Hàm số và các vấn đề liên quan

a/ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị hàm số khi m=2 b/ Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau... Với những giá trị nào củ

Trang 1

LƯU HÀNH NỘI BỘ Page 1

A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên tập D:y’=f’(x)

a) Tính đơn điệu của hàm số:

 Hàm số đồng biến trên D y’>0 với mọi x thuộc D

b) Cực đại và cực tiểu của hàm số:

 Hoành độ các cực trị của hàm số làm nghiệm của phương trình f’(x)=0

4 5

x y

x





Trang 2

l) 2 22 3 3

1

x x

y

x x



1

x x y

x

 



1

x x y

x

 





o) 2

4 5

x y



9

x y

x





 r) 2 24 5

1

x x y

x





s) 2 22 3 3

1

x x

y

x x



1

x x y

x

 



1

x x y

x

 





d) Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc 3 và hàm bậc 4 trùng phương:

………

e)Khảo sát sự biến thiên của hàm nhất biến: ………

………

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Trang 3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

4

2 53

Xét hàm số y=f(x) trên D, ta có: y’=f’(x)

Giải y’=0 rồi so sánh nhận những nghiệm thuộc D

Tính các giá trị, giới hạn (lim) cần thiết để so sánh và kết luận

- Khi đổi ẩn thì khoảng cần xét cũng thay đổi

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

Trang 4

Phương pháp giải: ' 2

ad bc y

cx d







 Hàm số đồng biến trên một khoảng bất kì ad-bc>0

 Hàm số nghịch biến trên một khoảng bất kì  ad-bc<0

b) Nghịch biến trên [0;3]

DẠNG 3: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ y=f(x) ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN

TRÊN [a;b]

Phương pháp giải:y’=f’(x,m) (m là tham số)

 Hàm số đồng biến trên [a;b]  y’>0 với mọi x thuộc[a;b]

 Hàm số nghịch biến trên [a;b]  y’<0 với mọi x thuộc[a;b]

Tới đây ta đưa về những dạng sau:

 Dạng 1: g(m)<h(x) với mọi x thuộc [a;b] 

 Lưu ý: trong trường hợp bài tập yêu cầu định m để hàm số đơn điệu

trên hai hay nhiều khoảng riêng biệt, ta nên xét trong từng khoảng rồi

hợp kết quả với nhay

Trang 5

Phương pháp giải:

Tính y’ rồi cho y’=0

Để hàm số có khoảng đồng hay nghịch biến thì:   a 00 (1)

Khi đó hàm số đồng (hay nghich) biến trên khoảng (x1;x2) với x1;x2 là

2 nghiệm của phương trình y’=0

Trang 6

(2 3)1: (2 3) (2 3) 0

a/Xác định m để (C m) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành

b/ Xác định m để (C m) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

c/ Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1x2 2

d/ Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x12x2 1

b) Đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm bậc 3:

Xét (C)y=f(x) =(cx+d)y’+ax+b ta có: y=ax+b là phương trình đường thẳng đi

qua hai cực trị của hàm số

a/ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị hàm số khi m=2

b/ Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau

Trang 7

Hàm bậc 4 trùng phương thường có một cực trị thuộc trục tung và 2 cực trị còn lại đối xứng nhau ua trục Oy Cách giải những bài toán này là phải liệt kê các điểm cực trị theo tham số rồi xử lý theo yêu cầu đề bài

Vd3: Cho hàm số yx42mx2 m 1 có đồ thị (Cm) Với những giá trị nào của m thì đồ thị

(Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Vd4: Cho hàm số yx42mx22m m 4 có đồ thị (Cm) Với những giá trị nào của m thì đồ thị

(Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4

d) Các bài toán liên quan đến tam giác và cực trị:

Ví dụ:

Vd1: Cho hàm số yx33x2m Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A,

B sao cho AOB1200

IV Bài toán về sự tương giao giữa hai đồ thị:

Bài 1:Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 (m là tham số) (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –1

2) Tìm m để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có tổng bình phương các hoành độ lớn hơn 15

Bài 3:Cho hàm số yx33x22 có đồ thị là (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Trang 8

2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại

ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2

Bài 4:Cho hàm số yx36x29x6 có đồ thị là (C)

