Dạy học theo chủ đề dãy số và giới hạn theo định hướng dạy học giải quyết vấn đề

Những năm gần đây, trong ngành Giáo dục và Đào tạo có cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học, trong đó phương pháp Dạy học giải quyết vấn đề được đề cập và quan tâm như một biện pháp

Một trong những bất cập dễ thấy và luôn được nói đến trong giáo dục phổ thông là tình trạng chậm đổi mới, thậm chí lạc hậu của phương pháp dạy học Nhiều thầy cô vẫn chưa từ bỏ lối dạy học cũ làm cho trò trở thành bị động, gần như hoàn toàn lệ thuộc người thầy trong quá trình học tập Vì vậy, việc đi tìm những phương pháp dạy học có hiệu quả hơn đã trở thành nhiệm vụ cấp bách của ngành Giáo dục

Những năm gần đây, trong ngành Giáo dục và Đào tạo có cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học, trong đó phương pháp Dạy học giải quyết vấn đề được

đề cập và quan tâm như một biện pháp hữu hiệu để người học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo, với tư cách là chủ thể của quá trình nhận thức, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước

Trong chương trình toán THPT, các chủ đề Dãy số và Giới hạn đóng một vai trò khá quan trọng, đặc biệt là chủ đề Giới hạn là cơ sở đối với kiến thức về hai phép tính cơ bản của giải tích toán học là Phép tính đạo hàm và Phép tính tích phân Tuy nhiên, phải thừa nhận rằng các chủ đề này là khó đối với học sinh Chúng ta đều biết rằng việc vận dụng các phương pháp dạy học cần phát huy tính tích cực hoạt động của học sinh thì hiệu quả giờ dạy mới được nâng cao

Với những lý do trên và để làm phong phú thêm về việc vận dụng phương pháp Dạy học giải quyết vấn đề, chúng tôi chọn đề tài:

" Dạy học các chủ đề Dãy số và Giới hạn theo định hướng Dạy học giải quyết

vấn đề"

2 Mục đích nghiên cứu

Nâng cao hiệu quả dạy học các chủ đề Dãy số và Giới hạn thông qua việc vận dụng phương pháp Dạy học giải quyết vấn đề

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Hệ thống hoá cơ sở lý luận, phân tích bản chất các hình thức tổ chức của Dạy học giải quyết vấn đề

3.2 Nghiên cứu một số biện pháp Dạy học giải quyết vấn đề đối với các nội dung Dãy số và Giới hạn

3.3 Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp dạy học các chủ đề Dãy số và Giới hạn

4 Giả thuyết khoa học

Có thể dạy học các chủ đề Dãy số và Giới hạn theo định hướng Dạy học giải quyết vấn đề thì sẽ nâng cao hiệu quả giờ dạy, đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học toán

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách, báo, tạp chí về khoa học toán, giáo

6 Cấu trúc của luận văn

MỞ ĐẦU

- Lý do chọn đề tài

- Mục đích nghiên cứu

- Giả thuyết khoa học

- Phương pháp nghiên cứu

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Nguồn gốc của Dạy học giải quyết vấn đề

1.2 Dạy học giải quyết vấn đề

1.3 Dạy học giải quyết vấn đề trong môn Toán

1.4 Vị trí của các chủ đề Dãy số, Giới hạn và thực trạng dạy học các chủ đề

2.3 Dạy học giải bài tập Dãy số và Giới hạn

2.4 Một số nội dung nâng cao về chủ đề Giới hạn hàm số

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Nguồn gốc của Dạy học giải quyết vấn đề

Đến giữa thế kỷ thứ XIX, mục đích của dạy học vẫn chỉ là cung cấp tri thức

và luyện tập áp dụng kỹ năng theo mẫu thì sự tồn tại của hai phương pháp dạy học

cổ truyền ( Phương pháp thông tin - tiếp thu và phương pháp tái hiện) là hoàn toàn đáp ứng đủ vì trong điều kiện xã hội phát triển với nhịp độ tương đối chậm thì các tri thức và kỹ năng thu được trong những năm học ở trường có thể cũng đủ phục

vụ cho cả đời mình Song từ cuối thế kỷ XIX, đặc biệt là đầu thế kỷ XX khoa học,

kỹ thuật và công nghệ phát triển như vũ bão, nó tác động vào mọi mặt của đời sống xã hội, khiến cho những tri thức thu lượm được trong nhà trường trở nên không đủ nữa, cho nên đã nảy sinh sự cấp thiết phải tìm kiếm những phương pháp dạy học mới, có khả năng bảo đảm, bồi dưỡng, phát triển tiềm lực sáng tạo ngay

từ tuổi học sinh

Trước tình hình đó các phương pháp dạy học hiện đại được xây dựng và ra đời như: Dạy học giải quyết vấn đề; Dạy học áp dụng lý thuyết tình huống; Dạy học chương trình hoá; Dạy học với công cụ máy tính điện tử; Dạy học khám phá Trong các phương pháp nói trên, Dạy học giải quyết vấn đề có thể vận dụng thuận lợi hơn, nó không đòi hỏi những phương tiện, thiết bị gì đặc biệt, không đòi hỏi một trình độ đặc biệt nào, ngoài kinh nghiệm và hiểu biết sẵn có của người giáo viên Hơn nữa điểm thuận tiện là có nhiều hình thức quá độ thích hợp để dần chuyển từ kiểu dạy học "cổ điển" quen thuộc sang kiểu Dạy học giải quyết vấn đề: Thoạt đầu có thể chỉ áp dụng khâu tạo tình huống có vấn đề, sau đó mới áp dụng hình thức cao hơn, để học sinh tự biểu đạt câu hỏi, sau nữa mới để các em tìm tòi hướng giải quyết, cách giải quyết rồi kiểm tra sự đúng đắn của nó

Dạy học giải quyết vấn đề đã thu hút sự quan tâm lớn của các nhà sư phạm trong và ngoài nước, là nội dung của nhiều công trình khoa học, là tiêu đề của nhiều cuốn sách nổi tiếng như " Dạy học nêu vấn đề" của I.Ia Lecne; " Những cơ

sở của việc dạy học nêu vấn đề" của V.Ôkôn và việc vận dụng Dạy học giải

quyết vấn đề ở các nước tiên tiến như Liên Xô cũ, Trung Quốc, Đức, Ba Lan đã thu được nhiều thành công đáng khích lệ

Nhiều thầy giáo và các nhà nghiên cứu lý luận dạy học, cũng như tâm lý học

ở nước ta, đã làm thực nghiệm mang những yếu tố của Dạy học giải quyết vấn đề

và thu được những kết quả khả quan Hiện nay nước ta đã có nhiều công trình nghiên cứu về lý luận chung cũng như lý luận riêng cho từng cấp học, từng môn học trong đó có: " Giáo dục học môn toán" của Phạm Văn Hoàn - Trần Thúc Trình - Nguyễn Gia Cốc; " Phương pháp dạy học toán" của Hoàng Chúng; " Phương pháp dạy học môn toán" của Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thuỵ; " Những

xu hướng dạy học không truyền thống" của Nguyễn Bá Kim - Vũ Dương Thuỵ Qua việc tham khảo các tài liệu của các chuyên gia nghiên cứu về Dạy học giải quyết vấn đề chúng tôi tin tưởng rằng: Kết hợp với các phương pháp đã được hình thành như phương pháp trực quan, phương pháp gợi mở vấn đáp Phương pháp Dạy học giải quyết vấn đề sẽ nâng cao hiệu quả của giờ dạy

1.2 Dạy học giải quyết vấn đề

1.2.1 Cơ sở lý luận

1.2.1.1 Cơ sở triết học

Triết học duy vật biện chứng đã chỉ ra rằng: " Mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển" Một vấn đề được gợi ra cho học sinh học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm sẵn có Tình huống này phản ánh một cách lôgic và biện chứng quan hệ bên trong kiến thức cũ, kỹ năng cũ và kinh nghiệm cũ đối với yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế

1.2.1.2 Cơ sở tâm lý học

Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề: " Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống có vấn đề" (Runbisntein, 1960, trang 435)

1.2.1.3 Cơ sở giáo dục học

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề phù hợp với nguyên tắc tính tự giác

và tích cực vì nó khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng biểu hiện sự thống nhất giữa giáo dục và giáo dưỡng Tác dụng giáo dục của kiểu dạy này là ở chỗ nó dạy cho học sinh học cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện, tiếp cận

và giải quyết vấn đề một cách khoa học Đồng thời, nó góp phần bồi dưỡng người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo, chủ động, tích cực, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra

1.2.2 Những khái niệm cơ bản

Một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn hai điều kiện sau:

a) Học sinh chưa giải đáp được câu hỏi hoặc chưa thực hiện được hành động

Chẳng hạn: Giải một phương trình bậc hai dựa vào công thức đã học chỉ là một bài tập chứ không phải là một vấn đề

Cũng theo khái niệm trên thì vấn đề cũng có tính thời điểm Ví dụ khi chưa học công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng thì bài toán:

Tính tổng 2 + 4 + 8 + + 100 là một vấn đề đối với học sinh

Sau khi đã học công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng thì bài toán trên không còn là vấn đề đối với học sinh nữa

Nhưng nếu thay đổi yêu cầu đề bài như sau:

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, không giải phương trình hãy tính các tổng

2 1

3 2 3

1

1 1 x x

; x

x   thì đây là những vấn đề

1.2.2.2 Khái niệm tình huống gợi vấn đề

Trước hết chúng ta tham khảo một số quan niệm về " Tình huống có vấn đề" Trong cuốn "Dạy học nêu vấn đề" của I.Ia Lecne do Phan Tất Đắc dịch quan niệm rằng: "Tình huống có vấn đề là một khó khăn được chủ thể ý thức rõ ràng hay mơ hồ, mà muốn khắc phục thì phải tìm tòi những tri thức mới, những phương thức hành động mới Tình huống có vấn đề đặc trưng cho thái độ của chủ thể đối với trở ngại nảy ra trong lĩnh vực hoạt động thực hành hay trí óc Nhưng

đó là thái độ mà trong đó chủ thể chưa biết cách khắc phục trở ngại và phải tìm tòi cách khắc phục Nếu không ý thức được khó khăn thì không nảy sinh ra nhu cầu tìm tòi và không có nhu cầu tìm tòi thì không có tư duy sáng tạo"

Theo PGS Trần Kiều thì "đặc trưng cơ bản của Dạy học giải quyết vấn đề là Tình huống có vấn đề Tình huống có vấn đề luôn luôn chứa đựng một nội dung cần xác định, một nhiệm vụ cần giải quyết, một vướng mắc cần tháo gỡ và do vậy, kết quả của việc nghiên cứu và giải quyết tình huống có vấn đề sẽ là tri thức mới, nhận thức mới hoặc phương thức hành động mới của chủ thể Có ba thành phần cấu thành tình huống có vấn đề

- Nhu cầu nhận thức hoặc hành động của người học

- Sự tìm kiếm những tri thức và phương thức hành động chưa biết

- Khả năng trí tuệ của chủ thể, thể hiện ở kinh nghiệm và năng lực"

Tác giả Lê Nguyên Long trong cuốn " Thử đi tìm những phương pháp dạy học hiệu quả" đưa ra khái niệm "Tình huống có vấn đề" như sau: " Tình huống có vấn đề là tình huống hay hoàn cảnh mà khi đó một vấn đề đã trở thành vấn đề của chính chủ thể nhận thức Con người đã ý thức được sự hiện diện của mâu thuẫn nhận thức mà họ phải cần thiết vượt qua hay nói cách khác con người đã ý thức được sự cấp bách của của việc khắc phục mâu thuẫn trong sự vật khách quan để thúc đẩy sự phát triển của sự vật Có những trường hợp mà điều kiện của chủ thể

và của đối tượng nhận thức khiến cho vấn đề nảy sinh đồng thời cũng là vấn đề của chủ thể nhưng cũng có trường hợp phải có sự tổ chức riêng biệt thì tình huống

có vấn đề mới xuất hiện và chủ thể nhận thức mới ý thức được vấn đề"

Trong cuốn " Những cơ sở của việc dạy học giải quyết vấn đề" của V.Ôkôn " Tình huống có vấn đề" được tác giả quan niệm như sau: " Đó là khi con người phải thực hiện một nhiệm vụ (trí óc hoặc chân tay, lý luận hoặc thực tiễn) mà những kinh nghiệm hiểu biết, cách làm cũ không giúp ta giải quyết được mà phải tìm một giải pháp mới Trong chủ quan, khi gặp hoàn cảnh đó chúng ta cảm thấy

có điều mâu thuẫn hoặc gặp phải khó khăn nảy sinh thắc mắc, khêu gợi óc tò mò,

muốn biết, muốn tìm cách giải quyết Hoàn cảnh có vấn đề bao gồm một số dữ liệu mà ta đã biết làm, ta cảm thấy có thể giải quyết được, nhưng lại chưa có sẵn đáp số do đó phải suy nghĩ để tìm ra nó Điều đã biết trong các dữ kiện và điều chưa biết về đáp số còn tuỳ thuộc vào trình độ sẵn có của mỗi người"

Các quan niệm về tình huống có vấn đề nêu trên đây có những điểm chung là: Chủ thể ý thức được sự hiển diện của mâu thuẫn nhận thức, mà chủ thể chưa biết cách khắc phục, mà họ phải cần thiết vượt qua, do đó phải suy nghĩ để tìm tòi cách khắc phục mà kết quả của sự tìm tòi là những tri thức mới, nhận thức mới hay phương thức hành động mới đối với chủ thể Song cách quan niệm của GS.TS Nguyễn Bá Kim và PGS PTS Vũ Dương Thuỵ rất mạch lạc, đầy đủ Vì vậy, chúng tôi sẽ dùng khái niệm này để kiểm tra tính đúng đắn của một tình huống gợi vấn đề trong suốt cuốn luận văn này Quan niệm đó được nêu lên như sau:

" Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi cho học sinh những khó khăn

về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một qui tắc có tính chất thuật giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có"

Như vậy, một tình huống gợi vấn đề phải thoả mãn ba điều kện sau:

- Thứ nhất: Phải tồn tại một vấn đề

Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được cái khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua Nói cách khác phải tồn tại một vấn đề, tức là học sinh chưa giải đáp được và cũng chưa có một qui tắc có tính chất thuật giải để giải đáp câu hỏi nảy sinh trong tình huống đó

- Thứ hai: Gợi nhu cầu nhận thức

Nếu tình huống có một vấn đề nhưng nếu học sinh thấy nó xa lạ không muốn tìm hiểu thì đây cũng chưa phải là một tình huống gợi vấn đề Trong tình huống gợi vấn đề học sinh phải thấy cần thiết, thấy có nhu cầu giải quyết vấn đề đó Tốt nhất là tình huống gây được "cảm xúc" làm cho học sinh ngạc nhiên, thấy hứng thú và mong muốn giải quyết vấn đề

- Thứ ba: Gây niềm tin ở khả năng

Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của mình thì họ cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề Cần làm cho học sinh thấy rõ, tuy chưa có ngay lời giải nhưng

đã có một số kiến thức kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết được vấn đề đó

Với quan niệm này ta thấy:

- Một tình huống gợi vấn đề mang tính chất thời điểm, ở thời điểm mà học sinh chưa được học một qui tắc có tính chất thuật giải hoặc chưa đủ những kiến thức liên quan để giải quyết vấn đề đặt ra thì tình huống ấy là có vấn đề đối với học sinh Còn sau đó khi đã giải quyết được rồi hoặc đã có qui tắc để giải quyết được vấn đề đó rồi thì tình huống ấy không còn là một tình huống có vấn đề đối với họ nữa

- Một tình huống gợi vấn đề chỉ có tính chất tương đối, nó phụ thuộc vào trình độ của từng học sinh Có thể đối với em này thì câu hỏi này, bài toàn này là tình huống gợi vấn đề, nhưng đối với em khác thì câu hỏi ấy, bài toán ấy không là tình huống gợi vân đề Với đối tượng học sinh khá, giỏi thì giải quyết một tình huống gợi vấn đề có thể rất nhẹ nhàng thậm chí có thể có học sinh không cảm nhận được khó khăn được ra trong tình huống Nhưng đối với học sinh yếu kém thì đó lại là "khó khăn" lớn Vì vậy tiêu chuẩn "chủ thể ý thức được khó khăn" gây ra một số khó khăn trong vận dụng Khi đặt ra trước lớp một tình huống gợi vấn đề thì có những học sinh ý thức được khó khăn và mức độ của những khó khăn ấy song cũng có học sinh thì không, do đó giáo viên phải dựa vào trình độ chung của học sinh từng lớp để điều chỉnh các tình huống đưa ra sao cho phần lớn học sinh được đặt trước một tình huống gợi vấn đề Đó là việc làm mang tính nghệ thuật của người giáo viên Tính nghệ thuật còn thể hiện ở chỗ giáo viên biết lồng một vấn đề vào trong một tình huống sao cho nó trở thành một tình huống gợi vấn đề Đây là một việc làm hết sức khó khăn, giáo viên phải suy nghĩ tìm tòi

