§4. Tìm tâm sai của elips trong các trường hớp sau: a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục bé dưới một góc vuông b) Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng tiêu cự... Tìm tọa độ các điểm A, B t[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Cho ux y1; 1
, vx y2; 2
và một số thực k Khi đó:
u v x1x y2; 1y2
, u v x1 x y2; 1 y2
, k u.k x k x ; 1 2
, độ dài véc tơ
u x y
Tích vô hướng của hai véc tơ: u v u v c os , u v
(Định nghĩa), u v x x 1 2y y1 2(BT tọa độ)
Công thức tính góc giữa hai véc tơ:
cos ,
u v
u v
2 Cho A x y A; A, B x y B; B, C x y C; C thì:
Tọa độ của ABx B x y A; B y A
, Độ dài đoạn thẳng ABAB x B x A2y B y A2
Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
;
A B A B
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
;
a B C A B C
3 Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng Ax + By + C = 0
Véc tơ u 0
có giá vuông góc với đường thẳng Δ được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng Δ
Đường thẳng Δ đi qua A x y A; A
và nhận véc tơ u a b ;
làm véc tơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: a x x Ab y y A 0
Đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 có véc tơ pháp tuyến là uA B;
Nếu A(a;0), B(0;b) thì đường thẳng AB: 1
a b được gọi là PTĐT theo đoạn chắn
Đường thẳng Δ đi qua A x y A; A và có hệ số góc k có phương trình là y k x x Ay A
4 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Véc tơ v 0
có giá song song hoặc trùng với đường thẳng Δ được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng Δ
Đường thẳng Δ đi qua điểm A x y 0; 0 và nhận véc tơ v a b ; làm véc tơ chỉ phương có phương trình
tham số là
0
0
(t là tham số)
Nếu a, b đồng thời khác 0 thì đường thẳng Δ đi quaA x y 0; 0
và nhận véc tơ v a b ;
làm véc tơ chỉ
phương có phương trình
được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng Δ
Nếu uA B;
là VTPT của đường thẳng Δ thì vB A;
là VTCP của đường thẳng Δ uv
5 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng Δ1: A x B y C1 1 10 và Δ2: A2x A x B y C2 2 2 0 Khi đó:
Δ1 cắt Δ2 khi và chỉ khi
Trang 2 Δ1 song song Δ2 khi và chỉ khi
Δ1 trùng với Δ2 khi và chỉ khi
Nếu Δ1 cắt Δ2 và tạo với nhau một góc thì
1 2 1 2
c
6 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, phương trình đường phân giác
Khoảng cách từ điểm M x y 0; 0
đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 là
Ax
d M
Cho hai đường thẳng Δ1: A x B y C1 1 1 0 và Δ2: A2x A x B y C2 2 2 0 cắt nhau Khi đó đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó có phương trình là:
Chú ý: (Dùng để phân biệt đường phân giác trong và phân giác ngoài của một tam giác)Hai điểm
A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng Δ khi ta thay tọa độ của hai điểm này vào vế trái của phương trình đường thẳng Δ cho ta cùng một dấu Ngược lại nếu trái dấu thì hai điểm đó khác phía đối với đường thẳng Δ
7 Phương trình đường tròn
Đường tròn tâm I(a;b) bán kính R có phương trình là: x a 2y b 2 R2
Phương trình x2y2 2ax 2by c 0 là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính
R a b c
8 Phương trình đường elip
Phương trình chính tắc của elip:
a b Trong đó: c2 a2 b2, a, b, c > 0
F1c;0 , F c2 ;0
được gọi là các tiêu điểm
Độ dài F F1 2 = 2c được gọi là tiêu cự
Các đỉnh: A1a;0 , A a2 ;0 , B10;b B, 20;b
Độ dài trục lớn: A A1 22a, độ dài trục bé: B B1 2 2b
B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Giáo viên tự bịa cho học sinh làm và tư duy kiến thức
C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
(Có hướng dẫn làm bài tại lớp)
