Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề chọn lọc về dãy số

Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số phương pháp hiệu quả để giải quyết bài toán xác định công thức tổng quát và chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 1: TS PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 2: TS HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 6 năm 2015

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Dãy số chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích toán học: dãy số không chỉ là một đối tượng để nghiên cứu mà nó còn đóng vai trò là một công cụ đắc lực trong các mô hình rời rạc của giải tích, trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Các vấn đề liên quan đến dãy số là rất phong phú Có thể

kể ra đây một số chủ đề thường gặp: giới hạn dãy số, công thức tìm

số hạng tổng quát, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy số, tính chất của dãy số nguyên

Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế, hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học thì các bài toán về dãy số xuất hiện khá nhiều và được xem như những dạng toán loại khó ở bậc Trung học phổ thông Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về dãy số là xác định số hạng tổng quát và tìm giới hạn của dãy số Hiện nay đã có nhiều tài liệu đề cập đến các khía cạnh khác nhau của dãy số Tuy nhiên, các tài liệu được

hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải thì chưa có nhiều và tôi mong muốn cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh giỏi hoặc yêu thích toán, thêm một tài liệu tham khảo về dãy số Tôi cố gắng hệ thống các phương pháp giải bài toán tìm số hạng tổng quát và bài toán về giới hạn của dãy số

Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu, tôi

chọn “Một số vấn đề chọn lọc về dãy số” làm đề tài cho luận văn tốt

nghiệp bậc cao học của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số phương pháp hiệu quả để giải quyết bài toán xác định công thức tổng quát và

chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là dãy số

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu đề cập đến phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và chứng minh sự tồn tại

hoặc tìm giới hạn của dãy số

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo các tài liệu viết về dãy số, đặc biệt là các tài liệu

về xác định công thức tổng quát và giới hạn của dãy số, sau đó hệ thống lại kiến thức

Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn để trình bày nội dung các vấn đề của luận văn một cách phù hợp

5 Bố cục đề tài

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Xác định công thức tổng quát của dãy số

Chương 3: Một số phương pháp chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Dãy số và ứng dụng thực tế qua các ví dụ, bài tập áp dụng, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về Dãy số

Đưa ra một số bài toán, cũng như một số ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 DÃY SỐ

1 2( ) ( , , , , );b n  b b b n

Định nghĩa 1.1.2.[3]

a Dãy   c n : a nb n  a1b a1, 2b2, ,a nb n,  được gọi là tổng của 2 dãy  a n và  b ; n

b Dãy   d n : a nb n  a1b a1, 2b2, ,a nb n, được gọi là hiệu của 2 dãy  a n và  b ; n

c Dãy b n   b1, b2, ,b n,  được gọi là tích của hằng

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên,

vừa bị chặn dưới Nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho:

*, m n

   

1.3 DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU

Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng (tương ứng tăng nghiêm ngặt) nếu với mọi n * ta có: u nu n1 (tương ứng

Định nghĩa.[4] Dãy số   u n  u u1, 2, ,u n,  có giới hạn là

số (điểm) a nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng u đều n

nằm trong  -lân cận bất kì U a , của điểm a, tức là ở ngoài

 ,

U a hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng

nào của dãy

Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới)

a lim( n n) lim n lim n

CHƯƠNG II XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 2.1 SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ

Nội dung chủ yếu của phần này là giới thiệu một số kỹ thuật biến đổi để qui về dãy số quen thuộc trong chương trình toán THPT

là cấp số cộng và cấp số nhân Xét một số bài toán sau:

Bài toán 2.1.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n

Trường hợp 1: Nếu a1 thì dãy  u n là một cấp số cộng với

công sai là b Dựa vào tính chất của cấp số cộng ta tìm được số hạng

tổng quát của dãy là: u n   u1 (n 1)b  c (n 1) b

Trường hợp 2: Nếu a1, ta qui dãy  u n về dãy  v n bằng cách đặt v nu nk k,  ; trong đó số k được xác định sao cho

thỏa mãn v nav n1 (ta sẽ xác định được

1

b k a



 )

