PHÉP nội SUY và PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG tối THIỂU
Trang 1MÔN HỌC:
PHƯƠNG PHÁP SỐ
PHÉP NỘI SUY Và PHƯƠNG PHÁP
BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU
CHƯƠNG 4
Trang 2 Nếu c (x0, xn): Bài toán nội suy, g(x) gọilà hàm nội suy
Nếu c (x0, xn): Ngoại suy
x y
Trang 3Nội suy đa thức
Có giải thuật tính dễ dàng giá trị của đa thức tại x=
Sai số: R (x)=f(x)-P (x)
Trang 5Nội suy đa thức
Định lý: Cho n+1 mốc nội suy (x0,y0), (x1, y1),…, (xn, yn) Đa thức nội suy bậc n tìm đượcdựa trên các mốc nội suy này là duy nhất
Chứng minh: Giả sử tìm được 2 đa thức nội suy Pn(x) và Qn(x)
Trang 6Tính giá trị của đa thức – thuật toán Horner (hạn
i>=0
P=P*c+ai i
Write P
(4.1.1)
Trang 7Tính giá trị của đa thức
Trang 8Tính giá trị của đa thức
Ví dụ 4.1: Cho P4(x)=3x4+4x3+5x2-6x+2
Tính P4(2)=?
Tính theo cách thông thường, thay x=2 vào đa thức:
P4(2)=3.24+4.23+5.22-6.2+2=90
-Số phép nhân:10
- Số phép cộng: 4
Trang 9Tính giá trị của đa thức
Tính theo thuật toán Horner:
Trang 101.1 Đa thức nội suy Lagrange
Cho trước n+1 điểm mốc: (x0,y0),(x1,y1),…, (xn,yn)
Đa thức nội suy Pn(x) theo Lagrange được xác định như sau:
Bước 1: Xác định các đa thức Lagrange cơ bản: l i (n) (x) có
0
) (k
1 )
( ) (
i
i x
l i n k
n
i x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
l
n
i j
j
n i
i i
i i
i i
n i
i n
i
, , 3 , 2 , 0 ,
) ) (
)(
) (
)(
( )
(
, 0
1 1
1 0
1 1
1 0
) (
Trang 11Đa thức nội suy Lagrange
− Bước 2: Đa thức nội suy Lagrange Pn(x) được xác định bởi:
)) (
) (
(
)) (
)(
(y
)) (
) (
(
)) (
)(
(y
)) (
) (
(
)) (
)(
(y
.)
()
(
1 2
0
1 1
0 n
1 2
1 0
1
2 0
1
0 2
0 1
0
2 1
0
0
) (
n n
n
n n
n n
n
i
n
i j
j i
n
i
n i i
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x y
x l
y x
P n
(4.1.3)
Trang 12Đa thức nội suy Lagrange
Ví dụ 4.2: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho hàm y=sin(x) rồi tính gần đúng sin(/5) với các mốc nội suy cho trong bảng:
10
)(
6
10
(
)2
1)(
6
1(
)(
2 0
Trang 13Đa thức nội suy Lagrange
? ) 2
1 6
1 )(
0 6
1 (
) 2
1 )(
0 (
) (
? )
2
1 6
1 )(
0 6
1 (
) 2
1 )(
0
( )
7 3
) 6
1 2
1 )(
0 2
1 (
) 6
1 )(
0 (
1 ) 2
1 6
1 )(
0 6
1 (
) 2
1 )(
0 (
2
1
) 2
1 0
)(
6
1 0 (
) 2
1 )(
6
1 (
0
)
x x
x x
x x
x x
l y x
P
i
i i
Trang 14Đa thức nội suy Lagrange
Ví dụ 4.3: Tìm đa thức nội suy Lagrange đối với hàm y=f(x) được cho như trong bảng
Giải
Các đa thức Lagrange cơ bản:
015 ,
0
015 ,
0 23
, 0 9
, 0 )
5 , 0 0 )(
3 , 0 0 )(
1 , 0 0 (
) 5 , 0 )(
3 , 0 )(
1 , 0
( ) (
2 3
) 5 , 0 1 , 0 )(
3 , 0 1 , 0 )(
0 1 , 0 (
) 5 , 0 )(
3 , 0 )(
0 (
) (
05 , 0 6
, 0 )
5 , 0 3 , 0 )(
1 , 0 3 , 0 )(
0 3 , 0 (
) 5 , 0 )(
1 , 0 )(
0 (
) (
2 3
3 2
x x
x x
x x
Trang 15Đa thức nội suy Lagrange
04 , 0
03 , 0 4
, 0 )
3 , 0 5 , 0 )(
1 , 0 5 , 0 )(
0 5 , 0 (
) 3 , 0 )(
1 , 0 )(
0
( )
(
2 3
3
3
x x
x x
x
x x
0 12
91 30
3
125
) ( )
( )
( )
( )
(
2 3
3 3 3
3 2 2
3 1 1
3 0 0 0
x
x l
y x
l y x
l y x
l y l
y x
P
n
i
n i i
Đa thức nội suy Lagrange P3(x) cần tìm:
Ta có: f(0,2) P3(0,2)=0,15
Trang 16Đánh giá sai số của đa thức nội suy Lagrange
Định lý Rolle: Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi tại mọi
x(a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất (a,b) sao cho
Trang 17Đa thức nội suy Lagrange
Áp dụng để đánh giá sai số khi tính f(c)P n (c)?
Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n+1 trên [x0, xn]
f x
F
0
) (
) ( )
( )
(
F(x) có n+2 nghiệm F’(x) có n+1 nghiệm (định lý Rolle)
F’(x) có n+1 nghiệm F’’(x) có n nghiệm (định lý Rolle)
Trang 18Đa thức nội suy Lagrange (tt)
0)
)(
()()
(f
0)
1
) 1 ( 1)
(n )
n
x x k
P
)!
1 (
)
(
0 )!
1 (
) (
x )!
1 (
)) x - (x (k
x 0 )
(
) 1 ( )
1 ( 0
) 1 ( i
) 1 (
n k f
n k
x P
n n
n
i
n
n n
n
n
f x
L x
f x
R
0
i
) 1 (
)!
1(
)
()
()
()
(4.1.4)
Trang 19Đa thức nội suy Lagrange (tt)
) (
y=sin(x) 0 1/2 1
Ví dụ 4.4: Cho hàm y=sin( x), dùng đa thức nội suy Lagrange
tính gần đúng sin( /5), đánh giá sai số Biết các mốc nội suy:
(4.1.5)
Trang 20Đa thức nội suy Lagrange (tt)
x x
x
P
2
7 3
)
58 ,
0 5
1 2
7 )
5
1 (
3 )
5 / 1 ( )
5 /
! 3
) (
sin )
(
i
i
x x
x x
1 )(
6
1 (
| 6
)
( 6
) (
3 2
x x
x x
0
) 2
1 5
1 )(
6
1 5
1 ( 5
1 6
) 5 / 1 (
3
R
Trang 21ChỌn mốc nội suy tối ưu
Với công thức đánh giá sai số
) ( )
1 ( ) (
)!
1 ( ) ( )
( )
x n
M x
L x f x
n i
i n
Nhận xét: Với phép biến đổi 1 [ 2x (a b)]
a b
Thì đoạn [a;b] chuyển thành [-1;1]
Nên các mốc nội suy trên [a;b] đều có thể chuyển về các mốc nội suy trên [-1;1]
Trang 22ChỌn mốc nội suy tối ưu
Đa thức Chebyshev:
1
|)(
2 , 1 , 0 ,
) 2
Trang 23Chọn mốc nội suy tối ưu
Trường hợp 1: Các các mốc nội trong [-1, 1], khi đó các mốc nội
suy được chọn là nghiệm của Tn+1(x) :
n
i n
i
)1(
2
)12
1 )
Khi đó
n n
n
n x T x
2
1 )
( 2
1 )
n
n
M x
n
M x
R
2
1 )!
1 (
)
( )!
