phép vị tự và ứng dụng trong giải toán sơ cấp

Trong số các phép biến đổi afin như phép quay, phép tịnh tiến, phép thấu xạ…thì phép vị tự củng là một phép biến đổi với nhiều ứng dụng quan trọng đặc biệt trong việc giải các bài toán sơ cấp. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu về phép vị tự và ứng dụng của nó nhawmf giúp người đọc hiểu rõ hơn về phép vị ttuwj và ứng dụng của nó để giải các bài tooans hình học sơ cấp như tìm quỹ tích điểm, dựng hình, tìm tâm và tỉ số vị tự…Chúng tôi hi vọng bài tập lớn này sẽ giúp bạn đọc có thêm tài liệu để hiểu rõ hơn ề phép vị tự.

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong số các phép biến đổi afin như phép quay, phép tịnh tiến, phép thấu xạ…thì phép vị tự củng là một phép biến đổi với nhiều ứng dụng quan trọng đặc biệt trong việc giải các bài toán sơ cấp Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu về phép vị tự

và ứng dụng của nó nhawmf giúp người đọc hiểu rõ hơn về phép vị ttuwj và ứng dụng của nó để giải các bài tooans hình học sơ cấp như tìm quỹ tích điểm, dựng hình, tìm tâm và tỉ số vị tự…Chúng tôi hi vọng bài tập lớn này sẽ giúp bạn đọc có thêm tài liệu để hiểu rõ hơn ề phép vị tự

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu sâu hơn về phép vị tự củng như các tính chất và ứng dụng của nó trrong việc giải các bài toán hình học sơ cấp, đồng thời trang bị thêm kiến thức để phục vụ cho việc học tập hiện hiện tại và công tác giảng dạy sau này của bản thân

3 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

4 Gỉa thuyết khoa học

Nếu lĩnh hội tốt các kiến thức trong đề tài thì kết quả học tập môn hình học afin

và hình học oclit sẽ tốt hơn đồng thơi giải quyết nhanh các bài toán sơ cấp về phép

vị tự

5 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là “Phép vị tự và ứng dụng giải toán sơ cấp”

Chương I: Cơ sở lý thuyết

Trong chương này chúng tôi trình bày một cách khái quát về định nghĩa, tính chất của phép biến đổi afin củng như của phép vị tự trong không gian afin

Chương II: Ứng dụng giải toán sơ cấp

Các ứng dụng này tập trung vào giải các bài toán về tâm và tỉ số vị tự, quỹ tích của bài toán qua phép vị tự, dựng hình qua phép vị tự hay chứng minh một biến đổi afin

là một phép vị tự

Với nội dung đó chúng tôi hy vọng đề tài là tài liệu tham khảo tốt đối với các bạn sinh viên khoa sư phạm tự nhiên của trường đại học Hà Tĩnh và các bạn say mê học toán

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của cô Thìn-giảng viên hướng dẫn

và các bạn để đề tài sớm được hoàn chỉnh, rất mong tiếp tục nhận được ý kiến đóng góp từ quý vị và các bạn sinh viên

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

1 Phép biến đổi afin

1.1 Định nghĩa 1

Ánh xạ afin f : A�A ' giữa hai không gian afin A và A’ trên trường K gọi là phép đẳng cấu afin nếu f là song ánh

Không gian afin A gọi là đẳng cấu với không gian afin A’ nếu có đẳng cấu afin

f : A�A ' Khi đó ta kí hiệu AfA'

% .

