tìm NGHIỆM THỰC gần ĐÚNG của PHƯƠNG TRÌNH một BIẾN

NGHIỆM THỰC gần ĐÚNG của PHƯƠNG TRÌNH một BIẾN

Chương II TÌM NGHIỆM THỰC GẦN ĐÚNG CỦA

PHƯƠNG TRÌNH MỘT BIẾN

1 Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm

1.1 Nghiệm của phương trình:

 Nếu f() = 0 thì  là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0

 Ý nghĩa hình học của nghiệm:

- Các nghiệm của phương trình f(x) = 0 là hoành độ giao điểm của đường cong (C): y = f(x) với trục hòanh

M

) 0 , (1

y=f(x)

) 0 ,

y

1, 2 là nghiệm của phương trình f(x)=0

Hình 2.1

1 Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)

 Có thể biến đổi phương trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x) Khi đó nghiệm của f(x)=0 là các hoành độ giao điểm của 2 đường cong (C1): y=g(x) và (C2): y=h(x)

1 Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)

Định lý: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a) trái dấu với f(b), tức

là:

f(a).f(b)<0 Thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thực trong [a,b]

N f(b)



1 Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)

1.2) Khoảng phân ly nghiệm:

(a,b) gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0 nếu trên (a,b) phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm thực

Ví dụ 1.1: Trên (-2, -1) phương trình x3-3x+1=0 chỉ có duy 1

nghiệm  (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm

Định lý: Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không đổi dấu

trên (a,b), và f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất một nghiệm trên

(a,b)

 Suy ra, (a,b) là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình

1 Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)

f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0

f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0 f’(x)<0 f(a)>0

f(b)<0

1 Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)

Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm

Tương tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly nghiệm

x

1 Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)

1.3) Tìm khỏang phân ly nghiệm của phương trình:

- Nếu f’(x) liên tục, xét dấu của f(x) tại 2 mút của miền xác định và tại những điểm mà f’(x) = 0  Ước lượng khỏang phân ly

nghiệm

- Hoặc vẽ đồ thị của hàm y=f(x) trên giấy kẻ ô vuông  Ước

lượng nghiệm gần đúng (hòanh độ giao điểm của đồ thị với trục hòanh)

- Trường hợp y=f(x) khó vẽ đồ thị, có thể biến đổi y=f(x) về hàm tương đương h(x)=g(x) Vẽ đồ thị y=h(x) và y=g(x)  Ước lượng các hòanh độ giao điểm -> xác định khỏang phân ly nghiệm

1 Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)

Ví dụ 1.3: Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phương trình

5x3 - 19x + 3 = 0 Xét f(x) = 5x3 - 19x + 3

 Tính f’(x) = 15x2 – 19; f’(x) = 0 

19

; 15

19

2

1  x  

x

Vậy có thể lấy (-3;-2); (0;1); (1,5;2) là các khỏang phân ly

nghiệm của phương trình 5x3 - 19x + 3 = 0

15

19



15 19

f(x)

0 +

0 - +

 Nếu f(x0)=0  x0 là nghiệm đúng  Dừng

 Nếu f(x0)  0 và sai số  x0  thì x0 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số  x0  Dừng

2.Phương pháp chia đôi (Bisection)

Bài toán : Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của

phương trình f(x) = 0 Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình trong (a,b), sai số  

2 Phương pháp chia đôi (tiếp theo)

 Nếu f(x0)  0 và sai số x0 >  thì xét dấu f(a).f(x0):

Nếu f(a).f(x0) < 0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (a,x0)

Nếu f(a).f(x0) >0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (x0,b)

 Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân ly nghiệm mới

 Quá trình lặp lần lược cho ta các nghiệm gần đúng x0, x1,…

Và kết thúc khi tìm được xn với sai số  xn≤ 

2 Phương pháp chia đôi (tiếp theo)

2 Phương pháp chia đôi (tiếp theo)

Ta thấy: f’(x) > 0  x  (0,1)

Và f(0)=-1; f(1)=4  f(0).f(1)=-4<0

Vậy (0,1) là khoảng phân ly nghiệm

Kết quả thực hiện của 5 lần lặp (với phương pháp chia đôi)

2 Phương pháp chia đôi (tiếp theo)

1

1 0

0   x  ba

 

),

(2

1))

(2

1(2

1

2 1

2 Phương pháp chia đôi (tt)

0 )]

.(

2

1 [ lim

2.4 Ưu nhược điểm của phương pháp

 Ưu điểm:Đơn giản, dễ lập trình

 Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm

2 Phương pháp chia đôi (tt)

Ví dụ 1.3: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3 + 4x2 - 1 = 0 trên (0,1) với sai số   = 0,1 bằng phương pháp chia đôi