để tình huống tạo ra phải khêu gợi được óc tò mò của học sinh, gây được hứng thú học tập của học sinh để họ sẵn sàng giải quyết vấn đề đưa ra đó Muốn vậy, tốt nhất giáo

viên nên lồng vấn đề vào các tình huống càng gần thực tế cuộc sống càng tốt, để các em thấy được phần nào tính ứng dụng của môn học, góp phần tạo nên sự hứng thú ở các em Cũng có thể tận dụng các tình huống có thật trong lịch sử khoa học

để xây dựng tình huống có vấn đề Theo chúng tôi, điều khó nhất đối với giáo viên là ở chỗ tạo được tình huống để nó thực sự là tình huống gợi vấn đề đối với học sinh Mức độ thành công của Dạy học giải quyết vấn đề phụ thuộc phần nhiều vào tình huống mà giáo viên đưa ra Có thể nói rằng nghệ thuật của giáo viên biểu hiện nhiều hơn cả trong việc tổ chức các tình huống gợi vấn đề Ở đây, giáo viên phải tế nhị nhưng phải kỹ càng đối với mọi cái như một nhà đạo diễn dẫn dắt một cách kín đáo học sinh vào thế giới khoa học, kỹ thuật và nghệ thuật nghĩa là vào thế giới văn hoá của loài người Việc đạo diễn các tình huống gợi vấn đề không chỉ là chỗ lựa chọn các vai thích hợp đối với học sinh và vận dụng khéo léo ở nhân tố kịch tính mà trước hết là ở chỗ khởi thảo ra vở kịch, bởi vì trong thực tế chương trình giảng dạy tuy đã qui định học sinh nắm vững nội dung nào, song không thể khởi thảo các đề mục đó tới mức có thể đề nghị dạy học cụ thể ở trong

đó

Nói chung việc xây dựng tình huống gợi vấn trong Dạy học giải quyết vấn đề

là dụng ý của giáo viên, đưa ra tình huống phần nào có kịch tính nhằm kích thích

sự chú ý của học sinh tới vấn đề được đặt ra cho họ tìm hiểu trong quá trình học tập

Trong thực tế, qua việc tìm hiểu và trao đổi với một số giáo viên toán ở trường phổ thông nói chung và giáo viên THPT nói riêng chúng tôi nhận thấy rằng hầu hết giáo viên đều thấy được những ưu điểm của việc vận dụng Daỵ học giải quyết vấn đề Nhưng nhiều giáo viên vẫn còn một số băn khoăn, vướng mắc thậm chí còn có những quan điểm sai lệch về vấn đề này

- Thứ nhất, phải kể đến vấn đề có nên để học sinh tự tìm tòi và khám phá toàn bộ kiến thức của môn học hay không?

Rõ ràng đó là một việc làm không tưởng, bởi lẽ không phải bất kỳ ai cũng có khả năng khám phá được toàn bộ nền văn minh nhân loại như những nhà bác học được, mặt khác cũng không thể đủ điều kiện, cũng như thời gian để làm việc đó

Trong cuốn sách " Dạy học nêu vấn đề" của I.Ia Lecne tác giả đã khẳng định: "Do bản chất xã hội của nó, dạy học là sự truyền thụ kinh nghiệm do xã hội tích luỹ cho thế hệ trẻ Cho nên tổ chức dạy học, trong đó học sinh phải khám phá lại tất cả những điều mà loài người biết được trước đây và được qui định trong chương trình học là một điều ít nhất cũng là kỳ quái" Cùng với ý kiến này chúng tôi khẳng định rằng, quan niệm Dạy học giải quyết vấn đề như là quá trình học sinh tự khám phá một cách liên tục các tri thức cần học là không thể chấp nhận được Chỉ có thể nói rằng Dạy học giải quyết vấn đề đưa học sinh về gần với quá trình phát minh của các nhà bác học mà thôi chứ không thể hy vọng là học sinh tự khám phá được toàn bộ tri thức, mà đó lại là tri thức của tất cả các môn học Trong cuộc sống lao động tất nhiên rất cần những người lao động có khả năng sáng tạo, nhưng cũng có nhiều công việc, nhiều hoạt động chỉ cần người ta biết vận dụng những tri thức có sẵn trong kho tàng văn hoá nhân loại mà thôi Do vậy, khi nhấn mạnh phương pháp dạy học tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề chúng

ta cũng không thể lãng quên những phương pháp dạy học mang tính chất ứng dụng tri thức sẵn có rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo của học sinh

Thứ hai là mức độ yêu cầu học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề trong toàn

bộ quá trình dạy học Như đã nêu ở trên, chúng ta không thể yêu cầu học sinh khám phá lại tất cả các tri thức qui định trong chương trình mà phải có sự lựa chọn những nội dung nhất định, vận dụng xu hướng dạy học này một cách hiệu quả Do đó, ngoài việc giáo viên phải lựa chọn những nội dung phù hợp, cách thức thực hiện phù hợp thì trong Dạy học giải quyết vấn đề giáo viên chỉ nên cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề đối với một bộ phận nội dung học tập dưới

sự điều khiển của giáo viên Mức độ gợi ý của giáo viên đối với học sinh ít nhiều còn phụ thuộc vào từng nội dung học tập đơn giản hay phức tạp, tuỳ thuộc vào đối tượng học sinh khá, trung bình hay kém Dạy học giải quyết vấn đề không chỉ đơn thuần là giúp học sinh nắm được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà điều quan trọng hơn là học sinh có được phương pháp, cách thức và con đường đi đến tri thức Qua đó, học sinh có thể điều chỉnh lại những tri thức mà không được lĩnh hội bằng con đường phát hiện và giải quyết vấn đề, đồng thời luôn có con mắt nhìn nhận sự việc, hiện tượng theo kiểu phát hiện và giải quyết vấn đề Theo GS

Nguyễn Bá Kim thì "Tỉ trọng của phần người học phát hiện và giải quyết vấn đề trong toàn bộ quá trình dạy học là một câu hỏi quan trọng mà việc giải đáp tuỳ thuộc vào đặc điểm của mỗi môn học vào đối tượng học sinh ra hoàn cảnh cụ thể Yêu cầu này không thể cân đo đong đếm thật cụ thể, tuy nhiên phương hướng chung là: Tỉ trọng của phần nội dung được dạy theo cách để học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề không choán hết toàn bộ môn học, nhưng phải đủ người học biết cách thức, có kỹ năng giải quyết vấn đề và có khả năng cấu trúc lại tri thức, biết nhìn bộ phận nội dung còn lại dưới dạng đang trong quá trình hình thành và phát triển, dưới con mắt của người phát hiện và giải quyết vấn đề"

Ý kiến này một lần nữa khẳng định mức độ yêu cầu của việc Dạy học giải quyết vấn đề trong toàn bộ quá trình dạy học

Điều băn khoăn thứ ba đối với giáo viên là có phải Dạy học giải quyết vấn đề chỉ phù hợp với học sinh khá, giỏi và ít có cơ hội để tạo tình huống có vấn đề Một số giáo viên phổ thông hiện nay vẫn coi vấn đề phải chứa đựng những vấn đề

"tầm cỡ" do đó chỉ phù hợp với đối tượng học sinh khá giỏi Trong thực tế thì việc tạo những tình huống "tầm cỡ" như thế lại là việc làm dễ đối với giáo viên Cái khó ở đây là từ những vấn đề có vẻ "tầm thường" giáo viên biết biến nó thành một tình huống có vấn đề đối với học sinh Sau đây là một số ví dụ cho thấy cách dạy học này có thể áp dụng với cả học sinh bình thường

Học sinh lớp 11 sau khi học nội dung đẳng thức lượng giác "Tổng bình phương cosin và sin của cùng một góc bằng 1" Giáo viên đưa ra bài toán:

Hãy xét xem cách viết sau đây cách nào đúng, cách nào sai?