2) Định m để đường thẳng ( ) :d y mx 2m4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 5:Cho hàm số y x 3– 3x21

2) Tìm m để đường thẳng (): y(2m1) – 4 –1x m cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt

Bài 6:Cho hàm số yx33m x2 2m có đồ thị (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2) Tìm m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt

Bài 7:Cho hàm số yx4mx2 m 1 có đồ thị là  C m

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m8

2) Định m để đồ thị  C m cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Bài 8:Cho hàm số 4   2

yx  m x  m có đồ thị là  C m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m0

2) Định m để đồ thị  C m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số

cộng

Bài 9:Cho hàm số y x

x

2 12





 có đồ thị là (C)

2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y  x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,

B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

Bài 10:Cho hàm số 3

1

x y x





 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I( 1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN

Bai 11:Cho hàm số 2 4

1

x y

x





 (C)

2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M,

N sao cho MN3 10

Bài 12:Cho hàm số 2 2

1

x y x





 (C)

2) Tìm m để đường thẳng (d): y2x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

5



Trang 9

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m1

2) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y x 2  cắt đồ thị hàm số (1) tại

hai điểm A và B sao cho AB 2 2

2 4

x y x

3 1

x y x

x x y

4 1

x x y

Trang 10

Câu 4 Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x 33x2mx2 ;m y  x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

b) y mx 33mx2 (1 2 )m x1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

c) y(x1)(x2mx m 23) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

d) y x 32x22x2m1; y2x2 x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

e) y x 32x2m x2 3 ;m y2x21 cắt nhau tại ba điểm phân biệt

Câu 5 Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x 42x21; y m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt

b) y x 4m m( 1)x2m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

c) y x 4(2m3)x2m23m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Câu 6 Tìm m để đồ thị của các hàm số:

Câu 7 Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) y x 33mx26mx8 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng

b) y x 33x29x1; y4x m cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC

c) y x 4(2m4)x2m2 cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng

d) y x 3(m1)x2(m1)x2m1 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

e) y3x3(2m2)x29mx192 cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

V Biện luận nghiệm của phương trình:

 Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x)

Trang 11

 Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m (1)

Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ

giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) d: y = m

 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành

 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm

của (C) và d Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m

2) Tìm m để phương trình x33x2 m33m2 cĩ ba nghiệm phân biệt

Bài 2:Cho hàm số yx45x24 cĩ đồ thị (C)

2) Tìm m để phương trình |x45x2 4 | log2m cĩ 6 nghiệm

Bài 3:Cho hàm số y f x( ) 8 x49x21

2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình:





1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1

1

x

m x

Trang 12

DẠNG 2: TỪ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (C):y=f(x) SUY RA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

(C’):y=f(|x|)

- Phần bên phải trục Oy của (C)

- Lấy đối xứng phần bên trái trục Oy qua trục Oy rồi gạch bỏ

VI Tiếp tuyến:

a) ĐIỀU KIỆN CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP XÚC NHAU:

Cho hàm số (C ): y=f(x) và (C’): y=g(x), ta có: (C) và (C’) tiếp xúc nhau

 ( ) ( ) (1)

'( ) '( )







Lưu ý:Nếu (C’) có dạng đường thẳng y=ax+b , thì lúc đó, (C’) được gọi là

tiếp tuyến của (C) và số nghiệm của phương trình (1) chính là số tiếp tuyến

kẻ được của (C) thỏa yêu cầu đề bài

b) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA (C): y=f(x) TẠI N(xo;yo)

Phương trình tiếp tuyến của (C): y=f(x) tại N(xo;yo) là

(d): y=f’(xo).(x-xo)+yo

Trong đó:

 f’(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến (d)

 n  f x'( );1o  là vector pháp tuyến của tiếp tuyến (d)

………

c) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA (C): Y=F(X) QUA(HAY XUẤT PHÁT TỪ) N(xo;yo)

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (d) cần tìm, ta có:

(d): y=k(x-xo)+yo

(d) là tiếp tuyến của (C) ( ) ( )

'( )

o

  



 



Giải phương trình tìm được k=> phương trình (d)

