Hypebol và các vấn đề liên quan

9 1.8 Điều kiện để một đường thẳng tiếp xúc với một hypebol.... Các khái niệm về đường cong hypebol Phần này trình bày chi tiết, đầy đủ các khái niệm về đường cong hypebol, để làm tiền đ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

HYPEBOL VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Ngọc Châu Sinh viên thực hiện : Lê Thị Tuyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Bố cục của khóa luận 2

PHẦN 1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐƯỜNG CONG HYPEBOL 3

1.1 Định nghĩa 3

1.2 Phương trình chính tắc của Hypebol 4

1.3 Phương trình tham số của hypebol 6

1.4 Hình dạng của hypebol 6

1.5 Tâm sai của hypebol 8

1.6 Đường chuẩn của hypebol 8

1.7 Phương trình tiếp tuyến của hypebol 9

1.8 Điều kiện để một đường thẳng tiếp xúc với một hypebol 11

PHẦN 2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG HYPEBOL 12

2.1 Các bài toán có lời giải là đường hypebol 12

2.2 Các bài toán lập phương trình của hypebol 16

2.3 Các bài toán về tiếp tuyến của hypebol 20

2.4 Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng với hypebol 26

2.5 Một số bài toán khác liên quan đến hypebol 32

2.6 Các bài toán đề nghị 37

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

tôi chọn đề tài cho khóa luận của mình là: “ Hypebol và các vấn đề liên quan”

2 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các mục tài liệu tham khảo nội dung của khóa luận được chia thành hai phần:

Phần 1 Các khái niệm về đường cong hypebol

Phần này trình bày chi tiết, đầy đủ các khái niệm về đường cong hypebol,

để làm tiền đề cho phần sau, là một nội dung chính của khóa luận

Phần 2 Các bài toán liên quan đến đường hypebol

Phần này là một nội dung chính của khóa luận, trình bày là một số dạng bài toán liên quan đến đường cong hypebol

Xin cảm ơn các Thầy, Cô giáo thuộc khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng, đã giảng dạy, hướng dẫn và tạo điều kiện để tôi hoàn thành

được khóa luậnnày

PHẦN1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ ĐƯỜNG CONG HYPEBOL

Phần này trình bày chi tiết, đầy đủ các khái niệm về đường cong hypebol, để làm tiền đề cho phần sau, là một nội dung chính của khóa luận

1.1 Định nghĩa

Trên mặt phẳng cho hai điểm cố định F 1 và F 2 , với F 1 F 2 = 2c > 0 Tập

hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF1  MF2  2a (trong đó a là một

số dương không đổi nhỏ hơn c ) gọi là một hypebol

Hai điểm F 1 và F 2 là các tiêu điểm của hypebol

Khoảng cách giữa hai tiêu điểm F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự của hypebol

Nếu M nằm trên hypebol thì các khoảng cách MF 1 và MF 2 gọi là các bán

kính qua tiêu của điểm M

Hình 1 Cách vẽ:

Lấy một thước thẳng có mép AB có độ dài m và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài l ( l <m ) Đóng hai chiếc đinh lên mặt một bảng gỗ tại F 1 , F 2 Đính

một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào F 2 Đặt thước sao cho điểm B trùng với F 1 và lấy đầu bút chì tì sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây

luôn căng rồi cho thước quay quanh F 1 , mép thước luôn áp sát mặt gỗ Khi

đó, đầu bút chì C sẽ vạch ra một đường cong Đường cong đó là một phần của đường hypebol Thật vậy , ta có

CF 1 – CF 2 = ( CF 1 + CA ) – ( CF 2 – CA) = m – l không đổi

1.2 Phương trình chính tắc của Hypebol

Giả sử cho hypebol (H) là quỹ tích các điểm M sao cho

MF MF

a

\ 2

t

a x t

b

y

t a

x

tan

cos tan

2 2 2

1

1 cos , 1

2 sin

z

z t

z

z t

1211

z

bz y

z

z a x

Phương trình (2) gọi là phương trình tham số dạng đại số của (H)

