Ôn thi đai hoc-PT vô tỷ

CHỦ ĐỀ 1.PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I.. Giải phương trình vô tỉ bằng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả.. Giải phương trình vô tỉ bằng cách trục căn thức.. * Áp dụng cho các trường hợp sa

CHỦ ĐỀ 1.

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I Giải phương trình vô tỉ bằng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả.

A Lý thuyết:

1)







=

≥

⇔

B A

B B

A

2) Dạng: A+ B = C

3) Dạng: A+ B = C + D

* Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) thì bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương

* Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) thì phải đưa phương trình về dạng:

B D C

A− = − sau đó bình phương hai vế, tìm nghiệm sau đó thử lại để chọn nghiệm

4) Dạng: 3 A+3 B =3 C

* Lập phương hai vế ta được: A+B+3.3 AB(3 A+3 B)=C

Sau đó thay thế: 3 A+3 B =3 C vào phương trình, ta được: A+B+3.3 ABC =C

Chú ý: sự thay thế này có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại nghiệm

B Bài tập:

Bài 1 Giải các phương trình:

1) 3x2−4x+1=1−4x 2) 4x+1+ x+2 = 8x+9 3) 3 x+3− 5x−1=2 3x+1 4)

1 3

5 2 1

3

4x2− x− + x2− x+ = x−

Bài 2 Giải các phương trình:

1) 2x+1+ 3x+4 = x−3+ 4x+8 2)

x x

x

x−5+ 2 −3 = 3 +2+ 4−

6

3

x

1 3

2 1 1

3

−

+

x x

x

x

x

Bài 3 Giải các phương trình:

1) 3 x+34−3 x−3 =1 2) 3 x−1+3 x−2 =3 2x−3 3) 3 2x−1+3 x−1=3 3x+1

Bài 4 Giải các phương trình sau:

x

3

2

1 2

5 1

x x

x

+

=

− +

3)

16

40 16

2

2

+

= + +

x x

x

x x

x2− 72 + − 72 =

II Giải phương trình vô tỉ bằng cách trục căn thức.

* Áp dụng cho các trường hợp sau:

- Đưa được về dạng đơn giản hơn

- Nhẩm được phương trình có một nghiệm x = x0

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

7 2 1

2

−

−

3x − + −5x 1 x − =2 3 x − − −x 1 x − +3x 4

3) x2−2x+3+ x = x2+1+ 3x−2

III Phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng đại số:

Bài 1 Giải các phương trình:

1) 5x2 +10x+1=7−x2−2x 2) 4 x+ x2+1+ x+ x2+1 =2

3) x+1+ 3−x − (x+1)(3−x) =2 4) x+1− 12−x = −x2+11x−23

Bài 2 Giải các phương trình

1) x−2− x+2 =2 x2−4−2x+2 2)

3 5 2 16 3 1 3

2x+ + x+ = x− + x2+ x+

Bài 3 Giải các phương trình:

2

7 3 ) 2 (

−

+

−

−

+

x

x x

x

3

5 ) 3

+

−

x

x x

Bài 4 Giải các phương trình:

2

1 2 2

5

x

x x

Bài 5 Giải các phương trình:

1

2 2

2

1

= +

+

−

+

+

x

x x

x

2) x +6 x−5 =5.4 x2−5x

Bài 6 Giải các phương trình:

x

(HD: Chia cả hai vế cho x )

Dạng 2 Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng lượng giác:

* Có thể áp dụng cho các phương trình mà ĐK của biến số thuộc một đoạn [a; b]

Giải các phương trình:

1) 4x3−3x= 1−x2 2) 4 3− x2 =x2 x2−1 (Chia 2 vế cho x 3 )

3) 4x3−12x2+9x− =1 2x x− 2 (Đặt (x-1) = sint)

4) 1+ 1−x2 = x(1 2 1+ −x2) 5) 3 6x+ =1 2x (lập phương 2 vế)

6) 5+3 1−x2 =8[x6 +(1−x2)3]

Dạng 2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ:

Bài 1 Giải các phương trình:

1) x3+x2+2+ x3+x2−1=3 2) 2 x+1−3 2x−5 =3

3) 41−x2 +41−x+41+x =3 4) 418−x+4 x−1=3

Bài 2 Giải các phương trình:

1) x3+1=2.3 2x−1 ,(y =3 2x−1) 2) x2−2x−3= x+3 , (y-1 = x+3) 3) x2−6x−2= x+8, (y-3 = x+8) 4) 3 6 2

3

−

−

=

+

x x

x

IV Một số bài toán về phương trình vô tỉ có chứa tham số:

A Lý thuyết :

* Chú ý : Xét bài toán : tìm m để phương trình f(x,m)=0 có nghiệm, ta có thể làm

như sau :

Bước 1 : Tìm ĐK tồn tại của phương trình, giả sử x thuộc tập D (tập D là

khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

Bước 2 : Đưa phương trình f(x,m) = 0 về dạng g(x) = m.

