DE THI HSG TOAN 9

Tính các cạnh của hình thang ABCD.. ---.[r]

Phòng GD-ĐT Qui Nhơn THI CHỌN HỌC SINH GIỎI – VÒNG 2

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát

đề )

ĐỀ:

Bài 1: (4 điểm)

Chứng minh

y

60 12 15

là số nguyên, với x là số nguyên bất kỳ.

Bài 2 : (4 điểm)

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 7 và khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 luôn có

số dư là 1

Bài 3 : (5 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : y 3 x  5 x , với x R : 5 x 3     b) Rút gọn biểu thức:

B



  (với ab0)

Bài 4 : (7 điểm)

Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD, AB > CD) có AD  DB, AB = 2 (cm), chu vi bằng 5 (cm) Tính các cạnh của hình thang ABCD.

-ĐÁP ÁN:

Bài 1: (4 điểm) Biến đổi

x 5x 4x x(x 5x 4)

y

(1đ)

x(x 1)(x 4) x(x 1)(x 1)(x 2)(x 2)

(1đ)

Vì x(x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) là tích của 5 số nguyên

liên tiếp nên tích chia hết cho 3; 4; 5 (1đ)

Suy ra tích đó chia hết cho 60

(vì 3; 4; 5 là các số nguyên tố cùng nhau đôi một)

Bài 2: (4 điểm)

Gọi n là số tự nhiên cần tìm thì n = 7x và n – 1 = [2, 3, 4, 5, 6]y

BCNN[2, 3, 4, 5, 6] = 60 Khi đó:

n 7x

7x 60 1

n 1 60y







 

Thuật chia Euclid cho 60 và 7

60 = 7.8 + 4

7 = 4.1 + 3

Thương m = 8 +

1 17

1 1



 Thử trực tiếp ta thấy x = -17, y = -2 là nghiệm riêng của (1) nên (1) có nghiệm tổng quát là:

x 17 60t

t Z

y 2 7t

 







 

 Khi đó n = 7x = -119 + 420t, t  Z (1đ)

Với t = 1 thì n = 301 là số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 7

và chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6 có dư là 1 (1đ)

Bài 3: (5 điểm)

a) (3đ)

Tìm giá trị lớn nhất của y 3 x  5 x , với x R : 5 x 3   

Áp dụng bất đẳng thức Bunhicốpxki, ta có:

2

y  3 x  5 x 2(3 x 5 x) 16    (1đ)

y 4(y 0)

Dấu “=” xảy ra khi 3 – x = 5 + x x = -1 (1đ)

Vậy y 3 x  5 5 4  , với mọi x R : 5 x 3   

Do đó ymax = 4 khi x = -1 (1đ)

b) (2đ) Rút gọn biểu thức:

B



  (với ab0)

Ta có

 2 2   2 2 

Vậy B3a2 3 b2  3 ab ab 0   (0,5đ)

Bài 4: (7 điểm)

+) Hình vẽ đúng: (1đ)

+) Gọi O là trung điểm của AB

Tam giác ADB vuông tại D có DO là trung tuyến nên:

DO = OA = OB =

AB

Vì ABCD là hình thang cân nên O  trung trực của CD,

do đó OC = OD = 1(cm) (0,5đ)

+) Đặt AD = x (cm) thì BC = x, CD = 5 – (2 + 2x) = 3 – 2x (cm) (0,5đ)

+) Kẻ DH  AB, CK  AB (H, K  AB)

Ta có DCKH là hình chữ nhật,

nên HK = CD = 3 – 2x  OH = OK =

HK

2 =

3 2x 2



(0,5đ) Khi đó AH = OA – OH =

3 2x 2x 1 1

(0,5đ) +) Áp dụng định lý Pi – ta – go trong tam giác vuông ta có:

2

ADH : DH AH x

  (2) (1đ)

D

C

A

Từ (1), (2) suy ra:

2

4x 1 5 12x 4x



(0,5đ)  4x2 8x 4 0   4(x 1) 2  0 x 1(cm) (0,5đ) Vậy độ dài các cạnh của hình thang là:

AD = BC = 1 (cm), CD = 1 (cm), AB = 2 (cm) (0,5đ)