Phương pháp tọa độ và ứng dụng trong giải toán sơ cấp

Tiếp đó, ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian để giải một số dạng bài toán sơ cấp trong đại số và hình học thuộc chương trình bậc phổ thông trung học.. Nhiệm vụ nghi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ KIM LOAN

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ ỨNG DỤNG

TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LU N V N THẠC S KHOA HỌC

Ngư i hư ng d n ho học: PGS.TS TRẦN ĐẠO D NG

Đà Nẵng - Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS TS Trần Đạo Dõng

Các kết quả luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kì công trình nào khác

Tác giả luận văn

Lê Thị Kim Lo n

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2

6 Cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 4

1.1.1 Giới thiệu hệ trục tọa độ trong mặt phẳng 4

1.1.2 Toạ độ của một điểm, của vectơ đối với hệ trục toạ độ 4

1.1.3 Các phép toán vectơ trong mặt phẳng 5

1.1.4 Các công thức về tọa độ trong mặt phẳng 5

1.2 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 6

1.2.1 Giới thiệu hệ trục tọa độ trong không gian 6

1.2.2 Tọa độ của một điểm Tọa độ của một vectơ trong không gian 7

1.2.3 Các phép toán vectơ trong không gian 7

1.2.4 Các công thức về tọa độ trong không gian 8

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 11

2.1 ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ 11

2.1.1 Ứng dụng vào giải phương trình, hệ phương trình 12

2.1.2 Ứng dụng giải bất phương trình, hệ bất phương trình 21

2.1.3 Bài toán chứng minh đẳng thức, bất dẳng thức 26

2.1.4 Bài toán cực trị 30

2.2 ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN 33

2.2.1 Bài toán chứng minh đẳng thức hình học và tính toán 33

2.2.2 Bài toán chứng minh tính chất thẳng hàng và đồng quy 37

2.2.3 Bài toán về khoảng cách 46

2.2.4 Bài toán quỹ tích 54

2.2.5 Bài toán xác định số đo góc 58

2.2.6 Bài toán xác định điểm, đường thẳng cố định 64

2.2.7 Bài toán tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện 67

2.2.8 Các bài toán tổng hợp 75

KẾT LU N 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LU N V N (bản s o)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nghiên cứu lịch sử môn hình học, ta thấy Euclid, nhà toán học kiêm nhà triết học của Hi Lạp sống vào thế kỉ thứ ba trước Công nguyên đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của phương pháp tiên đề Tác phẩm “Cơ bản” nổi tiếng của Euclid là một đóng góp xuất sắc trong việc phát triển và xây dựng hình học Sau đó gần 20 thế kỉ, René Descartes một nhà triết học kiêm vật lí

và toán học nổi tiếng của Pháp đã phát minh ra phương pháp tọa độ, đánh dấu cho sự mở đầu của cuộc cách mạng trong toán học nói chung và hình học nói riêng

Dựa vào phương pháp tọa độ do chính mình phát minh, René Descartes

đã sáng lập ra môn hình học giải tích Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học Việc này giúp ta

bỏ đi thói quen tư duy cụ thể, trực quan nhằm đạt tới đỉnh cao của sự khái quát hóa, trừu tượng của toán học và nhiều lĩnh vực khác Hơn nữa trong một

số bài toán đại số nếu chúng ta chuyển qua bài toán hình học và sử dụng kết quả của hình học tổng hợp sẽ giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách đơn giản hơn Chẳng hạn như một số bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, cực trị

Ngày nay, “phương pháp tọa độ” là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Toán bậc phổ thông trung học, đặc biệt trong các kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán học Phương pháp tọa độ là một trong những phương pháp hay và khó, có tính trừu tượng cao, có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán sơ cấp Cùng với sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, PGS TS Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài

“Phương pháp tọ độ và ứng dụng trong giải toán sơ cấp” làm đề tài luận

văn thạc sĩ của mình

Trong luận văn này, trước hết chúng tôi giới thiệu về phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng và trong không gian Tiếp đó, ứng dụng phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng và không gian để giải một số dạng bài toán sơ cấp trong đại số và hình học thuộc chương trình bậc phổ thông trung học

