PHƯƠNG PHÁP số TRONG đại số TUYẾN TÍNH

PHƯƠNG PHÁP số TRONG đại số TUYẾN TÍNH

1 n

2n 22

21

1n 12

11

a

a a

a

a a

a

a a

x

x

1

Đặt vấn đề ( tiếp theo )

 Nếu det(A)  0 thì hệ có nghiệm duy nhất

 Phương pháp giải thuộc 2 hai nhóm:

o Trực tiếp (giải đúng): Cramer, Gauss,…

o Lặp (gần đúng)

 Phương pháp Cramer

) A det(

) A

ni n

1 ni 1

n

n 2 1

i 2 2

1 i 2 21

n 1 1

i 1 1

1 i 1 11

i

a

a b

a

a

a b

a

a

a

a b

a

a A

Thay cột thứ i trong A bởi B để có Ai

2 2

3 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

10 1) - 3(2 2)

(1 - 4) 2(-1 2

-1

1 1

3 1 2

1 1

1 1 2

2 1 2 1 2 3

2 1 1

1 1

2 )

1

1 1

1 2

1 1

2 1 2

2 1 3 1 2 1

2 1 2

1 1

3 )

3(6 1)

(3 - 2) (2 2 2 2

-1 3

3 1 1

1 3

1 1

2 2 2 1

1 3

2 2

1

1 3

2 )

Phương pháp Cramer

20 3)

3(2 6)

(-1 - 4) 2(1 2

1

3 1 3 1 2

3 1

1 2

2 1 2 1 2

3

2 1 1

3 1

2 )

10 )

3 10

30 )

2 10

20 )

3 x

3 x

5 x

x x

2

4 x

x x

3 2

1

3 2

1

3 2

1

4 B

, 3 3

1

1 1

2

1 1

1

A

4 3

3 1

1 1

2

1 1

1 )

12 x

12 3

3 6

1 1

5

1 1

0 x

0 3

6 1

1 5

2

1 4

4 x

4 6

3 1

5 1 2

4 1 1

Phương pháp Cramer

 Nhận xét:

 Nếu xem như trong quá trình tính toán không có sai số quy tròn thì phương pháp Cramer là một phương pháp giải đúng

 Việc giải hệ gồm n phương trình bằng phương pháp

Cramer cần phải tính n+1 định thức cấp n, mỗi định

thức cấp n cần: n!-1 phép cộng, (n-1)n! phép nhân Khi

n lớn  số lượng phép tính là rất lớn  khó thực hiện được trong thực tế

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (phương pháp khử)

 Nội dung của phương pháp: Gồm 2 quá trình:

) 2 ( 2

) 1 ( 1 (n)

) 2 ( n 2

) 1 ( n 1

) 1 ( 12 )

n (

b

b

b B

; 1

a

1

a

a 1

A

) ( ) (

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

Hệ phương trình đã cho tương đương với:































) n ( n n

) 2 ( 2 n

) 2 ( n 2 2

) 1 ( 1 n

) 1 ( n 1 2

) 1 ( 12 1

b x

b x a

x

b x a

x a

x

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

 Quá trình nghịch: Lần lượt tính nghiệm xn, xn-1, … x1 theo cách:

n

i k

k

i ik

i i i

n

n n n

n n n

n n n

x a b

x

x a b

x

x a

b x

b x

2

) 1 ( 1

) 1 ( 1 1

1

) ( )

(

) 1 ( ) 1 (

) 1 ( 1 1

) (

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

 Các bước thực hiện: Để minh họa, ta sử dụng phương pháp Gauss để

3

2 2

3 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

Bước 1: - Giả sử a11 ≠ 0, chia dòng 1 cho a11 (a11 là phần tử

trụ) Hệ đã cho tương đượng với:

n nn

n n

n

n n

) ( n

) ( )

(

b

b b b

x

x x x

.

a

a a

a a

a

a

a a

a

a

a a

3 2

1 1

3 2 1

3 2

1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 1

1 13

1 12 1

11 1

) 1 ( 1 11

j 1

) 1 ( j

3

2 2

2

3 2

1 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

 Quá trình thuận

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

- Khử x1 trong phương trình thứ i=2,3,4,…, n bằng cách:

