Ôn Thi Đại Học Phần Lượng Giác

Sử dụng phương pháp biến đổi để chuyển về phương trình lượng giác đơn giản: Chúng ta cần nắm vững các công thức biến đổi lượng giác như: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biế

TÓM TẮT CÔNG THỨC

A Công Thức Cơ Bản:

1

sin 1 cos

cos 1 sin





2

sin tan cos sin

tan

x

x









Điều kiện có nghĩa của tan x là cosx 0 hay ,

2

x  k k   hay \ ,

2

D  k k 

3

cos sin cot cos

cot

x

x









Điều kiện có nghĩa của cot x là sin x  hay 0 x k ,k   hay D\k,k 

4 tan cotx x  điều kiện 1 ,

2

xk k 

5 1 tan2 12

cos

x

x

2

x  k k 

6 1 cot2 12

sin

x

x

  điều kiện x k ,k 

B Công Thức Lượng Giác:

1 Công thức cộng:

cos x y cos cosx ysin sinx y cosxycosx ( y)cos cosx ysin sinx y

sin xy sin cosx ycos sinx y sinxysinx ( y)sin cosx ycos sinx y

tan

1 tan tan

x y



1 tan tan





2 Công thức nhân đôi:

2

2

1 cos 2 cos

1 cos 2

1 cos 2 sin

2

x x

x

x x

x











sin 2x2sin cosx x

2

2 tan

tan 2

1 tan

x x

x





Nhận xét: Từ công thức cộng ta thay y bởi x ta sẽ được công thức nhân đôi

3 Công thức nhân ba:

3 cos 3xcos(2xx)4 cos x3cosx sin 3xsin(2xx)3sinx4sin3x

4 Công thức biến đổi:

a Tích thành tổng:

   

1

2

x y  xy  xy  sin sin 1 cos  cos 

2

x y   xy  x y 

1

2

x y  xy  xy  cos sin 1 sin  sin 

2

x y  x y  xy 

Nhận xét: Từ các công thức cộng ta cộng vế theo vế các đẳng thức phù hợp sẽ suy ra được công thức biến đổi tích thành tổng

b Tổng thành tích:

cos cos 2 cos cos

     

     

    

sin sin 2sin cos

     

     

   

Nhận xét: Từ công thức biến đổi tích thành tổng bằng cách đặt 2

2

x

x y

x y

y

  







  





ta sẽ

được công thức biến đổi tổng thành tích

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

1 Phương trình lượng giác cơ bản:

2

2

u v k



    



 cosucosvu  v k2 ; k 

tanu tanv u 2 k ; ;l k

u v l







   



 cotu cotv u k ; ,l k

u v l

 



  





Đặc biệt:

2



2



2



       cos u 1 uk2 cos u  1 u  k2

Chú ý:

sin u0cos u  1 cos u0sin u  1

2 Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác:

2

a ub u c a acos2ubcosu c 0;a0 (2)

2

a ub u c a acot2ubcotu c 0;a0 (4)

Cách giải:

Đặt tsin u; tcos u với 1  t 1 hoặc đặt ttan u (điều kiện u k

2



   ); (điều kiện

u   ) k

Các phương trình trên trở thành: at2bt  c 0

Giải phương trình tìm được t, (so với điều kiện để nhận nghiệm t)

Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được x

3 Phương trình đẳng cấp:

 Đẳng cấp bậc 2: asin2xbsin cosx xccos2x 0

 Đẳng cấp bậc 3: asin3x b sin2xcosxcsin cosx 2 xdcos3x 0

 Đẳng cấp bậc n:

0

n

k k







Cách giải: gồm có 2 bước:

 Bước 1: Kiểm tra cosx0(sinx 1) có phải là nghiệm của phương trình Nếu

có thì phương trình có nghiệm ,

2

x  k k 

 Bước 2: Xét cosx 0 và chia hai vế cho cosn x ta được 1 phương trình bậc n theo

tan

t  x; giải phương trình theo t từ đó suy ra nghiệm x

Lưu ý: Nghiệm của phương trình là hợp nghiệm của bước 1 và bước 2

4 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Dạng sina x b cosxc; a0,b0 (1) Cách giải: Chia 2 vế của phương trình (1) cho a2b2

2 2



với

2 2

c



2 2

c



đặt

2 2

c sin

 

 Khi đó ta có phương trình cơ bản: sin(x   ) sin

Lưu ý: Đối với các phương trình dạng này trước khi giải cần phải kiểm tra điều kiện có

nghiệm của phương trình a2b2 c2

5 Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

Dạng (sina xcos )x b.sin cosx x  c 0 Cách giải: Đặt sin cos 2 sin 2 cos

t x x x x

   ; Điều kiện: t  2 Khi đó:

2 1 sin cos

2

t

Phương trình trở thành:

2

t 1

2



Giải phương trình bậc hai theo t và chọn t thích hợp, ta chuyển về phương trình: 0

0 sin cos 2 sin

4

x x x t

Lưu ý: đối với phương trình: (sina xcos )x b.sin cosx x  c 0

Ta cũng giải tương tự bằng cách đặt: sin cos 2 sin 2 cos

t x x x  x

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I Sử dụng phương pháp biến đổi để chuyển về phương trình lượng giác đơn giản: Chúng ta cần nắm vững các công thức biến đổi lượng giác như: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng ngoài ra còn có thể sử dụng thêm một số công thức như:

x x x  x

x x x  x

x x x x

x x x  x

Ví dụ: Giải phương trình: (B 2013) sin 5 x 2 cos 2x 1

sin 5 cos 2 0 sin 5 cos 2 sin(2 x )

2

II Sử dụng công thức biển đổi phương trình về dạng tích:

Để đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất là làm sao để phát hiện ra nhân

tử chung nhanh nhất Sau đây là một số công thức biến đổi có thể giúp chúng ta làm được điều đó:

 cos2x(1 sin )(1 sin ) x  x sin2x(1 cos )(1 cos ) x  x

 1 sin 2 x(sinxcos )x 2 1 sin 2 x(sinxcos )x 2

 1 tan sin cos

cos

x

x



4



 1 cos 2 xsin 2x2 cos (cosx xsin )x 1 cos 2 xsin 2x2sin (cosx xsin )x Lưu ý: Khi nhóm các số hạng chứa sin (hoặc côsin) của các góc với nhau, cần để ý đến những góc sao cho tổng hoặc hiệu các góc đó bằng nhau để làm xuất hiện nhân tử chung

Ngoài ra ta có thể sử sụng MTBT Casio fx 570 ES để nhẩm nghiệm của phương trình

Ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1: Dùng chức năng CALC

 Chuyển phương trình về dạng ( )f x  0

 Nhập vào máy hàm số ( )f x Nhấn phím CALC , máy hỏi X?, ta nhập vào

6





Để thực với các giá trị khác ta tiếp tục nhấn phím CALC

 Nếu ta tìm được một nghiệm thì ta nên thực hiện thử với các giá trị đặc biệt tương ứng liên kết với nghiệm này

 Ta cần chú ý màn hình đang ở chế độ theo đơn vị độ hay radian để nhập vào các giá trị thử phù hợp

Ví dụ: Giả sử ta tìm được 1 nghiệm

6

x 

 thì ta nên thử với giá trị đối của nó

6

 

nếu thỏa mãn thì ta có cos 3

2

x  là nghiệm hay phương trình đưa về dạng tích có một

thừa số là: (2 cosx  3) hoặc với giá trị bù của nó là 5

6

 , nếu thỏa mãn thì ta có 1

sin

2

x  là nghiệm hay phương trình đưa về dạng tích có một thừa số là: (2sinx 1)

hoặc thử với một giá trị hơn (kém) nó , tức là 7

6

 nếu thỏa mãn thì ta có 3

tan

3

x  là nghiệm hay phương trình đưa về dạng tích có 1 thừa số là: ( 3 tanx 1)