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là hệ thống hóa chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa độ, đề xuất quy trình giải bài toán sơ cấp bằng phương pháp tọa độ, xây dựng hệ thống bài tập vận dụng để từ đó thấy được tầm quan trọng và tính thiết thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng bài toán sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khai thác công cụ phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian

để giải các dạng bài toán cơ bản trong đại số và hình học như: bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, bài toán giải phương trình, bất phương trình, bài toán chứng minh các tính chất hình học, bài toán xác định các đại lượng hình học, bài toán quỹ tích… và các bài toán liên quan trong hệ tọa độ Decartes

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo tài liệu về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian và hệ thống các kiến thức liên quan

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, đồng nghiệp

5 Ý nghĩ ho học và thực tiễn

- Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong toán học thuộc chương trình toán bậc phổ thông trung học

- Hệ thống lại một cách hoàn chỉnh các bài toán liên quan đến phương pháp tọa độ thể hiện trong từng dạng toán cụ thể

- Phát huy tư duy, tính tự học và sáng tạo của học sinh

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia làm 2 chương

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Trong chương 1, luận văn trình bày các kiến thức cơ bản liên quan đến tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian để lam cơ sở ứng dụng trong chương tiếp theo

Chương 2: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong giải toán sơ cấp

Trong chương 2, luận văn trình bày ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải một số dạng bài toán thường gặp về đại số và hình học trong chương trình toán phổ thông

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên quan trong hệ tọa

độ phẳng và hệ tọa độ không gian, các công thức liên quan đến phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình đường tròn và xét vị trí tương đối… Ngoài ra, chúng tôi cũng đề cập đến một số ứng dụng về phép toán vectơ có sử dụng trong luận văn Các kiến thức được trình bày ở đây có thể tham khảo tại các tài liệu [2], [3], [5]

1.1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

1.1.1 Gi i thiệu hệ trục tọ độ trong mặt phẳng

 Hệ trục tọa độ Descartes vuông góc

Trong mặt phẳng cho hai trục Ox và Oy vuông góc với nhau Vectơ đơn vị trên trục Ox, Oy lần lượt ký hiệu là ,

i j

Điểm O gọi là gốc trục toạ độ; Ox, Oy lần lượt gọi

là trục hoành, trục tung

Hệ trục toạ độ vuông góc như trên còn được gọi là

hệ trục toạ độ Descartes vuông góc, kí hiệu là Oxy hay O i, ,j

 Hệ trục tọa độ affine (hệ trục tọa độ xiên)

Hệ trục tọa độ affine (hệ trục tọa độ xiên) trong mặt phẳng gồm một điểm gốc O và hai vectơ không cùng phương i j,

1.1.2 Toạ độ củ một điểm, củ vectơ đối v i hệ trục toạ độ

Đối với hệ trục toạ độ O i j; ; nếu a xi y jthì cặp số (x ;y) được gọi là tọa

độ của vectơ a, ký hiệu là a x y; haya x y ; ; x là hoành độ, y là tung độ của

a

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, toạ độ của vectơ OM được gọi là toạ độ của M

1.1.3 Các phép toán vectơ trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 vectơ : aa a1; 2;bb b1; 2 Ta có:  a b a1b a1; 2b2  k a k a k a ; 1 2

 Phương trình của đường thẳng:

Cho a( ;a a1 2)là vectơ chỉ phương, n( ; )A B là vectơ pháp tuyến của d

hoặc: AxBy C 0

Góc và khoảng cách:

Góc giữa hai đường thẳng d d1; 2là:

1 2

1 2

.( ; ) cos( ; )

Với n1 và n2 lần lượt là vec-tơ pháp tuyến của d d1; 2

Khoảng cách giữa hai điểm M x y( ;1 1) và N x y( 2; 2), kí hiệu d M N( , ),

d M N  x x  y y Khoảng cách từ M(x y0; 0) đến d: AxBy C 0xác định theo công thức:

Trong đó : R a2b2c , điều kiện: 2 2

0

a b  c

Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C):

 d I d( ; )  R d ( )C   : d không có điểm chung với (C)  d I d( ; )  R d ( )C  A : d tiếp xúc với (C)

1.2 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG

GIAN

1.2.1 Gi i thiệu hệ trục tọ độ trong hông

gian

Trong không gian cho ba trục Ox, Oy và Oz đôi

một vuông góc với nhau

Vectơ đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz lần lƣợt ký hiệu là i j k, , và độ dài của ba vectơ này bằng nhau, O: gốc tọa độ, Ox, Oy, Oz: trục hoành, trục tung, trục cao độ, (Oxy); (Oxz); (Oyz): các mặt phẳng tọa độ

Hệ trục toạ độ vuông góc nhƣ trên còn đƣợc gọi là hệ trục toạ độ trong không gian, kí hiệu là Oxyz hay O i, , ,j k

1.2.2 Tọ độ củ một điểm Tọ độ củ một vectơ trong hông gi n

Cho hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz và một vectơ u Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x, y, z) sao cho ux i  y j z k Ta gọi bộ số thực

(x, y, z) là tọa độ của u và kí hiệu là: u( ; ; )x y z hoặc ( ; ; )u x y z

Vậy: u( ; ; )x y z  u x i  y j z k

Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M Ta gọi tọa độ của OM là tọa độ của điểm M Nhƣ vậy bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của điểm M và kí hiệu

là M ( ; ; )x y z hoặc M x y z( ; ; )nếu : OM x i  y j z k

1.2.3 Các phép toán vectơ trong hông gi n

 Cho hai véctơ: aa a a1; 2; 3;bb b b1; 2; 3 Ta có:

véctơ vuông góc với cả a và b, có độ dài là diện tích của hình bình hành dựng trên hai véctơ a và b sao cho a và b cùng với véctơ này lập thành một

Trong đó AB AD, là tích có hướng của hai vectơ AB và AD

Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

1.2.4 Các công thức về tọ độ trong hông gian

 Phương trình mặt phẳng trong không gian:

Cho n( ; ; )A B C là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ).

Điểm M x y z( 0; 0; 0)thuộc mặt phẳng ( ). Khi đó ta có phương trình mặt phẳng ( ) : A x.( x0)B y.( y0)C z.( z0)0

Nếu mặt phẳng( ) có cặp vectơ chỉ phương là a và 1 a2 thì vectơ pháp tuyến của ( ) là n[ ;a a1 2]

Phương trình của đường thẳng trong không gian:

Cho a( ;a a1 2) là véctơ chỉ phương của đường thẳng d, điểm

 Góc giữa hai đường thẳng :

Cho a là vectơ chỉ phương của đường thẳng 1 d1

a2 là vectơ chỉ phương của đường thẳng d2

1 2

.cos , cos ,

Cho n là vectơ pháp tuyến của mp 1  

n2là vectơ pháp tuyến của mp  

        1 2

1 2

.cos , cos ,

Cho a là vectơ chỉ phương của đường thẳng d, n là vectơ pháp tuyến của mp  

 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

Cho đường thẳng  qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương là a

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : d(M; ) = [MM a0; ]

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho đường thẳng 1qua M1 và có VTCP a , đường thẳng 1 2qua M2 và

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ

một điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG

GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Trong chương này chúng tôi vận dụng phương pháp tọa độ để giải một số dạng bài toán thường gặp về đại số và hình học trong chương trình toán phổ thông Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10]

