2 cuc tri cua ham so

Tên chủ đề/ Chuyên đề: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Giới thiệu chung chủ đề: - Một số dạng toán liên quan đến cực trị của hàm số Thời lượng dự kiến thực hiện chủ đề: 3 tiết I.. Năng lực chung  P

Tên chủ đề/ Chuyên đề: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Giới thiệu chung chủ đề:

- Một số dạng toán liên quan đến cực trị của hàm số

Thời lượng dự kiến thực hiện chủ đề: 3 tiết

I Mục tiêu

1 Kiến thức, kĩ năng, thái độ

- Kiến thức: Định nghĩa cực trị, Qui tắc 1 & qui tắc 2 tìm cực trị Học sinh hiểu và thuộc các khái niệm

cực trị

- Kĩ năng: Vận dụng thành thạo các qui tắc Học sinh hiểu và thuộc các khái niệm cực trị

- Thái độ: Xây dựng tư duy logic, biết quy lạ về quen Cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận.

2 Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển

a Năng lực chung

 Phát triển năng lực hoạt động nhóm, khả năng diễn thuyết độc lập

 Phát triển tư duy hàm

 Năng lực giải quyết vấn đề

 Năng lực sử dụng công nghệ thông tin

b Mức độ nhận thức

Cực trị

Biết sử dụng bảng biến thiên tìm CT hàm số

Nắm chắc nội dung hai định lý

Làm các bài tập tìm cực trị một số hàm cơ bản

Làm các bài tập liên quan đến cực trị của hàm số có tham

số

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 Giáo viên:

- Các phiếu học tập, bảng phụ

- Đồ dùng dạy học của giáo viên: thước kẻ, phấn…

- Computer và Projector (nếu có)

2 Học sinh

- Đồ dùng học tập như: Vở, sách giáo khoa, thước kẻ…

- Bản trong, bút dạ cho các hoạt động cá nhân và hoạt động nhóm

III Tiến trình dạy học

Hoạt động 1: Tình huống xuất phát/ khởi động Mục tiêu hoạt động: Học sinh nắm được đn về cực trị hàm số, phát hiện cách tìm cực trị của

hàm số qua việc xét sự biến thiên (đl1)

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm

thị hàm số

2 1

( 3) 3

y  x x H1: Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại

đó hàm số có giá trị lớn nhất trên khoảng

1 3

;

2 2

� �?

H2: Dựa vào đồ thị, hãy chỉ ra các điểm tại

đó hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng

3

; 4 2

� �? Chú ý những điểm cao nhất( thấp nhất) trong khoảng đang xét của đồ thị nếu

Học sinh phát hiện ra mối quan hệ của cực trị và dấu của đạo hàm cấp 1 – Phụ lục 1

x

y

4 3

3 2

1 2

'( ) 0

f x � thì x0 không phải là điểm cực trị

hàm số có có giá trị lớn nhất?

+ nếu f x'( ) 00 � thì x0 không phải là điểm cực trị

hoá kiến thức, từ đó dẫn dắt đến nội dung định lí 1 SGK Giáo viên nêu

chú ý cho học sinh đk cần để hàm số đạt cực trị tại x0

Hoạt động 2: Hình thành kiến thức Mục tiêu hoạt động:

- Giải quyết một số bài toán cơ bản về tìm cực trị hàm số (Các hàm số b3, b4 trùng phương, b1/ b1) bằng định lý 1

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản

phẩm

- Nội dung, phương thức tổ chức :

VD1: Tìm cực trị của các hàm số sau :

1 y x 33x +1 2.y  x4 4x22 3.y 2x x13

Lời giải mong đợi :

1, D = R

2

y  x  y  �x�

Bảng xét dấu y’

x - -1 1

+

y’ + 0 - 0 +

y 3

-1

 Cực trị của hàm số

2, D= R

3

y   x  x y  � x� x

Bảng xét dấu y’

x - - 2 0 2 +

y’ + 0 0 + 0

-y 3 3

2

 Cực trị của hàm số

3, D R \ 1

 2

5

1

x



trị của hàm số bằng xét dấu đạo hàm, kết luận như nào cho chuẩn xác.

Học sinh nắm bắt được quy trình tìm cực trị của hàm số -Định lý 1

Giao cho học sinh tự tìm quy trình tìm cực trị của hàm số

Hoạt động 3: Luyện tập Mục tiêu hoạt động: - Giải quyết một số bài toán về xét sự biến thiên của hàm số phân thức, vô

tỷ, lượng giác bằng định lý 1, định lý 2 Khi nào vận dụng định lý 1, khi nào vận dụng định lý

1, khi nào vận dụng định lý 2

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm

Chuyển giao : Ví dụ 1: Tìm cực trị các hàm số sau :

a, y =

2

1

x

 

 b, y = cosx trên

3

;

2 2

 

� � c, y = f(x) = x

a, D =R\ 1

Ta có y’ =

2

( 1)

x x x



 , y’ = 0  x = 0 ; x = -2 Bảng biến thiên :

x -  -2 -1 0 + 

y’ + 0 - || - 0 +

y -1 1

 Hs kết luận b, D = 3 ; 2 2   � � � � � � y’ = - sinx, y’ = 0 khi x = 0; x =  Bảng biến thiên :  Kêt luận cực đại , cực tiểu c, D = R Ta có y = x2 ; 2 x y x � y’ = 0 vô nghiệm và y’ không xác đinh tại x = 0 Bảng BT hàm số x - 0 +

y’ - II +

y 0

 kết luận

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số bằng Định lý 2 các hàm số sau : 1 f(x) = x4 – 2x2 + 1; 2

1 y x x   ; 3 f x  2sin 2x3 Thực hiện : học sinh tự nghiên cứu, mỗi bài khoảng 5 phút để nháp Học sinh nắm bắt được quy trình tìm cực trị của hàm số hàm số lượng giác , hàm số chứa dấu GTTĐ – Định lý 2 x 2   0 

3 2 

y’ + 0 - 0 +

y 1 1 0 -1

Lời giải mong đợi :

1 Tập xác định của hàm số: D = R

f’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

f’(x) = 0 � x�1; x = 0

f”(x) = 12x2 - 4

f”(1) = 8 >0 �x = -1 và x = 1 là hai điểm cực tiểu

f”(0) = -4 < 0 �x = 0 là điểm cực đại

Kết luận:

+) f(x) đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1; fCT = f(1) = 0

+) f(x) đạt cực đại tại x = 0; fCĐ = f(0) = 1

2

1

y x

x

 

Tính: y” = 3

2

x

y”(-1) = -2 < 0

y”(1) = 2 >0

Kết luận:

3. f x  2sin 2x3

TXĐ: D=R

  4cos 2

f x�  x,   0 cos 2 0 2

f x�  � x � x  k � x  k

, k��

  8sin 2

f�x   x Tính:

8sin

voi k n

voi k n

n��

Kết luận:

- HS đạt cực đại tại x 4 n

 

, f CD f 4 n 1

 �  � 

- HS đạt cực tiểu tại 2 1

x  n 

,

3

2

CD

f  ��  n��     

Báo cáo, thảo luận : Các cá nhân nhận xét bài của bạn

Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức :

- Đối với các hàm đa thức bậc cao, hàm lượng giác, … nên dùng qui tắc 2.

- Đối với các hàm không có đạo hàm không thể sử dụng qui tắc 2

Hoạt động 4: Vận dụng, tìm tòi mở rộng Mục tiêu hoạt động:

Nắm bắt và hiểu và giải quyết một số bài toán có tham số về tìm cực trị hàm số bằng đk cần và

đủ

Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh Dự kiến sản phẩm

Chuyển giao :

Bài tập :

Ví dụ 1 : CM hàm số y = f(x) = x3+ mx2- (1+n2 )x- 5(m+n) luôn có cực trị

với m và n

Thực hiện : Lời giải mong đợi

TXĐ: D = R

Học sinh nắm được khi nào dùng đk đủ (đl2) khi nào dùng đk cần

và đủ (đl1)

2 2

y� x  mx n y� Ta có  m23(1n2) 0, m n R, �

Vậy y�0 luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2(x1x2); y� đổi dấu khi đi qua hai

nghiệm

Bảng xét dấu y’

x - x1 x2 +

y’ + 0 - 0 +

y CĐ

CT

Vậy hàm số luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi n, m

Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số y = f(x) =

1

3x mx  m  m x

có cực đại tại

x = 1

Thực hiện : Lời giải mong đợi

TXĐ : D = R

y�x22mx m 2 m 1; y�2x2m

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

2

Với m = 2 => y’’(1)= -2 < 0 ™

Với m = 1 => (không nên dùng đl 2 được vì y’’(1)=0)

Lập bảng biến thiên => ko thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số có cực tiểu tại x = 1

Báo cáo, thảo luận : Các cá nhân nhận xét bài của bạn

Đánh giá, nhận xét, chốt kiến thức : : GV nhấn mạnh trình tự bài xét cưc trị

của hàm số bằng xét dấu đạo hàm bậc 1, bậc 2, kết luận như nào cho chuẩn

xác Giao cho học sinh tự tìm quy trình tìm cực trị của hàm số tương tự

IV Câu hỏi/ bài tập kiểm tra, đánh giá chủ đề theo định hướng phát triển năng lực

1 Mức độ nhận biết

Câu 001

Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên � Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: (I): Nếu f x�  0 trên khoảng x0h x; 0 và f x�  0 trên khoảng x x0; 0h

h0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

(II): Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm x thì tồn tại các khoảng 0 x0h x; 0, x x0; 0h

h0 sao cho f x�  0 trên khoảng x0h x; 0 và f x�  0 trên khoảng

x x0; 0h.

A. Cả (I) và (II) cùng sai

B. Mệnh đề (I) đúng, mệnh đề (II) sai

C. Mệnh đề (I) sai, mệnh đề (II) đúng

D. Cả (I) và (II) cùng đúng

Ta có mệnh đề (I) đúng và mệnh đề (II) sai (câu lý thuyết)

Câu 002 Hàm số y x 42x2 có bao nhiêu điểm cực trị?3

C. 1.

C1.X.T0

Lời giải Chọn C

Tập xác định của hàm số: D �. Đạo hàm: y�4x34x; y�0� x0. Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực trị

Câu 003 Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Nếu f� x0 0 và f x� 0 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0

B. Hàm số y f x  đạt cực trị tại x khi và chỉ khi 0 f x� 0 0

C. Nếu f� x0 0 và f x� 0 0 thì x không phải là cực trị của hàm số0

D. Nếu f x� 

đổi dấu khi x qua điểm x và 0 f x 

liên tục tại x thì hàm số 0 y f x  đạt cực trị tại điểmx0

D4.X.T0

Lời giải Chọn D

Theo lý thuyết về cực trị của hàm số

Câu 004 Trong các hàm số sau, hàm số nào có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu ?

A. y x 4  x2 3

B. y    x4 x2 3

C. y    x4 x2 3

D. y x 4  x2 3

C1.X.T0

Lời giải Chọn C

Hàm số y ax 4bx2 (c a� ) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu0

C

Câu 005 Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?

1

x y x





 .

B. y x 4

C. y   x3 x

D. y x .

A1.X.T0

Lời giải Chọn A

Xét hàm số

2 1 1

x y x





 ta có  2

3 0 1

y x

 với x� nên hàm số không có cực trị.1

Câu 006 Hàm số y x 43x2 có bao nhiêu điểm cực trị?4

-3

+ ∞

C. 0

A1.X.T0

Lời giải Chọn A

Ta có y�4x36x; y�0� x0.

2

y� x  � y�� 0  6 0

.

Vậy hàm số có 1 điểm cực trị

Câu 007 Hàm số y x 4  có bao nhiêu cực trị?x2 1

A1.X.T0

Lời giải Chọn A

y� x  x x x   � x

Và y� đổi dấu khi đi qua x nên hàm số chỉ có 1 cực trị.0

Câu 008

Hàm số

2 1 1

x y x





 có bao nhiêu điểm cực trị?

C1.X.T0

Lời giải Chọn C

Tập xác định D �\ 1  .

Ta có  2

1 0, 1

x



Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có cực trị

Câu 009

Tìm cực đại của hàm số

1

4

y  x  x 

C. 1

D. �2.

D1.X.T0

Lời giải Chọn D

3 4

y�  x x , y� 3x24

 

 

0

y

�

�

 �

� Vậy hàm số đạt cực đại tại x � 2

Câu 010 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y  x4 18x2 là1

A. 3;80 và 3;80

B.  0;1

C. 1;0 .

D. 0; 1  .

D2.X.T0

Lời giải Chọn D

Tập xác định D �

3

y�  x  x;

0

y

 �  

�

� � �� � �  .

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là 0; 1 .

Câu 011

Hàm số

1

3

y x  x  x

có các điểm cực trị là

A. �x x13

� 

B. �x x 31

� 

C. �x x 13

�  

D. Hàm số không có cực trị

C2.X.T0

Lời giải Chọn C

Ta có

3

x

x

 

�

�    � � � Chọn đáp án C.

2 Mức độ thông hiểu

Câu 012 Cho hàm số f x 

có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x0� Tìm mệnh đề sai K trong các mệnh đề sau:

A. Nếu hàm số đạt cực đại tại x thì 0 f� x0 0.

B. Nếu hàm số đạt cực đại tại x thì tồn tại 0 a x để 0 f a�  0.

C. Nếu hàm số đạt cực trị tại x thì 0 f x� 0 0.

D. Nếu f x� 0 0 và f� x0 �0 thì hàm số đạt cực trị tại x 0

A4.X.T0

Lời giải Chọn A

Định lí 2 trang 16 SGK, Nếu f x� 0 0 và f� x0 0 thì x là điểm cực đại, chiều 0

ngược lại của định lí không đúng Ví dụ hàm số y  đạt cực đại tại x4 x0  nhưng0

 0 0

f ��  .

Câu 013

Xét f x 

là một hàm số tùy ý Trong bốn mệnh đề dưới đây có bao nhiêu mệnh đề đúng?

 I

Nếu f x 

có đạo hàm tại x và đạt cực trị tại 0 x thì 0 f x� 0 0.

 II Nếu f x� 0 0 thì f x  đạt cực trị tại điểm x 0

 III

Nếu f x� 0 0 và f� x 0 thì f x 

đạt cực đại tại điểm x 0

 IV

Nếu f x 

đạt cực tiểu tại điểm x thì 0 f� x0 0.

A1.X.T0

Lời giải Chọn A

 I

đúng

 II

sai

 III

sai

 IV sai.

Câu 014 Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu f x� 0 0 và f� x0 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0

B. Nếu f x� 0 0 và f� x0 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0

C. Nếu f x� 

đổi dấu khi x qua điểm x và 0 f x 

liên tục tại x thì hàm số 0 y f x 

đạt cực trị tại điểm x 0

D. Hàm số y f x  đạt cực trị tại x khi và chỉ khi 0 x là nghiệm của đạo hàm.0

D4.X.T0

Lời giải Chọn D

Xét hàm số y x 3 ���y�x2 �y�0� x0 Hàm số y không đạt cực trị tại điểm x 0

Câu 015 Cho hàm số y x 3 3x2 Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 0

B. Hàm số đạt cực đại tại x 0

C. Giá trị cực đại của hàm số bằng 4.

D. Hàm số đạt cực đại tại x 2

B2.X.T0

Lời giải Chọn B

Ta có y�3x26x 3x x 2.

Do đó y�0 với mọi x� � � ;0 2;� và y�0 với mọi x� 0;2 .

Câu 016 Giá trị lớn nhất của hàm số y e x x 2 x 5 trên đoạn  1;3 bằng.

A. 5e3.

B. 2e3

C. 7e 3

D. e3.

D1.X.T0

Lời giải Chọn D

y�e x   x e x e x x 2 x 6

y� �e x   x

 

 

2 1;3

3 1;3

x x

� �

� �

  �

Vậy y 1  5e; y 2  3e2; y 3 e3.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn Lời giải

Chọn A Cách 1.

Hàm số liên tục trên đoạn

Cho , , Vậy Cách 2.

Lập table.

Câu 017 Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?

A. y  x4 2x2 1

B. y2x44x2 1

C. y x 42x2 1

D. y x 42x2 1

D1.X.T0

Lời giải Chọn D

Xét đáp án y2x44x2 ta có 1 y�8x38x8 (x x2 (loại vì 1) y� chỉ có 1 nghiệm).