1.2 Tính chất

a) f: A�A ' là đẳng cấu afin khi và chỉ khi ánh xạ tuyến tính liên kết của nó

f : A�A'

r ur uur

là đẳng cấu tuyến tính

b) Hai không gian afin đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi hai không gian vecto liên kết của chúng đẳng cấu với nhau

c) Hai không gian afin hữu hạn chiều trên trường K đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều

d) Nếu f: A�A ' là đẳng cấu afin thì ánh xạ ngược f : A '1 � cũng là một A đẳng cấu afin liên kết với đẳng cấu tuyến tính (f )uuuur1

e) Quan hệ đẳng cấu giữa các không gian afin trên trường K là một quan hệ tương đương

1.3 Định nghĩa 2

Phép đẳng cấu afin f: A� từ không gian afin A lên chính nó được gọi là A một biến đổi afin, hay cho gọn là phép afin

2 Phép vị tự trong không gian afin

2.1 Định nghĩa phép vị tự

Trong không gian afin A cho điểm O�A và số k�K\ 0 xét ánh xạ f:A�A biến mỗi điểm M thành điểm N sao cho ONuuur=kOMuuuur Phép f như thế goi là phép vị tự tâm

O tỉ số k

2.2 Tính chất

a) Phép vị tự tâm O tỉ số k; f: A �A là một biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết là fr kIdAur

Thật vậy với mọi điểm M, N � A

f MNuuuur kId MNur uuuur k ON OMuuur uuuur kON kOM ON' OM' M'N'uuur uuuur uuuur uuuur uuuuur  

Ngược lại, nếu f là phép biến đổi afin của A có ánh xạ tuyến tính liên kết là frkIdAur

, k �0, 1 thì f là phép vị tự tỉ số k Thật vậy, f có điểm bất động O và lấy I�A Xét

2

điểm O sao cho IO 1 If I 

1 k





tức là kOI OI If Iuur uur   r Of Ir  mà kOIuur kIdAur( OI

uur

) f (OI) f (O)f (I)r uur uuuuuuuur nên suy ra O = f(O) Khi đó với mọi điểm M�A,

A

Of (M) f (O)f (M) f (OM) kId (OM) kOM   ur 

uuuuuuur uuuuuuuuuur r uuuur uuuur uuuur

Tức f là phép vị tự tâm O tỉ số k

b) Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’

thì : M'N' kMNuuuuur uuuur và M'N ' k MN

Chứng minh:

Nếu O là tâm của phép vị tự thì theo định nghĩa ta có OM' kOMuuuur uuuur, ON' kONuuuur uuur Vậy M'N' ON' OM' kON kOM k ON OMuuuuur uuuur uuuur   uuur uuuur uuur uuuur  kMNuuuur

Từ đó suy ra M'N ' k MN

c) phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm

thay đổi thứ tự của 3 điểm thẳng hàng đó

Gỉa sử 3 điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C, tức là BA mBCuuur uuur (với m

< 0) Nếu phép vị tự tỉ số k biến A, B, C lần lượt thành A',B',C' thì theo tính chất b,ta có B'A' kBA,B'C' kBCuuuuur uuur uuuur uuur

Từ đó suy ra B'A' kBA k mBCuuuuur uuur  uuur mB'C'uuuur,tức là 3 điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm giữa A' và C' (đpcm)

d) Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là

k , biến góc thành góc bằng nó

e) Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính là

k R

Nếu có phép vị tự tâm O biến đường tròn này thành đường tròn kia thì O được gọi là tâm vị tự của 2 đường tròn đó

Nếu phép vị tự đó có tỉ số dương thì điểm O gọi là tâm vị tự ngoài, nếu phép vị tự đó

có tỉ số âm thì điểm O gọi là tâm vị tự trong

f) Đặc biệt, nếu phép vị tự có tỉ số k=1 thì đó là phép đồng nhất, nếu k=-1 thì đó là phép đối xứng

CHƯƠNG II ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

R M O M''

M'

O

M

M'

2.1 Xác định tâm và tỉ số của phép vị tự

Trước hết, ta có nhận xét : Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến (I, R) thành (I’, R’) thì k R '

R

 hay k R '

R

 � và OI' kOIuuur uur

Từ đó ta có các trường hợp sau:

TH1: Hai đường tròn (I,R) và (I’,R’) đồng tâm, R �R’

Hiển nhiên khi đó tâm vị tự O trùng với I Vậy ta có hai

phép vị tự:

+) Phép vị tự V1 tâm I tỉ số R '

R +) Phép vị tự V2 tâm I tỉ số -R '