2.1 ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ

Phương pháp tọa độ là một trong các phương pháp giúp chúng ta chuyển việc nghiên cứu các tính chất của hình học bằng công cụ đại số Việc làm này một phần nào đó đã làm giảm đi tính trừu tượng của việc giải bài toán hình học Trong nhiều trường hợp chúng ta lại thực hiện công việc ngược lại, đó là chuyển một bài toán đại số (nhất là bài toán cực trị) sang bài toán hình học và

sử dụng các kết quả đã biết trong hình học để giải quyết

Chẳng hạn, khi gặp các bài toán đại số trong đó mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai được biểu diễn dưới dạng tổng của hai bình phương, ta thường thiết lập các vectơ có tọa độ thích hợp trên hệ trục tọa độ Descartes sao cho

độ dài của các vectơ tương ứng bằng các căn bậc hai trên và tổng các vectơ bằng vectơ còn lại Từ đó sử dụng bất đẳng thức về độ dài ba cạnh của một tam giác để đi đến kết quả của bài toán

Các phương trình và hệ phương trình đại số hai ẩn, mỗi phương trình có thể được xét như là phương trình của một đường trong mặt phẳng, vì vậy tìm nghiệm của phương trình, hệ phương trình có thể chuyển về tìm giao điểm của các đường tương ứng, trong đó hoành độ và tung độ của giao điểm chính

là nghiệm của phương trình Trong phần này chúng tôi giới thiệu một số chủ

đề ứng dụng phương pháp tọa độ trong đại số và các bài toán minh họa cụ thể cho mỗi chủ đề

2.1.1 Ứng dụng vào giải phương trình, hệ phương trình

a Giải phương trình chứa căn thức

Phương pháp: Khi gặp các bài toán giải phương trình chứa căn thức bậc

hai, trước hết chúng ta thiết lập các vectơ có tọa độ thích hợp trên hệ trục tọa

độ Descartes sao cho độ dài của các vectơ tương ứng bằng các căn bậc hai đã cho và tổng hoặc hiệu các vectơ bằng vectơ còn lại Từ đó sử dụng bất đẳng

thức về độ dài ba cạnh của một tam giác để đi đến kết quả của bài toán

Đối với các bài toán giải phương trình trong đó một vế có chứa các hạng

tử là tích của hai biểu thức, chúng ta sử dụng công thức u v  u v , trong đó dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ukv với k0 để suy ra nghiệm của phương trình

Đối với các dang bài toán xác định số nghiệm của phương trình, trước hết chúng ta biến đổi phương trình đã cho về một phương trình tương đương sao cho mỗi vế là phương trình của một đường quen thuộc trong mặt phẳng

Từ đó tìm giao điểm của các đường tương ứng và suy ra số nghiệm của phương trình ban đầu

Dưới đây là một só bài toán minh họa

Bài 1: Giải phương trình :

x22x 5 x22x10  29

Phân tích và định hướng:

Ở bài này ta dễ dàng đưa biểu thức dưới dấu căn thành độ dài một đoạn

thẳng, sau đó sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải

Giải:

Phương trình trên tương đương với  2  2

x   x  

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:

Đặt u x,1 ;b x1, 3x

Ta có:

  2 2 2

Ta biết rằng số nghiệm của

phương trình trên là số giao điểm của

tâm là gốc tọa độ bán kinh bằng hai và nằm phía trên trục hoành

Còn ymx 2 m là một họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định A

(1;2) Ta nhận thấy có hai tiếp tuyến với đường (C ): y 4x2 , một là

đường thẳng y = 2 song song với trục hoành và tiếp tuyến AD

Gọi B(-2,0) và C(2,0) là hai đầu mút của đường kính BOC, giả sử

342

m

m m

Một số bài toán th m hảo:

Bài toán 1: Giải phương trình:

4x2  4x 2 x2  2x 5 9x212x13

Bài toán 2 : Biện luận theo tham số thực m số nghiệm của phương trình:

Phương pháp: Khi gặp các bài toán giải hệ phương trình nhiều ẩn, để

ứng dụng phương pháp tọa độ, thông thường chúng ta biến đổi hệ phương trình đã cho về một hệ phương trình tương đương sao cho mỗi phương trình chứa các biểu thức nhận giá trị của tích vô hướng, độ dài của vectơ hoặc các phép toán về vectơ Từ đó, xác định các vectơ thích hợp và ứng dụng các tính chất của vectơ, công thức về tọa độ trong mặt phẳng hoặc không gian để giải Đối với các hệ phương trình hai ẩn, chúng ta có thể xem mỗi phương trình là phương trình của một đường trong mặt phẳng, vì vậy tìm nghiệm của

hệ phương trình có thể đưa về tìm giao điểm của các đường tương ứng, trong

đó hoành độ và tung độ của giao điểm chính là nghiệm của hệ phương trình

đã cho

Để minh họa, chúng ta xét một số ví dụ sau

Bài 4: Giải hệ phương trình

Phân tích và định hướng:

Rõ ràng ngay khi nhìn vào đề bài thì giả thiết “a,b,c là các số thực dương

cho trước thỏa mãn1 1 1, ,

a b c là ba cạnh của tam giác không tù” khiến ta cảm

thấy khá rối Tuy nhiên nếu chú ý phân tích sau thì mọi việc hoàn toàn dễ dàng: Với một tam giác không tù có ba cạnh là a,b,c các đường cao

, ,

a b c

h h h và diện tích là S, ta có:

12

12

2

12

S S S là ba cạnh của tam giác không tù đồng

dạng với tam giác ba cạnh là a,b,c theo tỉ lệ 1

2S do đó

1 1 1, ,

a b c

h h h là ba cạnh của tam giác không tù Vậy ta có lời giải như sau:

a bz b cx a c y Do đó ta có thể luôn dựng các tam giác sau:

A B C1 1 1 có A B1 1  y AC, 1 1z và đường cao tại đỉnh A1 bằng a và hai tia A B1 1 và A C1 1nằm về hai phía đối với đường cao tại A1 Khi đó theo phương trình thứ nhất dễ dàng có đượcxB C1 1

A B C2 2 2cóB A2 2 z B C, 2 2 x và đường cao tại đỉnh B2 bằng b và hai tia B A B C2 2, 2 2 nằm về hai phía đối với đường cao đỉnh B2 thìy A C2 2

A B C3 3 3 có C A3 3  y C B, 3 3 x, đường cao tại đỉnh C3 bằng c đồng thới hai tia C A C B3 3, 3 3nằm về hai phía đối với đường cao tại đỉnh C3, khi đó z A B3 3

Do đó ba tam giácA B C1 1 1, A B C2 2 2, A B C3 3 3 có ba cạnh bằng nhau nên chúng bằng nhau suy ra ax=by=cz=2S

Áp dụng công thức Hê-rông, ta có S  p p( a p)( b p)( c), trong đó

thẳng d: x+my+m=0 phụ thuộc vào m Hơn nữa đường thẳng d luôn đi qua

điểm cố định A(0;-1) nằm trong ( C ) nên d luôn cắt ( C) tại hai điểm Hình 2.2

phân biệt với mọi m

Bài 6: Tìm tham số thực m để hệ có hai nghiệm phân biệt và

2

AB đạt giá trị nhỏ nhất Do M 1;1  d m và M nằm trong (C ) nên d luôn

cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A,B

Bài 7: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau theo tham số thực m:

222

nghiệm của hệ phương trình Vì thế bài toán đưa về dạng biện luận số giao điểm của d và (W)

m

m

hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt

Trường hợp K nằm trên (W) khi và chỉ khi m   11 m 11 Khi đó hệ

đã cho có nghiệm duy nhất

Trường hợp K nằm ngoài (W) khi và chỉ khi m   11 m 11 Khi đó

hệ đã cho vô nghiệm

Một số bài toán th m hảo:

Bài toán 4: Xác định tham số thực m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Bài toán 6: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau:

16

2 42

9 6 24

Nhận xét : Phương pháp tọa độ được áp dụng khi trong bài toán tìm

được hệ vectơ thỏa mãn các điều kiện u v  u  v u;   v u v u v;  u v

hoặc tìm được phương trình các đường, các mặt trong mặt phẳng hoặc trong không gian Phương pháp này là một định hướng cho các bài toán giải phương trình khó tìm được cách biến đổi tương đương, đôi khi phương pháp này trở nên dài dòng, khó nắm bắt nên với những bài toán biến đổi tương