1 (
Trang 24Chọn mốc nội suy tối ưu
Trường hợp 2: Trường hợp các mốc nội suy được chọn trong [a,
b] bất kỳ Đặt:
) (
) 2
(
a b
b a
x t
Trang 25Giải thuật tính gần đúng f(c) dựa trên đa thức nội suy Lagrange
Input: c và mảng {(x0, y0), (x1, y1),…,(xn,yn)}
P=0;
i=0,1,…,n {
//Tinh giá trị của da thuc Lagrange co ban thu i
li= 1
◊ j=0,1,…,n
if i J then
li = li* (c-xj)/(xi – xj) //Cộng yi*li vào kết quả
◊ p = p + yi * li;
}
Return p;//p là giá trị gần đúng của f(c) tìm được
Trang 261.2 Đa thức nội suy Newton
Hạn chế của đa thức nội suy Lagrange
Mỗi khi thêm mốc nội suy, ta phải tính lại toàn bộ đa thức (Các đa thức Lagrange cơ bản và đa thức nội suy Lagrange)
Đa thức nội suy Newton khắc phục hạn chế này
Trang 27] ,
i i
i
x x
y y
x x
i i i
i i
i i
x x
x x f x
x f x
x x f
1 2
1
] ,
[ ]
, [ ]
, , [
Tổng quát, tỷ hiệu cấp k của hàm y=f(x) tại xi được tính dựa vào tỷ hiệu cấp k-1:
k i i
k i i
k i i
i
x x
x x
f x
x f x
x x f
[ ]
, , [
] , ,
,
Trang 28Đa thức nội suy Newton
[]
, ,,
[x i x i 1 x i k f x i k x i k 1 x i
] , , ,
[
] , ,
[
] ,
, [ ]
, [
] ,
[
] [
] , [
] , , [ ]
[
] [
2 0 1
2
1 2
1 1
1 2
1 1
3 2 1 3
2 3
3
2 1 0 2
1 2
2
1 0 1
1
0 0
n n
n n
n n
n
n n
n n
x f x
x x
f
x x
x f x
x f
x x
f y
y x
x
x x x f x
x f y
x
x x x f x
x f y
x
x x f y
x
y x
Trang 29Giải thuật lập bảng tỷ hiệu
for (i=j-1, i<=n,i++) fij=(fi,j-1-fi-1,j-1)/(fi,0-fi-j+1,0)
Lưu ý: không dùng các fij với j>i+1
Trang 30Giải thuật lập bảng tỷ hiệu
Hoặc có thể tính f[xi,xi+1,…,xj] bằng giải thuật đệ quy sau:
Trang 311.2.1 Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
- Xét tỷ hiệu cấp 1:
0
0 0
) ( )
( ]
,
[
x x
x P x
P x
1 0
] , [ ]
, [ ]
, ,
[
x x
x x P x
x P x
x x
0 2
0 1
1 0
] , ,
, [ ]
, , ,
[ ]
, , ,
, [
n n
n n
x x
x x
x P x
x x P x
x x x P
- Xét tỷ hiệu cấp n:
P n [x,x 0 ,x 1 ,…,x n-1 ] là đa thức có bậc 0
(4.1.10)
(4.1.11)
Trang 321.2.1 Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
Từ 4.1.9, ta có: P n(x) P n(x0) (x x0)P n[x, x0]
] , , [ ) (
] , [ ]
n n
n n
n
x x
x x
x P x
x x P x
x x
x x P
[ ]
, , ,
[ ]
, , ,
, ,
, [ ) (
] , ,
, [
] , ,
, , [ ) (
] , ,
, [ ]
, , ,
[
1 1
0 1
1 1
0
1 1
0 1
1 1
0 2
0
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
x x
x x P x
x x
x x P
x x
x x P x
x x
x x P x
x x
Trang 331.2.1 Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
] , , ,
[ ) ) (
)(
(
] , , [ ) )(
( ] , [ ) (
) ( )
(
1 0 1
1 0
2 1 0 1
0 1
0 0
0
n n
n
x x
x f x
x x
x x
x
x x x f x x x
x x
x f x x x
f x
[))(
)(
(
],,[))(
(],[)(
)()
(
1 0 1
1 0
2 1 0 1
0 1
0 0
0
n n
n
n n
n n
x x
x P x
x x
x x
x
x x x P x x x
x x
x P x x x
P x
(
1 0 1
0
0 0
0
i i
n
n
x x
x f x
x x P
x f y
Trang 341.2.1 Đa thức nội suy Newton lùi với các mốc bất
[ ) ) (
)(
(
] ,
, [ ) )(
( ] ,
[ ) (
) ( )
(
0 1
1 1
2 1
1 1
x x
x f x x x
x x x
x x
x f x
x x x x
x f x x x
f x
P
n n n
n
n n
n n
n n
n n
n n
Nếu thêm một mốc (xn+1,yn+1), đa thức nội suy Pn+1(x) trên tập