R

(Trên hình vẽ bên , phép vị tự V1 tâm I biến điểm M thành M’, phép vị tự V2 tâm I biến M thành M’’)

TH2: I không trùng với I’ nhưng R = R’

Khi đó k= �1, điểm O phải thõa mãn điều

kiện

OI' kOI

uuur uur

nên k chỉ có thể bằng -1 và O

là trung điểm của đoạn thẳng II’

Vậy trong tường hợp này chỉ có một phép

vị tự tâm O tỉ số k=-1

TH3: I không trùng với I’ và R �R’

O'

I'

M' I

M

M''

O

4

Ta lấy M’M’’ là đường kính của (I’,R’) và IM là một bán kính của (I,R) sao cho hai vecto I'M'uuuur và IMuuur cùng hướng

Đường thẳng II’ cắt MM’ và MM’’ lần lượt tại O’và O.

Khi đó phép vị tự V1 tâm O tỉ số k1 = R '

R và phép vị tự V2 tâm O’ tỉ số

k2 = - R '

R đều biến đường tròn (I,R) thành đường tròn (I’,R’)

Bài 2: Cho hai phép vị tự V1 có tâm O1 tỉ số k1 và V2 có tâm O2 tỉ số k2 Gọi F là phép hợp thành của V1 và V2 Chứng minh rằng F là một phép vị tự nếu k1k2 �1 Xác định tâm và tỉ số của phép vị tự đó

Giải:

M

O3

M1

O1

O2

M2

I

Nếu k1,k2 � 1 ta chọn điểm O3 sao cho O Iuuur3

= k1k2 O Ouuuuur3 1

Khi đó, O3M2 = O Muuuuuur uuur uuuur3 2 O I IM3  2 k k O O1 2uuuuur3 1k k O M k k O M1 2uuuur1  1 2uuuuur3

Vậy F là phép vị tự tâm O3 tỉ số k1k2.

Chú ý rằng tâm O3 của phép vị tự đó được xác định bởi đẳng thức:

3 1 2 3 1

O I k k O I

uuur uuuur

Hay O Ouuuuur uuuuur uuur3 1O O1 2O I k k O O2  1 2uuuuur3 1

Suy ra:

2

1 2

1 k

1 k k







uuuuur uuuuur

Do đó:

1 2 2 2 1 1 2 1 3

O O k O O  (1 k k )O O

uuuuur uuuuur uuuuur

Tâm của 3 phép vị tự V1, V2 và F là 3 điểm thẳng hàng O1, O2, O3.

I O

C

B

A G

O'

Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam

giác BCD, ACD, ABD, ABC Tìm tâm và tỉ số của phép vị tự biến tứ diện ABCD

thành tứ diện A’B’C’D’

Giải

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD Khi

đó ta biết rằng :

1

3

 

uuuur uuur

, GB' 1GB

3

  uuuur uuur

1

3

 

uuuur uuur

, GD' 1GD

3

  uuuur uuur

Suy ra phép vị tự V tâm G tỉ số k = 1

3

 biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm

A’, B’, C’, D’

Bài tập tương tự:

Bài 1: Xác định tâm và tỉ số vị tự của hai đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau

b) Hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau

c) Một đường tròn chứa đường tròn kia

Bài 2: Cho phép vị tự tâm O biến điểm A thành điểm B biết rằng,

OA = 2OB

Khi đó tỉ số vị tự bằng bao nhiêu?

2.2 Bài toán quỹ tích

Phương pháp

Nếu phép biến hình F biến hình H � H�

M H� và M�=F(M) thì quỹ tích của M� là H�

Bài 1: Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định còn đỉnh A chạy trên một đường

tròn (O, R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích trọng

tâm G của tam giác ABC

Giải:

Gọi I là trung điểm của BC thì I cố định

Điểm G là trọng tâm của ABCV khi và chỉ khi

6

j

G D'

C'

B'

A'