1 2 2

Đây rõ ràng là một tình huống gợi vấn đề, trước hết nó bao hàm một vấn đề

là tìm sai lầm (nói chung không có thuật toán để phát hiện sai lầm) Thứ hai nó gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ bản thân họ cũng rất muốn tìm tòi chỗ sai sót (vì không thể chấp nhận một cách viết sai) Thứ ba nó gây được niềm tin ở khả năng học sinh vì họ cảm thấy vấn đề chỉ quanh quẩn ở những kiến thức vừa học

1.2.2.3 Đặc trưng của dạy học giải quyết vấn đề

Trong Dạy học giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra tình huống có vấn đề điều khiển học sinh phát hiện vấn đề (có thể giáo viên nêu ra vấn đề), học sinh hoạt động tự giác và tích cực để giải quyết vấn đề Thông qua đó và nhờ đó mà lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục đích học tập khác

Dạy học giải quyết vấn đề có những đặc trưng sau đây:

- Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề

- Học sinh hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để giải quyết vấn đề

Có thể hiểu Dạy học giải quyết vấn đề là toàn bộ các hành động như tổ chức các tình huống có vấn đề, biểu đạt (nêu ra) các vấn đề (tập cho học sinh quen dần

để tự làm lấy công việc này), chú ý giúp đỡ cho học sinh những điều cần thiết để giải quyết vấn đề, kiểm tra các cách giải quyết đó và cuối cùng là lãnh đạo quá trình hệ thống hoá và củng cố các kiến thức đã tiếp thu được Như vậy, vai trò của người giáo viên là đạo diễn, tạo tình huống có vấn đề, tạo điều kiện cho các em tìm tòi sáng tạo và khi cần thiết hướng dẫn sự suy nghĩ của các em để tránh cho các em những tìm tòi không có ý nghĩa, không có kết quả, lãng phí thời gian một cách vô ích

Mục đích của kiểu dạy học này không phải chỉ làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy Nói cách khác, học sinh không chỉ học kết quả của việc học mà trước hết là học bản thân việc học Như vậy, Dạy học giải quyết vấn đề không còn chỉ thuộc phạm trù phương pháp mà đã trở thành một mục đích của dạy học đó là hình thành năng lực giải quyết vấn đề, năng lực

có vị trí quan trọng hàng đầu để con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội tương lai

1.2.3 Các hình thức dạy học giải quyết vấn đề

Tuỳ thuộc vào khả năng học tập của học sinh và nội dung được chọn để Dạy học giải quyết vấn đề mà người ta chia thành các cấp độ, đồng thời cũng là các hình thức khác nhau của việc Dạy học giải quyết vấn đề

1.2.3.1 Hình thức tự nghiên cứu vấn đề

Đây là cấp độ cao nhất của Dạy học giải quyết vấn đề, trong hình thức này tính độc lập của người học được phát huy cao độ Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học phải tự phát hiện ra vấn đề, nêu ra các vấn đề, biểu đạt một cách chính xác vấn đề, giải quyết vấn đề và cả việc kiểm tra cách giải quyết mới

Có thể châm chước một chút, thầy giáo có thể giúp học sinh cùng lắm là khâu phát hiện vấn đề Như vậy ở cấp độ này, người học độc lập thực hiện hầu hết tất

cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này

1.2.3.2 Đàm thoại giải quyết vấn đề

Trong đàm thoại giải quyết vấn đề, mức độ tự lực của học sinh thấp hơn Thầy giáo đưa ra tình huống có vấn đề và giúp học sinh phát hiện vấn đề, giải thích và biểu đạt vấn đề một cách chính xác Học sinh giải quyết vấn đề không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý, dẫn dắt của giáo viên khi cần thiết Phương tiện

để thực hiện hình thức này là những câu hỏi hoặc yêu cầu hành động của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò Như vậy có sự đan kết thay đổi hoạt động của thầy và trò dưới hình thức đàm thoại

Ở hình thức này, ta thấy Dạy học giải quyết vấn đề có phần giống phương pháp đàm thoại, nhưng thực ra hai cách dạy học này không đồng nhất với nhau Nét quan trọng của Dạy học giải quyết vấn đề không phải là những câu hỏi, mà là việc tạo ra tình huống gợi vấn đề Trong một giờ học, thầy giáo có thể đặt nhiều câu hỏi, nhưng nếu những câu hỏi đó chỉ yêu cầu tái hiện lại kiến thức cũ, thì đó không phải là hình thức Dạy học giải quyết vấn đề Trong một số trường hợp, việc giải quyết những tình huống có vấn đề của học sinh có thể diễn ra hoàn toàn không có câu hỏi nào của người giáo viên

Đây là hình thức được vận dụng phổ biến nhất trong Dạy học giải quyết vấn

đề

1.2.3.3 Thuyết trình giải quyết vấn đề

Đây là cấp độ thấp nhất trong Dạy học giải quyết vấn đề, ở hình thức này mức độ độc lập của học sinh thấp hơn hai hình thức trên Thầy giáo tạo ra tình

huống gợi vấn đề, sau đó chính bản thân thầy giáo đặt vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết ( chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải)

Hình thức này có vẻ giống như phương pháp dạy học thuyết trình nhưng thực ra lại không phải như vậy Dạy học theo kiểu thuyết trình là thầy giáo trình bày những kiến thức có sẵn, còn thuyết trình giải quyết vấn đề là trình bày quá trình suy nghĩ tìm tòi, trong quá trình đó có tìm kiếm dự đoán có lúc thành công

có pha thất bại, phải điều chỉnh phương hướng mới đem đến kết quả Như vậy kiến thức trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà là trong quá trình khám phá

ra chúng, quá trình này thực sự là sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thực Khi nói Dạy học giải quyết vấn đề là dạy cho người học chiếm lĩnh kiến thức trong quá trình nảy sinh hình thành và phát triển, thì điều đó không chỉ có nghĩa là để cho họ tự mình khám phá ra kiến thức đó, mà còn có thể bao hàm cả hình thức thầy giáo thuyết trình giải quyết vấn đề

Tuy nhiên, ta không thể thoả mãn nếu trong toàn bộ quá trình dạy học người thầy giáo chỉ sử dụng cấp độ thấp nhất là thuyết trình giải quyết vấn đề Như vậy, yêu cầu đặt ra đối với người thầy là nên tận dụng những cơ hội để thực hiện Dạy học giải quyết vấn đề ở mức độ cao hơn Muốn vậy, thầy giáo có thể cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề đối với một bộ phận nội dung học tập, hoặc có thể chia một vấn đề lớn thành những vấn đề nhỏ để học sinh có thể giải quyết từng phần Đồng thời, cần phải có những gợi ý với mức độ nhiều ít khác nhau cho từng đối tượng học sinh

Dù vận dụng Dạy học giải quyết vấn đề dưới hình thức nào, thì chỉ có thể nói đạt được kết quả tốt khi mà nó kích thích được tính tích cực của toàn bộ học sinh tới mức tối đa

1.2.4 Thực hiện giải quyết vấn đề

Từ những đặc trưng cơ bản của Dạy học giải quyết vấn đề nêu ở trên, ta thấy hạt nhân của kiểu dạy học này là điều khiển quá trình nghiên cứu và giải quyết vấn đề của học trò Quá trình này được chia thành những giai đoạn những bước có mục đích chuyên biệt, có thể phác hoạ như sau:

- Sự xuất hiện của chính vấn đề và những kích thích đầu tiên thúc đẩy chủ thể giải quyết vấn đề Chủ thể nhận thức sâu sắc và chấp nhận vấn đề để giải quyết

- Quá trình tìm kiếm cách giải quyết vấn đề đã được chấp nhận, được lý giải chứng minh và kiểm tra

- Tìm được kết quả cuối cùng và đánh giá toàn diện các kết quả tìm được Như vậy, khi thực hiện việc Dạy học giải quyết vấn đề về đại thể giáo viên

có thể thực hiện theo trình tự các bước như sau, trong đó, bước nào, khâu nào do học trò tự làm, hoặc có sự gợi ý của thầy hoặc chỉ theo dõi sự trình bày của thầy là tuỳ thuộc vào sự lựa chọn một cấp độ thích hợp đã nêu ở phần trên

Bước 1: Tri giác vấn đề

- Tạo tình huống gợi vấn đề

- Giải thích và chính xác hoá để hiểu đúng tình huống

- Phát biểu vấn đề và đặt mục đích giải quyết vấn đề đó Ở đây có thể có hai mức độ: Giáo viên trực tiếp chỉ ra vấn đề hoặc học sinh sau khi tìm hiểu đã tự phát hiện ra vấn đề