Xét đáp án y x 42x2 ta có 1 y�4x34x4 (x x2 Ở đây 1) y�0 có 3 nghiệm phân biệt và y� đổi dấu khi đi qua các nghiệm đó nên hàm số có 3 điểm cực trị

Câu 018 Hàm số nào sau đây không có cực trị?

2

x y x





 .

B.

2 2

y  x x

C. y2x4 x2

D.

4 3 2 1

y  x x 

A1.X.T0

Lời giải Chọn A

Nhận xét: Hàm số

2 1 2

x y x





 có  2

5

0, 1 2

x

 nên hàm số không có cực trị

Câu 019 Cho hàm số y f x  có đạo hàm     2   

f x�  x x x Số điểm cực trị của hàm số là:

A. 4.

Câu 020 Cho hàm số

3 3 2 1

y x  x  Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

đã cho là

A1.X.T0

Lời giải Chọn A

Hàm số xác định trên tập D �

Ta có

2

x

x



�

�  � � � �� Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A 0;1

, B2; 3  Ta có

 2 2

Câu 021 Hàm số y x 4  có điểm cực tiểu là ?x2 2

A. y2.

B. x  1

C. x 0

D. x 1

C1.X.T0

Lời giải Chọn C

Ta có y�4x32x0�x0. Bảng biến thiên :

Từ bảng trên ta suy ra hàm số có điểm cực tiểu là x 0

Câu 022

Tìm hoành độ các điểm cực đại của hàm số

3 5 2 2 1 2

y e    .

A. xCĐ 1.

B. Không có cực đại

3

xCĐ 

D. xCĐ 0.

Chọn C

Tập xác định: D �.

Đạo hàm:   3 5 2 2 1

y� x  x e   

;

2

1

3

x

x



�

�

� �    �

� 

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại

2 3

x

Câu 023 Gọi m là giá trị thực của tham số m để hàm số 0 3  

3

x

y mx  m  x

đạt cực trị tại x0  , các giá trị của 1 m tìm được sẽ thoả mãn điều kiện nào sau đây?0

A.  1 m0 3

B. m0 � 0

C. m0 � 0

D. m0   1

Chọn B

�Để hàm sốy x 

đạt cực trị tại x0  1

 

 

0

y x

y x æi dÊu qua x

�

�

� �

�

�

TXĐ:R

  2 2  2 1

y x� x  mx m 

2

m

m



�

   � �  � .

+) Vớim , ta có0

1 0

1

x

x



�

�   � � � . Khi đó ta có

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x nên 1 m thỏa mãn.0 +) Vớim  , ta có2

3

x

x



�

�    � �� . Khi đó ta có

Vậy hàm số đạt cực đại tại x nên 1 m  thỏa mãn Suy ra 2 m0 � 0

Câu 024

Tìm m để hàm số

1

4 1 3

y x mx  x

đạt cực trị tại x 2

A. m 0

B. Không tồn tại m

C. m  2

D. m 2

B2.X.T0

Lời giải Chọn B

y�x  mx ; y�2x2m.

Hàm số đạt cực trị tại x2

 

 

y y

�

� ��

� �

�

m m

�

�

2 2

m m



�

Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 025 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y x 42(m1)x2 m2 đạt cực1

tiểu tại x 0

A. m  1

B. m  1

C. m� 1

D. mڳ �1 m 1

C1.X.T0

Lời giải Chọn B

Ta có y�4x34m1x.

Giải phương trình y�0 �4x34m1x0 2  

0 1

x



�

� �  

Nếu m 1 0 � m 1 thì y�0 có ba nghiệm phân biệt x1  m ; 1 x2  ;0

x  m khi đó ta cóy� đổi dấu từ  sang  ki qua điểm x nên 0 x là điểm0 cực đại�m 1 không thỏa mãn.

Nếu m �1 0 ۣ m 1 thì y�0 có nghiệm duy nhất x khi đó ta có0 y� đổi dấu từ

 sang  khi qua điểm x nên 0 x là điểm cực tiểu0  m 1 thỏa mãn.

3 Mức độ vận dụng

Câu 026 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y x m 2x2

có hai điểm cực trị A,B thỏa mãn AB�2 30 Số phần tử của S là

A. 7

B. 6

C. 4