§1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;2) Lập phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng 9x - 3y - 4 = 0 và
x + y - 2 = 0 lần lượt là phương trình các đường cao kẻ từ B và C của tam giác
ĐS AC: x + 3y - 8 = 0, AB: x - y = 0, BC: 7x + 5y - 8 = 0
2 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1), đường cao qua đỉnh B và đường trung tuyến qua đỉnh C lần lượt có phương trình x - 3y - 7 = 0; x + y + 1 = 0 Xác định tọa độ đỉnh B và C của tam giác
ĐS: B(-2;-3), C(4;-5)
Trang 33 Cho tam giác ABC có đỉnh A(1;3), hai đường trung tuyến có phương trình là x - 2y + 1 = 0, y - 1 = 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác này
ĐS: x - y + 2 = 0, x - 4y - 1 = 0, x + 2y - 7 = 0
4 Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC, biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB tương ứng là M(-1;-1), N(1;9), P(9;1)
ĐS: x - y = 0, x + 5y - 14 = 0, 5x + y - 14 = 0
5 Lập phương trình đường thẳng d qua A(3;0) và cắt hai đường thẳng
d1: 2x - y - 2 = 0 và d2: x + y + 3 = 0 tương ứng tại I, J sao cho A là trung điểm của IJ ĐS: 8x - y - 24 = 0
6 Cho điểm A(8;6) Lập phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 12
7 Cho tam giác ABC Điểm M(2;0) là trung điểm của AB Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7x - 2y - 3 = 0 và 6x - y - 4 = 0 Viết phương trình cạnh AC
ĐS: 3x - 4y + 5 = 0
8 Cho hình chữ nhật ABCD có I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng
AB Trung điểm E của cạnh CD nằm trên đường thẳng
x + y - 5 = 0 Viết phương trình cạnh AB
ĐS: x - 4y + 19 = 0
9 Cho tam giác ABC, biết A(1;2) Đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình tương ứng là 2x + y + 1 = 0; x + y - 1 = 0 Viết phương trình cạnh BC
ĐS: 4x + 3y + 4 = 0
10 Cho tam giác ABC, biết hình chiếu vuông góc của C trên AB là H(-1;-1), đường phân giác góc A có phương trình x - y + 2 = 0, đường cao kẻ từ B có phương trình
4x + 3y - 1 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
ĐS:
10 3
;
3 4
C
§2 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
1 Cho tam giác ABC biết 7;3 , 1; 2 , 4;3
3
Viết phương trình đường phân giác trong góc A
ĐS: 3x - 9y + 10 = 0
2 Cho điểm P(-2;3) Lập phương trình đường thẳng qua P và cách đều hai điểm A(5;-1), B(3;7)
ĐS: y = 3 và 4x + y + 5 = 0
3 Cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2 và hai điểm A(2;-3), B(3;-2) Trọng tâm G nằm trên đường thẳng 3x - y - 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác
ĐS: C(-2;-10) và C(1;-1)
4 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d1: 2x - y + 5 = 0; d2: 3x + 6y - 1 = 0 và điểm P(2;-1) Lập phương trình đường thẳng Δ đi qua P sao cho Δ cùng với d1, d2 tạo thành tam giác cân đỉnh A, ở đây A là giao điểm của d1 và d2
ĐS: x - 3y - 5 = 0 và 3x + y - 5 = 0
5 Trong mặt phẳng cho bốn điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4), D(3;5) Giả dử d là đường thẳng có phương trình 3x - y - 5 = 0 Tìm điểm M trên d sao cho diện tích hai tam giác MAB và MCD bằng nhau
ĐS:
7
; 2 3
M
Trang 4BÀI TẬP TỰ GIẢI
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x - y = 0 và điểm M(2;1) Viết phương trình đường thẳng Δ cắt trục hoành tại A, cắt đường thẳng (d) tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M.
2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 và A(1;0), B(0;2), trung điểm I của cạnh AC thuộc đường thẳng có phương trình x - y = 0 Tìm tọa độ đỉnh C.
3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB là x - 2y + 1 = 0, đường chéo BD là x - 7y + 14 = 0, điểm M(2;1) nằm trên đường chéo AC Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó.