Thay dòng i bởi dòng i – dòng 1 * a i1 Nghĩa là:

a(1)ij = aij - a(1)1j *ai1 với j=1,n và: b (1)

) (

) (

) (

n )

( nn

) ( n

) ( n

) ( n

) ( )

(

) ( n )

( )

(

) ( n

) ( )

(

b

b b b

x

x x x

.

a

a a

a a

a

a a

a

a a

1

1 3

1 2

1 1

3 2 1

1 1

3

1 2

1 3

1 33

1 32

1 2

1 23

1 22

1 1

1 13

1 12

5 2

7

2

1 2

5 2

3

2

3 2

1 2

1

3 2

3 2

3 2

1

x x

x x

x x

x

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

 Bước 2: Giả sử a(1)

22  0, chia dòng 2 cho a(1)22 Hệ đã cho tương đượng với:

), ,2,1(

,/

,/ 22(1) 2(2) 2(1) 22(1)

) 1 ( 2

) 2 (

) (

) (

) (

n

) ( nn

) ( n

) ( n

) ( n

) ( )

(

) ( n

) (

) ( n

) ( )

(

b

b b b

x

x x x

.

a

a a

a a

a

a

a

a a

1

1 3

2 2

1 1

3 2 1

1 1

3

1 2

1 3

1 33

1 32

2 2

2 23

1 1

1 13

1 12

0

0

1 0

5 2

7

3

1 3

5

2

3 2

1 2

1

3 2

3 2

3 2

1

x x

x x

x x

x

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

) (

) (

) (

n )

( nn )

( n

) ( n )

(

) ( n )

(

) ( n )

( )

(

b

b b b

x

x x x

a

a

a

a

a

a a

2

2 3

2 2

1 1

3 2 1

2 2

3

2 3

2 33

2 2

2 23

1 1

1 13

1 12

0 0

0 0

1 0

10 -

3

1 3

5

2

3 2

1 2

1

3

3 2

3 2

1

x

x x

x x

x

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

 Tiếp tục thực hiện như trên cho đến khi đưa được ma trận hệ số về ma trận tam giác trên Hệ đã cho tương đương với:

) (

) (

) (

n

) ( n

) ( n

) (

) ( n

) ( )

(

b

b b b

x

x x x

a

a

a

a a

3 3

2 2

1 1

3 2 1

3 3

2 2

2 23

1 1

1 13

1 12

1 0

0 0

1 0

0

1 0

3

1 3

5

2

3 2

1 2

1

3

3 2

3 2

1

x

x x

x x

x

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

3

1 3

5

2

3 2

1 2

1

3

3 2

3 2

1

x

x x

x x

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

Ví dụ 3.3: Giải hệ sau bằng phương phap Gauss

3 x

3 x

5 x

x x

2

4 x

x x

3 2

1

3 2

1

3 2

1

Giải: ???

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

4 B

, 2 2

0

3 1

0

1 1

1

(1) )

1 (

A

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

4 B

, 4 0

0

3 1

0

1 1

1

(2) )

2 (

4B

,10

0

31

0

11

1

(3) )

3 (

A

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

33

4

3

3 2

3 2

1

x

x x

x x

x

Ta có hệ đã cho tương đương với:

Vậy nghiệm của hệ là: x1=3; x2=0 và x3 = 1

Sơ đồ Gauss

 Trong trường hợp không sử dụng máy tính để giải, để hạn chế sai sót, ta có thể lập bảng (sơ đồ Gauss) để ghi lại quá trình tính tóan

 Để đơn giản, ta xét hệ chỉ gồm 3 phương trình, 3 ẩn:

33 2

32 1

31

2 3

23 2

22 1

21

1 3

13 2

12 1

11

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

 Lập bảng để tính gồm 5 cột

Cách ghi vào sơ đồ Gauss

 Phần I:

- Ghi các hệ số của A vào các cột ai1, ai2, ai3 và hệ số tự do

B vào cột bi

- Cột  ghi tổng các phần tử bên trái cùng dòng

- Chia dòng 1 cho a11, kết quả ghi vào dòng cuối của phần I (ứng với i=4)

Cách ghi vào sơ đồ Gauss (tiếp theo)

 Phần III:

- Hệ số của phương trình thứ 3 sau khi khử x2 được ghi

vào dòng đầu tiên (ứng với i=3)

- Chia dòng 3 cho a33(2), kết quả ghi vào dòng cuối của

phần III (ứng với i=4)

 Phần IV: Ghi hệ số 1 vào các ô tương ứng với vị trí của x và tính nghiệm x3, x2, x1

Chú ý: những phép biến đổi trên các hệ số của A, B như thế nào thì cũng biến đổi như vậy đối với cột tổng nên tổng a i1 +a i2 +a i3 +b i =a i Nếu có sự khác biệt lớn hơn sai số do quy tròn thì phải xem lại quá trình tính tóan

(Xem ví dụ trong slide kế)

2 2

3 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

3x

5x

xx

2

4x

xx

3 2

1

3 2

1

3 2

1

Ví dụ 3.5: Lập sơ đồ Gauss giải hệ:

Khối lượng phép tính của PP Gauss

6

5 2

1 )( n ) n

6

5 2

1 )( n ) n

(

6

7 9

Giải thuật của phương pháp Gauss

Quá trình thuận:

For (int k=1; k<=n;k++) {

m = akk;//m là phần tử trụ

If m= =0 “Chưa xét trường hợp này, dừng”

Else { //Chia dòng k cho m=akk

bk=bk/m;

for (int j=1; j<=n; j++) akj=akj/m;

for (int i=k+1; i<=n;i++){

hệsố = aik; bi=bi-heso*bk; for (int j = k; j<=n; j++) aij=aij-akj*heso; }

}

}

Giải thuật của phương pháp Gauss

3) Phương pháp Gauss với phần tử trụ lớn nhất:

Với PP Gauss được trình bày ở trên:

 Phương pháp Gauss là PP giải đúng Thực tế, vẫn xảy

ra sai số do quy tròn Hơn nữa, các tính toán trên máy tính chỉa là gần đúng Sai số sẽ lớn khi phần tử trụ có trị tuyệt đối nhỏ

 Không thực hiện được nếu ở bước k, phần tử akk=0

 Cải tiến phương pháp Gauss ở trên bằng cách: Ở bước

k, ta chọn phần tử làm trụ có trị tuyệt đối lớn nhất

3) Phương pháp Gauss với phần tử trụ lớn nhất (tt)

 Nội dung của phương pháp:

Giống như phương pháp Gauss đã trình bày, tuy nhiên:

Ở bước k, trước khi biến đổi:

for (i=k;i<=n; i++) if |aik|>|ark| then r = i;

if (ark== 0) {Hệ không có nghiệm duy nhất, dừng}

else { Hóan vị dòng r với dòng k m=akk;

Chia dòng k cho m Khử xk ở các pt thứ i=k+1, k+2, …, n bằng cách:

Thay dòng i bởi dòng i – aik*dòng k

} }

4 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cholesky

 Giải hệ PT tuyến tính: AX = B

 Nội dung của phương pháp:

 Giả sử biến đổi được ma trận A thành tích của 2 ma trận vuông cấp n : A = C x D

Trong đó ma trận C và D là 2 ma trận tam giác có dạng:

c

C c

c C

0

0

0

2 1

22 21

00

10

1

2

1 12

n

n

d

d d

D

Trong đó cii 0 với mọi i=1,2,…,n

Phương pháp Cholesky (tiếp theo)

 Sau khi xác định được 2 ma trận C và D, tính nghiệm của hệ gồm 2 bước:

 Bước 1: Giải hệ CY = B

y1 = b1/c11

y2 = (b2 – c21*y1)/c22

kk i

k

i

ki k

1 1

n k , 1

ki k

x

Phương pháp Cholesky (tiếp theo)

j) (i 1 d

1) j (i .

ij ij

1 1

1 1

j

k

kj ik ij

ij

i i

d c a

c

a c

)(1

)

.(

1/

ij

1 1

11 1

1

j i

d c

a cii d

c a

d

i

k

kj ik ij

ij

j j

Giải thuật Cholesky

Thuận: Tìm 2 ma trận C và D

Cho i = 1,2,…n;