• x0 = (a+b)/2=(0+1)/2 =0,5;

Sai số: x0 = ½*(b-a)=1/2=0,5 >  = 0,1 f(0).f(0,5) = -0,125 < 0  Thay b = 0,5; a=0 (không đổi)

• x1 = (a+b)/2=(0+0,5)/2 =0,25;

Sai số: x1 = ½*(0,5-0)=0,25 >  = 0,1 f(0).f(0,25) = 0,73>0  Thay a = 0,25; b=0,5 (không đổi)

• x2=(a+b)/2=(0,25+0,5)/2 =0,375;

Sai số: x2=½*(0,5-0,25)=0,125>  = 0,1 f(0,25).f(0,375) = 0,28>0  Thay a=0,375;b=0,5 (không đổi)

• x3=(a+b)/2=(0,375+0,5)/2 =0,4375;

Sai số: x3 = ½*(0,5-0,375)=0,0625<  = 0,1

Do x3 <  = 0,1 nên x =x3= 0,4375 là nghiệm gần đúng cần tìm

Giải thuật của phương pháp chia đôi

Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình

f(x)=0 Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số

cho trước

3.1) Nội dung của pp:

AB cắt trục hoành tại điểm (x1,0)

 Nếu f(x1).f(a)<0 thì (a,x1) là khoảng phân ly nghiệm mới

 Nếu f(x1).f(a)>0 thì (x1,b) là khoảng phân ly nghiệm mới

3 Phương pháp dây cung

3.2 Công thức tính nghiệm (tt)

Để xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm

và lồi lõm của đường cong f(x) Giả sử f’ và f’’ không đổi dấu trên (a,b)

a

b

f’(x)<0,f’’(x)<0 f(a)>0, f(b)<0

f’(x)<0,f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0 f’(x)>0,f’’(x)>0

f(a)<0, f(b)>0

x b

x x x

f b

f

x f

(

) (

y

x b

x x x

f b

f

x f y

n

n

n n

a x

b f x

f

b x

x

f x

x

n

n n

n n

(

) ).(

(

(3.1)

Trường hợp: f’(x).f’’(x)>0 :

)()

(

)(

x a

x x x

f a

f

x f y

f’(x)<0,f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0

) ( 0

) ( ) (

) (

0 0

0 0

1 0

0 0

0

a x a f x

f

x f x

x y

x a

x x x

f a f

x f y

3.2 Công thức tính nghiệm (tt)

 Bước n, phương trình đường thẳng ABn:

Nghiệm gần đúng Xn+1 cần tìm là nghiệm của hệ:

(

)(

y

x a

x x x

f a

f

x f y

n

n n

n

) ( )

(

) ).(

(

1

a f x

f

a x

x

f x

x

n

n n

n

x a

x x x

f a f

x f

(

) (

(3.1)

3.2 Công thức tính nghiệm(tt)

 Từ 2 trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:

) ( )

(

) )(

(

1

d f x

f

d x

x

f x

x

n

n

n n

d=b, x0 = a nếu f(b) cùng dấu với f’’(x) (hay f’(x).f’’(x)>0)

d=a, x0 = b Nếu f(a) cùng dấu với f’’(x) (hay f’(x).f’’(x)<0)

(3.3)

Phương pháp dây cung

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3-3x+1=0 trên (1,5; 2) bằng phương pháp dây cung với 3 lần lặp (nghĩa là giá trị của nghiệm cần tìm lần lượt là x0, x1, x2 và x3

(

))(

(

1

d f x

f

d x

x f x

x

n

n n n

Phương pháp dây cung

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

f’(x)>0 và f’’(x)>0  x  (1,5; 2) và f(1,5)=-1,125<0 ; f(2)=3>0 Vậy, chọn x0 = 1,5; d = 2

(

) )(

( 1

d f x

f

d x x f x x

n

n n n

) 2 )(

( 0

0 0 0

x x f x x

?)2()

(

)2)(

(

2

2 2 2

f

x x f x

x

)2()

(

)2)(

(

1

1 1 1

f

x x f x

x

3.3) Đánh giá sai số của phương pháp dây cung

Áp dụng:

Gọi  là nghiệm đúng f(x) liên tục trên [xn,  ] (hoặc [  , xn ] nếu f’(x).f’’(x)<0) và f(x) có đạo hàm trên (xn,  ) (hoặc (  , xn) nếu f’(x).f’’(x)<0) Theo định lý Lagrange, c(xn, ) sao cho:





Vậy có thể chọn sai số tuyệt đối giới hạn cho xn là:

) ( '

) ( )

( '

) ( )

(

c f

x f c

f

f x

f

x f

) ( '

) (

n

Phương pháp dây cung (tiếp theo)

Ví dụ: Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng của phương

trình 5x3-x2-x-1=0 trên đoạn [0,5;1,5] với sai số không quá 0,02

Giải: Đặt f(x) = 5x3-x2-x-1

f’(x)=15x2-2x-1; f’(x)=0  x1=-1/5; x2 =1/3 f’’(x)=30x-2  x=1/15

Xét dấu f’ va f’’:

X - -1/5 1/5 1/3 -

Phương pháp dây cung (tiếp theo)

(

) 5 , 1 )(

(

5 , 0

1

1 1

1

0

f x

f

x x

f x

x x

n

n n

n n

Phương pháp dây cung (tiếp theo)

0,5 -1,125 0,642857 0,584906 -0,9265 0,529426 0,649866 -0,69992 0,399952 0,696262 -0,49337 0,281926 0,727688 -0,33056 0,18889 0,748184 -0,21387 0,122214 0,761215 -0,13524 0,077278 0,769365 -0,08427 0,048153 0,774407 -0,05203 0,02973 0,777508 -0,03194 0,018251  0.02

x=0.777508 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số

không quá 0.02

Phương pháp dây cung (tiếp theo)

 Sự hội tụ về nghiệm: Giả sử là nghiệm đúng Dãy các nghiệm gần đúng

 Trong trường hơp 1:

a=x0<x1<x2<…<xn< <b Dãy {xn} tăng nghiêm cách và bị chặn trên bởi , nên:

 Trong trường hơp 2:

a<  <xn<xn-1<…<x1<x0=b Dãy {xn} giảm nghiêm cách và bị chặn dưới bởi , nên:

 Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung:

 Ưu điểm: Biết xn, chỉ cần tính một giá trị của f(xn) để tính xn+1

 Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm

Giải thuật của phương pháp dây cung (1)

Giải thuật của phương pháp dây cung (2)

Bài toán : Giả sử với f(a)*f(b)<0, và f’(x), f’’(x) không đổi dấu trên (a,b) Tìm 1 nghiệm gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số  cho trước

4.1 Nội dung của pp:

- Thay đường cong f(x) trên

[a,b] bởi tiếp tuyến (T) với

đường cong tại điểm A hoặc

B, hoành độ giao điểm x1

của (T) với trục hoành xem

như nghiệm gần đúng của phương trình

4 Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton)

4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến:

a) Trường hợp 1: f’(x).f’’(x)>0

a

X0=b

f’(x)<0,f’’(x)<0 f(a)>0, f(b)<0

a

x0=b

f’(x)>0,f’’(x)>0 f(a)<0, f(b)>0

x1

x1

f(x)

(T0)

4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):

(T0) (T1)

4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):

 Cho x0 = b

 Phương trình tiếp tuyến (T0) tại B0(x0,f(x0)):

y-f(x0) = f’(x0)(x-x0) (T0) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x1 là nghiệm của hệ:

x1 xem như nghiệm gần đúng của phương trình, nếu cần chính xác

hơn, ta thay x0 bởi x1, lặp lại tính toán trên để tính x2 (chính xác hơn

x1) Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác theo yêu cầu

( ' )

( 0 0 1 0

y

x x

x f x

f y

) (

'

) (

0

0 0

1

x f

x

f x

x  

4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):

 Công thức tính nghiệm tổng quát: Giả sử ở bước thứ n,

( ' )

y

x x

x f x

f

) ( '

)

(1

n

n n

n

x f

x

f x

x   

4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): b) Trường hợp f’(x).f’’(x)<0:

f’(x)>0, f’’(x)<0 f(a)<0, f(b)>0

f’(x)<0, f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0

a

b

Lấy x0= a, phương trình tiếp tuyến (T0) với f(x) tại A0(x0, f(x0)):

y-f(x0) = f’(x0).(x-x0) Nghiệm gần đúng x1 là nghiệm của hệ:

4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):

(' )

y

x x x f x

f y

) ( 0

0

x f

x f

x

x  



4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):

 Tổng quát: Giả sử tìm được nghiệm gần đúng xn, xây

( ' )

(

1

y

x x

x f x

f

n

) (

'

) (

1

n

n n

x f

x

f x

x



4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):

 Kết luận: Từ 2 trường hợp, ta rút ra công thức tính nghiệm gần

đúng xn+1 theo xn là:

) (

'

) (

1

n

n n

x f

x

f x

x



 X0 = a nếu f’’(a) cùng dấu với f(a)

 X0 = b nếu f’’(b) cùng dấu với f(b)

4.3 Sự hội tụ đến nghiệm của pp tiếp tuyến

Giả sử  nghiệm đúng của phương trình trên (a,b) Dãy các nghiệm gần đúng tìm được là:

- Dãy giảm và bị chặn dưới bởi  ( trường hợp 1)

a <  <xn <xn-1 <…<x0<b

- Dãy tăng và bị chặn trên bởi  ( trường hợp 2)

a < x0 <x1 <…<xn<  <b Nên:

4.4 Đánh giá sai số của PP tiếp tuyến

 Giả sử  là nghiệm đúng của phương trình m1, m2 là các số thỏa điều kiện 0<m1≤|f’(x)| và |f’’(x)|≤m2 <+∞ Ta có:

2

) )(

(

'' )

)(

( ' )

( )

(

2 1 1

1 1

n n

n

x x

c

f x

x x

f x

f x

f

2 1 2

2 1

1 1

1 1

1 1

)

( 2

) )(

(

'' 2

1 )

(

0 ) )(

( ' )

( )

( '

) (

n n

n n n

n n

n n

n

x x

m x

x c f x

f

x x x

f x

f x

f

x f x

x

1

) (

m

x f

n   

n

x n

2



(Xem cách tính sai số trong PP dây cung )

Hơn nữa, khai triển Taylor của f(xn) tại xn-1 Ta được

Giải thuật của PP tuyếp tuyến (1)

Giải thuật của PP tuyếp tuyến (2)

Input: a,b, 

f(t).f(a)<0

x1 = x0 –f(x)/f’(x) err = |x1-x0|

5 Phương pháp lặp đơn

Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 trên (a,b) Phương pháp dây cung và tiếp tuyến là trường hợp đặt biệt của PP lặp

 Nội dung của pp: Biến đổi f(x) = 0 về dạng x =  (x) với

 (x) liên tục trên (a,b)

- Lấy x = x0  [a, b] làm nghiệm gần đúng ban đầu

5 Phương pháp lặp (tt)

Dãy các giá trị xi tính được từ phương trình: 5x3-x2-x-1 = 0 (*)

bằng cách biến đổi phương trình đã cho về dạng:

Và  (x) và  ’(x) là các hàm số tiên tục trên [a,b]

Nếu |  ’(x)|  q < 1  x  [a,b], x0 [a,b] thì dãy {xn}, n=0,1,2,… nhận được từ: xn =  (xn-1) hội tụ đến nghiệm  của

phương trình f(x)=0

Theo định lý Lagrange,  c1 (x0,  ) nếu x0<  hoặc  c1

 (  , x0) nếu  < x0 sao cho:  (x0) -  (  ) =  ’(c1).(x0-  ) |x1-  |=|  ’(c).(x0-  )|  q.|x0-  |

5 )

(

3 3





x 

5 PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)

1 4

, 9 19

15 )

1 ' x  x   



166,1

5

320

3

4)

(

3

2 2

0 4

3 4

3 )

(

2 3

(xn)

X=0,150859 là nghiệm gần đúng

1 q x x

q x

Giải thuật cho phương pháp lặp

In x0, q, 

Xpre = x

x =  (xpre) err = q|x-xpre|/(1-q)

x = x0

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x3-19x+3 =0 trên [0;1] với sai số không quá 0,01 bằng phương pháp lặp

Giải: Phương trình tương đương với: x = (x)=(5x3+3)/20

|’(x)|=|3/4x2| q = 0,75<1 Vậy dãy xn+1 = (5xn3 +3)/20 hội tụ về

nghiệm của phương trình

5 PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)

01 , 0 45 , 0 0 15 ,

0 75 , 0 1

) 75 , 0 (





x15

,

020

3)

0(

1   

x

15086,

020

3)

15,0(5)15,0(

3

2     

x 0 , 15086 0 , 15 0 , 00258 0 , 01

75 , 0 1

) 75 , 0 (

Bài tập chương 2

1. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình -x3+5x+2=0 trên (2,3) với sai số không quá 0,03

a) Bằng phương pháp chia đôi

b) Bằng phương pháp dây cung

c) Bằng phương pháp tiếp tuyến

2 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sinx – x +1/2=0 với sai

số không quá 0.02:

b) Bằng phương pháp dây cung

c) Bằng phương pháp tiếp tuyến

Bài tập chương 2

3 Tìm các nghiệm gần đúng x1,x2,x3 của phương trình sau bằng phương pháp lặp:

x3 + x – 1000=0