Bước 2: Giải quyết vấn đề

Đây là bước quan trọng nhất trong Dạy học giải quyết vấn đề Ở bước này giáo viên phải điều khiển học sinh tìm ra chiến lược giải quyết được vấn đề, theo dõi, giúp đỡ, gợi ý chung và gợi ý riêng, giúp học sinh giải quyết được vấn đề đặt

ra Cụ thể như sau:

- Phân tích vấn đề, làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm

- Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết, có thể điều chỉnh thậm chí bác bỏ

và chuyển hướng khi cần thiết Trong khâu này thường hay sử dụng qui tắc tìm đoán và chiến lược nhận thức như qui lạ về quen, đặc biệt hoá, xem xét tương tự, khái quát hoá, xem xét những mối quan hệ và phụ thuộc suy ngược (ngược tiến, ngược lùi) và suy xuôi Khâu này có thể được làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi đúng

- Trình bày cách giải quyết vấn đề

Bước 3: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Kiểm tra tính đúng đắn và phù hợp thực tế của lời giải

- Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của lời giải

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề và giải quyết vấn đề luôn nếu có thể

Trong các bước nêu ở trên, bước 1 và bước 2 là hai bước cơ bản không thể thiếu được còn bước thứ 3 chỉ đòi hỏi trong một số trường hợp cần thiết Sau đây

ta có thể minh họa Dạy học giải quyết vấn đề theo từng bước nêu trên

Ví dụ: Khảo sát hàm số y  ax2 bx  c a  0 (học sinh lớp 10 hiện hành) Yêu cầu ở đây là khảo sát hàm số bậc hai tổng quát Đó là một vấn đề, vì nó

là một câu hỏi chưa hề được học sinh giải đáp và họ cũng chưa được học một qui tắc có tính thuật giải nào để giải đáp câu hỏi đó

Sự cần thiết phải giải quyết vấn đề này đã đặt ra ngay từ đầu mục "Hàm số bậc hai"

Vấn đề này không vượt quá xa khả năng của học sinh, vì họ đã được học khảo sát hàm số bậc hai đặc biệt: y  ax2; y  ax2 c a  0

Như vậy đây đúng là một tình huống gợi vấn đề

Bước 1: Tri giác vấn đề

Giáo viên nêu mục đích là khảo sát hàm số trên

Bước 2: Giải quyết vấn đề

Giáo viên gợi ý cho học sinh "quy lạ về quen" đưa biểu thức ax 2  bx  c

về dạng au 2  d Trong bước này có thể sử dụng những gợi ý sau đây khi cần:

- Biến đổi sao cho dạng mới chỉ có au2 chứ không có số hạng u

c x a

b ax a c bx

ax

2 2

ax ta đã làm tăng biểu thức nào?

Cho nên phải bớt biểu thức đó đi để giá trị của biểu không thay đổi

b a

b x

4 2

2 2

a

b x

a

- Dùng biến phụ u để đưa biểu thức trên về dạng au2 + d

- Sau đó áp dụng kết quả khảo sát hàm số y = ax2 + c đã học

- Trình bày lại toàn bộ quá trình biến đổi đưa hàm số bậc hai về dạng

y = au2+d

Trình bày kết quả khảo sát hàm số: y = ax2

+ bx + c

Bước 3: Kiểm tra và nghiên cứu kết quả

Kiểm tra bằng cách đặc biệt hoá các kết quả tìm được cho trường hợp

b = 0

1.2.5 Người giáo viên và việc Dạy học giải quyết vấn đề

Ngoài trình độ của học vấn, trình độ trí tuệ, giáo viên cần được thực sự quan tâm tới bầu không khí tình cảm, đạo đức cần được duy trì trrong lớp học

Dạy học giải quyết vấn đề tạo ra bầu không khí sáng tạo trong lớp không cho phép có một biểu hiện nhỏ nào về thái độ khinh thường, không tôn trọng ý kiến học sinh, cho dù ý kiến đó có sai lầm đi chăng nữa, cũng không nên gạt phắt đi,

mà phải vạch cho học sinh thấy rõ chỗ sai của họ

Trong mỗi ý kiến phát biểu của học sinh khi giải quyết vấn đề, giáo viên đều phải cố tìm ra một phần nào là hợp lý để nâng cao lòng tin của học sinh vào khả năng của họ Giáo viên luôn luôn đòi hỏi học sinh phải chứng minh chặt chẽ, nhưng đồng thời giáo viên cũng phải sẵn sàng chứng minh ý kiến phát biểu của chính mình Có thể có nhiều kiểu giải quyết vấn đề, có thể xảy ra sự tranh luận và giáo viên chẳng những phải chuẩn bị sẵn sàng để phản đối những ý kiến sai, mà

khi gặp trường hợp như vậy phải biết cách tạo ra một không khí hết sức thuận lợi cho học sinh phát biểu ý kiến của họ

Thiếu một bầu không khí đạo đức tôn trọng và đòi hỏi cao lẫn nhau thì không thể tạo ra không khí sáng tạo Dạy học giải quyết vấn đề đòi hỏi mỗi học sinh phải có ý thức về nhân cách của mình và điều đó chỉ đạt được khi nào những người có uy tín nhất đối với học sinh - là các giáo viên - cư xử với họ như một cá nhân, mà không hề xem thường họ

Dạy học giải quyết vấn đề đặt ra một loạt yêu cầu đổi mới đối với trình độ nghiệp vụ của giáo viên về mặt tri thức cũng như về mặt kỹ năng sư phạm Với các kiểu dạy học truyền thống, khi các phương pháp giải thích - minh hoạ và tái hiện chiếm ưu thế, thì chỉ cần giáo viên trình bày trình tự bài trong sách giáo khoa, thuyết minh cái này diễn thị cái khác và yêu cầu học sinh nhắc lại là đủ; và việc dạy học dựa vào trí nhớ và sự thông hiểu bước đầu tài liệu đã diễn ra một cách khô khan và nghèo nàn Nhiều giáo viên đã qui toàn bộ việc dạy học về việc học sinh tự đọc sách giáo khoa trong giờ học ở lớp

Dạy học giải quyết vấn đề loại trừ khả năng áp dụng kiểu dạy học như vậy Giáo viên chẳng những phải nắm vững các tri thức đã được khẳng định trong khoa học, mà cần phải am hiểu các vấn đề của khoa học, các quan điểm khác nhau về vấn đề này hay vấn đề khác, hệ thống chứng minh các quan điểm đó Giáo viên phải am hiểu sâu sắc các vấn đề phương pháp luận của nhận thức khoa học nói chung, tính đặc thù của nhận thức trong môn khoa học mình giảng dạy, các phương pháp và phương thức khái quát giải quyết vấn đề

Tất cả những hiểu biết đó là cần thiết bên cạnh kỹ năng, biết linh hoạt đặt ra cho học sinh những vấn đề trong quá trình nghiên cứu và liên hệ các liên hệ ngược Nếu một lời giải nào tỏ ra có nội dung lộn xộn, thiếu mạch lạc, thì giáo viên không chỉ giản đơn yêu cầu học sinh xây dựng lại lời giải mà còn vận dụng một hệ thống các câu hỏi và các "phản ví dụ", làm thế nào cho chính học sinh chỉnh đốn lại các tri thức cho phù hợp với cấu trúc của chúng Trong khi theo dõi lôgic triển khai lời giải, lôgic giải quyết vấn đề của học sinh, giáo viên phải biết cách xây dựng những tình huống xung đột để lái học sinh vào con đường tìm tòi

đúng đắn Giáo viên phải biết cách bác bỏ một cách nghiêm túc lời giải sai, gợi sự tranh luận trong học sinh và hướng cuộc tranh luận đó đi đúng hướng

Giáo viên cần nắm vững nghệ thuật kể chuyện nêu vấn đề và kỹ thuật xây dựng các bài toán có tính chất nghiên cứu Sau khi đặt vấn đề, nếu thấy học sinh gặp khó khăn, giáo viên phải biết chia vấn đề thành những vấn đề nhỏ, tổ chức đàm thoại có tính chất phát kiến Giáo viên phải biết cách xác định trình độ độc lập nhận thức của học sinh Giáo viên phải có khả năng đặt ra những tình huống

có vấn đề mà đôi khi xảy ra ngay trong quá trình dạy học

Không phải chỉ sự lĩnh hội trở thành có tính chất sáng tạo, mà cả sự giảng dạy cũng có được tính chất sáng tạo thực sự Ngay cả trong trường hợp giáo viên đưa ra một bài toán, nhận thức mà mình đã hiểu rõ thì tuy đã biết lời giải và con đường đi đến lời giải rồi, song trong khi học sinh giải bài toán đó giáo viên cũng cần đóng vai người tìm tòi chứ không chỉ đóng vai một trọng tài quan sát lời giải của học sinh Bởi vì, nhờ có liên hệ ngược chiều, giáo viên sẽ thu được tất cả các bước giải, hay lời giải sai hoặc độc đáo của học sinh Giáo viên phải đánh giá ngay trong giờ học đó, xem các bước đi như vậy đúng hay sai và phải bác bỏ hay khen ngợi các cách giải đó