Cho j=1,2,…,n{

Nếu (j<=i) { Nếu i=j thì dij=1 ngược lại (j<i): dij=0

Nếu j=1 thì cij=aij Ngược lại:{acc=0;

cho k=1,2,…,j-1: acc = acc + cik*dkj;

cij =aij – acc;}

} Ngược lại (nghĩa là j>i):

{ cij=0 Nếu (i=1) d1j=a1j/c11

Ngược lại {

acc=0;

Cho k=1,2,…,i-1: acc = acc + cik*dkj;

dij =(aij – acc)/cii }

} }

Giải thuật Cholesky

Phương pháp Cholesky (tiếp theo)

Ví dụ 3.6: Giải hệ sau bằng phương pháp Cholesky

3

2 2

3 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

0

3 / 5 1

0

2 / 1 2

/ 1 1 ,

3 / 10 2

/ 7 3

0 2

/ 3 1

0 0

2

D C

Giải hệ CY=B, được nghiệm y1=3/2, y2= -1/3, y3= 2

Giải hệ DX=Y, được nghiệm x1=1, x2= 3, x3= 2

1 n

2n 22

21

1n 12

11

a

a a

a

a a

a

a a

A

Tính định thức ma trận bằng phương pháp Gauss (tiếp theo)

Nội dung của phương pháp:

 Biến đổi ma trận A về ma trận tam giác có dạng:

0

a

a 1 0

a

a a 1

(n) 2n

(n) 23

(n) 1n

(n) 13

(n) 12 )

)1()det(

Trong đó: p là số lần hóan vị các dòng để tìm phần tử trụ

Giải thuật tính định thức ma trận bằng phương

 Nếu atk=0 thì det(A)=0; dừng thuật tóan

 Nếu atk ≠ 0 thì làm các việc sau đây:

1 /

{

a tk  jk 

6 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp gauss

 Bài toán:

 Cho ma trận A:

 Tìm ma trận nghịch đảo A -1 của A Nghĩa là :

A.A-1 =I, Với I là ma trận đơn vị cấp n:

Lưu ý: Mọi ma trận không suy biến đều tồn tại ma trận nghịch đảo

1

2n 22

21

1n 12

11

a

a a

a

a a

a

a a A

0 0 0

0

0 1 0

0

0 0 1

I

2n 22

21

1n 12

11 1

x

x x

x

x x

x A

1

2n 22

21

1n 12

11

2 1

2 22

21

1 12

11 1

x

x x

x

x x

x

a a

a

a a

a

a a

a A

A

n nn

n n

n n

k

k nk n

k

k nk

n

k

kn k k

k n

k

k k

n

k

kn k n

k

k k n

k

k k

x a x

a x

a

x a x

a x

a

x a x

a x

a

1 1

2 1

1

1 2 2

2 1

1 2

1

1 1

2 1 1

1 1

0 1 0

0 0 1

I

x ij Cần phải tìm?

Tìm ma trận nghịch đảo (tt)

0

1

0

0

2 2 1

1

2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

n j

n

nj jn j

j j

j

nj n j

j

nj n j

j

x a x

a x

a

x a x

a x

a

x a x

a x

a

x a x

a x

nj

j j

nn n

n

n n

e

e e

x

x x

a a

a

a a

a

a a

a

1

2 1

2 22

21

1 12

11 Xét cột thứ j trong 2 ma trận A.A -1 và I Ta có hệ:

1

) (

0

j i

j

i

e ij

Hay

j j

nn n

n

n n

e

e e

x

x x

a a

a

a a

a

a a

a

1

2 1

2 22

21

1 12

1

) (

0

j i

j i

e ij

0

0

1

1 31

3 21

2 11

1

1 3

31 33 21

32 11

31

1 2

31 23 21

22 11

21

1 1

31 13 21

12 11

11

n nn n

n n

n n

n n

n n

x a x

a x

a x

a

x a x

a x

a x

a

x a x

a x

a x

a

x a x

a x

a x

a

Để tìm được các phần tử ở cột 1 của ma trận A -1

0

1

0

2 32

3 22

2 12

1

2 3

32 33 22

32 12

31

2 2

32 23 22

22 12

21

2 1

32 13 22

12 12

11

n nn n

n n

n n

n n

n n

x a x

a x

a x

a

x a x

a x

a x

a

x a x

a x

a x

a

x a x

a x

a x

Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo bằng pp

Dòng i của A = Dòng i của A – heso*dong k của A

Dòng i của I = Dòng i của I – heso*dong k của I

}

}

}

}

/{

Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo bằng pp Gauss

7 Chuẩn của ma trận và chuẩn của vector

4.1 Định nghĩa: Chuẩn của ma trận A=(aij) là một số thực ||A||

thỏa các điều kiện:

a. ||A||≥0 (với ||A||=0  A = 0)

b. ||.A||=||.||A||, với  là một số thực

.