1.4Hình dạng của hypebol

a) Vì phương trình của hypebol có bậc chẵn đối với x và đối với y nên hypebol

có hai trục đối xứng là Ox và Oy , và có O là tâm đối xứng

b) Hypebol không cắt trục Oy , trục này được gọi là trục ảo của hypebol Hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A 1 (−a ; 0 ) và A 2 ( a ; 0), chúng được gọi là đỉnh của hypebol Ox được gọi là trục thực của hypebol Chú ý rằng tiêu điểm luôn luôn nằm trên trục thực Ta gọi 2a là độ dài trục thực , 2b là

độ dài trục ảo

c) Nếu điểm M ( x ; y ) nằm trên hypebol thì x 2 ≥ a 2 hay x ≥ a hoặc

x ≤ −a Như vậy không có điểm nào của hypebol nằm giữa hai đường thẳng

x = a và x = −a

Hypebol gồm hai nhánh: nhánh phải gồm những điểm nằm bên phải đường

thẳng x = a, và nhánh trái gồm những điểm nằm bên trái đường thẳng x = −a

d) Từ hai đỉnh của hypebol ta vẽ hai đường thẳng song song với Oy, chúng cắt hai đường tiệm cận tại bốn điểm P, Q, R, S ( H 4 ) Đó là bốn đỉnh của

một hình chữ nhật , gọi là hình chữ nhật cơ sở của hypebol Các cạnh của hình

chữ nhật đó là 2a và 2b , đường chéo 2c.Phương trình hai đường tiệm cận

a

1.5 Tâm sai của hypebol

Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của hypebol gọi là tâm sai của hypebol

Chú ý rằng tâm sai của mọi hypebol luôn lớn hơn 1

1.6Đường chuẩn của hypebol

gọi là các đường chuẩn của hypebol

∆ gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F ,

∆ 2 gọi là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F 2

1.6.2 Định lý.[6]

Tỉ số khoảng cách từ một điểm bất kì của hypebol đến một tiêu

điểm và đường chuẩn tương ứng bằng tâm sai e của hypebol

Chứng minh Vì tâm sai e = c > 1

a

nên a < và a a > a

Từ đó suy ra hai đường chuẩn ∆1 và ∆2 không cắt hypebol

Mặt khác, nếu gọi r1 là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên hypebol đến tiêu điểm F1 và d1 là khoảng cách từ M đến đường chuẩn ∆1 thì

+

+

ex a e r

1.7 Phương trình tiếp tuyến của hypebol

Cho hypebol có phương trình

1.8Điều kiện để một đường thẳng tiếp xúc với một hypebol

Cho đường thẳng ∆ có phương trình: Ax + By + C = 0 (1) Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của hypebol

Vì hai phương trình (1) và (2) đều là phương trình tổng quát của đường

thẳng  nên (A ; B ; C) phải tỉ lệ với 0 0

PHẦN 2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG CONG HYPEBOL

Phần này là một nội dung chính của khóa luận, trình bày là một số dạng bài toán liên quan đến đường cong hypebol

2.1 Các bài toán có lời giải là đường hypebol

Bài 1.[5] Cho đường tròn tâm F’ bán kính 2a và một điểm F ở ngoài đường

tròn.Tìm quỹ tích tâm M của đường tròn đi qua F và tiếp xúc với đường tròn ( F’ , 2a )

Giải

Gọi r là bán kính của đường tròn tâm M Xét hai trường hợp

a) Đường tròn ( M, r ) tiếp xúc ngoài với đường tròn ( F’ , 2a ) Gọi tiếp điểm là

Vậy quỹ tích của M là hypebol nhận F , F’ là tiêu điểm, trục thực bằng 2a, đường tròn ( F’ , 2a ) là đường tròn chuẩn ứng với tiêu điểm F’

Bài 2 [5]Trên mặt phẳng (P)cho đoạn thẳng AA’ = 2a và điểm M chuyển động

sao cho hiệu giữa hai góc A và A’ của tam giác MAA’ bằng 90° Tìm quỹ

Xét MAA ' < MA A ' , tương tự ta được điểm M chạy trên nhánh trái của

hypebol vuông góc (1) , bỏ điểm A’

Nếu y M = 0 thì tam giác MAA’ suy biến thành đoạn thẳng, ta không xét

trường hợp này Vậy quỹ tích của M là hypebol vuông góc có phương trình là

y =

Bài 3 [5]Cho tam giác MAA’ , cạnh AA’ cố định, đỉnh M chuyển động sao

cho trung tuyến MO của tam giác là trung bình nhân của MA và MA’ Tìm

hypebol vuông góc nhận A, A’ làm hai tiêu điểm

Bài 4.[2]Cho điểm A (2a; 0) với a > 0 và đường tròn (C) : x2a2y2 4a2

Lập phương trình quỹ tích các tâm K của đường tròn (C 1 ) luôn đi qua A và tiếp

xúc với (C)

Giải: Giả sử (C 1 ) có bán kính R 1

Mặt khác (C) có tâm I ( -2a; 0) và bán kính R = 2a

Ta có (C) và (C 1) tiếp xúc nhau nên xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: (C) và (C 1) tiếp xúc trong với nhau nên ta có

) 1 ( 2 2

a a c

b  

Vậy quỹ tích các điểm M thuộc hyperbol 1

3 2

2 2

2.2 Các bài toán lập phương trình của hypebol

Bài 1.[8]Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc xOy cho hypebol (H):

2 2 = 1

a) (H) qua điểm M (5 ; 0) và có bán tiêu cự c = 34

b) (H) qua hai điểm P (1 ; 0) vàQ( 2 ; 2 3 )

Giảia) Vì (H) đi qua điểm M (5 ; 0) nên thay tọa độ M vào phương trình (1)

= 1 4

y

x 

Bài 2.[4]Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc xOy cho hypebol (H)

Giải Vì (H) tiếp xúc với đường thẳng ( d 1 ) : x − 3 = 0 nên ta có a 2 = 9.(1)

(H ) tiếp xúcvới đườngthẳng (d2) :4 3 3 6 = 0x  y 

x

Thay b2 = 1 vào (1) ta được a2 = 4

Vậy hypebol có phương trình là

2 2

y = 1 4

x 

Bài 4.[2]Lập phương trình chính tắc của (H) biết :

a) Độ dài trục ảo bằng 6 và hai tiệm cận vuông góc với nhau

b) Góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60° và (H) đi qua điểm N ( −6 ; 3 )

b) Hai đường tiệm cận ∆1 : bx + ay = 0 và ∆2 : bx – ay = 0

và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H) là

x X

ta được A ( 0; -2) và (C): X2 Y2  9

2 2

trong đó b2  IA2  4 và a2 c2b2 a2b2b2 R2 b2 5

4 5

2 2

1 5

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M 16 ; 7

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại điểm M ( 1 ;0)

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) xuất phát từ điểm N ( 1 ;4), tìm tọa độ

tiếp điểm

4 4

4

2 2 2

x

a) Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M ϵ (H) nên

.11

4

0.1.1

Vậy phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M ( 1 ;0)là x  1

b) Phương trình tiếp tuyến với (H) xuất phát từ điểm N ( 1 ;4)

Hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x  1

Vậy x 1là một tiếp tuyến qua N ( 1 ;4)

Tiếp tuyến    qua N ( 1 ;4) có dạng: y4kx1kxy4k0.

2

58

Bài 3.[4]Cho hypebol (H) : 2 1

2 2

x

 là một tiếp tuyến của (H) cắt các tiếp tuyến tại 2 đỉnh thuộc trục thực A và A’ ở T và T’ CMR đường tròn đường kính TT’ đi qua 2 tiêu điểm F 1 và F 2

a x

ay

a x b c a

ay

a x b c a T

F

0

'

0 2

2 0 2 2 0 2 2 2 2 2

0 2

2 2 2 0 2 2 0

2 2 2

0 2

2 2 0

4 2 2 1



y a

y a x b b a b y

a

b a x b y a b y

a

a x b a c T

Vậy đường tròn đường kính TT’ đi qua 2 tiêu điểm F 1 và F 2

Bài 4.[5]Cho N là một điểm di động trên nhánh (F) của hypebol có O là tâm

và F là một tiêu điểm Gọi ∆ là tiếp tuyến của hypebol tại N Từ F kẻ đường vuông góc với ∆ , cắt ON tại M Tìm quỹ tích của M

2 2

+ Với B 1 ;A 3 và C3 5ta được tiếp tuyến (d1): 3x y3 5 0

+ Với B 1 ;A 3 và C3 5ta được tiếp tuyến (d2): 3xy3 50

+ Với B 1 ;A  3 và C3 5ta được tiếp tuyến (d3): 3xy3 50

+ Với B 1 ;A  3 và C3 5ta được tiếp tuyến (d4): 3xy3 50

Vậy (H) và ( E) có 4 tiếp tuyến chung là (d1); (d2); (d3); (d4)

2.4 Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng với hypebol

Bài 1.[2]Cho hypebol (H) và đường thẳng (d) có phương trình  1

8 1 :

2 2

Từ (1) ta có a.c4m2 80 1 luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Vậy       H  d  A , B với A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) và có hoành

8

2

2

m x

x

m x x

B A

B A

b) Theo đề ta có

 

 

 I m

x

m

x

x x x

x

a

x c a a

x c a B

A

B A

3

1 3

0 1 3 6 3

1 3

1

2

.

2 2

68 36

63 4

8 3

1 6

6 





Bài 2.[5]Cho (d) : x ym 0và (H) :5x2 2y2 10 Tìm m để (d) cắt (H) tại

A,B sao cho

3

5 8



AB

Giải Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (H) :

0102

43

0

102

0 30 6

x

m x

x

B A

B A

3

102

342

Do A, B thuộc (d) nên yA  xA  m ; yB  xB  m

Mặt khác

2 2

3

5 8 3

5 8

1603

102

43

4

9

160

49

5.32

3

583

58

2 2

2 2

2 2

2

2 2

m

x x x

x x

x

m x

m x

x

x

y y x

x

A B A

B A

B

A B

A

B

A B A

B

Vậy để (d) cắt (H) tại A,B sao cho

3

5 8



AB thì m  1

Bài 3.[2]Cho hypebol (H) : 1

9 4

2 2

a) Tìm điều kiện đối với k để (d) và (d’) đều cắt (H)

b) Tính theo k diện tích hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (d), (d’) và (H) c) Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất

 k x kx

y

y

x

.364

9

19

4

Tọa độ giao điểm của (d’) và (H) là nghiệm của hệ :

 k y x

91

19

2

3

22

32

33

2

k

k k

b) Giả sử A, B, C, D là 4 giao điểm của (d), (d’) và (H)

Ta có : + A, C là giao điểm của (d)và (H)A, C đối xứng nhau qua O

+ B, D là giao điểm của (d’)và (H)B, D đối xứng nhau qua O

2 2 2 2

2

2

1

4 9

36

2

2 2

362

Suy ra  

4 9 ).

4 9 (

1 72 4

9

36 4 9

36 4 9

36 4

9

36

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

k k

k

k k

k k

S ABCD

9 4)

49(

172

2 2

5

1 144 4

9 ) 4 9 ( 2 1

1 72 4

9 ).

4 9

(

1 72

2 2

2 2

2

2 2

k

k k

k k

Vậy hình thoi ABCD có diện tích nhỏ nhất bằng

5

144đạt được khi

1 4

9 4

9  k2  k2   k  

Bài 4.[2]Cho điểm A(4 ;1) và hypebol (H) 1

4 2

2 2



 y

x

a) Tìm tọa độ M thuộc hypebol (H) sao cho đoạn AM ngắn nhất

b Chứng tỏ rằng nếu đoạn AM ngắn nhất thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của hypebol (H)

2 02  02 

Mặt khác        2

2 0

2 0

2 0

2 0 2

14.24

1 4 2

4 2 16 8

2 2

0 2

0

2 0 2

0 0

2 0

x x

x x

Vậy AMmin  5,đạt được khi

0 2

2 0

A M AM

x x

y y k

2

1 (

2

d k

Vậy AM ngắn nhất thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của hypebol