Vận dụng Dạy học giải quyết vấn đề giáo viên phải suy nghĩ tích cực, suy nghĩ thông minh và sáng tạo thì mới có thể đào tạo được những học sinh thông minh và sáng tạo

1.3 Dạy học giải quyết vấn đề trong môn toán

1.3.1 Bản chất của phương pháp Dạy học giải quyết vấn đề trong môn toán

* Tổ chức việc dạy toán sao cho các em luôn đứng trước những tình huống gợi vấn đề mang tính chất toán học phải giải quyết, luôn luôn phải tìm tòi sáng tạo những con đường giải quyết các vấn đề đó:

+ Tự rút ra công thức

+ Tự chứng minh định lý

+ Tìm cách ghi nhớ một cách tích cực các kiến thức đã lĩnh hội

+ Tự tìm ra các thuật toán giải các bài toán điển hình

+ Tự tìm ra các cách giải hay, gọn những bài toán lý thuyết hay thực hành

Vai trò của giáo viên là đạo diễn, tạo ra những tình huống có vấn đề, tạo điều kiện cho các em tìm tòi, sáng tạo và khi cần thiết hướng dẫn sự suy nghĩ của các

em tránh cho các em những tìm tòi không có ý nghĩa, không kết quả, lãng phí thời giờ một cách vô ích

Thế nào là tình huống có vấn đề mang tính chất toán học?

Đó là những vấn đề toán học, những bài toán vạch ra trước mắt học sinh những khó khăn về lý luận và thực tiễn mà các em cần và có khả năng vượt qua

mà việc giải quyết là kết quả của sự cố gắng, tích cực, hứng thú nghiên cứu, suy nghĩ của các em nhờ đó nâng cao được một bước trình độ kiến thức, kỹ năng và suy nghĩ

1.3.2 Một số cách tạo tình huống gợi vấn đề trong dạy học Toán

Một số giáo viên cho rằng Dạy học giải quyết vấn đề tuy hay nhưng có vẻ

ít có cơ hội thực hiện do khó tạo được nhiều tình huống gợi vấn đề Để xoá bỏ ấn tượng không đúng, chúng tôi xin nêu một số cách tạo tình huống gợi vấn đề phổ biến sau:

Cách 1: Khai thác phần kiến thức cũ, nêu vấn đề và xây dựng kiến thức mới

Ví dụ: Khi dạy công thức biến đổi tích thành tổng

cos a cos b  cosa  b cosa  b 

cos(a + b) = sina.sinb - cosa.cosb

Cách 3: Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

Sau khi học bài " Phương trình lượng giác cơ bản" Để củng cố việc lấy nghiệm của các phương trình đó ta có thể ra bài tập theo dạng sau để tạo tình huống gợi vấn đề:

Khi giải phương trình

Cách 4: Giải bài tập chưa biết thuật giải để giải trực tiếp

Khi học phương trình lượng giác cơ bản ta có thể ra bài tập sau để tạo tình huống gợi vấn đề:

Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn: cosx - sinx = 0 (bài toán này sau này được gọi là giải phương trình)

Đây là một tình huống gợi vấn đề vì học sinh chưa có một qui tắc có tính chất thuật toán nào để giải Mà muốn giải quyết vấn đề giáo viên có thể gợi ý để

học sinh viết đẳng thức trên về dạng sinx = cosx Từ đó áp dụng định nghĩa hàm

số lượng giác và dấu các hàm số lượng giác biểu diễn lên đường tròn lượng giác thì học sinh có thể tìm được x   k  ( k  Z )

4

Cách 5: Khái quát hoá

Sau khi học công thức biến đổi tổng thành tích, để dạy học sinh giải bài tập CMR: a.cosx + b.sinx = A.cos(x - ) (1) (a.b  0) và

2 2 2

2

b a

b sin

, b a

Ta có thể tạo tình huống gợi vấn đề như sau:

sin x cos

- Từ đó tìm cách khái quát hoá để giải bài toán (1)

Cách 6: Lật ngược vấn đề

Sau khi học định lý Pitago: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông"

Ta có thể dùng các câu hỏi sau để tạo tình huống gợi vấn đề:

"Điều ngược lại có đúng không? Tại sao?"

Cách 7: Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, đo đạc, tính toán

Ví dụ: Khi dạy về công thức tính tổng vô hạn của một cấp số nhân có công bội q < 1 Ta có thể tạo tình huống gợi vấn đề như sau:

- Hãy dùng hình vẽ dự đoán kết quả của tổng vô hạn sau:

8

1 4

1 2

- Bằng hình vẽ học sinh sẽ đoán được kết

quả của tổng trên là S = 1

- Trên đây là kết quả của tổng vô hạn của

một cấp số nhân có

2

1 q béi c«ng ,

q < 1 thì ta có thể thiết lập được công thức tính tổng vô hạn được hay không?

Cách 8 Tìm thêm cách giải khác trong mỗi bài tập

Khi dạy học sinh giải bài tập

Cho dãy số (un) xác định bởi

1) (n

u u

u

n n

1

1

Tìm limun

Ta có thể tạo tình huống gợi vấn đề như sau

Khi gặp bài toán này học sinh "thường" sẽ giải theo cách: Bằng dự đoán và dùng phương pháp qui nạp toán học, học sinh có thể tìm và chứng minh được số hạng tổng quát của dãy số trên là 1

lim

- Giáo viên có thể yêu cầu học sinh tìm thêm lời giải khác và cho biết trong hai cách giải thì cách nào "tốt" hơn

Cách 9 Nêu thêm câu hỏi sau mỗi bài tập

Sau khi dạy học sinh giải bài tập tìm

x

x lim

x

1 3 1

3 0

*) Một số chú ý khi vận dụng Dạy học giải quyết vấn đề

1 Dạy học giải quyết vấn đề là sự kế thừa và nâng lên các ưu thế của phương pháp dạy học cổ truyền: Phương pháp gợi mở - vấn đáp Dạy học giải quyết vấn đề bao gồm các yếu tố gợi mở và vấn đáp Tuy nhiên, yếu tố gợi mở trong Dạy học giải quyết vấn đề được vận dụng rộng rãi hơn, bằng nhiều hình thức phong phú hơn là trong phương pháp gợi mở - vấn đáp Nhưng nét quan trọng nhất của việc Dạy học giải quyết vấn đề là việc tạo tình huống gợi vấn đề (việc này có thể tiến hành bằng cách đặt câu hỏi hoặc bằng nhiều hình thức khác)

2 Khi nói đến hiệu quả của Dạy học giải quyết vấn đề, tất nhiên phải chú ý tới sự thay đổi trong kiến thức của học sinh, không chỉ ngay sau giờ học mà cả một thời gian lâu dài (học sinh không chỉ học kết quả của việc học mà trước hết là học bản thân việc học)

3 Dạy học giải quyết vấn đề không phải là vạn năng, càng không phải là phương pháp độc nhất Nó chỉ là một trong những phương pháp có hiệu quả trong việc rèn luyện cho học sinh "hiểu chóng, nhớ lâu, tiến bộ nhanh", kết hợp học với hành, góp phần rèn luyện trí thông minh sáng tạo vì vậy cần vận dụng Dạy học giải quyết vấn đề kết hợp với các phương pháp khác (phương pháp trực quan, đàm thoại )

4 Trong Dạy học giải quyết vấn đề, tình huống gợi vấn đề chỉ có tính chất tương đối nó phụ thuộc vào trình độ của từng học sinh Có thể đối với em này thì câu hỏi này, bài toán này là tình huốgn gợi vấn đề, nhưng đối với em khác lại không là tình huống gợi vấn đề Vì vậy, vận dụng Dạy học giải quyết vấn đề phải sát với ba loại học sinh: Khá, trung bình, kém