đương được, chúng ta nên sử dụng các phép biến đổi tương đương để giải 2.1.2 Ứng dụng giải bất phương trình, hệ bất phương trình

Phương pháp: Khi gặp các bài toán giải bất phương trình chứa căn thức

bậc hai, trước hết chúng ta thiết lập các vectơ có tọa độ thích hợp trên hệ trục tọa độ Descartes sao cho độ dài của các vectơ tương ứng bằng các căn bậc hai

đã cho và tổng hoặc hiệu các vectơ bằng vectơ còn lại Từ đó sử dụng bất

đẳng thức về độ dài ba cạnh của một tam giác để đi đến kết quả của bài toán

Khi chúng ta đã thiết lập được các hệ tọa độ vectơ, thông thường các bất phương trình sẽ rơi vào những trường hợp sau:

TH1: u v  u  v u;   v u v u v;  u v , khi đó bất phương trình

trở thành ukv

TH2: u v  u  v u;   v u v u v;  u v khi đó bất phương trình vô nghiệm

TH3: u v  u v u;   v u v u v;  u v , khi đó bất phương trình nghiệm đúng trên tập xác định

a Bài toán giải bất phương trình

Bài 8 : Giải bất phương trình: x x   1 3 x 2 x21

Vậy x1,x 1 2 là nghiệm của bất phương trình đã cho

Bài 9: (Trích Đề thi tuyển sinh Đại học Khối A năm 2010)

x x   x   x x   x x  x (3) Trong không gian Oxyz, chọn: u(1;1;0), v x;1x;0

Khi đó: u v  x 1 x và  2 

u v  x  x Nên (3) có dạng : u v u v

Mặt khác ta luôn có u v  u v nên (3) xảy ra khi và chỉ khi

 

2 2

2 2

Một số bài toán th m hảo:

Bài toán 8: Giải bất phương trình:

2

x   x x  x

Bài toán 9: Giải bất phương trình: x 1 2x 3 50 3 x12

Bài toán 10: Giải bất phương trình: x x 1 3 x 2 x2 1

Nhận xét: Bài toán bất phương trình nếu có thể giải theo phương pháp

này sẽ đơn giản, ngắn gọn và dễ hiểu hơn rất nhiều Tuy nhiên chúng ta có thể gặp khó khăn khi chọn hệ vectơ sao cho phù hợp

b Bài toán giải hệ bất phương trình

Bài 11: Xác định tham số thực k để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

2 2

2 2

y

x J

I

Tìm tham số thực m để hệ có nghiệm duy nhất

Phân tích và định hướng giải:

Hệ đã cho gồm phương trình đường tròn (C) và phương trình đường thẳng d Như vậy ta cần khảo sát số giao điểm của (C) và d

Một số bài toán th m hảo:

Bài toán 11: Cho hệ

Bài toán 12: Giải hệ

2.1.3 Bài toán chứng minh đẳng thức, bất dẳng thức

Phương pháp: Để giải các bài toán chứng minh đẳng thức và bất đẳng

thức bằng phương pháp tọa độ, trước hết chúng ta thiết lập các vectơ có tọa

độ thích hợp trên hệ trục tọa độ Descartes sao cho độ dài của các vectơ tương ứng bằng các căn bậc hai đã cho và tổng hoặc hiệu các vectơ bằng vectơ còn lại Từ đó sử dụng bất đẳng thức về độ dài ba cạnh của một tam giác để đi đến

kết quả của bài toán

2 2 2

v  x y z Theo bất đẳng thức: u v  u v

Bài 15: (Đề thi Đại học, C o đẳng hối A năm 2003)

Cho x,y,z là 3 số dương và x  y z 1 Chứng minh:

1 1 1

318.3 80 82

xyz xyz

Bài 16: Chứng minh rằng với mọi giá trị thực x,y ta đều có:

