LUYỆN THI ĐẠI HỌC-PP LƯỢNG GIÁC

Một số phương trình LG thường gặp 1.. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a.. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình nà

Chuyên đề

LƯỢNG GIÁC

Phần 1:CÔNG THỨC

1 Hệ thức LG cơ bản

2

2

sin

tan

1

2 cos

k

k

α

π

α

2 2

tan cot 1

cos cot

sin 1

sin

k k

α

α

α

=

2 Công thức LG thường gặp

Công thức cộng:

cos cos a cos b sinasinb

tan tan

1 tan tan

a b

a b

a

±

m

m

Công thức nhân:

3

3

3

2

sin 2 2 sin cos

sin 3 3sin 4 sin

3 tan tan tan 3 =

1 3 tan

a

a

=

−

−

2[cos(a−b)+cos(a+b)]

sina.sinb =1

2[cos(a−b)−cos(a+b)]

sina.cosb =1

2[sin(a−b)+sin(a+b)]

Tổng thành tích: sin sin 2 sin cos

cos cos

a b

±

Công thức hạ bậc: cos2a =1

2(1+cos2a) sin2a =1

2(1−cos2a)

2

a

t =

2 2 2

3 Phương trìng LG cơ bản

2

π

= +



⇔

= − +

4 Một số phương trình LG thường gặp

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các

cơng thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản

b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình cĩ dạng

a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các

phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là 2 2 2

a + ≥b c Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt b tan

a = α, ta được: sinx+tanαcosx=ccos

⇔sinxcosα+ sinα cosx= ccos

a α ⇔ sin(x+α )=ccos

a α đặt=sinϕ Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a2+b2 , ta được:

Đặt:

cos sinx sin cosx c

+ hay sin(x ) 2c 2 sin

+

đặt

Cách 3: Đặt tan

2

x

3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*)

Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với

2

x= +π kπ

+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2

x ta được: atan2x+btanx+c=0

2

1

2

Cách 2: Áp dụng cơng thức hạ bậc

4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c

Cách giải: Đặt t= sinx± cosx Điều kiện | t |≤ 2

Lưu y ùcác công thức :

Phần 2:PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích

Ví dụ 1 Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1)

Giải

Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos 8

⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0

⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0

⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0

⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0

5

2 cos 5 0

π kπ π

x

x

x







=





¢

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2)

Giải

Ta có (2) ⇔ cos6

x(2cos2x−1) = sin6x(1−2sin2

x)

⇔ cos2x(sin6

x–cos6x) = 0

⇔ cos2x(sin2

x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0

⇔ cos2x = 0

x= +kπ⇔ = +x k∈¢

Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos6 x+2 2 sin3xsin 3x−6 2 cos4 x− =1 0(3)

Giải

Ta có:

2

(3) 2 2 cos (4 cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2 cos 2 cos cos 3 2 sin 2 sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2

2 cos 2 (1 cos 4 )

2 2 cos 2 cos 2

4 2

cos 2

π

⇔ = ⇔ = ± +kπ k, ( ∈¢)

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:

Ví dụ 4 Giải phương trình lượng giác: sin8 cos8 17

32

x+ x= (4)

Giải

Ta có (4)

(cos 2 6 cos 2 1)

Đặt cos22x = t, với t∈[0; 1], ta có 2 2

1

13

2

t

t



=



 = −



cos 2

x

⇔cos4x = 0 ⇔4 , ( )

x= +kπ⇔ = +x k k∈¢

Ví dụ 5 Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)

Giải

Ta có (5) ⇔ 2(1− cos2

x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0

⇔ (1−cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0

⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

2 sin 2 cos 2 sin cos 1 0 (*)



⇔



¢

Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | t ≤ 2, khi đó phương trình (*) trở thành:

2t + t2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t2

=



= −

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

4

π

x= − +nπ; x=k π2 , ( ,n k∈¢ )

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 6 Giải phương trình: π|sin x| = cosx (6)

Giải

Điều kiện: x ≥ 0

Do | sin x| 0,≥ nên π|sin x|≥π0 =1, mà |cosx| ≤ 1

Do đó

(6)

0

k n

x

+

=

¢

¢

(Vì k, n ∈ Z) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số

Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:

2

2

x

x

Giải

Đặt

2

( )= cos

2

x

f x x+ Dễ thấy f(x) = f(−x), x∀ ∈¡ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0

Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x)

đồng biến với x≥0

Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;

2

π

  thoả mãn

phương trình:

2 2

n

−

Giải

Đặt f(x) = sin n x + cos n x, ta có : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x

= nsinx.cosx(sin n-2 x – cos n-2 x)

Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;

2

π

 , ta có minf(x) = f 4

π

 

 

  =

2 2

2

n

−

Vậy x =

4

π

là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:

1 cos 3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2

2

x=k π x= +π n π

2. tanx.sin2x−−−−2sin 2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

x= − +π kπ x= ± +π n π

3. 2sin3x−−−−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)

x= ± +π kπ x= −π +nπ x= π +mπ

2

x=kπ

5. 4(sin3x−−−−cos2x)=5(sinx−−−−1) (ĐH Luật Hà Nội)

2

x= +π k π x= +α n π x= − +π α l π

với sin 1

4

α = −

6. sinx−−−−4sin 3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:

4

x= +π kπ

= +

8 sin 3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS:

12

x=k π

3

sin

2

x x

x

π π

ĐS:

4

8 5 8

−







−







10. sin3 x− 3 cos3 x=sin cosx 2 x− 3 sin2 xcosx

− + ,

4

x= ± +π kπ

11.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

x= +π kπ ∨ x= ± π +k π k∈

¢

12.sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1)

Giải

(1) ⇔2sinxcosx+2cos2

x–1=1+sinx–3cosx

⇔2cos2

x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0

⇔2cos2

x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0

Đặt t=cosx, ĐK t ≤1, ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0 ∆=(2sinx+3)2

+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2

⇒

( )

1

1

2 sin - 2

t

x



=



=

…(biết giải)

13.2sinx+cotx=2sin2x+1

HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0

Đặt t=sinx, ĐK t ≤1

2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)2

14.1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0

HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp …

−

=

Giải

Điều kiện: cos sin 2 sin tan( cot 2 ) 0

x





≠



2 sin

1

x

−

2sin cosx x 2 sinx

2

cos

2

2 4



= +



 = − +



¢

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 ( )

4

x= − +π k π k∈

¢

tan cot

x

Giải

tan cot

x

(1) Điều kiện: sin 2x≠0

2

1

2

(1)

x

2

2

1

x

−

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

4

Giải

4

1 cos 2 cos 2 sin cos sin

2

⇔(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔sin2x = 1 hoặc tanx = 1

sin 2x cosx+ −3 2 3 osc x−3 3 os2c x+8 3 cosx−s inx −3 3=0

Giải

3

0 ) sin cos 3 ( 8 ) sin cos 3 ( cos 6 ) sin cos 3 (

cos

−

2

( 3 cos sin )( 2 cos 6 cos 8) 0

x

x

x

, 3

2

k

x k

π



= +



=



Z

19.Giải phương trình: cosx=8sin3

6

x π

+

Giải

cosx=8sin3

6

x π

+

3 sinx+cosx

3 3 sin x+9 sin xcos x +3 3 sin cosx x+cos x−cos x = 0 (3)

Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm

3 3 tan x+8 tan x + 3 3 tan x = 0

tan x 0 x kπ

−

=

Giải

Điều kiện: cos sin 2 sin tan( cot 2 ) 0

x





≠



2 sin

1

x

−

2sin cosx x 2 sinx

2

cos

2

2 4



= +



 = − +



¢

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 ( )

4

x= − +π k π k∈

¢

Z

21 Giải phương trình: cos 2x+ =5 2(2−cos )(sinx x−cos )x

Giải

Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0



⇔ 



2

 = +



 = +



22 Giải phương trình: 2cos3x + 3sinx + cosx = 0

Giải

3 sinx+cosx+2 cos 3x =0 ⇔ sin

3

π

sinx + cos

3 π

cosx = – cos3x

⇔ cos cos 3

3

− = −

3

3

k

x

k



= +



∈





k

π + π (k∈Z)

23.Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2

8

+ Giải

Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2

8

+ ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2

8

+

cos 3 sin 3 3 cos 3 cos sin 3 sin

2

x= ⇔ = ±x π +kπ k∈Z

24.Định m để phương trình sau có nghiệm

2

Giải

Ta có:

* 4 sin 3 sin x x = 2 cos 2( x−cos 4x);

Do đó phương trình đã cho tương đương:

Đặt cos 2 sin 2 2 cos 2

4

  (điều kiện: − 2≤ ≤t 2)

Khi đó sin 4 x = 2 sin 2 cos 2 x x = t2 −1 Phương trình (1) trở thành:

2

t + +t m− = (2) với − 2≤ ≤t 2

2

(2)⇔ + = −t 4t 2 2m

Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) :D y= −2 2m (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y= +t2 4t với − 2≤ ≤t 2

2 4 2− Trong đoạn − 2; 2 , hàm số 2

4

y= +t t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2− tại t= − 2 và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2+ tại t= 2

Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2− ≤ −2 2m≤ +2 4 2

−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009

KHỐI A

1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của phương trình: 5 sin cos 3 sin 3 cos 2 3

1 2 sin 2

x

+

Giải

2. Giải phương trình: cos 2 2 1

x

x

Giải

4

x= +π kπ k∈

Z

3. Giải phương trình: cos 3 cos 22 x x−cos2x=0 (Khối A_2005)

Giải

ĐS: ( )

2

k

Z

4. Giải phương trình: 2 cos( 6 sin6 ) sin cos

0

2 2 sin

x

=

Giải

2 4

Z

5. Giải phương trình: ( 2 ) ( 2 )

1 sin+ x cosx+ +1 cos x sinx= +1 sin 2x (Khối A_2007)

Giải

x= − +π kπ x= +π k π x=k π k∈

Z

3

sin

2

x x

x

π π

(Khối A_2008)

Giải

ĐS: 5 ( )

x= −π +kπ x= −π +kπ x= π +kπ k∈

Z

7. Giải phương trình: ( )

1 2 sin cos

3

1 2 sin 1 sin

−

=

Giải

,

Z

KHỐI B

8. Giải phương trình sin 32 x−cos 42 x=sin 52 x−cos 62 x (Khối B_2002)

Giải

x=kπ x=kπ k∈Z

9. Giải phương trình cot tan 4 sin 2 2

sin 2

x

Giải

ĐS: ,( )

3

x= ± +π kπ k∈

Z

10. Giải phương trình 5sinx− =2 3 1 sin( − x)tan2x (Khối B_2004)

Giải

11. Giải phương trình 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0 (Khối B_2005)

Giải

2 3

Z

12. Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4

2

x

Giải

ĐS: 5 ( )

x= π +kπ x= π +kπ k∈Z

13. Giải phương trình: 2 sin 22 x+sin 7x− =1 sinx (Khối B_2007)

Giải

Z

14. Giải phương trình sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2 x− 3 sin2 xcosx (Khối B_2008)

Giải

x= +π kπ x= − +π kπ k∈

Z

15. Giải phương trình: sinx+cos sin 2x x+ 3 cos 3x=2 cos 4( x+sin3x) (Khối B_2009)

Giải

k

x= π + π x= − −π kπ k∈Z

KHỐI D

16 Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 (Khối D_2002)

Giải

x

π

Giải

4

x= +π k π x= − +π kπ k∈

Z

18. Giải phương trình (2 cosx−1 2 sin)( x+cosx)=sin 2x−sinx (Khối D_2004)

Giải

x= ± +π k π x= − +π kπ k∈

Z

19. Giải phương trình: cos4 sin4 cos sin 3 3 0

x+ x+ x−π  x−π− =

Giải

ĐS: , ( )

4

x= +π kπ k∈

Z

Giải

2 , 3

Z

21. Giải phương trình

2

x

Giải

x= +π k π x= − +π k π k∈

Z

22. Giải phương trình sin 3x− 3 cos 3x=2 sin 2x (CĐ_A_B_D_2008)

Giải

Z

23 Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008)

Giải

Z

24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009)

Giải

x= π +kπ x= π +kπ k∈

Z

25. Giải phương trình 3 cos 5x−2 sin 3 cos 2x x−sinx=0 (Khối D_2009)

Giải

x= π +kπ x= − +π kπ k∈

Z

−−−−Hết−−−−