5 Dạy học giải quyết vấn đề trong môn toán có thể và cần vận dụng trong cả

ba giai đoạn của quá trình dạy học (Hình thành kiến thức mới - củng cố ôn tập, hệ thống hoá kiến thức đã học - vận dụng kiến thức đã học) Cần vận dụng đúng mức

và khéo léo để không lãng phí thời giờ vô ích, mà vẫn bảo đảm kết quả học tập tốt của các em

1.4 Vị trí của các chủ đề kiến thức Dãy số, Giới hạn và thực trạng Dạy

1.4.2.Vị trí của chủ đề Giới hạn

1.4.2.1 Khái niệm giới hạn là cơ sở của giải tích toán học (gọi tắt là giải tích) Giải tích bắt đầu bằng khái niệm giới hạn - Ranh giới giữa Đại số và Giải tích bắt đầu từ đấy Mỗi lần ta gặp một vấn đề gì không đòi hỏi phải chuyển qua giới hạn, thì ta còn đứng trong lĩnh vực Đại số, mỗi lần ta phải tìm giới hạn của một đại lượng biến thiên nào đó, thì ta đã bước vào lĩnh vực giải tích rồi Chẳng hạn khi ta khảo sát một hàm số và ta vẽ đồ thị của nó bằng cách tìm một số điểm của nó và nối các điểm đó bằng một đường, thì cách làm đó thuộc phạm vi Đại số Còn nếu ta chứng minh được rằng hàm số đó là liên tục và vẽ đồ thị của nó bằng một đường liền thể hiện sự biến thiên liên tục của nó, thì cách làm đó thuộc phạm

vị Giải tích

Chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 gồm hai phần đan xen nhau:

*) Phần Đại số nghiên cứu các đề mục sau:

1 Các hàm số siêu việt sơ cấp: Lượng giác, mũ, lôgarit, nghiên cứu bằng các phương pháp Đại số

2 Các công thức lượng giác

3 Các dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

4 Các phép tính luỹ thừa và căn thức

5 Các phương trình và bất phương trình lượng giác, mũ và lôgarit

*) Phần giải tích nghiên cứu các đề mục sau

1 Giới hạn của dãy số

2 giới hạn của hàm số

3 Hàm số liên tục

4 Định nghĩa luỹ thừa a với  vô tỉ

5 Việc tìm giới hạn của hàm số khi x dần tới vô cực, hoặc dần tới 0 đối với các hàm số y  ax, logax , vv vốn thuộc phạm vi giải tích, song vì trình độ học sinh lớp 11 chưa cho phép giải quyết một cách chính xác các vấn đề đó, nên các kết quả thường được thừa nhận, xem như những hệ quả tự nhiên của sự biến thiên của các hàm số đó Thành thử việc nghiên cứu các hàm số mũ và lôgarit trong trường THPT được thực hiện bằng các phương pháp Đại số

Các khái niệm giới hạn và liên tục đã được các nhà toán học nhận thức và sử dụng một cách trực giác ngay từ thời cổ đại Archimede ( thế kỷ III trước công nguyên) đã biết xem chu vi của một đường tròn là chu vi các đa giác đều có 2ncạnh nội tiếp trong đường tròn đó Ông cũng đã biết cách tính tổng các số hạng của một cấp số nhân vô hạn có công bội 0<q<1

Các nhà toán học ở thế kỷ XVII Newton (1643 - 1727) và Leibniz (1646 - 1716) đã xây dựng và phát triển Phép tính vi phân trên cơ sở vận dụng một cách trực giác khái niệm giới hạn Khái niệm này thời đó chưa được chính xác hoá Phải đợi đến thế kỷ XVIII, nhà toán học Pháp Cauchy (1789 - 1857) mới đưa

ra các định nghĩa chính xác về giới hạn và liên tục, ngày nay đang dùng

1.4.2.2 Mối quan hệ giữa chủ đề kiến thức giới hạn và các chủ đề kiến thức khác

Trước khi bước vào học về giới hạn, học sinh chỉ tư duy theo kiểu "hữu hạn, rời rạc" của Đại số, nay mới được làm quen với kiểu tư duy "vô hạn, giới hạn, liên tục" của Giải tích Từ chủ đề kiến thức này đã mở ra một loạt chủ đề kiến thức khác liên quan cũng như vận dụng nó để giải một lớp bài tập:

- Tính tổng của vô hạn của một cấp số nhân có công bội 0<q<1

- Định nghĩa về tính liên tục của hàm số

- Định nghĩa về đạo hàm của một hàm số

- Tìm tiệm cận của đồ thì một hàm số

- Ngoài ra ta có thể vận dụng kiến thức về giới hạn để chưng minh một số đẳng thức, bất đẳng thức, xét sự tồn tại nghiệm của phương trình, bất phương trình

1.4.2 Thực trạng dạy học các chủ đề Dãy số và Giới hạn hiện nay

Ta biết rằng kiến thức về Dãy số và Giới hạn không những khó với người học mà khó đối với cả người dạy Đặc biệt là chủ đề Giới hạn bởi trước khi bước vào học về giới hạn, học sinh THPT chỉ tư duy theo biểu " hữu hạn, rời rạc" của Đại số, nay bước sang làm quen theo kiểu tư duy "vô hạn, giới hạn, liên tục" của giải tích

Ngay bài học đầu tiên của chủ đề Giới hạn học sinh đã gặp phải một định nghĩa thật rắc rối về giới hạn của dãy số, nhiều học sinh đã không khỏi bối rối và

tự hỏi: "Làm sao mà nhớ được?" Tiếp đó là một loạt các định lý thừa nhận vì vậy, phần lý thuyết giáo viên dạy theo từng chủ đề theo phương pháp thuyết trình dẫn học sinh tới kiến thức, củng cố kiến thức bằng bài tập, hướng dẫn công tác học tập

ở nhà Về phần luyện tập, học sinh chuẩn bị bài tập ở nhà hoặc ít phút tại lớp giáo viên gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xét lời giải, giáo viên sửa, đưa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố kiến thức cho học sinh Đối với học sinh khá, giỏi sẽ được ra thêm một số bài khó hơn để các em về nhà làm Thực trạng dạy học như vậy, chưa phát huy được tính tích cực, độc lập và sáng tạo của học sinh, học sinh thường nắm lý thuyết một cách máy móc và "cố gắng" vận dụng lý thuyết để giải các bài tập, vì vậy thông thường các em chóng quên lý thuyết dẫn đến không thể giải được các bài tập cơ bản

2.1 Dạy học chủ đề Dãy số theo định hướng Dạy học giải quyết vấn đề

Ví dụ 1: Dạy bài Cấp số cộng (tiết 1)

(Trang 95 - Đại số và Giải tích 11 - Nxb GD 2000)

1 Định nghĩa cấp số cộng

Khi dạy định nghĩa cấp số cộng ta có thể sử dụng hình thức thuyết trình giải quyết vấn đề bằng cách nêu lên tình huống có vấn đề, rồi dẫn dắt để học sinh phát biểu được định nghĩa, cho thêm ví dụ

Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề

Ở đây ta có thể sử dụng cách 1 để tạo tình huống gợi vấn đề như sau

- Cho hai dãy số sau:

(un): 2, 5, 8, 11, (1)

(vn): 6, 1, -4, -9, (2)

Yêu cầu học sinh cho biết hai dãy số trên có đặc điểm gì chung?

Sau một thời gian suy nghĩ học sinh sẽ nhận thấy đối với dãy số (1) hiệu của

số hạng đứng sau và số hạng đứng ngay trước nó bằng 3, đối với dãy số thứ (2) cũng tương tự ta có hiệu đó là -5 "đây là điểm chung của hai dãy số trên"

Giáo viên thuyết trình rằng "những dãy số có tính chất như hai dãy số nêu trên người ta gọi là cấp số cộng"

Vậy cấp số cộng là gì?

Bước 2: Giải quyết vấn đề

Từ đó ta đi đến định nghĩa tổng quát

Định nghĩa cấp số cộng: (SGK)

Bước 3: Kiểm tra và vận dụng

- Hãy đưa ra một ví dụ và kiểm tra xem có là cấp số cộng không? Ví dụ dãy

số 5, 9, 13, 16, 20

- Giáo viên có thể gợi ý: Trong biểu thức được suy ra từ định nghĩa

ta có d = un - un-1 " Có thể dùng hệ thức này để kiểm tra một dãy số cho trước có phải là một cấp số cộng hay không"

2) Số hạng tổng quát của một cấp số cộng

Đối với nội dung này ta có thể sử dụng hình thức đàm thoại giải quyết vấn đề

để dẫn dắt học sinh lập nên công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề

Khi dạy nội dung này, chúng ta có thể sử dụng cách 1 để tạo tình huống gợi vấn đề như sau:

Trong dãy số (1), học sinh có thể cho biết được số hạng thứ 5, số hạng thứ

10 chẳng hạn Vậy số hạng thứ 100 là bao nhiêu? lúc này sẽ gặp khó khăn "Vì thế chúng ta có nhu cầu tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng"

Ta có bài toán sau: Cho ữ u1, u2, , un, (công sai d)

Tìm công thức số hạng tổng quát?