Với cách đặt như trên ta được  v n là một cấp số nhân, công bội a Dựa vào tính chất của cấp số nhân ta tìm được công thức tổng quát của dãy  v n Từ đó suy ra công thức tổng quát của dãy  u n

Bài toán 2.1.2.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n

Trường hợp 1: Nếu a1, ta thấy đa thức ( )g n ag n( 1) có bậc nhỏ hơn đa thức ( )g n một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự

do của g n Vì ( ) f( )n là đa thức bậc k nên để

f n g n ag n ta cần chọn ( )g n là đa thức bậc k1 và nên chọn hệ số tự do của ( )g n bằng không Khi đó để xác định các

hệ số của ( )g n ta chỉ cần thay k1 giá trị bất kỳ của n vào (*) và

giải hệ gồm k1 phương trình này

Lúc này ta có u ng n( )un1g(n 1)    u1 g(1) Từ đó suy ra công thức tổng quát của dãy  u n

Trường hợp 2: Nếu a1, ta thấy ( )g n ag n( 1) và ( )g n là

hai đa thức cùng bậc Vì vậy ta chọn ( )g n là đa thức bậc k và các

hệ số của ( )g n được xác định tương tự như trường hợp 1

Lúc này ta có u ng n( )a u( n1g n( 1)) Đặt v n u ng n( )thì ta có dãy (v )n là một cấp số nhân, công bội a Dựa vào tính chất của cấp số nhân ta tìm được công thức tổng quát của dãy (v )n Từ

đó tìm được công thức tổng quát của dãy  u n

Bài toán 2.1.3.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n

 1 1

1 1

Khi công thức truy hồi xuất hiện những yếu tố gợi đến các công thức lượng giác thì ta có thể thử với phép thế lượng giác Ta xét một số bài toán sau:

Bài toán 2.2.1.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n

xác định bởi: 1

2 1

cos 2n

n

u   Trường hợp 2: k 1

1 1 2

Bài toán 2.2.2.[1] Xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n

n

u   Trường hợp 2: k 1

n n

Bài toán 2.2.4 Tìm công thức tổng quát của dãy  u n xác định bởi: 1

2 1

Ở đây tôi chỉ trình bày ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai trong một số dạng bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số (chỉ nêu phương pháp giải mà không chứng minh)

Định nghĩa 2.3.1.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là

Bước 1: Giải phương trình đặc trưng a b 0 để tìm ;

Bước 2: Tìm nghiệm u của phương trình sai phân tuyến tính n

thuần nhất tương ứng: au n1bu n0 (nghiệm này có dạng

1

n

n

u c  , trong đó c được xác định dựa vào u ); 1

Bước 3: Tìm một nghiệm riêng *

Bài toán 2.3.1 Tìm công thức tổng quát của dãy  u n xác định bởi: 1

u được xác định như sau:

+ Nếu a b 0 thì u*ng(n), thay vào phương trình ta được:

u c  u trong đó u được xác định như sau: n*

+ Nếu   thì u*nA.n, thay vào phương trình ta được:

dn u

a

 



Với c là hằng số sẽ được xác định dựa vào u 1

Định nghĩa 2.3.2.[3] Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là

Bài toán 2.3.4 Tìm công thức tổng quát của dãy  u n xác định bởi: 1 2

u là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được

xác định như ở bài toán 4, với c c chưa được xác định 1, 2

*

n

u được xác định như sau:

+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 1q và 2 q

thì u n*kq n, thay vào phương trình ta được:

u u u ta tìm được c c khi biết 1, 2 u u 1, 2

Bài toán 2.3.6 Tìm công thức tổng quát của dãy  u n xác định bởi: 1 2

n

u là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng được

xác định như ở bài toán 4, với c c chưa được xác định 1, 2

*

n

u được xác định như sau:

+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 11 và 21 thì

+ Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm  1 2 1 thì

Ta xét một số bài toán sau:

Bài toán 2.4.1 Xác định số hạng tổng quát của hai dãy  u n

và  v n thỏa mãn

1 1

Bài toán 2.4.2 Xác định số hạng tổng quát của các dãy

2.5 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SINH TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Xét một vài bài toán sau:

Bài toán 2.5.1 Tìm công thức tổng quát của dãy  u n xác định bởi: 0 1

CHƯƠNG III MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI HOẶC TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

- Từ hệ thức truy hồi ta được một phương trình theo ẩn a ;

- Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy ( u n) là một trong các nghiệm của phương trình trên

*Cách 2:

- Tìm công thức tổng quát của dãy số;

- Tính giới hạn của dãy số dựa vào công thức tổng quát vừa tìm

nghiệm duy nhất trên D của phương trình x f x( )

Phương pháp này thường dùng đối với dạng bài toán:

Cho dãy số thực ( )u n xác định bởi 1 *

1

,( )

Khi đó nếu ( )f u là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa

a và f u'( )    q 1, u D thì (u n) có giới hạn hữu hạn khi

n  Ngược lại nếu ( )f u là hàm số có đạo hàm trên khoảng D chứa a , ( ) 0 f a  và f u'( )    q 1, u D thì (u n) dần về dương

vô cùng khi n  Trường hợp ( )u n có giới hạn thì giới hạn đó chính là nghiệm của phương trình ( )f u u

Trong phương pháp này ta cũng thường dùng định lý Lagrange

Định lý Lagrange Nếu f là hàm số liên tục trên  a b và ;khả vi trên (a;b) thì khi đó luôn tồn tại c a b; sao cho

'

f b f a f c ba

3.3 PHƯƠNG PHÁP DÃY PHỤ

Trong phương pháp này ta sẽ thông qua giới hạn của một dãy

số khác để tìm giới hạn của dãy số đã cho bằng cách đặt thêm một dãy số phụ

sử dụng nhiều tính chất liên quan đến hàm số hơn Và ta cũng có thể

sử dụng qui tắc L’Hospital để tính giới hạn đơn giản hơn, đó là điều

mà khi tính giới hạn dãy ta không dùng được

3.5 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN KẸP

Kết hợp giữa việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá và sử dụng nguyên lý kẹp, ta có thể tính được giới hạn của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Sử dụng phương pháp này ta có thể đưa bài toán tìm giới hạn của dãy đã cho về bài toán tìm giới hạn của những dãy đơn giản hơn

Theo định nghĩa tích phân xác định thì ta có : Nếu hàm ( )f x

khả tích trên đoạn  a b thì với mọi phép phân hoạch ;  của đoạn

 a b và mọi cách chọn các điểm ; ix i1;x i,i1, 2, ,n ta luôn

0 1

i i i d

i a

Như vậy, để tính giới hạn của một tổng dựa vào định nghĩa tích phân ta có thể làm như sau:

a

S f x dx

3.8 PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Nội dung chính của phương pháp này là lựa chọn dãy phù hợp nhằm áp dụng công thức tích phân từng phần để tìm ra quy luật của dãy Từ đó tính giới hạn theo yêu cầu của đề bài

KẾT LUẬN Nội dung chính của luận văn tập trung ở chương II và

chương III Các kết quả cụ thể của luận văn gồm :

Hệ thống được các phương pháp thường gặp nhất trong bài toán tìm công thức tổng quát của dãy số và bài toán chứng minh sự tồn tại hoặc tìm giới hạn của dãy số, bao gồm cả một số phương pháp

sử dụng kiến thức Toán cao cấp Trong phần xác định công thức tổng quát của dãy số ở chương II, luận văn đã đưa ra được một số bài toán

ở dạng tổng quát và phương pháp giải chung cho mỗi dạng

Chọn lọc được những bài toán ở các cuộc thi để làm ví dụ minh họa cụ thể cho từng vấn đề được đề cập trong luận văn

Tuy nhiên, do những hạn chế nhất định về trình độ khoa học, thời gian thực hiện và kinh nghiệm nghiên cứu nên luận văn còn những hạn chế nhất định, như :

Khi tìm hiểu về ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính

để xác định công thức tổng quát của dãy số, luận văn chỉ chủ yếu tập trung vào ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp một và cấp hai ở một số dạng bài toán cơ bản mà không mở rộng thêm