điểm mốc mới được tính theo Pn(x) như sau:
] , ,
, [ ) ) (
)(
( ) ( )
Trang 35Đa thức nội suy Newton lùi với các mốc bất kỳ
Trang 36Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
] , , [ ] , [
] , [
2 1 0 2
1 2
2
1 0 1
1
0 0
x x x f x
x f y x
x x f y x
y x
Ví dụ 4.5: Xây dựng đa thức nội suy theo phương pháp newton cho hàm y=sin(x) với các mốc nội suy cho trong bảng:
y=sin(x) 0 1/2 1 Lập bảng tỷ hiệu
32
/31
2/1
32
/16/1
00
Trang 37Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
Đa thức nội suy cần tìm có dạng:
x
x x x
x x x f x x x x x
x f x x x
f x
P
2
7 3x
-1/6)(-3) -
( 3
0
] , , [ ) )(
( ] , [ ) (
) ( )
(
2
2 1 0 1
0 1
0 0
0 2
Trang 38 Bảng tỷ hiệu của y=log10(x)
Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
) 990
1 ).(
10 )(
1
( 9
1 ).
1 (
) 1 (
] , , [ ) )(
(
] , [ ) (
) ( )
(
2 1 0 1
0
1 0 0
0 2
x f
x x x f x x x x
x x f x x x
f x
P
990 / 1 90
/ 1 2 100
9 / 1 1 10
0 1
] , , [ ]
, [
] , [
2 1 0 2
1 2
2
1 0 1
1
0 0
x x x f x
x f y
x
x x f y x
y x
Đa thức cần tìm theo newton có dạng:
8910
1080 810
99 8910
Trang 39Đa thức nội suy Newton lùi
2 2
1 2 1
1
0 1 2 0
1 0
0
] , [
] , , [ ] , [
y x
x x f y x
x x x f x
x f y x
Ví dụ 4.7 : Tìm đa thức nội suy newton lùi cho hàm y=sin(x) với các mốc nội suy cho trong bảng:
y=sin(x) 0 1/2 1 Giải: Bảng tỷ hiệu
12
/1
2/32
/16
/1
33
Trang 40Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy newton tiến với các mốc bất kỳ
Không đệ quy:
• Cho các mốc nội suy (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn)
• Xây dựng ma trận tỷ hiệu TyHieucấp (n+1)x(n+2) (xem lại giải thuật ở slide trước)
Trang 41Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy
newton tiến với các mốc bất kỳ
Giải thuật đệ quy: Goi F(i,j) là tỷ hiệu f[xi, xi+1,,xj]
Ta có giải thuật đệ quy tính f(i,j) như sau:
Trang 42Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy
newton tiến với các mốc bất kỳ
Trang 43Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy newton lùi với các mốc bất kỳ
Cho các mốc nội suy (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn)
Xây dựng ma trận tỷ hiệu TyHieucấp (n+1)x(n+2)
Trang 444.2.2.Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
Trang 45Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
Định nghĩa sai phân hữu hạn:
Sai phân tiến cấp 1 tại xi:
Sai phân tiến cấp 2 tại xi:
) ( )
( )
( xi f xi h f xi
)()
(2)
(
)](
)(
[)]
()
([
))(
)(
))((
)(
1 2
2
i i
i
i i
i i
i i
x f x
f x
f
x f h
x f h
x f h
h x
f
x f h
x f x
f x
( )
n
x f
Trang 4646
Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
Đa thức nội suy Newton tiến tổng quát
] , , ,
[ ) ) (
)(
(
] , , [ ) )(
( ] , [ ) (
) ( )
(
1 0 1
1 0
2 1 0 1
0 1
0 0
0
n n
n
x x
x f x
x x
x x
x
x x x f x x x
x x
x f x x x
f x
x f x
x
x f x
f x
x
0 1
0 1
1 0
) ( )
( )
( ]
0 2
0 2
1 0 2
1 2
1 0
2 2
) ( ]
, [ ]
, [ ]
, ,
[
h
y h
x f x
x
x x f x
x f x
x x
x
f x
x x x
f
!
