c Viết phương trình mặt cầu S tâm M và tiếp xúc với trục Oz.Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu S.. Tính giá trị nhỏ nhất đó..[r]
Trang 1ĐỀ THI KIỂM TRA HỌC KỲ II – MÔN TOÁN – KHỐI 12 – NĂM HỌC 2011&2012
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề)
I – PHẦN CHUNG ( 7điểm)
Bài 1 : ( 3 điểm)
Cho hàm số y = x3 +3x2 – 4 , có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
c) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) : y = x – 1
Bài 2 : ( 1 điểm)
Giải các phương trình sau : a) 2 3 5x 1 x x 2 72 ; b) 8log x 7log x 3 024 2
Bài 3 : ( 1 điểm)
a) Giải phương trình : 8z2 – 4z + 5 = 0 trên tập số phức
b) Tìm phần thực , phần ảo của số phức z biết
(2 i).(5 3i) iz
i
Bài 4 : ( 2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(2;1;4) và đường thẳng (d) :
x 1 t
z 1 2t
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa đường thẳng (d)
b) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d)
c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc với trục Oz.Tìm giao điểm của đường thẳng (d) và mặt cầu (S)
II – PHẦN RIÊNG ( 3điểm)
A- Dành cho các lớp công lập
Bài 5A : ( 3 điểm)
1) Tính các tích phân sau : a)
e
3 1
ln x
x(1 ln x)
; b) 0
x cos x
1 sin x
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A(5;4;3) ; B(6;7;2) và đường thẳng(d) :
Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng (d) sao cho ABC có diện tích nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
B- Dành cho các lớp phổ cập
Bài 5B : ( 3 điểm)
1) Tính các tích phân sau : a)
e 2 1
ln x
x
; b)
2 1
3 0
x
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(–4; –2;4) và đường thẳng (d) :
Viết phương trình đường thẳng () qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng (d)
HẾT
Trang 2-ĐÁP ÁN
Bài 1
(3 điểm)
a) Hàm số y = x3 + 3x2 – 4
MXĐ: D
y’ = 3x2 + 6x ; y’ = 0
x y
x y ; xlim y
y’’ = 6x + 6 ; y’’ = 0 x = –1 y = – 2 Đồ thị có điểm uốn I(–1 ; –2) Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; -2), (0 ; +) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2 ; 0)
Hàm số đạt cực đại tại xCĐ = -2 và yCĐ = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại xCT = 0 và yCT = -4
Đồ thị:
0,25 đ 0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,5 đ
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là : x3 + 3x2 – 4 = 0
1 2
x x
Diện tích hình phẳng (H) cần tìm là :
S =
1
0,25đ
0,25đ 0,25đ c) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là : x3 + 3x2 – 4 = x – 1
x3 + 3x2 – x – 3 = 0
x y
Vậy có ba giao điểm là : A(1;0) ; B(–1; –2) ; C(–3; –4)
0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 2
(1 điểm) a)
x 1 x x 2
2 3 5 72
30x = 900 x = 2 b) 8log x 7log x 3 024 2
0,5đ 0,5đ
x -2 0 y' + 0 – 0 +
0
y -4
Trang 3
2 2
2
2
Bài 3
(1 điểm)
a) 8z2 – 4z + 5 = 0 Ta có ’ = –36 < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức phân
biệt là :
b)
(2 i).(5 3i) iz
i
Vậy phần thực của số phức z là – 13 và phần ảo của số phức z là 1
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Bài 4
(2 điểm)
a) Đường thẳng (d) qua N(1;2;1) và có vectơ chỉ phương a (1;1;2)
Ta có ( 1;1;3)
MN
Mặt phẳng () qua M và chứa (d) nên có pháp véc tơ ; (5; 1; 2)
n MN a
Phương trình mặt phẳng (): 5x – y – 2z – 1 = 0
0,25đ 0,25đ 0,25đ b) Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d)
Ta có H (d) H( 1+ t ; 2 + t ; 1 + 2t) MH (t 1; t 1;2t 3)
MHa MH.a 0
t – 1 + t + 1 + 4t – 6 = 0 t = 1 H(2 ;3 ;3) M’ đối xứng M qua (d) H là trung điểm MM’ Vậy M’(2 ;5 ;2)
c) Phương trình mặt cầu (S) tâm M và tiếp xúc trục Oz là :
(x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 4)2 = 22 + 12 = 5
Giao điểm của (d) và (S) ứng với t là nghiệm của phương trình :
(t – 1)2 + (t + 1)2 + (2t – 3)2 = 5 6t2 – 12t + 6 = 0 t = 1
Vậy giao điểm của (d) và (S) là H(2 ;3 ;3)
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
Bài 5A
(3 điểm)
1) a)
e
3 1
ln x
x(1 ln x)
Đặt t = 1 + lnx dt =
1
xdx Đổi cận : x = 1 t = 1 ; x = e t = 2
Khi đó
e
3 1
ln x
x(1 ln x)
=
2
b) 0
x cos x
1 sin x
1 sin x 1 sin x
= A + B
cos x d(1 sin x)
Xét B =
2
x
Đặt
2
u x
du dx 1
x
Vậy J = A + B =
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,5đ
Trang 4Cách khác :
C2: Đặt
2
2
x
u x cos x
dv
x
Khi đó J =
2
0 0
=
2
0
x sin
=
2 2 2
2 2
1 t dt
C3: Đặt t = x dtdx
0
t
2) Ta có C (d) C( 1+ 2t ; 2 + 3t ; 3 + t) AC (2t 4;3t 2; t)
(1;3; 1)
AB ; (6 2; 3 4; 3 10)
AB AC t t t
ABC
1
2
=
2
54(t 1) 66
Do đó SABC nhỏ nhất t = 1 Khi đó Min SABC =
66
2 (đvdt) và điểm C(3;5;4)
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0.5đ 0,5đ
0,25đ 0,25đ
0.25đ
Bài 5B
(3 điểm)
1) a)
e 2 1
ln x
x
Đặt 2
Khi đó I =
e 1 1
1
b)
2 1
3 0
x
=
2 3 0
x dx
x 1
Đặt t = x3 + 1 dt = 3x2 dx Đổi cận : x = 0 t = 1 ; x = 1 t = 2
Vậy J =
2 2
2
2) Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d)
Đường thẳng (d) vectơ chỉ phương a (1;1;2)
Ta có H (d) H(–3+ 2t ; 1 – t ; –1 + 4t) AH (2t 1; t 3;4t 5)
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 5AHa AH.a 0
4t + 2 + t –3 + 16t – 20 = 0 t = 1 AH (3;2; 1)
Đường thẳng () qua A(–4 ; –2 ;4) và có vectơ chỉ phương AH (3;2; 1)
nên có
phương trình là :
4 3
2 2 4
x t
y t
z t
, (t )
0,25đ 0,25đ
KHUNG MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA TOÁN 12 HỌC KÌ 2
(Dùng cho loại đề kiểm tra TL) Chủ đề -
Mạch KTKN
Phần chung Khảo sát hàm số và
bài toán liên quan
1 1,5
2
1,5
3 3,0
Phương trình mũ , logarit và Số phức
1 1,0
1 1,0
2 2,0
Phương pháp toạ
độ trong KG
1 0,75
1 0,75
1 0,5
3 2,0
Tổng phần chung
3 3,25
4 3,25
1 0,5
8 7,0
Phần riêng Nguyên hàm và
tích phân
1 1,0
1
1,0
2 2,0
Phương pháp toạ
độ trong KG
1
1,0
1 1,0
1,0
2
2,0
3 3,0
3,25
5 4,25
3
2,5
11 10,0