Các ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y=x3-3x2+2 đi qua giao điểm

của (C) với trục tung

d) CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC CỦA TIẾP TUYẾN (D) (CỦA HÀM SỐ

(C):y=f(xo) VỚI ĐƯỜNG THẲNG (D’):ax+by+c=0 BẤT KÌ:

Phương pháp giải:

Gọi M(xo;yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến (d) cần tìm:

 (d):y=f’(xo)(x-xo)+yo

Trang 13

 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM

  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f  (x) + yM (3)

 Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Trang 14

c) ( ) :C y  x3 3x2; d là trục hoành d) ( ) :C y x 312x12; d: y = –4

e) ( ) :C y x 4x22; d là trục tung e) ( ) :C y  x4 2x21; d là trục tung

Bài 6 Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):

 Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM

  tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

 Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f  (x) + yM (3)

 Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

 Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  f  (x1).f  (x2) = –1

Từ đó tìm được M

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai

phía với trục hoành thì

1 2

(3) 2( ) ( ) 0có nghiệm phân biệt

Trang 15

 ; d là trục hoành

Bài 4 Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành;

2( ) : ; (0; )

g) Các bài tốn về tiếp tuyến khác:

Bài 1: Cho hàm số yx33x21 cĩ đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2

Bài 2: Cho hàm số 2

2

x y x

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp

tuyến đĩ cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Bài 4: Cho hàm số y =

1

12



x

.Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến

này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB

Bài 5: Cho hàm số y x

x

2 32





 cĩ đồ thị (C).Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M

của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

Trang 16

x

2 32





 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các

đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm

M sao cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB cĩ diện tích nhỏ nhất

Bài 7: Cho hàm số

1

12

x

2 11





 .Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm

I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2

Bài 9: Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam

giác cĩ diện tích khơng đổi với (C):

a) y x

x

21





 b)

x y x

2 41







VII Các bài tốn về điểm đặc biệt:

DẠNG 1: ĐIỂM CỐ ĐỊNH MÀ HỌC CỦA (CM) LUƠN ĐI QUA:

 Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x 0 ; y 0 ) của điểm cố định

Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x 0 , y 0

Bài 1 Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có phương trình sau:

Trang 17

Bài 2 Chứng minh rằng họ đồ thị (Cm) có 3 điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó:

 Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

 Dạng 1: (1)  Am + B = 0 vô nghiệm m    B A 00 (2a)

 Dạng 2: (1)  Am2Bm C 0vô nghiệm m 

2

000

A B C A

Chú ý:  Kết quả là một tập hợp điểm

 Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua

Bài 1 Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

Bài 2 Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

a) (Cm): y mx 3m x2 24mx4m26; (L) là trục hoành

b) (Cm): y2x33(m3)x218mx6; (L): y x 214

2 2(1 ) 1 ( 0)

y mx  m x m m

Trang 18

c) (Cm): 2 2 2 1

1

x mx m m y

mx m m



   ; (L) là trục tung

d) (Cm): y (m 1)x2 m x2 1

x m



 ; (L): x = 2

e) (Cm): y m x2 2 1

x



 ; (L): y = 1

DẠNG 3: TÌM NHỮNG ĐIỂM TRÊN (C) CĨ TỌA ĐỘ NGUYÊN

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )

( )

P x y

Q x

 có toạ độ là những số nguyên:

 Phân tích ( )

( )

P x y

Q x

 thành dạng ( )

( )

a

y A x

Q x

  , với A(x) là đa thức, a là số nguyên

 Khi đó   y x  Q(x) là ước số của a Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để

Q(x) là ước số của a

 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận

Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

1

x

y

x





2

x y x





2

x y x







2

y

x

 



 e) 2 2

1

y x





1

y x

x

  



Bài 2 Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

a) y x  y22(x1)y4x b) y2x y24(x1)y6x

Dạng 3: Tìm Các Cặp Điểm Trên (C) Đối Xứng Nhau Qua (d) ax+by+c=0.

………

Trang 19

DẠNG 4: TÌM CẶP ĐIỂ M ĐỐI XỨNG NHAU QUA I(a;b)

Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),

có hệ số góc k có dạng: y k x a b (  )

 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

f(x) = k x a b(  ) (1)

 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

A, B khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1)

 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được k

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	1,18 MB