Thí sinh không được sử dụng tài liêu, giám thị coi thi không giải thích gì thêm.[r]
Trang 1Sở GD&ĐT Thanh Hoá Đề kiểm tra học kì II - năm học 2011-2012
Thời gian :90’
I PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 điểm)
Câu 1(3.0 điểm) : Cho hàm số y x 3 3x24 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2 Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(-1; 0), B C, sao cho diện tích tam giác OBC bằng 1
Câu 2 (3.0 điểm)
1 Giải phương trình log (23 x 1) 5log ( 3 x 1) 6 0
2.Tính tích phân sau: I= 1
3
e
x
3.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, mặt bên SAB tam giác đều cạnh a 2 nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Câu 3(1.0 điểm): Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng :
PHẦN RIÊNG (3.0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu IVa( 2.0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 1;3), B(-3; 0; 1) và mặt phẳng ( ) :P x 2y2z - 5 0
1.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với (P)
2.Trong các đường thẳng qua B và song song với (p) hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ A đến đường thẳng đó là nhỏ nhất
Câu Va.( 1.0 điểm): Hãy xác định phần thưc, phần ảo của số phức Z =
1
i
B Theo chương trình nâng cao:
Câu IVb( 2.0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I( 5; 0 ; 1) bán kính R = 4 và
đường thẳng ():
1.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (p):2x –y +z -1 = 0 2.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa ( ) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất
Câu Vb( 1.0 điểm): Tìm số phức z thỏa mãn 2 z 3 z i = 4-11i
Trang 2-
Hết-Thí sinh không được sử dụng tài liêu, giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Đáp án đề thi học kì 2 lớp 12 năm học 2011-2012
Môn: Toán
1
1
2.Chiều biến thiên
+)Đạo hàm y 3x2 6x,
' 0 3x 6x 0
2
x y
x
+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ;0) và (2;), nghịch biến trên khoảng (0; 2)
0,25
+) Hàm số đạt cực đại tại 0 và ycđ = 4, hàm số đạt cực tiểu tại 2, y ct 0 0,25 +) Bảng biến thiên
x 0 2
y' + 0 - 0 +
y
4
0
0,25
+) xlim y
, xlim y
3 Đồ thị y’‘ = 6x – 6 suy ra điểm uốn U(1; 2)
f(x)=x^3-3x^2+4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
- NX: Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
0,5
1,0
- Ta có: : d y mx m do đó phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là
Nghiệm của pt:
3 2
2
2
3 4
1
x
Trang 3- (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
0 9
m m
- Khi đó: (d) cắt (C) tại A1;0 , B2 m m m m C;3 , 2 m m m m;3
Ta có: 2 1 2, , , 2
1
m
BC m m d O BC d O d
m
Suy ra:
2
1
2 1
OBC
m
m
0,25
0,25
2
Điều kiện x1 0 x1
0,25
Đặt tlog (3 x1), ta được phương trình:
5 6 0
3
t
t t
t
3
2 log ( 1) 2 9
t x x
3
3 log ( 1) 3 28
t x x Vậy phương trình có 2 nghiệm: x= 9; x = 28 0,5
I= 1
3
e
x
= 1
2 ln
e
x xdx
- 1
3 ln
e
xdx x
0,25
I
1= 1
2 ln
e
x xdx
1 x
ln x 2xdx
du d u
x dv
v x
1
1
ln x x
e
e
I x xd e
0,25
2 1
3 ln
e
x
Đặt t = lnx
1
0
3
t
0,25
Vậy
1 2
2 1
I I I
0,25
3
Gọi M là trung điểm của AB
SAB là tam giác đều nên SM ABvà
6 2
a
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
SAB ABC
SM ABC SAB AB SM
ABC vuông cân tại C và có AB a 2 nên suy ra ACBC a 0,25
Trang 43
a
V SM AC CB
(ĐVTT)
A
C
B M
Lưu ý: Vẽ sai hình không chấm điểm
Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
2 2 2
0
0
0
Dấu “=” xảy ra khi a = b= c
0,25
1,0
0,5
0,5
Do d( )P nên ud n( )P (1; 2;2) 0.5
Vậy PTTS của (d) là
1
1 2
3 2
, t
0,5
Gọi () là đường thẳng cần tìm thì () phải nằm trong mặt phẳng (Q) đi qua B và song song với (p)
Ptmp(Q): x-2y+2z +1 = 0
0,25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (Q) Ta có : d( ; )A AH
nên dA,
nhỏ nhất bằng AH khi () đi qua H hay () chính là đường thẳng BH
0,25
H = AH(Q)
pt đường thẳng ():
3 26 11
1 2
0,5
4 3
i
Trang 5Va Phần thực : 4 Phần ảo :3 0,5
(d) vuông góc với (P) nên (d) nhận u (2; 1;1)
làm véc tơ chỉ phương 0,5
Vậy PTTS của (d) là
5 2 1
y t
0,5
2
(Q) cắt (S) theo một đường tròn có chu bán kính nhỏ nhất khi :dI Q,( ) R
và
I Q,( )
d
là lớn nhất Mặt khác (Q) chứa () nên gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên () thì dI Q,( ) IH d( ;( ))I Q
lớn nhất bằng IH khi (Q) là mặt phẳng qua H nhận IH
làm VTPT
0,5
H ( ) H(1 2 ; 1 3 ;4 2 ) t t t ; IH
u
= 0 H(3;2;2) ; IH
=(-2; 2; 1) 0,25
Phương trình mp(Q) : -2( x-3) +2(y-2) +1(Z-2) = 0 -2x +2y +z = 0 0,25
Gọi Z = x + yi ( x, y ), ta có z = x-yi
2 z 3 z i = 4-11i 2( x yi ) 3 ( i x yi ) 4 11 i
Vậy số phức cần tìm là Z = 5 +2i
0,5
Chú ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa