Bao hàm thức tựa biến phân pareto hỗn hợp và một số vấn đề liên quan

LỜI CAM ĐOANLuận văn Thạc sĩ Toán học "Bao hàm thức tựa biến phân Paretohỗn hợp và một số vấn đề liên quan " được hoàn thành do sự cốgắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN ANH SƠN

BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO HỖN HỢP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN ANH SƠN

BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO HỖN HỢP

VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn người đã tận tìnhhướng dẫn để tôi có thể hoàn thành đề tài này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm HàNội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

và thực hiện đề tài nghiên cứu này

Hà Nội, tháng 08 năm 2015Học viên

Phan Anh Sơn

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn Thạc sĩ Toán học "Bao hàm thức tựa biến phân Paretohỗn hợp và một số vấn đề liên quan " được hoàn thành do sự cốgắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tậntình của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với kết quả của tácgiả khác

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

Học viên

Phan Anh Sơn

Mục lục

1.1 Nón và ánh xạ đa trị 11

1.1.1 Nón 11

1.1.2 Ánh xạ đa trị 15

1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 16

1.3 Tính lồi của ánh xạ đa trị 20

1.4 Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị 24

2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp 27 2.1 Đặt bài toán 29

2.2 Sự tồn tại nghiệm 33

2.2.1 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn

hợp trên - trên 33

2.2.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp trên - dưới 40

2.2.3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto dưới - trên 41

2.2.4 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp dưới - dưới 43

2.3 Một số vấn đề liên quan 45

2.3.1 Hệ bao hàm thức tựa biến phân Pareto 45

2.3.2 Bài toán tựa cân bằng Pareto hỗn hợp 49

BẢNG KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮTTrong luận văn này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác địnhdưới đây:

Rn : không gian vector Euclid n - chiều

Rn+ : tập hợp các vector có các thành phần không âm của không gian Rn

Rn− : tập hợp các vector có các thành phần không dương của không gian

C0+ : nón đối ngẫu chặt của nón C

C0− : nón đối ngẫu yếu của nón C

A ⊆ B : A là tập con của B

A * B : A không là tập con của B

A ∪ B : hợp của hai tập hợp A và B

A ∩ B : giao của hai tập hợp A và B

A\B : hiệu của hai tập hợp A và B

A + B : tổng đại số của hai tập hợp A và B

A × B : tích Descartes của hai tập hợp A và BcoA : bao lồi của tập A

coneA : bao nón lồi của tập hợp A

clA : bao đóng tôpô của tập hợp A

intA : phần trong tôpô của tập hợp A

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Năm 1972 Ky Fan và năm 1978 Brouwer - Minty đã phát biểu bài toánbất đẳng thức biến phân một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tạinghiệm của nó với những giả thiết khác nhau Kết quả của Ky Fan nặng

về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Brouwer - Minty nặng vềtính đơn điệu của hàm số Cho D ⊂ Rn, T : D → Rn Tìm x sao cho

Ví dụ, ta xét các bài toán sau:

Cho X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương dorff, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập khác rỗng, C ⊆ Y là nón lồi đóng nhọn.Cho các ánh xạ:

Haus-S : D × K → 2D, T : D × K → 2K, P1, P2 : D → 2D, Q : K × D → 2K,

tương ứng, (F (y, x, x) ∩ F (y, x, x) + C 6= ∅), ∀x ∈ S(x, y)

được gọi là bài toán bao hàm thức tưa biến phân lý tưởng trên(tương ứng, dưới) loại 1

2, Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho

a) x ∈ P1(x);

b) F (y,x, x) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x),

(tương ứng, (F (y, x, x) ∩ F (y, x, x) + C(y, x) 6= ∅)), với mọi x ∈

P2(x), y ∈ Q(x, x) được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân

lý tưởng trên (tương ứng, dưới) loại 2 Bài toán bao hàm thức tựabiến phân lý tưởng trên (dưới) hỗn hợp là bài toán bao gồm cả 2bài toán trên

3, Bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho:

a) x ∈ S(x, y);

b) y ∈ T (x, y);

c) F (y, x, x) 6⊂ F (y, x, x−C\{0}), (F (y, x, x)∩F (y, x, x)−C\{0} =

∅), ∀x ∈ S(x, y) được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phânPareto trên (dưới) loại 1 Tương tự, ta có bài toán bao hàm thứctựa biến phân Pareto loại 2 và bài toán bao hàm thức tựa biến phân

Pareto hỗn hợp trên (dưới).

Tương tự, như vậy ta cũng phát triển các loại bài toán bao hàm thứctựa biến phân loại 1,2 và hỗn hợp cho trường hợp thực sự và yếu Cácbài toán này tổng quát các bài toán đã biết như cân bằng, tối ưu đa trị.Như vậy, trong trường hợp đa trị ta có 9 loại bài toán bao hàm thứctựa biến phân khác nhau Các loại bài toán đã được các nhà toán họctrong và ngoài nước quan tâm và nghiên cứu rất nhiều có thể kể đếnnhư GS TSKH Đinh Thế Lục, GS TSKH Phan Quốc Khánh, GS LaiJiu Lin,

Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc về vấn đề này, cùng sự hướng dẫngiúp đỡ tận tình của thầy GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, tôi đãchọn nghiên cứu đề tài"Bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗnhợp và một số vấn đề liên quan" làm luận văn Thạc sĩ của mình

2 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 2 chương:

1 Chương 1: Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị

1.1 Nón và ánh xạ đa trị

1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

1.3 Tính lồi của ánh xạ đa trị

1.4 Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị

2 Chương 2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp

2.1 Đặt vấn đề

2.2 Sự tồn tại nghiệm

2.3 Một số vấn đề liên quan

3 Mục đích nghiên cứu

+ Tìm hiểu về bao hàm thức tựa biến phân

+ Đi sâu vào bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên, dưới, hỗn hợp.+ Giới thiệu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của chúng và các vấn đề liênquan

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Trình bày định nghĩa, định lý và các khái niệm có liên quan đếnánh xạ đa trị

+ Nghiên cứu bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp,xét sự tồn tại nghiệm của nó và các bài toán liên quan

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán trong lý thuyết tối ưu liên quantới ánh xạ đa trị cụ thể là bài toán bao hàm thức tựa biến phânPareto hỗn hợp và sự tồn tại nghiệm của nó

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các cuốn sách và các tài liệu cóliên quan đến bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp và một

số bài toán trong lý thuyết tối ưu đa trị

6 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng kiến thức cơ bản của giải tích đa trị: khái niệm và tínhchất của ánh xạ đa trị, kiến thức về bao hàm thức tựa biến phânPareto hỗn hợp

+ Sử dụng phương pháp và kiến thức của giải tích đa trị để tiếp cậnvấn đề

Chương 1

Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị

Ánh xạ đa trị được nhiều nhà toán học nghiên cứu từ lâu do nhu cầuphát triển của toán học và nhiều ngành khoa học khác Để nghiên cứucác bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị ta cần phải nghiên cứu các tínhchất của ánh xạ đa trị Trong chương này ta xét một số khái niệm củaánh xạ đa trị Dựa trên các khái niệm này, ta tìm các điều kiện cần và

đủ để ánh xạ đa trị liên tục trên, liên tục dưới Một số kết quả về mốiliên quan giữa tính liên tục trên và dưới của ánh xạ đa trị lồi (lõm) cũngđược đưa ra Phần cuối của chương trình bày về tính lồi theo nón, móiliên quan giữa tính C - tựa lồi thực sự, C - tựa lồi trên của ánh xạ đatrị với tính lồi của hàm vô hướng Kiến thức của chương này sẽ được sửdụng cho việc nghiên cứu các phần của chương sau

1.1 Nón và ánh xạ đa trị

Trong toán học và trong thực tế, ta gặp nhiều bài toán liên quan đếnphép tương ứng một điểm của tập hợp này với một tập con của tập hợpkia Một phép tương ứng như vậy được gọi là ánh xạ đa trị Để xác địnhthứ tự trong không gian và xét những bài toán liên quan đến ánh xạ cógiá trị là vector hoặc ánh xạ đa trị, người ta đưa ra khái niệm nón Từ

đó, ta mở rộng được khái niệm đã biết của không gian số thực hoặc sốphức cho không gian tôpô tuyến tính Mục này dành cho các khái niệm,tính chất của nón, ánh xạ đa trị và các khái niệm có liên quan Các kiếnthức của mục này được tham khảo từ cuốn sách của GS Nguyễn XuânTấn và PGS Nguyễn Bá Minh ([2])

Ta thường quan tâm tới các loại nón sau:

i) Nón C là nón lồi (nón đóng) nếu tập C là tập lồi (tập đóng);

ii) Ta kí hiệu l(C) = C ∩ (−C) là phần trong tuyến tính của nón C.Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = 0;

Với nón C cho trước, ta có thể định nghĩa quan hệ thứ tự trong Y nhưsau:

1) ∀x, y ∈ Y, x  Cy nếu x − y ∈ C, (có thể viết x  y nếu không sợnhầm lẫn);

2) ∀x, y ∈ Y , kí hiệu x  y nếu x − y ∈ C\l(C);

3) ∀x, y ∈ Y , kí hiệu x  y nếu x − y ∈ intC

Nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và nó là quan

hệ thứ tự từng phần trên Y Hơn nữa, nếu C là nón nhọn thì quan hệtrên có tính chất phản đối xứng, có nghĩa là nếu x  y và x  y thì

x ≥ y khi và chỉ khi xj ≥ yj, với mọi j = 1, n

Nón C = Rn+ được gọi là nón Orthant dương trong Rn

2 Cho Y = Rn

C = {x = (x1, x2, , xn)|xn ≥ 0}

C là nón lồi, đóng nhưng không nhọn vì

l(C) = {x = (x1, x2, , xn−1, 0) ∈ Rn} 6= {0}

Định nghĩa 1.1.2 Cho Y là không gian tuyến tính, Y∗ là không giantôpô đối ngẫu của Y ,< ξ, y > là giá trị của ξ ∈ Y∗ tại y ∈ Y Nón đốingẫu C’ và nón đối ngẫu chặt C0+ của C lần lượt dược định nghĩa là

Tập điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C kí hiệu là W M in(A|C)hay W M in(A).

4) Điểm x ∈ A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối vớinón C nếu tồn tại nón lồi ˜C khác hoàn toàn không gian và chứaC\l(C) trong phần trong của nó sao cho x ∈ M in(A| ˜C)

Tập điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C kí hiệu là P rM in(A|C)

Từ định nghĩa trên ta có IM in(A|C) ⊆ P rM in(A|C) ⊆ M in(A|C) ⊆

IM inB =PrM inB=M inB = W M inB = {(0, 0)}

b) Lấy thứ tự sinh bởi nón C = (R1, 0) ⊆ R2, ta có

IM inA = ∅,

PrM inA = M inA = W M inA = A,

IM inB = ∅,

PrM inB = M inB = W M inB = B.

1.1.2 Ánh xạ đa trị

Cho hai tập hợp X, Y, D ⊆ X là tập con

Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ F : D → Y biến mỗi điểm x ∈ D thànhmột tập con F (x) của Y , (F (x) có thể bằng rỗng), được gọi là ánh xạ

đa trị Ta kí hiệu 2Y là họ các tập con của Y và F : D → 2Y là ánh xạ

1) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ đóng (tương ứng, mở) nếu đồ thịGr(G) của nó là tập con đóng (mở) trong không gian X × Y 2) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ compact, nếu bao đóng clG(D) củaG(D) là một tập compact trong không gian Y

3) Ánh xạ G gọi là có nghịch ảnh mở, nếu với mọi y ∈ Y , tập G−1(y) ={x ∈ D|y ∈ G(x)} là mở

Nếu G(x) là tập đóng (compact) với mọi x ∈ D thì ta nói ánh xạ

G có giá trị đóng (tương ứng, có giá trị compact)

Từ Định nghĩa ta thấy,

i) G là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy suy rộng {xα} ⊆D.{yα} ⊆ Y, xα → x, yα ∈ G(xα), ta có y ∈ G(x)

ii) Khi X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh xạ F : X → 2Y

có ảnh ngược tại mỗi điểm là tập mở trong X thì ánh xạ bao lồicoF : X → 2Y của nó, (coF )(x) = coF (x), cũng có tính chất nhưvậy

Cho X, Y là các không gian tôpô, D ⊆ X Ta biết rằng, ánh xạ đơntrị f từ D vào Y được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mọi tập

mở V chưa f (x) đều tồn tại tập mở U chứa x sao cho f (x0) ∈ V với mọi

x0 ∈ U ∩ D Đối với ánh xạ đa trị, f (x) ∈ V tương ứng với khả năng:

F (x) ⊆ V hoặc F (x) ∩ V 6= ∅ Từ đó có thể mở rộng từ khái niệm liêntục đối với ánh xạ đơn trị sang ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau và

ta có hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liên tục trên

và nửa liên tục dưới Hai khái niệm này được đưa ra đầu tiên năm 1932bởi B.Bouligand và K.Kuratowski (theo Aubin và Frankowska (1990)).Sau đó, Berge (1959) ([7]) đã khảo sát khá kĩ về vấn đề này, ta nhắc lạiđịnh nghĩa của Berge

Định nghĩa 1.2.1 Cho tập con D ⊆ X, ánh xạ đa trị F : D → 2Y

1 F được gọi là nửa liên tục trên (dưới) (viết gọn là u.s.c (tương

ứng, l.s.c)) tại x ∈ D nếu mỗi tập mở V chứa F (x) (tương ứng,

F (x) ∩ V 6= ∅), tồn tại lân cận mở U của x sao cho F (x) ⊆ V(tương ứng, F (x) ∩ V 6= ∅), với mọi x ∈ U ∩ D

2 F được gọi là u.s.c (l.s.c) trên D nếu nó là u.s.c (tương ứng, l.s.c)tại mọi điểm x ∈ D

Các ví dụ sau đây chỉ ra rằng hai khái niệm ánh xạ đa trị nửa liên tụctrên, nửa liên tục dưới là hoàn toàn khác nhau

Ví dụ 1.2.1 Lấy X = Y = R, D = [−a, a], với a ∈ R, a > 0 Ánh xạ

[−a, a], nếu x 6= 0

1 F nửa liên tục dưới tại x = 0 Thật vậy, V là tập mở bất kì,

V ∩ F (0) 6= ∅ (trong trường hợp này V chưa 0 = F (0)) Khi đó, rõràng, lấy một lân cận U của điểm x ∈ 0, lấy bất kì x0 ∈ U, x0 6= 0thì F (x0) = [−a, a] ∩ V 6= ∅ (chúng chứa 0)

2 F không nửa liên tục trên tại x = 0 Thật vậy, lấy tập mở V =(−a

{0}, nếu x 6= 0,

nửa liên tục trên nhưng không nửa liên tục dưới tại x = 0.

Tiếp theo, cho X và Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địaphương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Y Các mệnh đề sau nêu lên các điềukiện cần, đủ để ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới.Mệnh đề 1.2.1 ([18]) Giả thiết F : D → 2Y là ánh xạ đa trị với giátrị compact Khi đó F là nửa liên tục dưới tại x ∈ D nếu và chỉ nếuvới mọi y ∈ F (x) và với mọi dãy {xα} trong D hội tụ tới x, tồn tại dãy{yα}, yα ∈ F (xα) với mọi α và yα → y

Mệnh đề 1.2.2 ([20]) Ánh xạ đa trị F có nghịch ảnh mở thì nửa liêntục dưới

Ngược lại không đúng, chẳng hạn trong ví dụ trên, ánh xạ F nửa liêntục dưới nhưng các nghịch ảnh {0}, [−a, 0], (0, a] không mở

Mệnh đề 1.2.3 ([6]) Nếu F : D → 2K là ánh xạ đa trị nửa liên tụctrên với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng Ngược lại nếu F là ánh xạđóng và K là tập compact, thì F là ánh xạ nửa liên tục trên

Cho X và Y là các không gian tôpô tuyến tính, các tập con khôngrỗng D ⊆ X, K ⊆ Y

Định nghĩa 1.2.2 Cho F : K × D × D → 2Y là một ánh xạ đa trị và

C : K × D → 2Y là ánh xạ nón đa trị (với mỗi (y, x) ∈ K × D, C(y, x)

là một nón trong Y )

i) F được gọi là C - liên tục trên (dưới) tại điểm (y, x, t) ∈ domFnếu với mọi lân cận V của gốc trong Y , tồn tại lân cận U của điểm

(y, x, t) sao cho:

F (y, x, t) ⊆ F (y, x, t) + V + C(y, x)(tương ứng, F (y, x, t) ⊆ F (y, x, t) + V − C(y, x))với mọi (y, x, t) ∈ U ∩ domF

ii) Nếu F đồng thời là C - liên tục trên và C - liên tục dưới tại (y, x, t),

ta nói F là C - liên tục tại (y, x, t)

iii) Nếu F là C - liên tục trên, dưới, tại mọi điểm thuộc domF , tanói F là C - liên tục trên, dưới, trên D

ii) Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệm C - liên tục trên và

C - liên tục dưới là một và ta nói F là C - liên tục (Đặt biệt, nếu F

là C - liên tục tại (y, x, t) và Y = R, C = R+(hoặc, C(y, x) = R−),thì F nửa liên tục dưới (tương ứng, nửa liên tục trên) tại (y, x, t)theo nghĩa thông thường)

Ví dụ 1.2.3 Cho f : D → K là một ánh xạ đơn trị C là ánh xạ nónhằng (giá trị tại mọi điểm đều bằng nhau) trong Y Khi ấy ánh xạ đatrị F (x) = f (x) + C vừa là C - liên tục trên, vừa là C - liên tục dướitại điểm mà f liên tục Trong [14], N.X Tấn và Lin, L.J đã đưa ra cácđiều kiện cần và đủ để một ánh xạ là C - liên tục trên (dưới).

Trong mục này, chúng tôi giả thiết X, Y là các không gian tuyến tính,

D là tập con lồi trong X Với các ánh xạ đơn trị, ta đã biết đến các kháiniệm hàm lồi, hàm tựa lồi, hàm vector lồi, giống tựa lồi theo nón Cáckhái niệm này được mở rộng tương ứng trong trường hợp ánh xạ đa trị.Định nghĩa 1.3.1 Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị và C là nón trong

Y

1 Ánh xạ F được gọi là C - lồi trên (dưới) trên D nếu với mọi x1, x2 ∈

D, α ∈ [0, 1], ta có αF (x1) + (1 − α)F (x2) ⊆ F (αx1+ (1 − α)x2) + C(tương ứng, F (αx1) + (1 − α)x2 ⊆ αF (x1) + (1 − α)F (x2) − C)

2 Ánh xạ F được gọi là C - giống như tựa lồi trên (dưới) trên D nếuvới mọi x1, x2 ∈ D, α ∈ [0, 1],

F (x1) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2) + C

hoặc, F (x2) ⊆ F (αx1 + (1 − α)x2) + C

(tương ứng, F (αx1 + (1 − α)x2) ⊆ F (x1) − C

hoặc, F (αx1 + (1 − α)x2) ⊆ F (x2) − C)

Chú ý Ta dễ thấy rằng:

1 Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệm C - lồi trên (dưới)(hoặc, C - giống tựa lồi trên (dưới)) là như nhau và ta nói F là C

- lồi (hoặc, C - giống tựa lồi)

2 Trong trương hợp Y = R, C = R+ và F là ánh xạ đơn trị, nếu F làánh xạ C - giống tựa lồi đơn trị thì F là hàm tựa lồi

Các khái niệm ánh xạ C - lồi trên (dưới) hay C - giống tựa lồi trên (dưới)

là sự tổng quát các khái niệm tương ứng đối với ánh xạ đơn trị Có thểthấy rằng, ánh xạ C - lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ C - giống tựalồi trên (dưới) và ngược lại

Ví dụ 1.3.1.([12]) Xét các ánh xạ F, G : R → R2, với F (x) = (x13, x) vàG(x) = (x, 1 − x) Với nón C = R2+, ta dễ dàng chỉ ra được rằng, F làánh xạ C - giống như tựa lồi nhưng không phải là C - lồi và ánh xạ G

là C - lồi nhưng không là C - giống như tựa lồi

Định nghĩa 1.3.2 Cho D là tập lồi trong X, F : D × D → 2Y là ánh

F (x, xj) − C(x)).

Ví dụ 1.3.2 Cho D là tập hợp con trong không gian tôpô tuyến tínhlồi địa phương X với đối ngẫu X∗, T : D → X∗ là ánh xạ đơn trị

Ta dễ dàng chỉ ra rằng, ánh xạ đơn trị F : D × D → R, F (x, t) =

hT (x), x − ti , x, t ∈ D là R+ - lồi trên (dưới) theo đường chéo và cũng

là R+ - giống tựa lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai.Định nghĩa 1.3.3 Cho các ánh xạ đa trị F : K × D × D → 2Y, Q :

D × D → 2K Cho C : K × D → 2Y là ánh xạ đa trị Ta gọi

1 F là (Q, C) - giống tựa lồi trên theo đường chéo đối với biến thứ banếu với bất kì tập hữu hạn {x1, , xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, , xn},tồn tại chỉ số j ∈ {1, , n} sao cho F (y, x, xj) ⊆ F (y, x, x) +C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, xj)

2 F là (Q, C) - giống tựa lồi dưới theo đường chéo đối với biến thứ banếu với bất kì tập điểm hữu hạn {x1, , xn} ∈ D, x ∈ co{x1, , xn}tồn tại chỉ số j = {1, , n} sao cho F (y, x, x) ⊆ F (y, x, xj) −C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, xj)

Trong các phần tiếp theo, ta sử dụng rất nhiều khái niệm ánh xạKKM và các mở rộng của nó, cụ thể ta có các định nghĩa sau: Cho X làkhông gian lồi địa phương Hausdorff, X, Z là các không gian tôpô tuyếntính Các tập con không rỗng D ⊆ X, K ⊆ Z.

Định nghĩa 1.3.4 Ánh xạ G : D → 2D được gọi là ánh xạ KKM nếuvơi mọi tập con hữu hạn {t1, , n} ⊆ D và x ∈ co{t1, , tn}, tồn tại

tj ∈ {t1, tn} sao cho x ∈ F (tj)

Định nghĩa 1.3.5

1 Cho F : K × D × D → 2X, Q : D × D → 2K là các tập ánh xạ đatrị Ta nói rằng ánh xạ F là Q − KKM nếu với mọi tập hữu hạn{t1, , n} ⊆ D và x ∈ co{t1, , tn}, tồn tại tj ∈ {t1, tn} sao cho

0 ∈ F (y, x, tj), với mọi y ∈ Q(x, tj);

2 Cho R là một quan hệ hai ngôi trên K × D Ta nói rằng quan hệ R

là quan hệ đóng nếu với mọi dãy suy rộng (yα, xα) hội tụ tới (y, x)

và R(yα, xα) xảy ra với mọi α thì R(y, x) xảy ra;

3 Cho R là một quan hệ ba ngôi trên K × D × D Ta nói R làquan hệ Q - KKM nếu với mọi tập hữu hạn {t1, , n} ⊆ D và

x ∈ co{t1, , tn}, tồn tại tj ∈ {t1, tn} sao cho R(y, x, tj) xảy ra,với mọi y ∈ Q(x, tj)

Chú ý

1 Nếu F là ánh xạ Q − KKM thì 0 ∈ F (y, x, x) với mọi y ∈ Q(x, x)

R, F (y, x, t) = hT (y, x), x − ti , x, t ∈ D, y ∈ K, là Q - KKM Hơn vậy,nếu ta định nghĩa quan hệ ba ngôi R(y, x, t) nếu và chỉ nếu 0 ∈ F (y, x, t).