Bước 3 : Xét sự biến thiên, tìm GTLN và GTNN nếu có, của g(x) trên tập D.

Bước 4 : Lâph BBT, từ BBT suy ra ĐK có nghiệm của phương trình

* Thường thì đây là các bài toán ta phải đặt ẩn phụ (như các dạng đã được nêu trong phần giải phương trình vô tỉ trên đây), Chú ý rằng ĐK của ẩn phụ phải chính xác

Giải:

Với ĐK x≥1/2, phương trình đã cho ⇔ x3 −7x+m=4x2 −4x+1

⇔x3 – 4x2 – 3x – 1 = – m <=> f(x) = - m (1) Xét hàm số f(x) trên 







 +∞; 2

1

, ta có

f ’(x) = 3x2 – 8x – 3 ; f ‘(x) = 0







−

=

=

⇔

) ( 3 / 1

3

loai x

x

f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8

* BBT (hình bên)

Từ BBT suy ra (1) có nghiệm trên 







 +∞; 2

1

(tức phương trình đã cho có nghiệm) 19

19⇔ ≤

−

≥

−

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2

11 2 2

15 ) 5 3

( +x + −x + + x−x2 ≤ m−

Hướng dẫn:

* ĐK: −3≤ x≤5

* Đặt t = 3+x + 5−x , 2 2 ≤t ≤4

Suy ra:

2

8 2

15

2

2 = −

−

t

t m

t

2

3 2

11 2 2

2

−

≤

⇔

−

≤

−

+

⇔

−

≤

− +

* Khảo sát sự biến thiên của hàm số g(t) trên đoạn [2 2;4],

x f’(x) f(x)

_

0

-27/8

-19

+

_

* Lập BBT và từ BBT suy ra các giá trị cần tìm.

B Bài tập:

Bài 1 Tìm điều kiện của m để phương trình 1- x2 + 2 13 - x2 = m

1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực

Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:

3 4

x + 1- x + 2m x(1- x)- 2 x(1- x) = m

Bài 3 Tìm điều kiện của m để phương trình x2 + 2x- m = 2x- 1

có 2 nghiệm thực phân biệt

Bài 4 Tìm điều kiện của m để phương trình x x 1 x 1 m

+ + + + = có nghiệm thực

Bài 5 Tìm điều kiện của m để phương trình 2

2

m

16 x

- có nghiệm thực

Bài 6 Tìm điều kiện của m để phương trình x 1 m x 2 2 0

+ - có nghiệm thực

Bài 7 Tìm điều kiện của m để phương trình x + 1- m x- 1+ 2 x4 2 - 1 = 0 có nghiệm thực (A-2007)

Bài 8 Chứng minh mọi m > 0 phương trình x2 +2x−8= m(x−2) (B-2007)

Bài 9 Tìm điều kiện m để phương trình 4 2x+ 2x +24 6−x +2 6−x =m có hai nghiệm

thực phân biệt (A-2008)

Bài 10 Tìm điều kiện m để phương trình x + 4 x- 4 + x + x- 4 = m có nghiệm thực

Bài 11 Tìm điều kiện m để phương trình x 6 x 9 x 6 x 9 x m

6

+

nghiệm thực

Bài 12 Tìm m để phương trình x - 1+ 3- x - (x- 1)(3- x) = m có nghiệm thực

Bài 13 Tìm m để phương trình x4 + 4x + m + 4 x4 + 4x+ m = 6 có nghiệm thực

Bài 14 Chứng tỏ rằng phương trình

2

3x 1

2x 1 mx 2x 1

- luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m

Bài 15 Tìm m để phương trình (x 3)(x 1) 4(x 3) x 1 m

x 3

+

- có nghiệm thực

Bài 16 Tìm m để phương trình 3 1- x + 3 1+ x = m có nghiệm thực

Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004) Tìm điều kiện của m để phương trình:

m 1+ x - 1- x + 2 = 2 1- x + 1+ x - 1- x có nghiệm thực

Bài 18 Tìm m để phương trình m x2 + 2 = x + m có 2 nghiệm thực phân biệt