Bao hàm thức tựa cân bằng tổng quát loại i và những vấn đề liên quan

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết tối ưu véctơ được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế. Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học và kỹ thuật. Borel (1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và kết quả toán học. Koopman (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hoá. Tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của Nash (1951), ArrowDebreu (1954), sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) và BrowderMinty (1978) đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1994, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và của BrowderMinty với nhau thành một dạng chung. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm x K  sao cho f x x ( , ) 0  với mọi x K , trong đó K là tập con cho trước của một không gian, f K K R :   là hàm số thực thoả mãn f x x ( , ) 0.  i) Bài toán bất đẳng thức biến phân: cho X là không gian đối ngẫu của không gian X : Cho ánh xạ T D X :  : Tìm x D sao cho T x x y ( ), 0  với mọi . y D ii) Bài toán cân bằng Nash: cho , D X i I i   là các tập con khác rỗng trong X I ; là tập hữu hạn các phần tử. Đặt ; : : D D f D   i I  i i  Với mỗi ( ) i i I x x D    , đặt ( ) , i j j I x x j i    . Tìm x D sao cho ( ) ( ; ) i i i i f x f x y   với mọi i i y D  . Điểm x được gọi là điểm cân bằng Nash

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn người thầy đã định hướng cho tôi chọn đề tài và đã nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành toán giải tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này tôi cũng xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Kim Phụng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của GS TSKH

Nguyễn Xuân Tấn luận văn chuyên ngành toán giải tích với đề tài: “Bao hàm thức tựa cân bằng tổng quát loại I và những vấn đề liên quan” được hoàn

thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn tác giả đã kế thừa những kết quả của những nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Kim Phụng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Những đóng góp mới của đề tài 3

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Các không gian thường dùng 4

1.2 Nón và các khái niệm liên quan 11

1.3 Ánh xạ đa trị 14

1.4 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 15

1.5 Tính lồi của ánh xạ đa trị 17

1.6 Điểm bất động của ánh xạ đa trị 18

Chương 2 BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO LOẠI I 20

2.1 Bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I 21

2.2 Sự tồn tại nghiệm 22

Chương 3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 29

3.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân yếu 29

3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa tối vectơ 29

3.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng yếu 34

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết tối ưu véctơ được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế Sau đó có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học và kỹ thuật Borel (1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và kết quả toán học Koopman (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hoá Tối ưu véctơ là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của Nash (1951), Arrow-Debreu (1954), sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20 Ky Fan (1972) và Browder-Minty (1978) đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động Năm 1994, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán của Ky Fan và của Browder-Minty với

nhau thành một dạng chung Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm xK

sao cho f x x( , )0 với mọi xK , trong đó K là tập con cho trước của một

không gian, f K:  K R là hàm số thực thoả mãn f x x( , )0

i) Bài toán bất đẳng thức biến phân: cho *

X là không gian đối ngẫu của

không gian X : Cho ánh xạ *

:

T DX : Tìm xD sao cho T x x y( ), - 0 với mọi yD.

ii) Bài toán cân bằng Nash: cho D i  , X i  I là các tập con khác rỗng trong X I; là tập hữu hạn các phần tử Đặt

Do nhu cầu phát triển của Toán học, bài toán cân bằng và các bài toán tối ưu kể trên cũng được phát triển và mở rộng Nếu chúng ta cho thêm các ánh xạ ràng buộc, thì bài toán cân bằng sẽ trở thành tựa cân bằng Xuất phát

từ những vấn đề thực tế trong kinh tế và đời sống một số nhà toán học đã mô hình hóa những vấn đề đó thành bài toán cân bằng tổng quát loại I như sau: Cho các không gian X Y W D, , ;  X K;  W là các tập con khác rỗng Cho các ánh xạ đa trị : 2D

F K   D D D Bài toán tìm ( ; ) x y  D K sao cho

1) xS x y( ; );

2) yT x y( ; )3) 0F y x x t( ; ; ; ) với mọi tS x y( , ) được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I Các ánh xạ S T, được gọi

là ánh xạ ràng buộc, F được gọi là ánh xạ mục tiêu, F có thể là đẳng thức,

bất đẳng thức, bao hàm thức hay sự tương giao của các ánh xạ đa trị Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto dưới loại I được phát biểu như sau : tìm ( , )x y  D K sao cho

1) xS x y( , );

2) yT x y( , );

3) F y x x( , , )F y x x( , , )C\ 0  với mọi xS x y( , )

Dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn tôi đã chọn đề tài

“Bao hàm thức tựa cân bằng tổng quát loại I và những vấn đề liên quan”

để làm luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày mô hình bài toán và một số bài toán liên quan và nghiên cứu

sự tồn tại nghiệm của chúng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các tài liệu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I và một số bài toán liên quan đã được công bố trên các tạp chí quốc tế Tìm những ứng dụng của bài toán này trong kinh tế và các ngành khoa học khác

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu một số vấn đề của giải tích đa trị dể sử dụng trong việc chứng

minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán trong lý thuyết tối ưu

5 Phương pháp nghiên cứu

Ta sử dụng các công cụ của giải tích đa trị để giải quyết các vấn đề liên quan tới các bài toán đặt ra trong lý thuyết tối ưu đa trị Cụ thể, ta sử dụng các định lý về điểm bất động của Ky Fan, Fan- Browder, bổ đề Fan-KKM để chỉ

ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán nay

6 Những đóng góp mới của đề tài

Trình bày kiến thức cơ bản về bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại I

và một số bài toán liên quan Nghiên cứu một số ứng dụng về sự tồn tại

nghiêm của một số bài toán khác trong lý thuyết tối ưu

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này ta nêu lại một số không gian thường dùng, một số tính chất cơ bản của nón và ánh xạ đa trị từ một tập con khác rỗng của không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff khác được sắp xếp thứ tự từng phần bởi nón Trong suốt bản luận văn các tính chất của nón đóng vai trò quan trọng nó giúp cho việc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau

1.1 Các không gian thường dùng

Nhiều bài toán quan trọng của giải tích chỉ dựa trên các tính chất của khoảng cách mà không liên quan tới các tính chất khác của đường thẳng, mặt phẳng hoặc không gian ba chiều thông thường Vì vậy muốn bản chất của các

sự kiện đó người ta trừu tượng hóa các khái niệm khoảng cách để đi đến khái niệm không gian metric Đó là một tập trong đó xác định “khoảng cách” giữa từng cặp phần tử, với những tính chất thông thường của khoảng cách hình học

Định nghĩa 1.1.1 Tập M khác rỗng cùng với ánh xạ d M: M là một không gian metric nếu các tiên đề sau được thỏa mãn:

i) (x y, M d x y) ( , )0, ( , )d x y   0 x y;

ii) (x y, M d x y) ( , )d y x( , );

iii) (x y z, , M d x y) ( , )d x z( , )d y z( , )

Không gian metric kí hiệu là M d ,(hoặc viết tắt là M ) Ánh xạ d , 

được gọi là metric trên M d x y được gọi là khoảng cách giữa hai phần tử ;  ,

x và y

Ví dụ

i) Một tập con M bất kỳ của tập số thức  ,với khoảng cách ( , )

ii) Tổng quát hơn, trong không gian n ta có thể xác định khoảng cách giữa hai điểm x( , ,x1 x n) và y( , ,y1 y n) như sau:

2 1

n

i i i



Ta thấy rằng trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khác nhau

để có những không gian metric khác nhau

Định nghĩa 1.1.2 Không gian metric M d được gọi là không gian con của , 

không gian mêtric X d, ;d được gọi là mêtric cảm sinh bởi d trên M

Định nghĩa 1.1.3 Ta nói rằng dãy điểm  x n của không gian M hội tụ tới

điểm x0 của M nếu(  0), *

 là hội tụ theo tọa độ

Điều hiển nhiên rằng nếu một dãy hội tụ thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ Ta có hai tính chất quan trọng sau:

i) Nếu x n  x1 và x n  x2 thì x1  x2 (tính duy nhất của giới hạn) ii) Nếu x n  x1 và y n  y1 thì d x y( ,n n)d x y( ,1 1). (khoảng cách d là một hàm liên tục đối với x và y )

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử M d là không gian mêtric, a,  M, r  0, ta gọi:

a) Tập S a r ,  x M d x a:  , r được gọi là hình cầu mở tâm ,a

ii) Điểm x gọi là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại lân cận của điểm x

không chứa điểm nào của tập A

iii) Điểm x gọi là điểm biên của tập A nếu mọi lân cận của x đều

chứa những điểm thuộc A và những điểm không thuộc A Tập tất cả điểm biên của tập A ký hiệu là A

iv) Điểm x được gọi là điểm giới hạn (hay điểm tụ) của tập A nếu mọi

lân cận của điểm x chứa ít nhất một điểm của tập A khác x Tập tất cả các điểm giới hạn của tập A được gọi là tập dẫn suất và được ký hiệu là ' A

v) Điểm x gọi là điểm cô lập của tập A nếu x thuộc A và x không là

điểm giới hạn của tập A

Định nghĩa 1.1.6 Tập G được gọi là mở nếu mọi điểm của G đều là điểm

trong của nó

Tập A được gọi là đóng nếu M A\ mở

Ví dụ 1.1.7 Trong không gian metric hình cầu mở là tập mở, hình cầu đóng

là tập đóng

Định lý 1.1.8 Cho không gian metric M d , tập A M,   , A  tâp A đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm  x n A hội tụ tới x thì

xA

Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian metric M d và tập A,  M:

Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A và ký

Định nghĩa 1.1.11 Cho tập M bất kỳ, ta nói rằng họ  những tập con của

M là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên M nếu:

i) Hai tập  và X đều thuộc họ 

ii) Giao của một số hữu hạn tập thuộc họ  thì cũng thuộc họ đó

iii) Hợp của một số vô hạn tập bất kỳ thuộc họ  thì cũng thuộc họ đó

Một tập M cùng với một tôpô trên M gọi là không gian tôpô

Định lý 1.1.12 Trong không gian metric M d họ các tập mở trong M lập , 

thành một tôpô trên M

Định lý 1.1.13 Trong không gian metric M d tôpô ,   sinh bởi metric d là

tôpô có cơ sở lân cận đếm được

Định nghĩa 1.1.14 Trong không gian metric M d , dãy ,    xn được gọi là dãy cơ bản nếu

Ta thấy rằng mọi dãy ( ) xn  M hội tụ trong M đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.1.15 Không gian metric M d gọi là không gian đầy đủ nếu , 

mọi dãy cơ bản của không gian này đều hội tụ

Định nghĩa 1.1.17 Tập M khác rỗng được gọi là không gian tuyến tính trên

trường số thực  , các phần tử x y, M được gọi là các véc tơ nếu trên M

xác định hai phép toán

  :MM M: ( , )x y  x y;

  :M M: ( , ) x x;

M được gọi là không gian tuyến tính trên trường số thực  nếu hai

phép toán trên thỏa mãn các tiên đề sau:

Định nghĩa 1.1.19 Không gian tuyến tính định chuẩn thực là cặp ( , )M ,

trong đó M là một không gian tuyến tính còn là một ánh xạ M  thỏa mãn:

i) x   0, x M x,   0 x 0;

ii) x   x

iii) x y x  y

Số x được gọi là chuẩn của x

Ví dụ 1.1.20 Không gian tuyến tính định chuẩn C a b, (không gian các hàm bị chặn trên đoạn  a b ) với chuẩn , max ( )

niệm như trong không gian metric

Định nghĩa 1.1.21 Cho M là không gian tuyến tính trên trường số thực  ,

hàm ., : MM  được gọi là tích vô hướng trên M nếu các điều kiện

sau được thỏa mãn:

i) y, x  x, y ;

ii) xy,z  x,z  y,z ;

iii) x y,  x y,  x,y ;

iv) x x, 0, x x,   0 x 0,x y z, , M, , 

Định nghĩa 1.1.22 Không gian tuyến tính M được trang bị một tích vô

hướng được gọi là không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert

Ví dụ 1.1.23 Không gian n với tích vô hướng

1

,

n

i i i



  là các không gian Hilbert

Trên không gian tiền Hilbert :M  với x  x x,

Thấy rằng ( , )M là không gian định chuẩn Trên M có cả hai cấu

trúc tôpô và đại số Hai cấu trúc này tương thích với nhau, tức là hai phép tính đại số liên tục trong tôpô

Nếu ta định nghĩa ( , )x y  x y  xy x, y thì (M, ) là không gian metric Nếu (M, ) là không gian metric đầy đủ thì (M, ) được gọi là không gian Banach Vậy không gian tiền Hilbert là một không gian định

chuẩn, do đó nó cũng là không gian metric và trên M có cả hai cấu trúc: tôpô

k n n

2 1

,

k n n



   , x( )x n  kTrùng với chuẩn (1.1) Nên không gian véc tơ thực k cùng với tích vô hướng (1.2) là không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.25 Cho M là không gian tuyến tính thực đồng thời được

trang bị một cấu trúc tôpô  và một cấu trúc đại số (phép cộng hai phần tử và phép nhân một số với một phần tử) Nếu hai phép toán cộng và phép nhân liên tục trong  thì M được là không gian tôpô tuyến tính