Suy ra u v 2cos(xy),2sin(xy)

u v  xy  xy  

Theo bất đẳng thức: u   v u v

Suy ra: 4cos2xcos2 ysin (2 x y)  4sin2xsin2 ysin (2 xy) 2

Dấu “=” xảy ra cot cot 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Một số bài toán th m hảo:

Bài toán 13: Cho , , a b c0 Chứng minh:

a3  b3 c3 a2 bc b2 ca c2 ab

Bài toán 14: Chứng minh rằng x y,  ta có

x2 2mx y2 m2  x22mx y2 m2 2

Bài toán 15: Cho x2  y2 1 Chứng minh: 5x2 2xy 5y2 6

Nhận xét: Bài toán bất đẳng thức nếu có thể chứng minh theo phương

pháp này sẽ đơn giản, ngắn gọn và dễ hiểu hơn rất nhiều Tuy nhiên chúng ta

có thể gặp khó khăn khi chọn hệ vectơ phù hợp

2.1.4 Bài toán cực trị

Phương pháp: Để ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải các bài toán

cực trị, trước hết chúng ta cần chọn hệ tọa độ, các vectơ thích hợp Từ đó thiết lập biểu thức giải thích cho đối tượng tìm cực trị và áp dụng các bất đẳng thức vectơ sau:

Chúng ta sẽ minh họa qua các bài toán cụ thể như sau:

Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1

A  M là điểm tiếp xúc ngoài của (S1) và (S2) hay I M1  I M2

nên M là trung điểm của I I1 2 M1;0;2

R

R

  Từ đó ta tìm đƣợc M(-3;4;4)

Vậy MaxA=67 đạt đƣợc khi a=-3, b=c=4

MinA=-5 đạt đƣợc khi a=1, b=0, c=2

Bài 20: Cho x24y2 1 Chứng minh: 5

Một số bài toán th m hảo:

Bài toán 16: Cho các số thực a,b,c thỏa 2a 3b 4c1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Nhận xét: Các bài toán cực trị nếu giải theo phương pháp đại số thuần

túy sẽ rất phức tạp, dài dòng và yêu cầu học sinh phải nhớ rất nhiều công thức Để đơn giản hơn ta sử dụng phương pháp tọa độ

2.2 ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN 2.2.1 Bài toán chứng minh đẳng thức hình học và tính toán

Phương pháp:

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxy hoặc Oxyz thích hợp (Quyết định sự

thành công của bài toán)

Trong mặt phẳng chọn hệ tọa độ đỉnh và hai trục Ox, Oy là hai đường thẳng vuông góc với nhau, gốc tọa độ là giao điểm của hai đường thẳng đó Trong không gian, thông thường cho hệ tọa độ đỉnh và ba trục Ox, Oy,

Oz là tam diện vuông hoặc vẽ thêm một số cạnh để được tam diện vuông Gắn các trục tọa độ Ox, Oy, Oz thích hợp

Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán

Chúng ta sẽ minh họa qua các bài toán cụ thể như sau:

Bài 1 : Cho ABC vuông tại A, AB = c, AC= b M nằm trên cạnh BC

sao cho góc BAM bằng  Chứng minh rằng

.cos sin

bc AM



Phân tích và định hướng giải:

Nếu ta giải bài toán theo cách giải của hình học phẳng thì phải kẻ thêm đường thẳng phụ và việc tính toán cũng phức tạp rất nhiều Do đó ta chọn cách giải bằng phương pháp tọa độ để giải bài toán này thì sẽ dễ hơn rất nhiều

Phân tích và định hướng giải:

Bài toán này đề bài khá đơn giản, nhưng chứng minh bằng phương pháp hình học thuần túy cũng khá rắc rối và trong hình có nhiều yếu tố vuông góc nên ta có thể nghĩ đến cách giải áp dụng phương pháp tọa độ để cách giải đơn giản hơn Do bài toán cho trực tâm H nên ta chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho H nằm trên Oy, BC nằm trên Ox