Đề thi và đáp án PPTD trong KG

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2, SA vuông góc với ABCvà SA = a.. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC.. Viết phương trình mặt cầu S có đường kí

24 bµi tËp h×nh häc (dµnh cho c¸c líp luyƯn thi §¹i häc)

1 Tìm điểm M thuộc (∆) để thể tích tứ diện MABC bằng 3

2 Tìm điểm N thuộc (∆) để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất

Cho tứ diện OABC có đáy là ∆OBC vuông tại O, OB = a, OC = a 3, (a 0)> và đường cao

OA a 3= Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM

Câu 7:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x – y + z – 5 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) quagiao tuyến của (α) và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tíchbằng

y1

1

x− = = + và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z = 0.

Câu 10:

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2, SA vuông góc với (ABC)và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC Tính góc và khoảng cách giữa haiđường thẳng SE và AF.

ty

t2x

=

−

+

012z3y4x4

03yx

Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông gócchung của (d1) và (d2)

Câu 15:

Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0,

(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng:

(d1):

4

2

z3

1

y2

3x:)d(

;3

1

z4

3

y2

=

−

−

=+

Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2)

t4y

tx

6't3y

'tx

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của đườngthẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1)

Câu 18:

1 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB)vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.

1 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (∆3) đối xứng với (∆2) qua (∆1)

2 Xét mặt phẳng (α) : x + y + z + 3 = 0 Viết phương trình hình chiếu của (∆2) theo phương (∆1) lên mặtphẳng (α)

3 Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) để MM MMuuuur1+uuuur2 đạt giá trị nhỏ nhất biết M1(3; 1; 1) và M2(7; 3; 9)

Câu 20:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC 120· = o, cạnhbên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh ∆AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)

Câu 21

Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a Dựng dường cao SH

a Chứng minh SA ⊥ BC Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC

b Gọi O là trung điểm của SH Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau

Câu 22

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x + 3y + 6z – 18 = 0 cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C.Tìm điểm M(x, y, z) với x > 0, y > 0, z > 0 cách đều bốn mặt của tứ diện OABC Suy ra phương trìnhmặt cầu nội tiếp tứ diện

Trong không gian Oxyz cho A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; -2)

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A, B, C

1 Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) đi qua O, A, B, C sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P):2x + 2y – z + 5 = 0 lớn nhất

2.Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) đi qua O, A, B, C sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): 2x+ 2y – z + 5 = 0 lớn nhất

° (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

° Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

⇒ ∆ABC, ∆A/B/C/ là các tam giác đều cạnh a

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

a z

y

° [AB; AC] ( 3; 6; 6)uuur uuur = − − = −3(1; 2; 2)− = −3.nr, với n (1; 2; 2)r = −

° Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ nr: (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.

° SABC 1[AB; AC] 1 ( 3)2 ( 6)2 62 9.

⇒ là góc phẳng nhị diện (B, SA, C)

° ∆SOA vuông có: SA2 SO2 OA2 h2 a2 3h2 a2 SA 3h2 a2

M C

° ∆SAB= ∆SAC (c.c.c) ⇒ IB IC= ⇒ ∆IBC cân tại I.

° (SAB) (SAC)⊥ ⇔ ∆IBC vuông cân tại I IM 1BC

° Gọi H là tâm của ∆ABC

và M là trung điểm của BC

° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc A(0; 0; 0),

° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA; SBuuur uur nên có pháp vectơ nr1.

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA; SCuuur uuur nên có pháp vectơ nr2.

° (SAB) (SAC)⊥ ⇔cos(n ; n ) 0r r1 2 =

A z

H B

Mặt cầu (S): (x 2)− 2+ −(y 3)2 +z2 =13 m− có tâm

I(-2; 3; 0), bán kính R IN= = 13 m− , với m < 13

và đi qua điểm A(0; 1; -1)

° AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6)uur= − uur r = −

° Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d): 2 2 2

° Ta có: IH = h

° Vậy, giá trị cần tìm: m = -12

Câu 6:

Cách 1:

° Gọi N là điểm đối xứng của C qua O

° Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)

