Hướng dẫn Bài tập Đại số tuyến tính_ Chương 2: Hệ phương trình

[r]

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN

B Đạo hàm và vi phân

Bài 1 Tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của

, ln

Giải:

2

2

z f x y   x x y  x x y  x x y

 Tính đạo hàm riêng

2 2

2 2 '

1

x x

x

z

z



'

2 2

2 2 '

y y

y

z



 Tính vi phân toàn phần

1

1

2

dz z dx z dy

y

x y x y x x y

y

x y x x y

Bài 2: Đạo hàm của hàm hợp

(1) Cho  2 2

z u v ux y ve  Tính '

x

z và '

y

z

Giải:

z z u z v

x u x v x

z z u z v

y u y v y

 

' ' ' ' '

2 2

2 2 2

2 2

2

2

x y

x y

x y

x y

z z u z v

u v u v

u y v e

u v

xy e

x y e













' ' ' ' '

2 2

2 2 2

2 2

2

2

x y

x y

x y

x y

z z u z v

u v u v

u x v e

u v

x y e

x y e













Bài 5: Tính dz biết z=z(x, y) là hàm ẩn xác định bởi:

arctanzz e xy

Giải:

Ta có:

2 2

arctan

xy

xy

z z e

z z e

, , arctan xy

3

F y e F x e F z

'

;

y x

F

2 3

1

1 2z 2z

xy

dz z dx z dy

y e z x e z

e z

y dx x dy



Bài 7 Đạo hàm cấp cao

(3) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 tại (0; 1) của hàm số:

  2 3

2 2

1

f x y e

x y





Giải:

 Đạo hàm riêng cấp 1:

 Đạo hàm riêng cấp 2:

 

'

2 2 2

3

x

x y x x y x

x y

x y



 

'

 

'

2 2 2

3

y

y



Vậy :

 

 

 

0;1 6

xx

xy

yy





Bài 8: Tính 2

d zbiết:

.ln

Giải:

 Đạo hàm riêng cấp 1:

z x x y x z x

x y x y

 Đạo hàm riêng cấp 2:

' 2 '

'' '

2 2 2

2

2 ln

2 2

2.ln

2.ln

x

x

z z x x y

x y

x x y x x

x y

x y x y

x xy

x y

x y







' 2 '

'' '

2 ln

y

x





'

'' '

2

y

z z

x y x y

Vậy

d z z dx z dxdy z dy

C Dùng vi phân tính gần đúng

 1.99  

1.04 ln 1.02

Giải:

2

Ta có:

0 1; 0 2; 0 1

x y z

0, 0, 0 x 0, 0, 0 y 0, 0, 0 z 0, 0, 0

 0, 0, 0 1; 2;1 1

       

'

'

'

f x z x z x z y x f

f x z x z x z x x f

z

1 1 0.04 0 0.01 0.02 1.05

2

D         

D Cực trị của hàm nhiều biến

Bài 1: Tìm cực trị của các hàm sau:

(2)   3 3

Bước 1: Tìm điểm dừng

Xét hệ:

5 25

5

x

y

x

x x

x



Hàm số có hai điểm dừng là: M1 0; 0 ;M2 5;5

 Tại điểm M1 0;0 :A0;B 15;C0

2

0

AC B

Vậy M1 0;0 không phài là cực trị của hàm số

 Tại điểm M2 5;5 : A30;B 15;C30

2

0 0

A

 





Vậy hàm số đạt cực tiểu tại M2 5;5 và giá trị cực tiểu f CT  f  5;5  125

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

( , )

f x y x y trên miền  2 2 

9

D x y 

Giải:

Bước 1: Tìm điểm dừng của hàm số f(x, y) trên miền D mở

'

'

0

x

y

f



 x y, (0; 0) D

   là điểm dừng của hàm số f(x, y) và f(0; 0)=0

Bước 2: Tìm điểm dừng trên biên của miền D:  2 2 

9

D x y

Đặt   2 2

x y x y

L x y   f x y   x y x y  x y 

Xét hệ:

'

'

'

2 2

0 1

0

9 0

x

y

x

x

y x

L

x y











 

  





Hàm số có 4 điểm dừng:M10; 3 ; M20;3 ; M33; 0 ; M43; 0

 1  2 9

f M f M

    và f M 3  f M 4 9

Vậy GTLN của f là: fmax  f 3; 0 f 3; 09

và GTNN là fmin  f 0; 3 f 0;  3 9

(3) f x y , xy trên miền

1

x y

Giải:

Bước 1: Tìm điểm dừng của hàm số z trên miền D mở

'

'

0 0

x

y

x

f



 x y, (0; 0) D

   là điểm dừng của hàm số f(x, y) và f(0; 0)=0

Bước 2: Tìm điểm dừng trên biên của miền D:

1

x y

Đặt  ,  2 2 1 0

x y

x y

 , ,   ,  , 2 2 1

x y

L x y   f x y   x y xy    

Xét hệ:

'

'

'

0

1 0

2

2 4

1

1 0

x

y

x x

y

L

x y

x y

x x x

y

x y























 













2

2

2 2

2 2

2 2

1 0

x y x

x y

x y x

x

y y

x y

x x

x x













 







Hàm số có 4 điểm dừng:M12;1 ; M22; 1 ; M32; 1 ; M4 2; 1

 1  2 2

f M f M

    và f M 3  f M 4 2

Vậy GTLN của f là: fmax  f  2; 1  f   2; 1 2

và GTNN là fmin  f 2; 1 f 2; 1 2

(4) z 1 xy x y trên miền đóng D giới hạn bởi 2

yx và và y=1

Giải:

Bước 1: Tìm điểm dừng của hàm số z trên miền D mở

'

'

0

x

y

z



 x y, (1;1) D

   là điểm dừng của hàm số z và z(1; 1) =0

Bước 2: Tìm điểm dừng trên biên của miền D

1

y

x



  



2

x

 



  



2

( ; )







Vậy GTLN của f là: max 32

27

f  và GTNN là fmin 0