Ta chứng minh được: R là quan hệ Q - KKM

Năm 1972, Browder đã chứng minh rằng, mọi ánh xạ liên tục từ mộthình cầu đơn vị đóng trong Rn vào chính nó có điểm bất động Năm

1922, Banach đã chứng minh nguyên lý ánh xạ co chỉ ra sự tồn tại điểmbất động của ánh xạ co Hơn nữa, ông còn xây dựng được dãy lặp hội

tụ tới điểm bất động đó Năm 1941, Kakutani, nhà toán học Nhật Bản

đã đưa ra kết quả về điểm bất động của ánh xạ đa trị nửa liên tục trêntrong không gian hữu hạn chiều Sau đó, năm 1952 Ky Fan đã mở rộngkết quả trên trong không gian lồi địa phương Hausdorff Trong chứngminh của các kết quả trong các chương tiếp theo, ta sử dụng các định

lý sau

Định lý 1.4.1 ([10] Định lý điểm bất động Ky Fan ) Cho D là một tập

con lồi, compact trong không gian lồi địa phương Hausdorff X, ánh xạ

F : D → 2D nửa liên tục trên với giá trị không rỗng, lồi đóng Khi đó F

có điểm bất động

Định lý 1.4.2 ([11] Bổ đề Fan - KKM ) Giả sử D là tập con khôngrỗng của không gian tôpô tuyến tính X, F : D → 2X là ánh xạ KKM vớigiá trị đóng Nếu tồn tại x0 ∈ D sao cho F (x0) là tập compact trong Xthì

X và F : D → 2D là ánh xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1 Với x ∈ D, F (x) là tập không rỗng và lồi trong D;

2 Với y ∈ D, F−1(y) là tập mở trong D

Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho x ∈ F (x)

Sau đây là một dạng tương đương của Định lý Fan - Browder

Định lý 1.4.4 ([20]) Cho D là tập con không rỗng lồi compact củakhông gian lồi địa phương Hausdorff X và F : D → 2D là ánh xạ đa trịthỏa mãn các điều kiện sau đây:

1 Với x ∈ D, x /∈ F (x) và F (x) là tập lồi;

2 Với y ∈ D, F−1(y) là tập mở trong D

Khi đó, tồn tại x ∈ D sao cho F (x) = ∅.

Định lý 1.4.5 ([17]) Cho D, K tương ứng là tập con lồi compact khôngrỗng trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, Y.Cho các ánh xạ S : D × K → 2D, H : D × K → 2K; M : D → 2D Giảthiết các điều kiện sau thỏa mãn:

i) S là ánh xạ đa trị với giá trị lồi không rỗng và có các nghịch ảnhmở;

ii) H là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi đóng không rỗng và tập

A = {(x, y)|x ∈ S(x, y), y ∈ H(x, y)} là tập đóng;

iii) M có nghịch ảnh mở và với mọi x ∈ D, x /∈ coM (x)

Khi đó tồn tại (x, y) ∈ D × K với x ∈ S(x, y), y ∈ H(x, y) và S(x, y) ∩

M (x) = ∅

ở dạng động và đặt tên là bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại trên

và dưới Cùng năm đó, Nguyễn Xuân Tấn và Đinh Thế Lục [16] cũng

đã mở rộng những bất đẳng thức biến phân này cho trường hợp tương

tự với miền ràng buộc cũng luôn biến dạng qua các ánh xạ đa trị khácnhau và đặt tên cho chúng là bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại

2 Ta nhắc lại các bài toán này qua ngôn ngữ toán học như sau: Cho

X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Giả

sử D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập khác rỗng, C ⊆ Y là nón lồi đóng nhọn.Cho các ánh xạ:

S : D × K → 2D, T : D × K → 2K, P1, P2 : D → 2D, Q : K × D → 2K