OH AK; OH BN⊥ ⊥ ⇒ OH (ABN)⊥ ⇒ d(O; (ABN) OH=

° Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

° Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz

đôi một vuông góc O(0; 0; 0),

là trung điểm của AC

° MN là đường trung bình của ∆ABC

⇒ AB // MN

⇒ AB // (OMN) ⇒ d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN))

z A

a 3

a 3 y C

N O

M a

x B

Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0

° Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định bởi (α) và (xOy) có dạng:

(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 2)(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 4)

° Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G

trên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông

a

AG AE 2 AE AF

3

° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA, SBuuur uur nên có pháp vectơ nr1

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SCuuur uuur nên có pháp vectơ nr2

° Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o

2 o

z x

x

y C

B

A E

F G M

° Theo giả thiết: d(A; α) = d(A; ∆)

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF

° Áp dụng định lý hàm Côsin vào ∆SEM có:

° Vì AF // ME ⇒d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH.= =

° ∆SAK vuông có: 1 2 12 1 2 12 22 32 AH a 3

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

M F y

C

C S

F M B E K

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có:

° Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x z a 0.r + − =

° Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM) 0 0 a a 2

° Vì AF // EM ⇒ AF //(SEM)⇒d(SE; AF) d(A; SEM)=

° Vậy, d(SE; AF) a 3.

(S) : (x 1)− + +(y 1) + −(x 1) =9 có tâm I(1; -1; 1) và bán kính R = 3

(P) tiếp xúc (S) ⇔ d[I, (P)] R=

2 2

° Vậy, (P) tiếp xúc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi đó (P): 2x + 2y + z – 10 = 0

° Đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình:

° Ta có: SA (ABC)⊥ ⇒ SA AC.⊥

Do đó ∆SAC vuông tại A có AM là

trung tuyến nên MA 1SC.

2

=

° Ta lại có: SA (ABC)

AB BC ( ABC vuông tại B)

B K A

Do đó ∆SBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên MB 1SC.

2

=

° Suy ra: MA = MB ⇒ ∆MAB cân tại M

° Dựng MH // SA và HK // BC (H AC; K AB)∈ ∈

° ∆MHK vuông tại H có: MK2 =MH2 +HK2 =a2+a2 =2a2 ⇒ MK a 2=

° Diện tích ∆MAB: SMAB 1.MK.AB 1.a 2.a a 22

5

° Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc và

2a aA(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0

° Gọi H là trung điểm của BC

° Do S.ABC đều và ∆ABC đều nên

chân đường cao đỉnh S trùng với

giao điểm ba đường cao là trực tâm O

của ∆ABC và có ∆SBC cân tại S

z S 2a

M

a 5 H

B

A K

ϕ

suy ra: BC SH, BC AH,⊥ ⊥ nên ·SHA= ϕ.

° Vì S.ABC là hình chóp đều

nên chân đường cao đỉnh S trùng

với tâm O đường tròn (ABC)

° Gọi M là trung điểm của BC Ta có:

A

z

S

(d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương ur1 =(2; 1; 0)

(d2) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương ur2 =(3; 3; 0)−

° AB (3; 0; 4)uuur= −

° AB.[u ; u ] 36 0uuur r r1 2 = ≠ ⇒ AB, u , uuuur r r1 2 không đồng phẳng

° Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau

° (d2) có phương trình tham số:

/ /

° Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính R 1MN 2.

2

° Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x 2)− 2 + −(y 1)2+ −(z 2)2 =4

Câu 15:

(P) có pháp vectơ nrP =(3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n ,− = − = r/P với nr/P =(1; 4; 1)−

° (Q) có pháp vectơ nrQ =(3; 4; 9)−

° (d1) có vectơ chỉ phương ur1=(2; 4; 3)−

° (d2) có vectơ chỉ phương ur2 = −( 2; 3; 4)

° Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung

đường cao vẽ từ đỉnh B/ và SA MCN / =2.SA NC /

/

3 2 / B A MCN

° Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz

đôi một vuông góc,

B M

(d1) có vectơ chỉ phương ur1 =(1; 1; 2)

(d2) có vectơ chỉ phương ur2 =(1; 3; 1)

117

° Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB)⊥ ∩ = ⊂ ⇒SH (ABC)⊥

° Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc α và ∆ABC đều, nên suy ra H là trung điểm