)
(]
,,[ 0 1 2, 3 0
…
n
n n
n
h n
y x
x x
x x
x
h
y x
x x
x h
y x
x x
f x
P
!
) ) (
)(
(
2
) )(
( )
( ) ( )
(
0 1
1 0
2 0 2 1 0
0 0
Trang 47Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
2 0
2 )(
1 (
! 2
) 1 (
) (
) (
y n
n t t
t t y
t t y t y
th x
P x
P
n
n n
Trang 48Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
Sai phân tiến các cấp tại x0 có thể tính theo bảng:
Trang 49 Sai số
) ) (
2 )(
1
( )!
1 (
)
(
) (
) (
1
) 1 ( 0
n t
t t
t
h n
f
th x
R x
n n
n n n
y n
n t t
t
t y
t
t y t y
th x
P x
2 )(
1
(
! 2
) 1
(
) (
) (
2
Tương tự, bằng cách đặt x = xn + th, ta có đa thức nội suy
Newton lùi với các mốc cách điều
(4.1.20)
Trang 50Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
Ví dụ: Cho hàm y=f(x) xác định bởi bảng:
Tính gần đúng f(4/3) bằng đa thức nội suy Newton (tiến)?
Giải: Ta thấy: xi+1-xi=1, i=0,1,…,n-1
Nên các mốc nội suy là cách đều Đặt x = x0+th=1+t ; x = 4/3 t = 1/3 Bảng sai phân hữu hạn:
Đa thức nội suy Newton:
p(t) = y0+t y0+(t 2 /2!) 2 y0
= 2+ 5t + ½.t(t-1).2 = 2+4t+t 2
f(4/3) p(1/3) = 31/9
Trang 51Đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn, trường hợp các mốc nội suy cách điều
Bảng sai phân hữu hạn cho đa thức nội suy newton lùi:
Trang 52Ví dụ: Giá trị hàm Lgx (log cơ số 10) được cho
2 0
0
0 3 3
!3
)2)(
1(
!2
)1
(
)(
)(
y
t t
t y
t
t y
t y
th x
P x
Trang 53t
Trang 544.1.3 Nội suy Spline
Thông thường, bậc của đa thức nội suy Lagrange,
Newton tăng theo số lượng lấy mẫu (số lượng điểm mốc) Do vậy chi phí tính toán cũng tăng
Một phương pháp khác, thường dùng trong thực tế là nội suy bởi đa thức Spline bậc 3
Trang 55Nội suy spline
Cho n+1 điểm mốc: (x0,y0), (x1,y1), ,(xn,yn), với xi+1-xi=h
Hàm nội suy cubic-spline tổng quát:
Với mỗi fi(x) là đa thức bậc 3 có dạng:
i i
i i
i i
) (
) (
)
(
) (
1 2
1 0
x f
x f
x f
x f
x f
n n
Trang 56Nội suy spline (2)
2 , 0
) (
) (
2 , ,
2 , 0
) (
) (
2
2 , 0
) (
) (
1
1 , 0
)
(
1
'' 1 1
''
1
' 1 1
'
1 1
1
n i
x f
x
f
n i
x f
x
f
n i
x f
x
f
n i
y x
f
i i
i
i
i i
i
i
i i
i
i
i i
(4) (5) (6)
? ,
, , i i i
i b c d a
Trang 57Nội suy spline (3)
i i
i i
i i
i i
b x
x a
x f
c x
x b
x x
a x
f
2 )
( 6
) (
) (
2 )
( 3
) (
''
2 '
Trang 58Nội suy spline (4)
Đặt Mi fi ''( xi )
Từ pt (8), ta có:
i i
i i
M
Trang 59i i
i i i
i
b h
a
b x
x a x
f
2 6
2 )
( 6 )
h
b
b a
b b
h a
x f
x f
i i
i i
i
i i
i
i i
i i
6 6
2 2
2 2
6
) (
) (
1 1
1
1
'' 1 1
1,0
,6
Trang 6060
Nội suy spline (6)
Từ pt (4): fi(xi+1) = fi+1(xi+1)
Mà: fi+1(xi+1) = di+1
Và: fi(xi+1) = ai(xi+1-xi)3+bi(xi+1-xi)2+ci(xi+1-xi)+di = aih3+bih2+cih+di-
di+1 = aih3+bih2+cih+di
) ( 2
Trang 61Nội suy spline (7)
i i
i i
i
i i
i i
i
y d
h
M M
h
y
y c
M b
h
M
M a
) 6
2 (
2 6
1 1
1
Để có được các ai, bi, ci, di, cần tìm các Mi!!!