4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;2), trung tuyến BM và phân giác trong CD lần lượt có phương trình 2x + y + 1 = 0, x + y - 1 = 0 Viết phương trình cạnh BC?
5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích bằng 5,5 và trọng tâm
G thuộc đường thẳng 3x + y - 4 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C
6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết AB: x - y - 2 = 0, AC: x + 2y - 5 = 0, trọng tâm G(3;2) Viết phương trình cạnh BC.
điểm A và B đối xứng nhau qua điểm
5 2;
2
I
8 (ĐHKB-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, đỉnh C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình x + y - 5 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC bằng
24 và đỉnh A có hoành độ dương.
9.(ĐHKA-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6); Đường thẳng
đi qua trung điểm hai cạnh AB và AC có phương trình x + y - 4 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết điểm E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
10 (ĐHKD-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2;0) Tìm tọa độ đỉnh C biết nó có hoành độ dương.
11 (ĐHKD-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(0;2) và đường thẳng Δ đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ Viết phương trình đường thẳng Δ biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH
: 2 2 0
kiện OM.ON = 8.
13 (ĐHKB-2011)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có
1
;1 2
B
tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Cho D(3;1) và đường thẳng EF có phương trình
y - 3 = 0 Tìm tọa độ đỉnh A biết điểm A có tung độ dương.
14 (ĐHKD-2011)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết B(-4;1), trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong góc A có phương trình x - y - 1 = 0 Tìm tọa độ đỉnh A và C.
§3 ĐƯỜNG TRÒN.
1 Cho tam giác ABC với ba đỉnh A(0;2), B(-2;-2), C(4;-2) Gọi H là chân đường cao kể từ B xuống cạnh AC; còn M, N tương ứng là các trung điểm của AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm
H, M, N ĐS: x2 + y2 - x + y - 2 = 0
Trang 52 Lập phương trình đường tròn đi qua A(4;2) và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình
x - 3 y - 2 = 0, x - 3y + 18 = 0 ĐS: x12y 32 10
và
10
3 Trong mặt phẳng cho hai điểm A(2;0) và B(6;4) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm đường tròn đến B bằng 5 ĐS: x 22y 72 49;x 22y12 1
4 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: x - y + 1 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y = 0 Tìm
M trên đường thẳng d sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho
600
AMB ĐS: M(-3;-2) và M(3;4)
5 Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn(C): x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x - y + 3 = 0 Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính của (C) và tiếp xúc ngoài với (C) ĐS: M(1;4) và M(-2;1)
và điểm M(1;-1) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho MA = 3MB
7 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho 2 đường tròn (C) và (C') lần lượt có phương trình
(C), (C') lần lượt tại A, B sao cho MA = 2MB
8 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao BH, trung tuyến CM lần lượt
có phương trình x + y + 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
IAB bằng 12.
11 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-1;0), B(1;2) và đường thẳng d: x - y - 1 = 0 Viết phương trình đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d.
12 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;3), trọng tâm G(2;0), hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng có phương trình x + y + 5 = 0, x + 2y - 7 = 0 Viết phương trình đường tròn tâm C
và tiếp xúc với đường thẳng BG.
13 (ĐHKA-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y 0 và
vuông tại B Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng
3
13.(ĐHKA-2011)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ có phương trình x + y + 2 = 0 và đường
MA và MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
vuông cân tại A.
§4 ĐƯỜNG ELIP
1 Cho elip (E) có tâm sai
5 3
e
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20 Viết phương trình chính tắc của (E)
2 Tìm tâm sai của elips trong các trường hớp sau:
a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục bé dưới một góc vuông
b) Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng tiêu cự
Trang 63 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E):
1
9 4
và hai điểm A(3;-2), B(-3;2) Tìm trên (E) điểm C có hoàng độ và tung độ đều dương và diện tích tam giác ABC là lớn nhất
4.(ĐHKB-2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A2; 3
và elip (E) :
1
3 2
; Gọi F 1 và
5.(ĐHKA-2011)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trình:
1
4 1
Tìm tọa độ các điểm A, B trên (E) có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O có diện tích lớn nhất