B

N

ϕ

° Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz

đôi một vuông góc, H(0; 0; 0),

° Gọi H là hình chiếu của A trên (∆1)

° Gọi A/ là điểm đối xứng của A qua H ⇒ A/(-1; -1; -7)

° Gọi K là hình chiếu của B trên (∆1) và B/ là điểm đối xứng của B qua K Tương tự như trên ta tìm được:

x

H

a 2

a 3 2 y

H

° Vậy, phương trình chính tắc (∆3): x 1 y 1 z 7

11 74 13

2 Mặt phẳng (β) chứa (∆2) và (β) // (∆ 1)

⇒ (β) có cặp vectơ chỉ phương ur1 = −( 7; 2; 3), ur2 =(1, 2, 1)−

⇒ [u ; u ] ( 8; 4; 16)r r1 2 = − − − = −4(2; 1; 4)= −4n ,rβ với nrβ =(2; 1; 4)

° Phương trình mp (β) qua A(7; 3; 9) ∈ ∆( )2 với pháp tuyến nrβ: ( ) : 2x y 4z 53 0β + + − =

° Ta có: ( ) ( ) ( )α ∩ β = ∆/2 là hình chiếu của (∆2) lên (α) theo phương (∆1)

° Vậy, phương trình hình chiếu /2

x y z 3 0( ) :

2x y 4z 53 0

+ + + =



3 Gọi I là trung điểm M M1 2 ⇒ I(5; 2; 5)

° Ta có: MM MMuuuur1+uuuur2 = 2MIuuur

MM MM

⇒ uuuur +uuuur nhỏ nhất ⇔ 2MIuuur nhỏ nhất

⇔ M là hình chiếu của I trên (α)

° Phương trình đường thẳng (∆) qua I

và vuông góc với (α) là:

° Gọi H là trung điểm BC⇒ AH BC.⊥

° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a ⇒ AH a

(AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a)

° Vậy, ∆AB/I vuông tại A

° Ta có: /

2 /

Cách 2:

° Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH BC⊥

° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a

aAH

2

2

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

⇒ uuur ⊥uur Vậy, ∆AB/I vuông tại A

* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ nr1 =(0; 0; 1)

* mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương AB , AIuuur uur/ , nên có pháp vectơ:

⇒ SH là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC đều

⇒ H là trực tâm ∆ABC⇒ AH BC⊥

và: SH BC (SH (ABC))⊥ ⊥

Suy ra: BC (SAH)⊥ ⇒ BC SA.⊥

° ∆SAH vuông có:

B

C A

H

I

y z

b/ O là trung điểm SH SO OH a 6, OA OB OC.

° Chứng minh tương tự ta cũng có các tam giác OBC, OCA vuông tại O

° Vậy, OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau

° Gọi SH là đường cao của tứ diện đều,

nên SH là trục đường tròn (ABC)

⇒ H là tâm đường tròn (ABC)

° Ta có: OA.OB 0.a a 3 a 3 a 6 a 6 a. . 2 a2 0 OA OB.

uuur uuur

Chứng minh tương tự ta cũng có: OB OC, OC OA.⊥ ⊥

° Vậy, OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau

A

C

H O

B x

° Vì M cách đều 3 mặt phẳng tọa độ và (α), nên x = y = z (do x, y, z > 0) và:

981

Suy ra: M1 nằm trong, còn M2 nằm ngoài tứ diện OABC

⇒ M1 là tâm của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC

° Vậy, mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có tâm M1(1; 1; 1), bán kính R = 1, có phương trình :

Do đó: d(AD; (SBC)) d(A; (SBC) AF= =

° Từ các tam giác vuông AEB và SAE, ta có:

A

D

z S

a 6

x A B

° Vì: AD// BC⇒ AD//(SBC)⇒d(AD; (SBC)) d(SBC))=

2 Mặt cầu (S): (x 1)− 2 + −(y 2)2+ +(x 1)2 =6 có tâm I(1; 2; -1), bán kính R= 6

° Phương trình đường thẳng (∆) qua tâm I và vuông góc với mặt phẳng (P):

x 1 2t( ) : y 2 2t