)

|

| (

.

|

| max

.

,

2

1 2 2

j i

ij

i

ij j

a A

c

a A

b

a A

(Chuẩn Ơclit )

(Chuẩn dòng)

Chuẩn của ma trận và chuẩn của vector

2 0

1

1 1 2

A

Tính? A , A , A 

2 1

Chuẩn của ma trận và chuẩn của vector

 Chuẩn Vector: Vector là ma trận chỉ có 1 cột nên chuẩn của Vector là:

x x

x X

1 2

1

2 1

1

2 2

2 2

2 1

x X

1

X

Tính các chuẩn dòng, cột vàƠclit Của X

8 Sự không ổn định của hệ phương trình đại số tuyến tính

 Giả sử nghiệm của hệ AX=B tìm được là X1

 Nếu thay đổi rất ít giá trị của các hệ số hoặc của vế phải, mà nghiệm tìm được của hệ sai lệnh lớn so với X1 Ta nói hệ

AX=B không ổn định, ngược lại hệ phương trình gọi là ổn

định

 Cách đơn giản để kiểm tra tính ổn định của hệ thống phương trình là: Giải hệ AX=B đồng thời cũng giải hệ AX=B1 với B1khác rất ít so bới B Nếu hai nghiệm tìm được xấp xỉ nhau, ta nói hệ ổn định, ngược lại ta nói hệ không ổn định

 Cách khác: xét hệ số Cond(A)=||A||.||A-1||

Với ||A|| là một chuẩn nào đó

Cond(A) càng lớn, hệ càng không ổn định

Con(A) càng gần với 1, hệ càng ổn định

Sự không ổn định của hệ phương trình đại số tuyến tính (tt)

9 5

7

33 9

10 6

8

23 5

6 5

7

32 7

8 7

10

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

9 Giải hệ phuơng trình tuyến tính bằng phương pháp lặp đơn

- Bắt đầu với X(0) nào đó, nếu dãy: X(n+1) =  + X(n) (*) hội tụ về X(*) khi n   thì X(*) là nghiệm của hệ

 Tìm nghiệm của hệ: AX=B

 Nội dung của phương pháp

-Biến đổi hệ về dạng tương đượng: X =  + X

n1

2n 22

21

1n 12

11 2

Sự hội tụ bề nghiệm và sai số

 Định lý: Nếu ||  ||p<1 thì dãy lặp (a) hội tụ về nghiệm (||  ||p: Là một chuẩn nào đó của  )

k

X X

X X





p p

k p p

k

X X

X

1

) (

,0

915

,03

09,0

808

,024

,04

3 2

1

3 2

1

3 2

1

xx

x

xx

x

xx

3

3 1

2

3 2

1

02 , 0 01

, 0 5

05 , 0 03

, 0 3

02 , 0 06

, 0 2

x x

x

x x

x

x x

x

X

X    



, 0 01

, 0

05 , 0 0

03 , 0

02 , 0 06 , 0 0

; 5 3

Hội tụ về nghiệm của hệ đã cho

Bài tập: Với hệ đã cho trong ví dụ trên

a) Hãy tính nghiệm gần đúng của hệ sau 3 lần lặp (Bắt đầu với

X (0) =(0,0,0)

b) Hãy tìm nghiệm gần đúng của hệ với sai số không quá 0,05

29 2

5

12 6

2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

9 5

7

33 9

10 6

8

23 5

6 5

7

32 7

8 7

10

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

7 2

7

3 3

4

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

c)

13

1

32

4

4 0

1

2 1

3

3 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận cho ở câu 2 bằng phương pháp Gauss