A

B

C

D

IGuur=1

3 IA

uur

Như vậy phép vị tự V tâm I tỉ số k = 1

3 biến điểm A thành điểm G

Từ đó suy ra khi A chạy trên (O,R) thì quỹ tích G là ảnh của đường tròn đó qua phép

vị tự V

Tức là đường tròn (O’,R’) mà IO' 1OI

3



uuur uur

và R ' 1R

3



Bài 2: Cho (O, R) và I cố định 0.� M thay đổi trên (O) Tia phân giác của góc

�

MOI cắt IM tại N Tìm quỹ tích N

Giải:

O M

I N

Đặt OI=d (d>0)

Theo tính chất đường phần giác của tam giác MOI, ta có:

IN IO d

NM OM  R

Suy ra

IN NM d R � IM d R

Vì 2 vectơ INuur và IMuuur cùng hướng

nên đẳng thức trên có nghĩa là

d

d R





Nếu gọi V là phép vị

tự tâm I tỉ số k= d

d R thì V biến điểm

M thành điểm N Khi M ở vị trí M0

C

C'

M I

O

A

B

B

O A

C

trên đường tròn (O, R) sao cho �IOM =0 0 thì tia phân giác của góc �o IOM không cắt0

IM Điểm N không tồn tại Vậy thì M chạy trên (O, R) (M� ) thì quỹ tích điểm NM0

là ảnh của (O,R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M 0

Bài 3: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn đó Một đường

thẳng thay đổi đi qua P, cắt (O) tại 2 điểm A, B Tìm quỹ tích điểm M sao cho

PM PA PB 

uuur uuur uuur

Giải:

Gọi I là trung điểm của AB thì PI PA PB

2





uuur uuur uur

bởi vậy PM PA PB 2PIuuur uuur uuur   uur

Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k=2 thì V biến điểm I thành điểm M

Vì I là trung điểm của AB nên OI AB.

Suy ra quỹ tích của điểm I là đường tròn (C) đường kính PO

Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn (C’) ảnh của (C) qua phép vị tự V Nếu ta lấy O� sao cho PO 2POuuur� uuur thì (C’) là đường tròn đường kính P O�

Bài 4: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên

đường tròn đó Dựng hình vuông ABCD Tìm quỹ tích điểm B và điểm D

G

Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho

AM=AB=AD

Khi đó ta có: AM AB 2

AC AC  2 Ngoài ra (AM, AB)=450 và (AM, AD)=-450

Suy ra phép vị tự V tâm A tỉ số k 2

2

 biến điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A

góc quay 450 biến điểm M thành điểm B Vậy

nếu gọi I là phép hợp thành của V và Q thì F biến C

thành B

8

Vì quỹ tích của C là đường tròn (O) nên quỹ tích của B là ảnh của đường tròn đó qua phép đồng dạng F

Đường tròn quỹ tích của B có thể xác định như sau:

Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của (O) vuông góc với AR (ta kí hiệu của điểm P, Q sao cho (AR,AP)=450) Khi đó dễ thấy rằng phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích B là đường tròn đường kính AP

Tương tự ta được quỹ tích D là đường tròn đường kính AQ

* Bài tập tương tự

Bài 1: Cho 2 điểm A, B cố định của đường tròn (O) Một điểm M thay đổi trên

đường tròn trên Tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MB Tìm quỹ tích điểm N

Bài 2: Cho 2 đường tròn (O) và ( O�) cắt nhau tại A và B Một đường thẳng thay đổi

đi qua A cắt (O) ở A và M, cắt (O�) tại A và M� Gọi P, P�lần lượt là trung điểm

AM, A M� Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng P P�

Bài 3: Cho đường tròn (O,R) và điểm A cố định Một dây cung BC thay đổi của

(O,R) có độ dài không đổi BC=m

Tìm quỹ tích các điểm G sao cho GA GB GC 0uuur uuur uuur r  

Bài 4 : cho 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự đó, AB CD� Điểm M thay đổi sao cho AMB� �CMD,M AB� Chứng minh rằng M thuộc một đường tròn

cố định

Bài 5 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d

M là một điểm thay đổi trên d, từ M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP đến đường tròn (O) AN và AP lần lượt cắt (O’) tại N’ và P’ Chứng minh rằng N’P’ đi qua một điểm

cố định

2.3 Bài toán dựng hình

Phương pháp:

Bước 1: Phân tích

Bước 2: Dựng hình

Bước 3: Chứng minh

Bước 4: Biện luận

Bài 1: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ Dừng hình vuông ABCD có hai đỉnh

A, B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C, D nằm trên đương tròn

Giải:

N

O'' B

A

O'

O

+) Phân tích :

Giả sử đã dựng được hình vuôngABCD thỏa mãn

điều kiện của bài toán

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là

đường trung trực của AB

Từ đó suy ra, nếu dựng hình vuông PQMN thì có

phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN thành hình

vuông ABCD

+) Cách dựng :

Dựng hình vuông PQMN Lấy giao điểm C và C’

của đường thẳng IM và đường tròn

Lấy giao điểm D và D’ của IN và đường tròn ( ta kí

hiệu sao cho hai điểm C, D nằm về một phía so với đường thẳng PQ )

Gọi các điểm B, A, B’, A’ lần lượt là hình chiếu của các điểm C, D, C’, D’ trên đường thẳng PQ

Ta được hình vuông ABCD và A’B’C’D’ thỏa mãn điều kiện của bài toán

+) Chứng minh :

Từ cách dựng ta thấy C, D, C’, D’ là giao điểm của IM và IN với đường tròn nên

C, D, C’, D’ thuộc đường tròn

B, A, B’, A’ là hình chiếu của C, D, C’, D’ lên đường thẳng PQ nên các cạnh AB, A’B’ nằm trên đường thẳng PQ

Suy ra các hình vuông ABCD và A’B’C’D’ thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Biện luận:

Từ sự phân tích và cách dựng trên ta thấy bài toán có 2 nghiệm hình

Bài 2: Cho (O) cắt (O’) tại A và B Dựng đường thẳng d qua A cắt (O) tại M, cắt

(O’) tại N sao cho M là trung điểm AN

Giải:

+) Phân tích:

Giả sử dựng được (d)

Vì M là trung điểm AN nên

AN 2AM

uuur uuuur

Vậy phép vị tự tâm A tỉ số k=2

biến điểm M thành điểm N

10

A' B'

B A

C D

M N

O

A

A1

Khi đó ta có phép vị tự tâm A tỉ số k=2 biến (O) thành (O”) và (O”) phải đi qua N Vậy N là giao điểm của (O’) và (O”)

+) Cách dựng:

Dựng (O”) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=2

Gọi N là giao điểm của (O’) và (O”), N A�

Kẻ AN cắt (O) tại M

(d) là đường thẳng AN

+) Biện luận:

Bài toán có 1 nghiệm hình

Bài 3: Dựng đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc �xOy đã cho và đi qua điểm A

đã cho nằm trong góc đó

Giải:

+) Phân tích:

Giả sử (I, R) là đường trong

thỏa mãn điều kiện bài toán

Ta hãy lấy 1 đường tròn nào

đó (I ,R ) tiếp xúc với 21 1

cạnh của góc �xOy Gọi V là

phép vị tự tâm O tỉ số

k=OI:OI thì V biến 1 (I ,R )1 1

thành (I, R)

Gọi A là tạo ảnh của điểm A thì 1 A nằm trên 1 (I ,R ) và k=1 1 OA1

OA +) Cách dựng:

Dựng đường tròn tùy ý (I ,R ) tiếp xúc với 2 cạnh của góc xOy1 1

Gọi A là 1 trong hai giao điểm của đường thẳng OA và đường tròn 1 (I ,R ) Dựng 1 1

ảnh (I, R) của đường tròn (I ,R ) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=OA:O1 1 A1

Đường tròn cần dựng chính là (I, R)

+) Biện luận:

Như vậy từ sự phân tích trên và cách dựng ta thấy bài toán có 2 nghiệm hình

* Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A Dựng qua A 1 đường thẳng cắt

(O) và (O’) lần lượt tại B và C sao cho AB=kAC (k là số dương cho trước)