Trang 62Nội suy spline (8)
Từ pt (5): fi'( xi1) fi' 1( xi1)
1 1
1 1
2 1 1
1 1
i i i
i i i
f '( 1) 3 ( 1 )2 2 ( 1 )
i i
i i
i x a h b h c
f '( 1) 3 2 2
i i
Trang 6363
Nội suy spline (9)
h
M M
h
y y
h
M h
h
M
M h
M M
h
y y
i i
i i
i i
i i
i i
i
) 6
2 (
2
2 6
3
) 6
2 (
1 1
2 1
1 2
1 2
h
y y
h
y y
h M
M h
M M
h
M h
h
M
) 6
2 (
) 6
2 (
2
2 6
3
2
1 2
1 2
1
) 6
2 (
) 6
2 (
2
2 6
3
h
y y
y M
M M
M M
M
h
y y
y h M
M h
M M
h
M h
h
M
) 6
2 (
) 6
2 (
2
2 6
3
2
2 1
2 1
2 6
M i i i i i i
Trang 64Nội suy spline (10)
n
n n
n
n n
n
n n n i
y y
y
y y
y
y y
y
y y y
y y y
y y y
h
M M M M
M M M M
1 2
1 2
3
3 3
4
4 3 2
3 2 1
2 1 0
2
1 2 3
3 2 1 0
2 2 2
2 2 2
6
1 0 0 0 0 0 0 0
4 1 0
0 0 0 0
1 4 1
0 0 0 0
0 1 4
0 0 0 0
4 1 0 0
0 0 0
1 4 1 0
0 0 0
0 1 4 1
Có n+1 cột nhung chỉ có n-1 dòng!!!
Trang 65Nội suy spline (11)
Spline tự nhiên (Natural spline)
n
n n
n
n n
n
y y
y
y y
y
y y
y
y y y
y y y
y y y
h
1 2
1 2
3
3 3
4
4 3 2
3 2 1
2 1 0
2
1 - n
2 - n
3 - n
4 3 2
2 2 2
2 2 2
6
M M M
M M M
4 1 0
0 0 0
1 0
0 0 0 0
4 1 0
0 0 0 0
0 0 1
0 0 0 0
4 1 0 0
0 0 0
1 4 1 0
0 0 0
0 0 1 4
Hệ có n -1 phương trình, n-1 biến Giải hệ, tìm được M2, M3,
M ,…,M ,M =0, M =0 Tính a , b , c , d ?
Trang 6666
4.2 Phương pháp bình phương tối thiểu
Giả sử có đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x nhưng chưa biết công thức của Qua đo đạt, thí nghiệm, quan sát,… ta có được bảng số liệu:
Trang 67Nội dung của phương pháp
Gọi y=f(x) là công thức nghiệm cần tìm
Do các yi chỉ là giá trị thực nghiệm nên yif(xi)
Trang 68n ax b y
b ax
y
b ax
y
1 1
1
0 0
(
0
) ) (
y
a
b ax
y
n i
i i
n i
i i
hay
Trang 69Công thức nghiệm dạng: y=ax+b (y phụ thuộc tuyến tính các hệ số)
1()(
2
0)
)(
(2
n
i
i i
i
b ax
y
x b
ax y
n i
i i
n i
i i n
i
n i
i i
y b
n x
a
y x x
b x
Giải hệ trên ta tìm được a,b
Trang 70Ví dụ:
Sự phụ thuộc của y vào x cho như trong bảng:
Tìm công thức nghiệm dạng y=ax+b?
Giải: Các hệ số a, b là nghiệm của hệ:
) 3 2 1 0
(
5 , 6 3 5 , 5 2 5 , 2 1 5 , 0 0 )
3 2 1 0 ( )
3 2
1 0
b a
b a
?
, 15
4 6
33 6
b a
y 0,5 2,5 5,5 6,5