Nếu cơ sở lân cận của 0 gồm các tập lồi thì M được gọi là không gian

tôpô tuyến tính lồi địa phương

Nếu M là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương thỏa mãn: với

, ,

x yM x  y thì tồn tại lân cận U x của x và U của y để y U x U y   thì

M được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff

Ví dụ 1.1.26 Không gian Banach, không gian Hilbert là không gian tôpô

tuyến tính lồi địa phương Hausdorff

1.2 Nón và các khái niệm liên quan

Ta đã biết trong trường số thực  , hai số bất kỳ đều có thể so sánh được với nhau thông qua quan hệ thứ tự toàn phần Trong không gian khác ta không có tính chất đó Tuy nhiên bằng cách sử dụng các khái niệm Nón trong không gian tuyến tính, người ta vẫn có thể đưa ra một thứ tự từng phần để so sánh hai phần tử với nhau

Định nghĩa 1.2.1 Cho Y là không gian tuyến tính và C là tập con trong Y

i) Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi

ii) Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y , ký hiệu:

, int ,

clC C convC tương ứng là bao đóng, phần trong và bao lồi của

nón C , l c ( )    C   C

iii) Nón C gọi là nón đóng nếu C là tập đóng

iv) Nón C gọi là nón nhọn nếu l C( ) 0

là nón lồi, đóng, nhọn Cho xx x1, , ,2 x n, yy y1, 2, ,y n thuộc n thì

x y nếu x j  y j với mọi j1, 2, ,n Nón này được gọi là nón orthant dương trong n

Định nghĩa 1.2.4 Với nón C cho trước ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng

phần trên Y như sau:

x y, Y x Cy,  nếu x y C

Nếu không có sự nhầm lẫn, ta có thể viết đơn giản x y.

Cho x y, Y ta ký hiệu x y, nếu x y C l C\ ( ) và x y, nếu

int

x y C

Ta thấy quan hệ thứ tự có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Nếu C

là nón lồi, thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan hệ thứ tự từng phần trên Y

Định nghĩa 1.2.5 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh

bởi nón lồi C A là tập con khác rỗng của Y Ta nói rằng:

i) Điểm xA là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C

nếu y x C với mọi yA

Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu

là IMin A C( / ) hoặc IMinA

ii) Điểm x A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của A đối với nón C , nếu không tồn tại yA để x y C l C| ( ) Tập các điểm

hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được kí hiệu là PMin A C( / )

iii) Điểm A là điểm hữu hiệu yếu (khi int C0 và CY ) của A đối với nón C , nếu xMin A / 0 intC Tức là x là điểm hữu hiệu

theo thứ tự sinh bởi nón C0  0 int C Tập các điểm hữu hiệu

yếu của A đối với nón C được kí hiệu là WMin A C( / ) hoặc

iv) Điểm xA được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón

của nó để xPMin A C( /  )

Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu

là PrMin(A/ C) hoặc PrMinA

1.3 Ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là tập hợp bất kỳ Ký hiệu 2X

là tập gồm các tập

con của X Mỗi ánh xạ F từ tập X vào 2Y

được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y Ký hiệu : 2Y

F X  Nếu với mọi x X tập F x chỉ gồm đúng một  

phần tử của Y thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó thay cho ký

F y  x X yF x được gọi là ánh xạ ngược của F

Như vậy khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ ngược Nếu tập 1

( )

F y mở với mọiyY thì F được gọi là có nghịch ảnh mở

Tương tự như ánh xạ đơn trị ta có các phép toán về ánh xạ đa trị như sau:

Định nghĩa 1.3.5 Cho F F X1, 2: 2Y là các ánh xạ đa trị, ta có các phép tính như sau:

i) (F F )( )x  F x( )F x( )

bao lồi đóng của F được xác định lần lượt là:

(coF)( )x coF( )x và (co )( ) F x  co ( ) F x

1.4 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

Trong phần này ta trình bày tinh nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới và tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị

Cho X Y, là hai không gian vectơ tôpô lồi địa phương, ánh xạ đơn trị :

f X Y được gọi là liên tục tại x0 nếu với mọi tập mở V chứa f x tồn  0

tại tập mở U chứa x0 sao cho f U( )V

Định nghĩa 1.4.1 Ta nói F là nửa liên tục trên tại x domF nếu với mọi tập

mở V Y thỏa mãn F x( )V tồn tại lân cận mở U của x sao cho ( ) ,

F x V  x U

Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF , F thì được gọi

là nửa liên tục trên ở trong X

Định nghĩa 1.4.2 Ta nói F là nửa liên tục dưới tại xdomF nếu với mọi

tập mở V Y thỏa mãn F x( )  V tồn tại lân cận mở U của x sao cho

F x      V x V domF

Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi

là nửa liên tục dưới ở trong X

Định nghĩa 1.4.3 Ta nói F là liên tục tại x domF nếu F đồng thời là nửa

liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc

Định nghĩa 1.4.4 Cho X Y, là các không gian tôpô, : 2Y

Định nghĩa 1.4.7 Cho : 2Y

F D là ánh xạ đa trị;

i) Nếu F được gọi là Cliên tục trên (dưới) tại x domF nếu bất kỳ

lân cận V trong Y có một lân cận U của x sao cho:

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

F x  F x  V C F x F x  V C với mọi x U domF

ii) Nếu F vừa là Cliên tục trên và C liên tục dưới tại x ta nói rằng

F là Cliên tục tại x

iii) Nếu F là liên tục trên, dưới, , Cliên tục tại mọi điểm của omF

d , chúng ta nói rằng nó liên tục trên, dưới, ,C liên tục trên D

iv) Trong trường hợp C    0 , ta nói F là liên tục trên (liên tục dưới) thay vì nói 0-liên tục trên (0- liên tục dưới) F là liên tục nếu nó vừa liên tục

trên và liên tục dưới

1.5 Tính lồi của ánh xạ đa trị

Trong mục này ta trình bày định nghĩa tính lồi, tựa giống như lồi của ánh xạ đa trị Các khái niệm này mở rộng các khái niệm đã biết trong các trường hợp ánh xạ đơn trị và là các khái niệm cần thiết trong việc kiểm tra các Định lý tồn tại nghiệm ở các chương sau

Định nghĩa 1.5.1 Cho X Y, là không gian tôpô tuyến tính D X là tập lồi cho ánh xạ F D: 2Y , C là nón lồi trong Y F, được gọi là Clồi trên (hoặc

C lồi dưới) nếu:

( ) (1 ) ( ) ( (1 ) )

hoặc F( ) (1x  )( )y F x( ) (1 ) ( )F y C

với mọi xdomF và  0;1

Trong trường hợp F là đơn trị thì Clồi trên và Clồi dưới là trùng

nhau và ta gọi là Clồi

Định nghĩa 1.5.2 Cho ánh xạ đa trị :F D2 ,Y DX X Y, , là không gian

tôpô tuyến tính lồi địa phương với nón C

i) F được gọi là Cgiống như tựa lồi trên trên D nếu với bất kỳ

1.6 Điểm bất động của ánh xạ đa trị

Năm 1929, ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả rất quan trọng, ngày nay gọi là Bổ đề KKM bằng phương pháp tương đối sơ cấp mà từ đó suy ra được nguyên lý điểm bất động Browder Năm 1961, Ky Fan đã mở rộng Bổ đề KKM cổ điển trong không gian véctơ tôpô Hausdorff hữu hạn chiều với ánh xạ đa trị Năm 1968, Browder

đã chứng minh kết quả của Ky Fan theo một dạng khác Đó là định lý điểm bất động và ngày nay người ta thường gọi định lý đó là định lý điểm bất động Fan - Browder Từ đó đến nay có rất nhiều kết quả mở rộng của các Định lý Ky Fan, Fan - Browder, Bổ đề KKM và chúng được xem như là công cụ hữu hiệu để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các loại bài toán tối ưu Trong phần này, chúng tôi chỉ giới thiệu một số định lý điểm bất động phát biểu trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương sẽ sử dụng để chứng minh các định lý ở các chương sau Định lý sau là sự mở rộng của định lý điểm bất động của Ky Fan

Định lý 1.6.1 Cho X là một không gian véctơ tôpô, DXlà một tập con lồi, khác rỗng, compact Cho : 2X

F D là ánh xạ đa trị có giá trị lồi, nghịch ảnh mở và với mọi xD x, F x( ) Khi đó tồn tại điểm x D sao cho ( )

F x  .

Định lý 1.6.2 Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D X là một tập con lồi, khác rỗng Cho F D: 2K là ánh xạ đa trị compact nửa liên