Bài 5.[2]Cho hypebol (H) : 1

9 16

2 2

1444

3.43,

14416

y

x y

x y x

Z y x

y x y x Z

y x

y x

Vậy có hai điểm trên (H) có tọa độ nguyên là M1(-4 ; 0) và M2(4 ; 0)

b) Vì M nhìn F1F2 dưới một góc vuông do đó M thuộc đường tròn đường kính

F1F2, nên M là giao điểm của đường tròn ( C) : x 2

34 4

1

1 9 16

2 0 2 0

2 2

y

x y

x

y x

34 4

34 4

34 4

6

2.5 Một số bài toán khác liên quan đến hypebol

Bài 1.[4]Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M (0 ; 2) cắt (H)

= 1

x  y tại A , B phân biệt sao cho M là trung điểm của AB

Giải Đường thẳng (d ) đi qua M ( 0; 2 ) có dạng y = kx + 2

Hoành độ giao điểm của (d) với (H)là nghiệm của phương trình

2 2 2

(H) Gọi ∆ và ∆’ là hai tiệm cận c ủa (H) Chứng minh r ằng đại lượng

d ( M ; ∆ ).d ( M ; ∆’) không phụ thuộc vào vị trí của M trên (H)

a) Chứng minh rằng Hypebol là tập hợp những điểm M mà tích số khoảng cách

đến hai đường tiệm cận là

2 2

a b

c

b) Từ điểm M H kẻ các đường thẳng song song với hai tiệm cận và cắt chúng

tại H, K Chứng minh rằng diện tích hình bình hành OHMK là một hằng số

sin

2 2 2

b a

b a OK

OH

OK OH b a

ab OK

OH

S

2

.

2 2

sin

2 2

2 2

2

.

2 2 2

2

S b

a

b a S

ab

b a MK MH OK OH

Giải

Vì M nằm trên (H) có tung độ bằng b nên y  b thay vào phương trình (H)

2 2

x

Mặt khác hình chiếu K là hình chiếu của M trên trục Ox nên K (a 2;0)

.2

OK

Bài 5.[2]Lập phương trình của hypebol, biết tiêu điểm F(2; -3), đường chuẩn

ứng với tiêu điểm đó có phương trình 3 x  y  3  0và tâm sai e 5.

31 13

y x

01718266

Vậy phương trình hyoebol là7x2 y26xy26x18y170.

Bài 6 Cho hypebol (H):

2 0 2 0 2 0

2

a

x b

c x y c x

Vậy, F1Mmin  c  a ,đạt được khi M  A1  a , 0 

Cách 2 Chuyển phương trình hypebol (H) về dạng tham số:

t

a x

tan

\ 2

M

Khi đó:

t

t b

t c

t ac a

t b

c t

a M

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1

cos

sin cos

cos 2 tan

t a

t ac c

t

t a

c t c

t ac a

2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

cos

cos.cos

coscos

.2

cos

cos1cos

cos.2

t

c M

a) Xác định tọa độ tiêu điểm của (H)

b) Tìm điểm M trên (H) sao cho M nhìn hai tiêu điểm F1 , F2 của (H) dưới

b) Xác định m để F2N = 2 F1N biết F1, F2 là hai tiêu điểm của (H)

Bài 4 Cho hypebol (H)

2 2 = 1

a  b

a) Tính độ dài phần đường tiệm cận nằm giữa hai đường chuẩn

b) Tính khoảng cách từ tiêu điểm tới đường tiệm cận

c) Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường

tiệm cận nằm trên đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó

Bài 5.Lập phương trình chính tắc của (H) với Ox là trục thực, tổng hai bán trục

a + b = 7, phương trình hai đường tiệm cận là = 3

Bài 6.Một hypebol chuyển động có một tiêu điểm cố định và đi qua hai điểm cố

định cho trước Tìm quỹ tích tiêu điểm thứ hai và tâm của hypebol

Bài 7 Cho hypebol (H)

2 2 = 1

a  b M là điểm chuyển động trên hypebol

N là hình chiếu của tiêu điểm F lên tiếp tuyến tại M của hypebol Tìm quỹtích

điểm N