d

 x2 +∞

y’ - 0 + + 0 -

Y +∞ +∞ CĐ CT -∞ -∞

+ A > 0, ACd > 0: X -∞ x1 e d  x2 +∞

y’ + 0 - - 0 +

Y CĐ +∞ +∞

-∞ -∞ CT A > 0, ACd < 0: X -∞ e d  +∞

y’ + +

Y +∞ +∞

-∞ -∞

A < 0, ACd < 0:

X -∞ e

d

 +∞

y’ - -

Y +∞ +∞

-∞ -∞

Dáng điệu của đồ thị -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Trong chương này, chúng tôi trình bày ứng dụng tính đơn điệu, cực trị, tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và đồ thị của hàm số vào giải một số dạng bài toán thường gặp trong chương trình phổ thông Ngoài ra, còn giới thiệu một số bài toán được trích ra từ các đề thi

khảo tại các tài liệu [1], [3], [4], [5], [6], [8], [10]

2.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

2.1.1 Giới thiệu về tính đơn điệu của hàm số

a Điều kiện cần:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K

Nếu hàm số f đồng biến trên K thì f’(x ) 0, x  K

Nếu hàm số f nghịch biến trên K thì f’(x)  0, x  K

Nếu f’(x) = 0, x  K thì hàm f không đổi trên K

2.1.2 Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1: Ứng dụng tính đơn điệu xét sự biến thiên của hàm số

Bài toán 2.1 Áp dụng tính đơn điệu của hàm số khảo sát sự biến thiên của

+ Dựa vào dấu của đạo hàm kết luận các khoảng tăng, giảm của hàm

m, hãy lập bảng biến thiên của hàm số

Bài toán 2.2 Cho hàm số y = f(x,m), m là tham số thực Tìm điều kiện của

tham số thực m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập xác định

  

Nếu m < -2 thì  ' 10(m2)< 0 suy ra y’ < 0 ∀x ∈ 

Vậy hàm số nghịch biến trên 

Nếu m > -2 thì  ' 10(m2) > 0 suy ra y’= 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1< x2)

Trường hợp này hàm số nghịch biến trên khoảng (x1 ; x2) nên không thoả mãn

Bài toán 2.3 Cho hàm số y = f(x,m), m là tham số thực Tìm m để hàm số

đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng I  D (với D là miền xác định)

Bước 4: Biến đổi biểu thức ràng buộc ở bước 3 có liên quan đến tham

số thực m về dạng: mg x hay( ) m g x( ), với g x( )xác định trên khoảng I

Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của g( x ) trên khoảng I

Từ đó ta suy ra giá trị tham số m ≥ ( )

Lời giải:

Tập xác định trên 

Ta có: y’ = 3x 2 +6x + m +1

Hàm số nghịch biến trên (-1;1) khi và chỉ khi 'y 0,  x ( 1;1), dấu “=” xảy

ra tại hữu hạn điểm Điều này tương đương với:

Nếu m ≥ 3 thì   y' 9 3m ≤ 0 Suy ra y’ ≥ 0, ∀x ∈ R Nên hàm số luôn

đồng biến trên  Do đó m ≥ 3 không thoả yêu cầu bài toán

Nếu m < 3 thì   y' 9 3m > 0 Do đó y’= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1

< x2) và hàm số nghịch biến trên đoạn [x1 ; x2] với độ dài l = x2 – x1

Hàm số nghịch biến trên một đoạn [a; b] có độ dài l = 1

Khi và chỉ khi: (x2 - x1)2 = 1  9

4

Dạng 2: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, giải bất phương trình…

Nhận xét 2.1:

Việc chứng minh bất đẳng thức, giải và biện luận phương trình, bất phương trình, bằng các phương pháp như: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học, khá quen thuộc đối với học sinh chuẩn bị thi vào đại học Tuy nhiên, đối mặt với một bài toán dạng này học sinh ít nhiều còn lúng túng, chưa tìm được lời giải hoặc xác định được đường lối nhưng lại không đưa ra được kết quả cuối cùng Trong các trường hợp như thế, chúng

ta có thể "Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số" để giải quyết các bài toán

chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, khi các phương pháp nêu trên gặp khó khăn hoặc khó vận dung

Bài toán 2.4 Chứng minh bất đẳng thức dạng P(x) > Q(x),  x ( ; )a b

Định hướng giải:

Để chứng minh bất đẳng thức dạng trên, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển bất đẳng thức P(x) > Q(x) về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥, ≤) Bước 2: Tìm miền xác định D để thấy [a; b]  D Tính f(a), f(b)

Bước 3: Xét hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b) Tính f’(x)

Xét dấu f’(x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên (a;b)

Bước 4: Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận tính đúng của bất đẳng thức

Hay sin 1tan 3 0 sin 1tan 3

Suy ra f x( ) f y( )0 Hay x z y x y z

Bài toán 2.5 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

Sử dụng các tính chất đơn điệu hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta có các hướng áp dụng sau:

Định hướng giải:

Hướng 1:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: ( )f x  k

Bước 2: Xét hàm số y f x( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)

Bước 3: Nhận xét:

+ Với xx0  f x( ) f x( )0  , do đó k xx0 là nghiệm + Với x x0  f x( ) f x( )0  , do đó phương trình vô k

Xác định x sao cho 0 f x( )0 g x( )0

Bước 3: Kết luận xx0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 3:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: ( )f u  f v( )

Bước 2: Xét hàm số y f x( ) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số 2

y x x đồng biến trên [2;+∞), và tồn tại x ∈ [2;+∞) để 0 f x 0 11 Do đó phương trình

2

2x x 2 11 có duy nhất nghiệm duy nhất x 0

Ví dụ 2.14: Giải phương trình log (2 x24)xlog [8(2 x2)]

4log ( 4) log ( 2) 3 log 3 log ( 2) 3

Vậy, phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta thấy, x = 3 là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Do đó phương trình đã cho có dạng f x( )g x( ) nếu có nghiệm thì nghiệm

đó là duy nhất

Ta thấy x  thoả mãn phương trình 1

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x 1

Suy ra f(t) đồng biến trên 

Khi đó phương trình (1)  f(u) = f(v)  u = v  -3x = 2x +1 1

Bài toán 2.6 Dựa vào tính đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình

và bất phương trình chứa tham số dạng

Bước 2: Xét hàm số f(x) liên tục trên K

Bước 3: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để kết luận

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m   là giá trị cần tìm 3

Ví dụ 2.19: Tìm tham số thực m để phương trình sau có đúng hai nghiệm

Ví dụ 2.20: (Trích đề thi đại học _khối A 2008) Tìm tham số thực m để

phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt

với   4     4

0 2 6 2 6; 2 6 3 2; 6 2 3 12

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của m là: 2 62 64 m 6 3 2

Ví dụ 2.21: Tìm tham số thực m để phương trình sau có nghiệm

Suy ra f t là hàm số đồng biến trên ( ) 3;9 

Do đó phương trình đã có nghiệm khi và chỉ khi:

2.cos 1cos2 cos 1 t an 1 t an

1

2 1 t ancos x m x