Cách 2: Dùng chức năng SLOVE

 Chuyển phương trình về dạng ( )f x  0

 Nhập vào máy hàm số ( )f x Nhấn phím SLOVE , máy hỏi X , ta nhập vào giá trị ta ?

dự đoán là nghiệm Tiếp tục nhấn SLOVE để kiểm tra nghiệm khác

 Khi sử dụng theo cách này ta nên để màn hình ở chế độ theo đơn vị độ

Ví dụ: Giải phương trình: (1 cos ) cot x xcos 2xsinxsin 2x

Định hướng:

Ý tưởng thông dụng nhất khi giải phương trình lượng giác nói chung là phân tích thành nhân

tử Tuy nhiên, việc phân tích nhân tử có yếu tố lượng giác là không đơn giản như ở phương trình đại số thông thường (có thể dùng máy tính đoán nghiệm) Với phương trình lượng giác ta cũng có thể phân tích nhân tử thông qua việc đoán nghiệm với 1 vài bí quyết nho nhỏ

Việc đoán nghiệm bằng máy tính để phân tích nhân tử trong phương trình lượng giác thường làm theo một số bước cơ bản sau:

 Thử với các giá trị thông dụng:

 Phân tích các nghiệm đoán được vào các họ nghiệm cơ bản

Ví dụ: ;3 ; ; 3

  có họ nghiệm

4 k 2

 ;

2



có họ nghiệm 2

2 k





 Đoán nhân tử chung: biến đổi tương đương để đưa về nhân tử chung

Một số nhân tử chung thông dụng:

4



4



 xk sinx 0

2









2

1 6

2 6



















2

1

2 6











  







2



2



 xk2 cosx  1 0

 x k2 cosx  1 0

Điều kiện: sinx  0

(1 cos ) cos

cos 2 sin 2sin cos sin

x



cosx cos x cos 2 sinx x sin x 2sin xcosx cos 2 (cosx x sinx 1) 0

2

x













Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình: ; 2

x  k x  k



III Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Lưu ý:

 Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tan u,cot u , có ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn… ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định Ta sẽ dùng các cách sau đây

để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không:

 Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa mãn;

 So với các điều kiện trong quá trình giải;

 Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện

 Khi gặp phương trình lượng giác có dạng (tan ,cot ,sin 2 ,cos 2 tan 2 )R x x x x x với R là

hàm hữu tỷ thì đặt ttanx Khi đó:

2



Với loại phương trình này khi giải nếu không cẩn thận rất dễ dẫn đến lấy thừa hoặc thiếu nghiệm Điều quan trọng đầu tiên để giải phương trình dạng này là đặt điều kiện

và kiểm tra điều kiện xác định Ta có thể dùng các phương pháp sau để loại nghiệm:

 Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa mãn;

 So sánh với các điều kiện trong quá trình giải;

 Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung điều kiện

Ngoài ra ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan, cot, khi đó có thể sử dụng các công thức biến đổi sau:

 tan tan sin( )

cos cos

a b



sin sin

b a



 tan cot cos( )

cos sin

a b



cos sin

a b

sin 2

a

 1 tan tan cos( )

cos cos

a b



cos cos

a b

Cần lưu ý đến điều kiện xác định của từng công thức

Ví dụ: Giải phương trình lượng giác: 2sin sin 2 11cos cot 2

cot 3sin 2



 Định hướng:

Khi đánh giá qua phương trình này ta thấy nó không quá phức tạp, chỉ chứa hàm sin, cos và cot

ở dạng đơn giản Đầu tiên ta có: cot cos

sin

x x

x

 , sin 2x2sin cosx x thì thấy ngay cả tử và mẫu

đều xuất hiện nhân tử là cos x

Tiếp theo, sau khi rút gọn cos x cho tử và mẫu thì ta còn lại phương trình theo 1 ẩn sin x

Giải:

Điều kiện:

sin 0 sin 0

sin 0

1

cot 3sin 2 0

1 sin

sin

6

x x

x

x

x

x













cos 2sin 2sin cos 11cos

cos

3.2sin cos sin

x

x pt

x

x



1 2sin 2sin 11

1 3.2sin sin

x x x



(do cosx 0)

4sin x 12sin x 11sinx 3 0 (2sinx 1)(2sinx 3)(sinx 1) 0

1

sin

2

x

  (do 1 sin  x và cos1 x0sinx  )1 2 5 2

BÀI TẬP

1 Giải các phương trình lượng giác sau:

1) (3 cos 2 ) cos (3 2cos )sin cos

Định hướng:

Thoạt nhìn phương trình thì chúng ta thấy có vẻ hơi bị “mất phương hương” Thế nhưng hãy chú ý đến sự “rườm rà” hình thức của nó, đó là số hạng cos

2

x

Tại sao là không để hình

thức nó là sin

2

x

luôn mà phải để cos

2

x

? Và tại sao bên vế trái đã có sin

2

x

rồi mà bên vế phải cũng có lượng này? Rõ ràng là tác giả có “ngụ ý” bảo ta nên rút gọn phương trình thành: (3 cos 2 ) cos (2 2 cos )sin 0

Đến đây, các dấu ngoặc cũng như các nhân tử bên ngoài là sin

2

x

, cos 2

x

sẽ làm ta bị “hút” theo

cách đặt tan

2

x

t  (cần điều kiện) Thế nhưng cách đặt đó không khả quan lắm, bởi khi đó sẽ quy về phương trình ẩn t rất phức tạp (phương trình lượng giác thường không phức tạp đến mức này).vậy hướng giải quyết tiếp theo sẽ như thế nào? Do chúng ta thường hay chú ý đến biến đổi 1 sin (sin cos )2

x

   mà ít để ý đến biến đổi dùng công thức nhân đôi:

2

1 cos 1 cos 2 2cos

  , chính điều này là mấu chốt của bài toán

Giải:

pt (3 cos 2 ) cos (2 2 cos )sin 0 (4 2sin ) cos 2.2 cos sin 0

2

2

2) cos 2xsin 2xcosx(1 sin ) tan x x 0

Định hướng:

Phương trình ở dạng khá thuần, ta biến đổi tan sin

cos

x x

x

 và quy đồng lên thì ta được ngay dạng phương trình quen thuộc với hướng giải là phân tích nhân tử chung:

cos (cos 2x xsin 2xcos ) (1 sin )sinx   x x0 (*) Đến đây dùng máy tính để thử nghiệm thì thấy rằng (*) có các nghiệm là: 0; ; 3 ;

khi quy đồng ta mới thử nghiệm, chứ không phải thử nghiệm trước khi quy đồng bởi vì thử nghiệm trước khi quy đồng thì có thể làm mất đi một số nghiệm của phương trình, từ đó làm mất đi sự đánh giá khách quan về nhân tử chung của phương trình đó)

Để ý nhất là cặp nghiệm đối nhau (ta ưu tiên xét trường hợp đối nhau, bù nhau, hơn kém

2



trước), ta nhận xét

4



 là nghiệm của phương trình: cos 1 0

2

x   ; còn 3

4



 là nghiệm của

phương trình: cos 1 0

2

x   Dự đoán rằng cos 1

2

x  và cos 1

2

x  đều là nghiệm của phương trình Suy ra nhân tử chung của phương trình có thể là:

2

x

Vậy ta đi theo hướng tách nhân tử chung: cos 2xcos2xsin2x2cos2x  1 1 2sin2x Giải:

Điều kiện: cosx  0

ptcos (cos 2x xsin 2xcos ) (1 sin )sinx   x x 0

cos 2 cosx x sin (2 cosx x 1) (cos x sin x) 0 cos 2 (cosx x sinx 1) 0

cos 2 0 4 2

2

x













Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình: ; 2

x  k x k



3) (cos 2 sin 1) tan( ) tan( ) 1

Định hướng:

Tư tưởng của bài toán là “xấu xấu” thành “đẹp” Xấu là những biểu thức có cung xấu, cồng kềnh Ta cần thay nó bằng biểu thức đẹp hơn, gọn hơn Đây là bước đầu tiên, sau khi “đẹp” rồi các bạn rất dễ xử lý

Nhận thấy tan( ) tan( )

  có các cung

3

x 

 và

6

x 

 đều “xấu” ta sẽ biến đổi nó thành cung đẹp hơn hoặc biểu thức gọn (“đẹp”) hơn Việc này có nhiều cách để thực hiện chẳng hạn dùng công thức tan tổng, tan hiệu,… nhưng cách hay nhất là để ý:

2

x







Giải:

Điều kiện:

3

6

x

x















Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình: 2 ; 2

2 4) (2 cosx1)(sin 2x2sinx2)4 cos x1

Định hướng:

Chỉ cần dùng hằng đẳng thức thì thấy ngay 4 cos2x 1 (2 cosx1)(2 cosx1) là thấy ngay được nhân tử chung (2 cosx 1) Việc còn lại là xử phương trình:

sin 2x2sinx22cosx 1 sin 2x2sinx2cosx 1 0 (*)

Phương trình (*) chỉ có 4 số hạng nên chẳng cần máy tính để nhẩm nghiệm hay thử nghiệm làm gì cả, chỉ cần thử nhóm vài số hạng với nhau là được Lưu ý rằng:

1 sin 2 xsin xcos x2sin cosx x(sinxcos )x

Giải:

(2cos 1)(sin 2 x 2sinx 2) (2 cosx 1)(2cosx 1)

(2 cosx 1)(sin 2x 2sinx 2cosx 1) 0 (2cosx 1)(cosx sinx)(2 (sinx cosx)) 0

2

4











2 17

5) sin(2 ) 16 2 3.s in cos 20sin ( )

x

*Biến đổi phương trình đã cho tương đương với

os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0

6

c x  c x 

2

2 os ( ) 5 os( ) 2 0

c x  c x 

c x   và os( ) 2

6

c x   (loại)

*Giải os( ) 1

c x   được nghiệm 2

2

x  k  và 5 2

6

x    k 

6) 1 sin sin cos sin 2 cos

  )

1 ( 2 4 cos 2 sin 2 cos sin

2

sin

















2 cos 1 x sin 2

x cos x sin 2

x

sin

1

























2

x cos 2

x sin 2 2

x cos 2

x sin x sin 0 1 x sin 2

x cos 2

x sin

x





































2

x sin 2 2

x sin 2 1 2

x sin

x





























4

2 2

x k x









 



sin sin 3 cos cos 3 1

7)

8



 

3 x cos 6 x cos 3 x sin 6 x















































6

cot 6 x tan 3 x tan 6 x





















































Phương trình đã cho tương đương với

8

1 x 3 cos x cos x 3 sin x



1 cos 2x cos 2x cos 4x 1 cos 2x cos 2x cos 4x 1

2

1 x 2 cos 8

1 x 2 cos 2

1 ) x 4 cos x 2 cos

x

2

(cos



































k

6

x

(lo¹i)

k

6

x

,(k ) Vậy phương trình có nghiệm  k

6

x ,(k )

8) cos2x2sinx 1 2sin cos 2x x 0

 1 cos2x1 2sin  x  1 2 sin  x 0 cos2x 1 1 2 sin  x 0

Khi cos2x=1<=>xk , k  Z

Khi s inx 1

2

6

x  k



6

x  k



  ,k  Z