Bước 2: Giải quyết vấn đề

- Hãy biểu diễn các số hạng theo u1 và d ?

Học sinh sẽ viết được: u2 = u1+d

u3 = u2+d = u1+2d u4 = u3+d= u1+3d

Hãy tìm qui luật? Từ đó viết un theo u1 và d?

Học sinh sẽ tìm được qui luật và viết được un = u1+ (n-1)d

- Bây giờ hãy dùng phương pháp qui nạp toán học để chứng minh công thức trên!

- Học sinh chứng minh được công thức trên và công thức đó là công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng

Bước 3: Kiểm tra và vận dụng

- Kiểm tra lại quá trình chứng minh của học sinh

Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề

Với nội dung này khi dạy học chúng ta nên vận dụng cách thứ 7 để tạo tình huống gợi vấn đề như sau:

- Học sinh sẽ phát hiện được " Trong hai cấp số cộng trên thì số hạng đứng

"giữa" bằng trung bình cộng của hai số hạng đứng kề bên nó"

- Vậy thì tính chất đó có bảo toàn cho mọi cấp số cộng không? Nếu có hãy chứng minh!

Bước 2: Giải quyết vấn đề

- Giáo viên thuyết trình nêu lên tính chất của cấp số cộng và từ đó yêu cầu học sinh chứng minh tính chất đó

- Học sinh có thể có hai hướng chứng minh

Hướng 1: Áp dụng công thức số hạng tổng quát với k  2, ta được

   

k k

k k

k

u d k u u u kd

u u

d k u u

2

1 1 1 1

1

1 1

(đpcm)

Hướng 2: Áp dụng hệ thức suy ra từ định nghĩa cấp số cộng với k  2ta có

 1

1 d u

k k

u u u u

u

Bước 3: Kiểm tra và vận dụng

- Kiểm tra lại bài chứng minh của học sinh

- Vận dụng giải bài tập sau: Biết ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng Tính ba góc ấy

Bước 3.1: Tạo tình huống gợi vấn đề mới

Khi dạy học sinh giải bài này ta có thể áp dụng cách 5 để tạo tình huống gợi vấn đề nghĩa là yêu cầu học sinh giải bài tập trên

Bước 3.2: Giải quyết vấn đề

Gợi ý để học sinh thiết lập mối quan hệ giữa ba góc A, B, C

- Yêu cầu học sinh trình bày lời giải

Bước 3.3: Kiểm tra và vận dụng

- Kiểm tra lại bài làm của học sinh

- Bài tập về nhà: Chứng minh một dãy số ( un ) là một cấp số cộng nếu và chỉ nếu u un un ( n )

4) Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Khi dạy học sinh cách xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng ta có thể áp dụng hình thức đàm thoại giải quyết vấn đề

Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề

Chúng ta có thể vận dụng cách 5 để tạo tình huống gợi vấn đề như sau: Cho một cấp số cộng: 2, 4, 6, , 200

Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên: S = 2 + 4 + + 200?

Gặp bài toán này học sinh có thể giải theo hai hướng sau:

- Hướng 1: Nhận xét: 2 + 200 = 4 + 198 = 6 + 196 =

Từ đó có thể tính được tổng trên như sau  

10100 2

100 200

100 1

Ta có thể tổng quát hoá bài toán trên được không?

Bằng cách giải tương tự theo hai hướng trên học sinh sẽ giải được bài toán tổng quát của bài toán trên

Bây giờ giáo viên nêu bài toán tổng quát: Cho một cấp số cộng u1, u2, un, (công sai d) Hãy tính tổng n số hạng đầu của cấp số đó (Hay nói cách khác "

Ta có thể xây dựng công thức tính tổng của cấp số cộng bất kỳ hay không?")

Bước 2: Giải quyết vấn đề

*) Lúc này học sinh có thể giải quyết bài toán như sau

Trước hết học sinh có thể nhận xét được "Trong một cấp số cộng (hữu hạn), tổng hai số hạng cách đều số hạng đầu u1 và số hạng cuối un bằng u1 + un " Ta có thể giải thích điều này như sau:

Xét hai số hạng uk và un-(k-1) = un-k+1 Ta có

2 1

n u u S u u

u u u u

n n

n n

Công thức (2) là công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

*) Ngoài ra giáo viên có thể gợi ý để học sinh xây dựng công thức (2) như sau:

Viết

u1 = u1

u2 = u1 + d

un = u1 + (n-1)d Cộng từng vế của n đẳng thức trên ta được

2 2

1

*) Yêu cầu học sinh trình bày lại quá trình xây dựng ở trên

Bước 3: Kiểm tra và vận dụng

- Kiểm tra lại quá trình xây dựng công thức của học sinh

- Vận dụng để giải bài tập sau: Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, v.v Hỏi có bao nhiêu hàng

Bước 3.1: Tạo tình huống gợi vấn đề mới

Chúng ta vận dụng cách 4 nhằm tạo tình huống gợi vấn đề Yêu cầu học sinh giải bài tập trên

Bước 3.2: Giải quyết vấn đề

- Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh bằng việc dùng hình vẽ lên bảng để

mô tả, lúc đó học sinh sẽ hiểu ngay số cây trồng được lập thành một cấp số cộng

có

u1 = 1, công sai d = 1 từ đó tính được số hàng n = 77

Bước 3.3: Kiểm tra và vận dụng

- Kiểm tra bài giải của học sinh

Ví dụ 3: Dạy bài Cấp số nhân (tiết1)

(Trang 100 - Đại số và Giải tích 11 - Nxb GD 2000)

1) Định nghĩa:

Khi dạy định nghĩa cấp số nhân ta có thể sử dụng hình thức thuyết trình giải quyết vấn đề bằng cách nêu lên tình huống có vấn đề, rồi dẫn dắt để học sinh phát biểu được định nghĩa, cho thêm ví dụ

Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề

Ta có thể áp dụng cách 1 để tạo tình huống gợi vấn đề như sau

Cho hai dãy số:

(un): 2, 4, 8, 16, (1)

(vn): 1,-3, 9, -27, 81, (2)

Yêu cầu học sinh cho biết điểm chung của hai dãy số trên?

Sau một thời gian suy nghĩ học sinh sẽ nhận thấy đối với dãy số (1) thương của số hạng đứng sau và số hạng đứng ngay trước nó bằng 2, đối với dãy số thứ (2) cũng tương tự ta có thương đó là -3 "đây là điểm chung của hai dãy số trên" Giáo viên thuyết trình rằng "những dãy số có tính chất như hai dãy số nêu trên người ta gọi là cấp số nhân"

Vậy cấp số nhân là gì?

Bước 2: Giải quyết vấn đề

Từ đó chúng ta đi đến định nghĩa cấp số nhân

Định nghĩa cấp số nhân: (SGK)

Bước 3: Kiểm tra và vận dụng

- Hãy đưa ra một ví dụ và kiểm tra xem có là cấp số nhân không? Ví dụ dãy

số , , , , n 1,

2

3 4

2) Số hạng tổng quát của một cấp số nhân

Đối với nội dung này ta có thể sử dụng hình thức đàm thoại giải quyết vấn đề

để dẫn dắt học sinh lập nên công thức số hạng tổng quát của một cấp số nhân Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề

Chún ta sử dụng cách thứ 1 để tạo tình huống gợi vấn đề như sau:

Trong dãy số (1) ở trên, học sinh có thể cho biết được số hạng thứ 5, số hạng thứ 10 chẳng hạn Vậy số hạng thứ 100 là bao nhiêu? lúc này sẽ gặp khó khăn "Vì thế chúng ta có nhu cầu tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân"

Ta có bài toán sau: Cho  u1, u2, , un, (công bội q)

Tìm công thức số hạng tổng quát?

Bước 2: Giải quyết vấn đề

- Hãy biểu diễn các số hạng theo u1 và d ?